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李永乐老师 Youtube, 香蕉皮能展成平面吗？微分几何之高斯绝妙定理

香蕉皮 能 展 成 平面 吗 ？微分 几何 之 高斯 绝妙 定理

各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师 最近 有 一个 新闻 刷 爆 的 互联网 说 是 中科大 26 岁 的 特 任 教授 陈杲 在 复 微分 几何 领域 攻克 的 一个 世界 难题 有 小朋友 就 问 我 说 这 微分 几何 到底 是 怎样 的 一门 学科 呢 陈杲 教授 的 成果 又 是 什么 呢 微分 几何 起源于 数学家 对于 曲线 和 曲面 的 研究 如今 已经 成为 广义 相对论 的 基础 与 拓扑学 和 理论物理 密切 相关 学过 微分 几何 的 小伙伴 都 知道 这门 学科 特别 的 复杂 普通人 很难 理解 它 的 全貌 那 今天 我们 就 来 选 一个 微分 几何 中 相对 比较 容易 理解 的 概念 高斯 绝妙 定理 来 给 大家 体会 一下 微分 几何 的 魅力 为了 理解 高斯 绝妙 定理 我们 首先 先 来 了解 一个 平面几何 的 问题 叫做 曲率 还有 曲率 半径 曲率 和 曲率 半径 什么 意思 我们 都 知道 圆 有 半径 那么 一个 曲线 有 半径 吗 我们 来看 这 是 一个 随便 画 的 一条 曲线 那么 这 条 曲线 它 不同 的 地方 弯曲 程度 是 不 一样 的 我们 就 想 比较 比如说 这个 点 A 这个 点 B 这个 点 C 它 的 弯曲 的 程度 是 吧 怎么 比较 呢 人们 就 想了 个 方法 我 可以 用 一个 圆 去 贴近 这个 曲线 如果 在 一个 很小 的 范围 内 这个 圆 可以 和 曲线 密接 密接 这个 地方 也 是 圆 和 曲线 的 密接 这个 地方 也 是 圆 和 曲线 可以 密接 那么 这样 的 圆 我们 就 管 它 叫 曲线 这个 点 的 曲率 圆 曲率 圆 就是 在 一个 点 可以 和 一个 平滑 曲线 密接 的 圆 数学 上 可以 证明 一个 平滑 曲线 上 某 一个 点 的 曲率 圆 是 唯一 的 曲率 圆 它 不是 有个 半径 吗 曲率 圆 的 半径 我们 就 管 它 叫 曲率 半径 我们 用 字母 ρ 来 表示 这 叫 曲率 半径 对 吧 曲率 半径 我们 再 取个 倒数 就 叫做 曲率 曲率 k 它 就 等于 曲率 半径 的 倒数 有 了 曲率 和 曲率 半径 我们 就 可以 比较 不同 的 点 它 的 弯折 程度 了 咱们 来看 相比 来讲 这个 A 点 还是 平坦 一些 对 吧 这个 C 点 是 最 弯曲 的 你 观察 一下 A 点 的 曲率 半径 怎么着 A 点 的 曲率 圆 最大 所以 A 点 的 曲率 半径 最大 对 不 对 曲率 半径 最大 的 时候 它 的 曲率 是不是 就 最小 所以 曲率 半径 大 的 点 曲率 就 小 这样 的 点 我们 就 叫 它 平坦 或者 叫 平缓 它 就 不 太 弯曲 对 吧 你 再 看 C C 它 曲率 圆 特别 小 它 曲率 半径 特别 小 曲率 半径 特别 小 的话 它 的 曲率 就 比较 大 对 吧 这样 的 点 就是 特别 的 弯曲 的 所以 我们 就 记住 了 凡是 曲率 小 的 它 就 平坦 曲率 大 的 它 就 弯曲 对 不 对 我们 来看 一下 直线 的 曲率 半径 是 多大 你 用 一个 圆 去 给 我 贴合 直线 你 说 多大 的 圆 能 跟 直线 完全 贴上 是不是 得 无限大 的 圆 所以 直线 它 的 曲率 半径 其实 是 无穷 的 直线 的 曲率 半径 是 无穷大 那么 直线 的 曲率 是 多少 直线 的 曲率 是 1/ρ 是 不 就 是 0 对 不 对 我们 要 记住 了 直线 的 曲率 是 0 因为 它 最 平坦 是不是 不仅如此 数学家 们 还 定义 了 这个 曲率 的 正负 比如 说 我们 定义 说 这个 曲线 向上 弯 曲率 是 负 的 向下 弯曲 率 是 正 的 那 你 看 A 这个 点 A这个 点 它 的 这个 弯折 程度 是 往 下 弯 的 所以 我们 叫 它 曲率 是 正 的 B这个 点 它 往 上 弯 对 吧 我们 管 它 叫 k 是 负 的 C 这个 点 又 往 下 弯 我们 又 说 k 是 正 的 那么 你 这 是 一个 平滑 曲线 你 的 曲率 能够 从 正 变 到 负 你 中间 一定 有 那么 一个 点 是 0 也就是说 这 一点 它 是 一小 段 什么 线 直线 对 不 对 同样 道理 从 这个 点 k 是 负 的 变成 这个 点 k 是 正 的 中间 有 一个 点 k 应该 是 0 这 就是 曲率 的 正负 的 变化 好 我们 现在 已经 知道 了 曲率 有大 有 小 有 正 有负 对 不 对 下面 我们 要 升级 了 从 曲线 升级 到 曲面 我们 要 研究 一下 主 曲率 的 概念 什么 叫 主 曲率 呢 我们 首先 来 看 这样 一个 香蕉 我们 知道 这 香蕉 的 表面 它 实际上 是 一个 曲面 比如说 这个 点 吧 你 沿 不同 方向 看 它 弯折 程度 不 一样 你 要是 从 这个 方向 看 它 是 有点 弯 但是 你 要 从 这个 方向 看 它 叫 特别 弯 对 不 对 所以 这个 方向 和 这个 方向 它 是 具有 不同 的 曲率 的 我们 再 来 看 它 的 内侧 内侧 就 更 搞笑 了 你 在 这个 方向 它 有点 弯 而且 往 这边 弯 你 要是 在 这个 方向 它 很 弯 而且 往 这边 弯 它 不仅仅 是 弯折 的 程度 不 一样 它 连 弯折 的 方向 都 是 相反 的 对 不 对 好 我们 知道 了 一个 物体 沿 不同 方向 会 有 不同 的 曲率 我们 再 来 画 一个 图 比如说 这 有 一个 烟囱 这个 烟囱 腰里 系 两边 粗 是 吧 这 是 一个 这样 的 一个 烟囱 好 那 现在 如果 我们 要是 横着 切 一刀 的话 我们 会 切出 一个 圆 它 是 往 这边 弯 的 你 如果 竖 着 切 一刀 它 会 切出 这样 一个 边 来 对 不 对 它 是 往 左边 弯 的 跟 香蕉 的 内侧 是 有点 像 的 所以 在 1760 年 的 时候 微分 几何 有 一个 奠基者 名字 叫 欧拉 欧拉 我们 已经 不 知道 提了 多少次 了 是 吧 著名 的 数学家 欧拉 欧拉 就 提出 了 这样 一个 理论 他 就 说 我们 可以 用 不同 的 平面 去 切割 这个 曲面 切割 它 切割 它 的 时候 沿 不同 方向 的 曲率 是 有 大 有 小 的 那么 在 曲率 最大 那个 方向 还有 曲率 最小 的 这个 方向 我们 称之为 主 曲率 这 两个 方向 我们 就 管 它 叫 主 方向 这 两个 平面 我们 就 管 它 叫 主平面 主平面 就是 在 切割 这个 点 的 时候 那些 平面 里面 能 造 出 最大 曲率 和 最小 曲率 的 那 两个 平面 是 吧 这 就 叫 主平面 然后 欧拉 通过 数学 方法 证明 了 这样 一个 结论 就是 两个 主平面 为什么 两个 主平面 一个 k 最大 一个 k 最小 两个 主平面 之间 一定 是 怎么样 呢 一定 是 互相 垂直 的 这个 是 在 1760 年 的 时候 由 欧拉 证明 的 我们 举个 例子 比如 你 看 这 烟囱 这 烟囱 它 横 着 是 一个 主平面 它 的 曲率 是 往 这边 最大 的 然后 竖 着 切 又 是 一个 主平面 它 是 这个 曲率 往 那边 最大 它 俩 之间 是 互相 垂直 的 一个 横着 切 的 面 一个 竖 着 切 的 面 你 再 来 看 这个 香蕉 这个 香蕉 它 在 这个 点 这是 一个 主平面 这 又 是 一个 主 平面 它们 俩 也 是 互相 垂直 的 对 吧 好 那 主平面 之间 一定 是 互相 垂直 的 我们 再 来 看 如果 是 一个 平面 平面 就是 它 不是 曲面 了 平面 上 的 每 一个 点 它 的 主 方向 和 主平面 情况 又 如何 呢 我 在 这里 画 一个 平面 你 会 发现 不管 你 用 什么样 的 面 去 切割 这个 平面 这个 平面 它 都 是 切出来 直线 你 怎么 切 它 都 是 直线 所以 对于 平面 来讲 它 的 主 曲率 是 多少 呢 不管 是 最大 的 曲率 还是 最小 的 曲率 都 是 0 对 不 对 对于 平面 来讲 它 的 主 方向 是 任意 方向 然后 它 的 主 曲率 都 是 0 好 那么 主 曲率 这个 概念 我们 也 说完 了 那 下面 我们 就 可以 来 介绍 高斯 绝妙 定理 了 高斯 绝妙 定理 它 为什么 起 的 名字 这么 奇怪 呢 什么 叫 高斯 绝妙 定理 呢 我们 知道 一条 直线 它 是 可以 画 在 一个 平面 里 的 当然 你 在 这个 平面 里 你 这个 直线 也 是 可以 弯 的 你 可以 让 这个 直线 弯 成 这个 样子 对 不 对 但是 你 在 弯折 的 过程 之中 这个 直线 的 长度 是 可以 不变 的 你 好像 把 一条线 在 平面 上 弯 一下 这个 线 的 长度 它 是 不变 的 我们 可以 进而 让 这个 面 也 弯 起来 就是 这个 面 上面 有 一条 直线 但是 这个 面 它 本身 弯 了 对 不 对 面 本身 弯 了 之后 呢 你 会 发现 这 条 直线 上 每个 点 的 曲率 就 不 一样 了 原来 是 直线 每个 点 曲率 都 是 0 你 弯 了 之后 这个 曲率 就 不是 0 了 对 不 对 但是 这个 线段 它 的 长度 依然 是 不变 的 对 不 对 那 我们 就 说 呀 这个 长度 怎么着 它 的 长度 实际上 是 与 是 与 这个 曲面 它 弯曲 的 程度 是 与 这个 曲面 弯曲 的 程度 无关 的 不管 你 这个 曲面 怎么 弯 反正 这个 直线 的 长度 都 是 不变 的 这个 长度 与 弯曲 的 程度 无关 那 这样 的 量 我们 给 它 起个 名字 叫 内蕴 量 很 显然 长度 是 个 内蕴 量 长度 它 与 这个 曲面 在 空间 中 的 弯曲 程度 没有 关系 如果 其它 的 量 也 能够 与 弯曲 的 程度 没有 关系 的 那 我们 也 给 它 起个 名字 叫 内蕴 量 在 1827 年 的 时候 另外 一个 微分 几何 的 奠基者 那 就是 高斯 数学 王子 高斯 史上 最 伟大 的 这个 数学家 高斯 他 就 发现 了 另外 一个 内蕴 量 他 说 我们 可以 定义 高斯曲率 什么 叫 高斯曲率 呢 欧拉 不是 已经 说 了 吗 在 一个 曲面 上 的 点 上 有 主 曲率 一个 曲率 最大 一个 曲率 最小 叫 主 曲率 我们 把 两个 主 曲率 乘 起来 这个 就 叫做 高斯曲率 他 发现 在 等 长 变换 下 什么 叫 等 长 变换 呢 就是 在 这个 变换 的 过程 之中 它 的 这个 线段 的 长度 是 不会 变化 的 其实 就 类似 于 这 曲面 发生 了 弯曲 在 等 长 变换 下 这个 高斯 曲率 是 保持 不变 的 高斯曲率 保持 不变 的 意思 就是 说 当 你 这个 面 弯 了 之后 你 主 曲率 会 发生 变化 比如说 一个 平面 本来 主 曲率 都 是 0 你 这么 一弯 它 主 曲率 就 不是 0 了 但是 高斯曲率 也 就是 把 两个 主 曲率 乘起来 它 应该 是 保持 不变 的 高斯 就 发现 了 这 高斯曲率 是 个 内蕴 量 这句 话 我们 好好 解释 一下 比如 大家 看 我 这里 有 一个 比萨 比萨 它 实际上 一块 是 个 平面 吗 对 不 对 因此 它 每个 地方 的 高斯曲率 都 是 多少 刚才 说 过 了 是 0 对 不 对 那 我们 吃 比萨 的 时候 如果 说 这个 比萨 比较 长 它 就 会 弯 过来 对 不 对 它 一弯 咱们 看 这个 点 沿 这个 方向 上 它 的 主 曲率 已经 不是 0 了 但是 沿 这个 方向 还是 一条 直线 所以 说 它 的 高斯曲率 是 等于 一个 不是 0 的 数 乘以 0 还是 0 保持 不变 我们 吃 比萨 的 时候 也 可以 这样 吃 让 它 这样 折 一下 如果 你 要是 这样 折 的话 你 会 发现 沿着 这个 方向 它 已经 凹 进去 了 这个 主 曲率 不是 0 但是 沿 这个 方向 它 还是 一条 直线 所以 主 曲率 还是 0 这样 一来 的话 高斯曲率 依然 是 保持 不变 的 对 不 对 说完 了 比萨 咱们 再 来 说 一说 薯片 一般 的 薯片 都 是 这种 马鞍形 的 所以 我们 来看 薯片 的 正中 央 这个 部位 如果 沿 这个 方向 去 看 它 是 向 这边 弯 的 如果 要 沿 这个 方向 去 看 它 是 向 这边 弯 的 所以 这个 点 它 的 高斯曲率 不是 0 是 一 正 一 负 乘起来 之后 应该 是 个 负 的 虽然 说 这个 薯片 看起来 好像 没有 办法 弯 因为 你 一弯 它 就 碎 了 但是 很多 数学 上 的 这个 曲面 它 是 具有 无限 韧性 的 两个 看起来 完全 不 一样 的 曲面 它 有 可能 是 经过 弯折 得 出来 的 比如说 像 这个 悬链 面 和 螺旋面 它们 之间 其实 就是 等 长 变换 的 那 如果 说 我们 可以 把 这个 薯片 进行 这个 弯折 的话 那么 弯折 了 之后 你 会 发现 它 两个 主 曲率 都 变 了 但 它 的 乘积 这个 高斯曲率 它 是 不会 发生变化 的 也许 高斯 当年 发现 了 这件 事 之后 觉得 这个 定理 特别 的 神奇 于是 就 给 它 起 了 个 名字 叫做 高斯 绝妙 定理 多 说 一句 在 这个 高斯 和 欧拉 那个 时代 人们 研究 微分 几何 还是 古典 的 微分 几何 古典 的 微分 几何 后来 这个 高斯 有 一个 非常 优秀 的 学生 那 就是 黎曼 黎曼 又 把 这个 古典 微分 几何 进行 了 推广 就 创造 了 一种 几何 叫做 黎曼 几何 以前 我们 也 谈到 过 黎曼 这个 人 那么 爱因斯坦 在 创立 广义 相对论 的 过程 之中 就 受困 于 数学 觉得 好像 这个 空间 一旦 弯曲 了 用 欧几里得 几何 解释 不了 了 于是 就 求助 于 他 的 同学 数学家 格罗斯曼 而 格罗斯曼 就 把 这个 黎曼 几何 介绍 给 爱因斯坦 了 然后 爱因斯坦 一看 这个 黎曼 几何 真 好 于是 爱因斯坦 就 用 黎曼 几何 创立 了 广义 相对论 而且 爱因斯坦 还 慨叹 没想到 宇宙 的 真理 居然 是 隐藏 在 数学 当中 的 这个 数学 就 指 的 是 这个 黎曼 几何 那么 这个 高斯 绝妙 定理 到底 有 什么 用 呢 我们 来 介绍 一个 应用 比如说 我们 可以 研究 一下 说 哪 一个 曲面 是 可展 曲面 这个 其实 在 我们 的 生活 当中 还是 挺 有 意义 的 什么 叫 可展 曲面 呢 就是 这个 曲面 它 可以 展开 成 平面 我们 举个 例子 比如说 我们 都 吃 橘子 是 吧 橘子 那个 皮 你 把 它 扒开 之后 想 变成 一个 平面 那 是 做 不到 的 对 吧 为什么 橘子 皮 就 不能 扒开 成 一个 平面 呢 同样 道理 地球 也 是 一个 球体 你 如果 想 把 地球仪 上 的 图案 画 在 一个 平面 上 画 成 一个 平面 地图 那 是 做 不到 的 这个 原因 到底 是 什么 呢 咱们 琢磨 琢磨 所谓 可展 曲面 就是 可以 展开 成 平面 的 曲面 我们 先 来 看 一下 平面 平面 我们 刚才 刚刚 说 过 它 任何 一个 方向 的 主 曲率 都 是 0 所以 主 曲率 的 乘积 高斯曲率 也 必须 是 0 那么 在 你 展开 的 过程 之中 这个 平面 的 高斯曲率 是 不会 发生 变化 的 所以 如果 一个 面 它 是 可展 曲面 的话 可展 曲面 就是 可以 展开 成 平面 的 曲面 在 展开 的 过程 之中 高斯曲率 是 不会 变 的 所以 可展 曲面 也 必须 高斯曲率 是 0 高斯曲率 是 等于 两个 主 曲率 的 乘积 也就是说 两个 主 曲率 中 至少 有 一个 曲率 是 0 才行 换句话说 如果 你 想 把 一个 曲面 展开 成 平面 的话 那么 过 这个 曲面 的 任何 一个 点 都 至少 有 一条 直线 我们 来举 一个 例子 比如说 这个 圆柱体 它 就是 一个 可展 曲面 是 吧 我们 在 任何 一个 点 都 可以 画出 直线 来 比如 这条线 就是 直线 对 不 对 那么 这种 曲面 我们 把 它 沿着 任意 一个 方向 剪开 任意 一个 方向 我们 把 它 剪开 最后 你 会 发现 它 都 会 变成 一个 平面 对 不 对 就是 因为 它 过 任何 一点 都 存在 一条 直线 所以 它 的 高斯曲率 是 0 所以 就 可以 展开 你 再 比如 圆锥 你 说 这个 圆锥 它 能 不能 展开 成 一个 平面 呢 它 是 可以 的 为什么 呢 因为 你 在 任何 一个 点 你 都 会 找到 一条 母线 这个 母线 它 是 直线 既然 母线 就是 直线 就 说明 这个 圆锥 上 每 一个 点 高斯曲率 都 是 0 所以 我们 在 这个 圆锥 上 我 随便 剪 一刀 对 吧 我 随便 地 这个 剪 一刀 剪 完 了 之后 它 就 能够 展开 成 一个 平面 了 对 不 对 就 可以 展开 成 平面 了 但是 如果 是 一个 橘子 的话 你 就 会 发现 它 的 表面 没有 一条 直线 所以 你 把 它 剪开 之后 它 也 不 可能 变成 一个 平面 人们 在 高斯 之后 才 认识 到 这个 问题 在 高斯 之前 人们 画 世界 地图 总是 画 不准 而且 还 不 明白 为什么 高斯 之后 人们 才 明白 了 因为 地球 上 的 图案 是 不 可能 画 在 一张 平面 上 的 那 怎么 画 地图 呢 人们 采用 了 各种 方法 比如说 有 一种 叫做 墨卡托 投影 的方法 墨卡托 投影 墨卡托 投影 的 意思 是 说 虽然 我们 没有 办法 把 地球 上 的 图案 直接 放 在 一个 平面 上 但是 我们 可以 做 投影 比如 这 是 一个 地球 是 吧 我们 在 地球 外边 我 套 一个 圆柱 套个 圆柱 套 完 了 圆柱 之后 我 就 让 这个 地球 上 每一个 点 都 映射 到 这个 圆柱 上 是不是 然后 我们 再 把 这个 圆柱 给 展开 这 不 就 行 了 吗 对 吧 但是 这样 展开 之后 虽然 地图 能画 出来 但是 你 会 发现 很 奇怪 你 比如说 南北 两极 的 部位 它 的 那个 面积 会 扩大 的 很多 是 吧 格陵兰岛 看起来 比 非洲 还 大 这个 南极 大陆 看起来 比 欧亚大陆 还要 大 是 吧 这种 投影 它 是 有 一定 的 失真 的 那么 除了 地图 之外 现代 社会 人们 对于 美的 追求 越来越 高 了 所以 在 这个 设计 产品 上 设计 产品 上 很多 时候 也 需要 考虑 到 这个 曲面 是不是 可展 曲面 比如说 设计 跑车 设计 手机 的 外形 等等 你 设计 的 时候 总是 有 两个 思路 一个 思路 就是 你 可以 用 可展 的 这样 的 曲面 还有 一个 思路 就是 可以 用 不可 展 的 不可 展 的 这样 的 曲面 那么 可展 曲面 它 制造 起来 就 比较 容易 就是 我们 可以 先 造 一个 平 的 壳 然后 通过 某些 方法 把 它 压弯 这样 就 可以 造出来 了 是 吧 上色 也 比较 容易 比如说 我们 可以 采用 这个 彩色 膜片 贴合 技术 彩色 膜片 贴合 技术 什么 意思 呢 就是 我们 在 这个 玻璃 壳 底下 我们 垫 一张 这个 平 的 彩色片 然后 通过 一些 方法 一压 把 它 压弯 这个 紧紧 贴合 到 一起 就行了 但是 如果 想 做到 这 一点 你 必须 保证 这个 外壳 它 是 可展 曲面 就是说 它 虽然 是 弯曲 的 但 它 是 可以 展开 的 但 也 有 一些 手机 设计 它 就 不 走 寻常 路 非要 造出 一些 不可 展 的 曲面 来 比如说 OPPO 新出 了 一个 手机 叫 OPPO Find X3 这个 OPPO Find X3 它 的 这个 后壳 就是 采用 了 一个 不可 展 曲面 的 设计 我们 来 看 这个 手机 的 后 壳 设计 了 一种 比较 特殊 的 曲面 称之为 "环形山 " 这 两面 ( 口误 ) 它 的 高斯曲率 都 是 正 的 是 凸起来 的 到 了 这个 面 形成 了 一种 马鞍 的 形状 就是 凹 进去 的 所以 高斯曲率 是 负 的 那么 你 环绕 一圈 的 高斯曲率 就 一会 正 一会 负 设计师 在 做 这个 设计 的 时候 把 整个 弧面 分成 了 2000 多个 点 实现 了 这个 镜头 和 后 壳 的 完美 融合 实现 了 不 可能 曲面 的 设计 除了 设计 难 之外 另外 一个 难点 在于 制造 不管 你 这个 高斯曲率 是 正 的 还是 负 的 只要 你 不 为 0 你 就是 不能 展成 平面 的 只要 你 不能 展成 平面 的 必须 是 一次 成型 除了 摄像头 开孔 之外 整个 后壳 没有 任何 开孔 和 拼接 这 也 是 很多 旗舰机 所 追求 的 工艺 那么 在 上色 的 时候 也 不能 采用 这种 彩色 膜片 贴合 技术 的 因为 它 没有 办法 展开 所以 那样 做 的话 会 出现 气泡 那 我们 怎么办 呢 OPPO 的 工程师 采用 的 是 喷涂 树脂 液 镀膜 以及 喷 油墨 的 这种 方法 这种 技术 不光 能够 让 后 壳 看起来 鲜艳 明亮 而且 能够 在 手机 跌落 的时候 减少 手机 后壳 破碎 的 概率 不仅仅 是 手机 在 现在 的 生活 中 很多 设计师 都 善于 用 曲线 给 人 带来 美感 比如说 北京 有 许多 现代 的 建筑 像 北京 的 凤凰 国际 传媒 中心 大兴 国际 机场 望京 Soho 他们 的 设计师 都 用 了 大量 的 曲线 来 给 人 带来 美的 感受 这些 优美 的 建筑 都 凝聚 了 设计师 和 建造 者 们 的 心血 人们 越来越 发现 曲线 相比 于 直线 能够 给 人 带来 一种 特殊 的 美感 当 我们 在 欣赏 这些 美丽 的 产品 的 时候 也 不妨 想 一想 它 每 一个点 的 高斯曲率 是 正 的 还是 负 的 呢 因为 即便 有 一天 这些 建筑 和 产品 发生 了 扭曲 它 在 这 一点 的 高斯曲率 依然 是 不会 发生 变化 的 大家 如果 喜欢 我 的视频 可以 在 YouTube 账号 上 李永乐 老师 里 订阅 我 点击 小 铃铛 可以 第一 时间 获得 更新 信息

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香蕉皮 能 展 成 平面 吗 ？微分 几何 之 高斯 绝妙 定理 banana peel|can|unfold|into|plane|question marker|differential|geometry|of|Gauss|exquisite|theorem ¿Se puede extender una cáscara de plátano en un plano? Teorema de Gauss de la geometría diferencial de lo asombroso バナナの皮は平面に広げられるか？微分幾何学の驚異のガウスの定理 Can banana peels be unfolded into a flat surface? The wonderful theorem of Gauss in differential geometry.

各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师 everyone|students|everyone|good|I|am|Li Yongle|teacher Hello everyone, I am Teacher Li Yongle. 最近 有 一个 新闻 刷 爆 的 互联网 recently|have|one|news|brush|explode|attributive marker|internet Recently, there has been a news story that has gone viral on the internet. 说 是 中科大 26 岁 的 特 任 教授 陈杲 say|is|University of Science and Technology of China|years old|attributive marker|||professor|Chen Gao It is said that Chen Gao, a 26-year-old special professor at the University of Science and Technology of China. 在 复 微分 几何 领域 攻克 的 一个 世界 难题 in|complex|differential|geometry|field|conquer|attributive marker|one|world|problem A world problem tackled in the field of differential geometry. 有 小朋友 就 问 我 说 这 微分 几何 there is|children|then|ask|me|say|this|differential|geometry A child asked me what this differential geometry is. 到底 是 怎样 的 一门 学科 呢 exactly|is|how|attributive marker|one|subject|emphasis marker What kind of subject is it? 陈杲 教授 的 成果 又 是 什么 呢 Chen Gao|professor|attributive marker|achievements|again|is|what|emphasis marker What are Professor Chen Gao's achievements? 微分 几何 differential|geometry Differential Geometry 起源于 数学家 对于 曲线 和 曲面 的 研究 originated from|mathematicians|regarding|curves|and|surfaces|attributive marker|research Originated from mathematicians' study of curves and surfaces 如今 已经 成为 广义 相对论 的 基础 now|already|become|general|relativity|attributive marker|foundation Has now become the foundation of General Relativity 与 拓扑学 和 理论物理 密切 相关 with|topology|and|theoretical physics|closely|related Closely related to topology and theoretical physics 学过 微分 几何 的 小伙伴 都 知道 studied|differential|geometry|attributive marker|friends|all|know Friends who have studied differential geometry all know 这门 学科 特别 的 复杂 this|subject|especially|attributive marker|complex that this subject is particularly complex. 普通人 很难 理解 它 的 全貌 ordinary people|very difficult|understand|it|attributive marker|full picture It is very difficult for ordinary people to understand its entirety. 那 今天 我们 就 来 选 一个 微分 几何 中 that|today|we|just|come|choose|one|differential|geometry|in So today, let's choose a topic from differential geometry. 相对 比较 容易 理解 的 概念 relative|relatively|easy|understand|attributive marker|concept A relatively easy to understand concept 高斯 绝妙 定理 来 给 大家 体会 一下 Gauss|marvelous|theorem|to|give|everyone|experience|a bit Using Gauss's marvelous theorem to give everyone an experience 微分 几何 的 魅力 differential|geometry|attributive marker|charm The charm of differential geometry 为了 理解 高斯 绝妙 定理 in order to|understand|Gauss|exquisite|theorem In order to understand Gauss's marvelous theorem 我们 首先 先 来 了解 一个 平面几何 的 问题 we|first|first|come|understand|one|plane geometry|attributive marker|problem First, let's understand a problem in plane geometry. 叫做 曲率 还有 曲率 半径 is called|curvature|and also|curvature|radius It's called curvature and radius of curvature. 曲率 和 曲率 半径 什么 意思 curvature|and|curvature|radius|what|meaning What do curvature and radius of curvature mean? 我们 都 知道 圆 有 半径 we|all|know|circle|has|radius We all know that a circle has a radius. 那么 一个 曲线 有 半径 吗 so|one|curve|has|radius|question marker So does a curve have a radius? 我们 来看 这 是 一个 随便 画 的 一条 曲线 we|take a look|this|is|one|casually|drawn|attributive marker|one|curve Let's take a look at this is a randomly drawn curve. 那么 这 条 曲线 then|this|measure word for long|curve Now this curve, 它 不同 的 地方 弯曲 程度 是 不 一样 的 the degree of curvature is different in different places. 我们 就 想 比较 比如说 we|just|want|compare|for example We just want to compare, for example, 这个 点 A 这个 点 B 这个 点 C this|point|A|this|point|B|this|point|C this point A, this point B, this point C. 它 的 弯曲 的 程度 是 吧 it|attributive marker|curvature|attributive marker|degree|is|emphasis marker What is the degree of their curvature? 怎么 比较 呢 how|compare|emphasis marker How do we compare them? 人们 就 想了 个 方法 people|just|thought of|a|method People thought of a method. 我 可以 用 一个 圆 去 贴近 这个 曲线 I|can|use|one|circle|to|approximate|this|curve I can use a circle to approximate this curve. 如果 在 一个 很小 的 范围 内 if|in|one|very small|attributive marker|range|inside If within a very small range, 这个 圆 可以 和 曲线 密接 密接 this|circle|can|and|curve|be in close contact|close contact this circle can be tangent to the curve. 这个 地方 也 是 圆 和 曲线 的 密接 this|place|also|is|circle|and|curve|attributive marker|close connection This place is also closely related to circles and curves. 这个 地方 也 是 圆 和 曲线 可以 密接 this|place|also|is|circle|and|curve|can|be in close contact This place is also where circles and curves can be closely related. 那么 这样 的 圆 so|this way|attributive marker|round So this kind of circle. 我们 就 管 它 叫 曲线 这个 点 的 曲率 圆 we|just|call|it|named|curve|this|point|attributive marker|curvature|circle We call it the curvature circle of the curve at this point. 曲率 圆 curvature|circle Curvature Circle 就是 在 一个 点 可以 和 一个 平滑 曲线 密接 的 圆 just|at|one|point|can|and|one|smooth|curve|tangentially touch|attributive marker|circle is a circle that can be closely tangent to a smooth curve at a point. 数学 上 可以 证明 一个 平滑 曲线 上 mathematics|on|can|prove|one|smooth|curve|on Mathematically, it can be proven that on a smooth curve, 某 一个 点 的 曲率 圆 是 唯一 的 certain|one|point|attributive marker|curvature|circle|is|unique|attributive marker the curvature circle at a certain point is unique. 曲率 圆 它 不是 有个 半径 吗 Curvature circle, doesn't it have a radius? 曲率 圆 的 半径 curvature|circle|attributive marker|radius The radius of the curvature circle. 我们 就 管 它 叫 曲率 半径 we|just|manage|it|call|curvature|radius We just call it the radius of curvature. 我们 用 字母 ρ 来 表示 we|use|letter|rho|to|represent We use the letter ρ to represent it. 这 叫 曲率 半径 对 吧 this|is called|curvature|radius|right|tag question marker This is called the radius of curvature, right? 曲率 半径 我们 再 取个 倒数 就 叫做 曲率 curvature|radius|we|again|take a|reciprocal|then|is called|curvature If we take the reciprocal of the radius of curvature, it is called curvature. 曲率 k 它 就 等于 曲率 半径 的 倒数 curvature|k|it|just|equals|curvature|radius|attributive marker|reciprocal Curvature k is equal to the reciprocal of the radius of curvature. 有 了 曲率 和 曲率 半径 have|emphasis marker|curvature|and|curvature|radius We have curvature and radius of curvature. 我们 就 可以 比较 不同 的 点 它 的 弯折 程度 了 we|just|can|compare|different|attributive marker|points|its|attributive marker|bending|degree|emphasis marker We can compare the different points and their degree of bending. 咱们 来看 相比 来讲 we|to look at|compared to|to speak of Let's look at it comparatively. 这个 A 点 还是 平坦 一些 对 吧 this|||still|flat|a bit|right|tag question marker This point A is still a bit flatter, right? 这个 C 点 是 最 弯曲 的 this|||is|most|curved|attributive marker This point C is the most curved. 你 观察 一下 A 点 的 曲率 半径 怎么着 you|observe|a bit|||attributive marker|curvature|radius|how about Observe how the radius of curvature at point A is. A 点 的 曲率 圆 最大 The curvature circle at point A is the largest. 所以 A 点 的 曲率 半径 最大 对 不 对 so|||attributive marker|curvature|radius|maximum|correct|not|correct So the radius of curvature at point A is the largest, right? 曲率 半径 最大 的 时候 curvature|radius|maximum|attributive marker|time When the radius of curvature is the largest. 它 的 曲率 是不是 就 最小 it|attributive marker|curvature|is or not|just|minimum Is its curvature the smallest? 所以 曲率 半径 大 的 点 曲率 就 小 so|curvature|radius|large|attributive marker|point|curvature|then|small So points with a large radius of curvature have small curvature. 这样 的 点 我们 就 叫 它 平坦 或者 叫 平缓 this way|attributive marker|point|we|then|call|it|flat|or|call|gentle We call such points flat or gentle. 它 就 不 太 弯曲 对 吧 it|just|not|too|curved|right|tag question marker It is not too curved, right? 你 再 看 C C 它 曲率 圆 特别 小 you|again|look|C|C|it|curvature|circle|especially|small You look at C C, its curvature is particularly small. 它 曲率 半径 特别 小 it|curvature|radius|especially|small Its curvature radius is particularly small. 曲率 半径 特别 小 的话 curvature|radius|especially|small|if If the curvature radius is particularly small, 它 的 曲率 就 比较 大 对 吧 it|attributive marker|curvature|emphasis marker|relatively|large|right|tag question marker then its curvature is relatively large, right? 这样 的 点 就是 特别 的 弯曲 的 this way|attributive marker|point|is|especially|attributive marker|curved|attributive marker This kind of point is particularly curved. 所以 我们 就 记住 了 so|we|just|remember|emphasis marker So we remember it. 凡是 曲率 小 的 它 就 平坦 all|curvature|small|attributive marker|it|then|flat Anything with small curvature is flat. 曲率 大 的 它 就 弯曲 对 不 对 curvature|large|attributive marker|it|then|bend|correct|not|correct Anything with large curvature is curved, right? 我们 来看 一下 直线 的 曲率 半径 是 多大 we|take a look|a moment|straight line|attributive marker|curvature|radius|is|how big Let's take a look at how large the radius of curvature of a straight line is. 你 用 一个 圆 去 给 我 贴合 直线 you|use|one|circle|to|give|me|fit|line You use a circle to fit the straight line. 你 说 多大 的 圆 能 跟 直线 完全 贴上 you|say|how big|attributive marker|circle|can|with|line|completely|stick to What size circle can completely fit against the straight line? 是不是 得 无限大 的 圆 Doesn't it have to be an infinitely large circle? 所以 直线 它 的 曲率 半径 其实 是 无穷 的 so|line|it|attributive marker|curvature|radius|actually|is|infinite|attributive marker So the curvature radius of a straight line is actually infinite. 直线 的 曲率 半径 是 无穷大 line|attributive marker|curvature|radius|is|infinity The curvature radius of a straight line is infinite. 那么 直线 的 曲率 是 多少 then|straight line|attributive marker|curvature|is|how much So what is the curvature of a straight line? 直线 的 曲率 是 1/ρ 是 不 就 是 0 对 不 对 straight line|attributive marker|curvature|is|1/rho|is|not|then|is|correct|not|correct The curvature of a straight line is 1/ρ, which is 0, right? 我们 要 记住 了 直线 的 曲率 是 0 we|need to|remember|emphasis marker|straight line|attributive marker|curvature|is We must remember that the curvature of a straight line is 0. 因为 它 最 平坦 是不是 because|it|most|flat|is it or not Because it is the flattest, isn't it? 不仅如此 Not only that. 数学家 们 还 定义 了 这个 曲率 的 正负 mathematicians|plural marker|also|define|past tense marker|this|curvature|attributive marker|positive and negative Mathematicians also defined the positive and negative of this curvature. 比如 说 for example|say For example, 我们 定义 说 这个 曲线 向上 弯 曲率 是 负 的 we|define|say|this|curve|upwards|bend|curvature|is|negative|attributive marker we define that the curvature of this curve bending upwards is negative. 向下 弯曲 率 是 正 的 downward|curvature|rate|is|positive|attributive marker The curvature bending downwards is positive. 那 你 看 A 这个 点 that|you|look|A|this|point Now, look at point A. A这个 点 它 的 这个 弯折 程度 是 往 下 弯 的 |point|it|attributive marker|this|bend|degree|is|towards|down|bend|attributive marker This point bends downwards. 所以 我们 叫 它 曲率 是 正 的 so|we|call|it|curvature|is|positive|attributive marker So we call its curvature positive. B这个 点 它 往 上 弯 对 吧 |point|it|towards|up|bend|right|tag question marker This point bends upwards, right? 我们 管 它 叫 k 是 负 的 we|care|it|call|k|is|negative|attributive marker We call it k negative. C 这个 点 又 往 下 弯 C|this|point|again|towards|down|bend Point C bends down again. 我们 又 说 k 是 正 的 we|again|say|k|is|positive|attributive marker We say k is positive again. 那么 你 这 是 一个 平滑 曲线 then|you|this|is|a|smooth|curve Then this is a smooth curve. 你 的 曲率 能够 从 正 变 到 负 you|attributive marker|curvature|can|from|positive|change|to|negative Your curvature can change from positive to negative. 你 中间 一定 有 那么 一个 点 是 0 you|in the middle|definitely|have|such|one|point|is There must be a point in the middle that is 0. 也就是说 这 一点 that is to say|this|point In other words, this point. 它 是 一小 段 什么 线 直线 对 不 对 it|is|a small|section|what|line|straight line|correct|not|correct It is a small segment of some line, a straight line, right? 同样 道理 从 这个 点 k 是 负 的 same|reason|from|this|point|k|is|negative|attributive marker The same reasoning applies from this point k, which is negative. 变成 这个 点 k 是 正 的 become|this|point|k|is|positive|attributive marker The point k becomes positive. 中间 有 一个 点 k 应该 是 0 middle|have|one|point|k|should|be There is a point k in the middle that should be 0. 这 就是 曲率 的 正负 的 变化 This is the change in the sign of curvature. 好 我们 现在 已经 知道 了 good|we|now|already|know|emphasis marker Okay, we now know. 曲率 有大 有 小 有 正 有负 对 不 对 Curvature can be large or small, positive or negative, right or wrong. 下面 我们 要 升级 了 below|we|are going to|upgrade|emphasis marker Next, we are going to upgrade. 从 曲线 升级 到 曲面 from|curve|upgrade|to|surface We will upgrade from curves to surfaces. 我们 要 研究 一下 we|want|study|a bit We need to study this a bit. 主 曲率 的 概念 principal|curvature|attributive marker|concept The concept of principal curvature 什么 叫 主 曲率 呢 what|is called|principal|curvature|emphasis marker What is principal curvature? 我们 首先 来 看 这样 一个 香蕉 we|first|come|look|this kind of|one|banana First, let's look at this banana. 我们 知道 这 香蕉 的 表面 它 实际上 是 一个 曲面 we|know|this|banana|attributive marker|surface|it|actually|is|one|curved surface We know that the surface of this banana is actually a curved surface. 比如说 这个 点 吧 for example|this|point|emphasis marker For example, let's talk about this point. 你 沿 不同 方向 看 它 弯折 程度 不 一样 you|along|different|direction|look|it|bending|degree|not|the same If you look at it from different directions, the degree of bending is different. 你 要是 从 这个 方向 看 you|if|from|this|direction|look If you look at it from this direction, 它 是 有点 弯 it|is|a bit|bent it is a bit bent. 但是 你 要 从 这个 方向 看 but|you|need|from|this|direction|look But you have to look from this direction. 它 叫 特别 弯 对 不 对 it|is called|especially|curved|right|not|right It's called particularly curved, right? 所以 这个 方向 和 这个 方向 so|this|direction|and|this|direction So this direction and this direction, 它 是 具有 不同 的 曲率 的 it|is|has|different|attributive marker|curvature|attributive marker they have different curvatures. 我们 再 来 看 它 的 内侧 we|again|come|look|it|attributive marker|inner side Let's take a look at its inner side again. 内侧 就 更 搞笑 了 inner side|just|more|funny|emphasis marker The inner side is even funnier. 你 在 这个 方向 它 有点 弯 you|in|this|direction|it|a bit|bent In this direction, it is a bit bent. 而且 往 这边 弯 moreover|towards|this side|bend And it bends this way. 你 要是 在 这个 方向 它 很 弯 you|if|in|this|direction|it|very|curved If you go in this direction, it is very curved. 而且 往 这边 弯 moreover|towards|this side|bend And it bends this way. 它 不仅仅 是 弯折 的 程度 不 一样 it|not only|is|bending|attributive marker|degree|not|the same It's not just that the degree of bending is different. 它 连 弯折 的 方向 都 是 相反 的 对 不 对 it|even|bending|attributive marker|direction|all|is|opposite|attributive marker|correct|not|correct Even the direction of bending is opposite, right? 好 我们 知道 了 一个 物体 沿 不同 方向 good|we|know|emphasis marker|one|object|along|different|direction Okay, we know that an object has different curvatures in different directions. 会 有 不同 的 曲率 will|have|different|attributive marker|curvature We will have different curvatures. 我们 再 来 画 一个 图 we|again|come|draw|one|picture Let's draw a diagram again. 比如说 这 有 一个 烟囱 for example|this|has|one|chimney For example, there is a chimney. 这个 烟囱 腰里 系 两边 粗 是 吧 this|chimney|around the waist|tied|on both sides|thick|is|emphasis marker This chimney is tied around the waist, thick on both sides. 这 是 一个 这样 的 一个 烟囱 this|is|one|such|attributive marker|one|chimney This is a chimney like this. 好 那 现在 如果 我们 要是 横着 切 一刀 的话 good|then|now|if|we|if|horizontally|cut|one cut|then Well, now if we were to cut it horizontally. 我们 会 切出 一个 圆 we|will|cut out|one|circle We would cut out a circle. 它 是 往 这边 弯 的 it|is|towards|this side|bent|attributive marker It bends this way. 你 如果 竖 着 切 一刀 you|if|vertically|ongoing action marker|cut|one cut If you cut it straight down. 它 会 切出 这样 一个 边 来 对 不 对 it|can|cut out|this kind of|one|edge|to|right|not|right It will cut out this kind of edge, right? 它 是 往 左边 弯 的 跟 香蕉 的 内侧 是 有点 像 的 it|is|towards|left side|bent|attributive marker|with|banana|attributive marker|inner side|is|somewhat|like|attributive marker It bends to the left, which is somewhat similar to the inner side of a banana. 所以 在 1760 年 的 时候 so|at|year 1760|attributive marker|time So in the year 1760 微分 几何 有 一个 奠基者 名字 叫 欧拉 differential|geometry|has|one|founder|name|called|Euler there was a founder of differential geometry named Euler 欧拉 我们 已经 不 知道 提了 多少次 了 是 吧 Euler|we|already|not|know|raised|how many times|emphasis marker|is|tag question marker We don't know how many times we've mentioned Euler, right? 著名 的 数学家 欧拉 famous|attributive marker|mathematician|Euler The famous mathematician Euler 欧拉 就 提出 了 这样 一个 理论 Euler|just|proposed|past tense marker|such|one|theory Euler proposed such a theory. 他 就 说 我们 可以 用 不同 的 平面 去 切割 这个 曲面 he|then|said|we|can|use|different|attributive marker|plane|to|cut|this|surface He said that we can use different planes to cut this surface. 切割 它 切割 它 的 时候 cut|it|cut|it|attributive marker|time When cutting it, 沿 不同 方向 的 曲率 是 有 大 有 小 的 along|different|direction|attributive marker|curvature|is|have|large|have|small|attributive marker the curvature in different directions varies in size. 那么 在 曲率 最大 那个 方向 then|at|curvature|maximum|that|direction Then in the direction of maximum curvature 还有 曲率 最小 的 这个 方向 still|curvature|minimum|attributive marker|this|direction and in the direction of minimum curvature 我们 称之为 主 曲率 we|call it|main|curvature we call this principal curvature 这 两个 方向 我们 就 管 它 叫 主 方向 this|two|directions|we|just|call|it|named|main|direction These two directions we call principal directions 这 两个 平面 我们 就 管 它 叫 主平面 this|two|planes|we|just|call|it|named|main plane We will call these two planes the main planes. 主平面 就是 在 切割 这个 点 的 时候 principal plane|is|at|cutting|this|point|attributive marker|time The main planes are when cutting at this point. 那些 平面 里面 能 造 出 those|planes|inside|can|create|out Those planes can produce. 最大 曲率 和 最小 曲率 的 那 两个 平面 是 吧 maximum|curvature|and|minimum|curvature|attributive marker|those|two|planes|are|tag question marker The two planes with the maximum curvature and minimum curvature, right? 这 就 叫 主平面 this|just|called|main plane This is called the principal plane. 然后 欧拉 通过 数学 方法 证明 了 这样 一个 结论 then|Euler|through|mathematical|methods|prove|past tense marker|such|one|conclusion Then Euler proved such a conclusion through mathematical methods. 就是 两个 主平面 just|two|main plane That is, two principal planes. 为什么 两个 主平面 why|two|main planes Why two principal planes? 一个 k 最大 一个 k 最小 one|k|maximum|one|k|minimum One k maximum and one k minimum. 两个 主平面 之间 一定 是 怎么样 呢 two|principal planes|between|definitely|is|how|emphasis marker What must it be like between the two main planes? 一定 是 互相 垂直 的 definitely|is|mutually|perpendicular|attributive marker It must be mutually perpendicular. 这个 是 在 1760 年 的 时候 由 欧拉 证明 的 this|is|at|year|attributive marker|time|by|Euler|proved|attributive marker This was proven by Euler in 1760. 我们 举个 例子 we|give a|example Let's take an example. 比如 你 看 这 烟囱 for example|you|look|this|chimney For instance, look at this chimney. 这 烟囱 它 横 着 是 一个 主平面 this|chimney|it|horizontal|ongoing action marker|is|one|main plane This chimney has a main plane that is horizontal. 它 的 曲率 是 往 这边 最大 的 Its curvature is greatest in this direction. 然后 竖 着 切 又 是 一个 主平面 then|vertical|in the state of|cut|again|is|one|main plane Then cutting vertically is another main plane. 它 是 这个 曲率 往 那边 最大 it|is|this|curvature|towards|that side|maximum It has the maximum curvature in that direction. 它 俩 之间 是 互相 垂直 的 it|two|between|is|mutually|perpendicular|attributive marker The two are mutually perpendicular to each other. 一个 横着 切 的 面 一个 竖 着 切 的 面 one|horizontally|cut|attributive marker|surface|one|vertically|ongoing action marker|cut|attributive marker|surface One is a horizontally cut surface and the other is a vertically cut surface. 你 再 来 看 这个 香蕉 you|again|come|see|this|banana You come to see this banana again. 这个 香蕉 它 在 这个 点 这是 一个 主平面 this|banana|it|at|this|point|this is|one|main plane This banana is at this point; this is a main plane. 这 又 是 一个 主 平面 this|again|is|one|main|plane This is also a main plane. 它们 俩 也 是 互相 垂直 的 对 吧 they|two|also|are|mutually|perpendicular|attributive marker|correct|tag question marker The two of them are also perpendicular to each other, right? 好 那 主平面 之间 一定 是 互相 垂直 的 good|that|principal plane|between|definitely|is|mutually|perpendicular|attributive marker Okay, the main planes must be perpendicular to each other. 我们 再 来 看 如果 是 一个 平面 we|again|come|look|if|is|one|plane Let's look at it again if it is a plane. 平面 就是 它 不是 曲面 了 plane|is|it|is not|curved surface|emphasis marker A plane means it is not a curved surface. 平面 上 的 每 一个 点 plane|on|attributive marker|||point Every point on the plane. 它 的 主 方向 和 主平面 情况 又 如何 呢 it|attributive marker|main|direction|and|main plane|situation|again|how|question marker What about its main direction and main plane situation? 我 在 这里 画 一个 平面 I|at|here|draw|one|plane I will draw a plane here. 你 会 发现 不管 你 用 什么样 的 面 去 切割 这个 平面 you|will|find|no matter|you|use|what kind of|attributive marker|face|to|cut|this|plane You will find that no matter what kind of surface you use to cut this plane, 这个 平面 它 都 是 切出来 直线 this|plane|it|all|is|cut out|straight line this plane will always be cut into straight lines. 你 怎么 切 它 都 是 直线 you|how|cut|it|all|is|straight line No matter how you cut it, it's a straight line. 所以 对于 平面 来讲 so|regarding|plane|speaking So for a plane, 它 的 主 曲率 是 多少 呢 it|attributive marker|principal|curvature|is|how much|emphasis marker what is its principal curvature? 不管 是 最大 的 曲率 还是 最小 的 曲率 no matter|is|maximum|attributive marker|curvature|or|minimum|attributive marker|curvature Whether it's the maximum curvature or the minimum curvature. 都 是 0 对 不 对 all|is|correct|not|correct All are 0, right? 对于 平面 来讲 for|plane|speaking For a plane, 它 的 主 方向 是 任意 方向 it|attributive marker|main|direction|is|arbitrary|direction its principal direction is in any direction. 然后 它 的 主 曲率 都 是 0 then|it|attributive marker|principal|curvature|all|are Then its principal curvatures are all 0. 好 那么 主 曲率 这个 概念 我们 也 说完 了 good|then|main|curvature|this|concept|we|also|finish talking|emphasis marker Alright, then we have finished discussing the concept of principal curvature. 那 下面 我们 就 可以 来 介绍 高斯 绝妙 定理 了 that|below|we|then|can|to|introduce|Gauss|marvelous|theorem|emphasis marker Next, we can introduce the Gauss-Bonnet theorem. 高斯 绝妙 定理 Gauss|exquisite|theorem The Gauss-Bonnet theorem. 它 为什么 起 的 名字 这么 奇怪 呢 it|why|give|attributive marker|name|so|strange|emphasis marker Why does it have such a strange name? 什么 叫 高斯 绝妙 定理 呢 what|is called|Gauss|exquisite|theorem|emphasis marker What is the Gaussian exquisite theorem? 我们 知道 一条 直线 它 是 可以 画 在 一个 平面 里 的 we|know|one|straight line|it|is|can|draw|on|one|plane|in|attributive marker We know that a straight line can be drawn on a plane. 当然 你 在 这个 平面 里 of course|you|in|this|plane|inside Of course, you are on this plane. 你 这个 直线 也 是 可以 弯 的 you|this|straight line|also|is|can|bend|attributive marker This straight line can also be curved. 你 可以 让 这个 直线 弯 成 这个 样子 对 不 对 you|can|make|this|line|bend|into|this|shape|right|not|right You can bend this straight line into this shape, right? 但是 你 在 弯折 的 过程 之中 but|you|in|bending|attributive marker|process|in But during the process of bending, 这个 直线 的 长度 是 可以 不变 的 this|line|attributive marker|length|is|can|unchanged|attributive marker the length of this straight line can remain unchanged. 你 好像 把 一条线 在 平面 上 弯 一下 you|seem|put|one line|on|plane|on|bend|a bit It seems like you are bending a line on a plane. 这个 线 的 长度 它 是 不变 的 this|line|attributive marker|length|it|is|constant|attributive marker The length of this line is constant. 我们 可以 进而 让 这个 面 也 弯 起来 we|can|further|make|this|side|also|bend|up We can further make this surface bend as well. 就是 这个 面 上面 有 一条 直线 it is|this|surface|on top|there is|one|straight line There is a straight line on this surface. 但是 这个 面 它 本身 弯 了 对 不 对 but|this|side|it|itself|bent|emphasis marker|correct|not|correct But this surface itself is bent, right? 面 本身 弯 了 之后 呢 surface|itself|bent|past tense marker|after|emphasis marker After the surface itself is bent, 你 会 发现 这 条 直线 上 you|will|find|this|measure word for long objects|straight line|on you will find that on this straight line, 每个 点 的 曲率 就 不 一样 了 each|point|attributive marker|curvature|then|not|the same|emphasis marker the curvature of each point is different. 原来 是 直线 每个 点 曲率 都 是 0 originally|is|straight line|every|point|curvature|all|is Originally, the curvature of each point on a straight line is 0. 你 弯 了 之后 这个 曲率 就 不是 0 了 对 不 对 you|bend|past tense marker|after|this|curvature|then|is not|emphasis marker|correct|not|correct After you bend it, the curvature is no longer 0, right? 但是 这个 线段 它 的 长度 依然 是 不变 的 对 不 对 but|this|line segment|it|attributive marker|length|still|is|unchanged|attributive marker|right|not|right But the length of this line segment remains unchanged, right? 那 我们 就 说 呀 这个 长度 怎么着 that|we|just|say|emphasis marker|this|length|how about So we say, how about this length? 它 的 长度 实际上 是 与 it|attributive marker|length|actually|is|with Its length is actually related to 是 与 这个 曲面 它 弯曲 的 程度 is|and|this|surface|it|curvature|attributive marker|degree It is related to the degree to which this surface is curved. 是 与 这个 曲面 弯曲 的 程度 无关 的 is|with|this|surface|curvature|attributive marker|degree|unrelated|attributive marker It is unrelated to the degree of curvature of this surface. 不管 你 这个 曲面 怎么 弯 no matter|you|this|surface|how|bend No matter how you bend this surface, 反正 这个 直线 的 长度 都 是 不变 的 anyway|this|line|attributive marker|length|all|is|constant|attributive marker the length of this straight line remains unchanged. 这个 长度 与 弯曲 的 程度 无关 this|length|and|curvature|attributive marker|degree|unrelated This length is unrelated to the degree of curvature. 那 这样 的 量 我们 给 它 起个 名字 叫 内蕴 量 that|this kind of|attributive marker|quantity|we|give|it|give a|name|called|intrinsic|quantity So we give this quantity a name called intrinsic quantity. 很 显然 长度 是 个 内蕴 量 very|obviously|length|is|a|intrinsic|quantity It is obvious that length is an intrinsic quantity. 长度 它 与 这个 曲面 在 空间 中 的 弯曲 程度 length|it|with|this|surface|in|space|in|attributive marker|curvature|degree Length is related to the degree of curvature of this surface in space. 没有 关系 no|relationship It doesn't matter. 如果 其它 的 量 也 能够 与 弯曲 的 程度 没有 关系 的 If other quantities can also be unrelated to the degree of curvature, 那 我们 也 给 它 起个 名字 叫 内蕴 量 that|we|also|give|it|give a|name|called|intrinsic|quantity then we can also name it intrinsic quantity. 在 1827 年 的 时候 at|year 1827|attributive marker|time In the year 1827. 另外 一个 微分 几何 的 奠基者 additionally|one|differential|geometry|attributive marker|founder Additionally, a founder of differential geometry. 那 就是 高斯 数学 王子 高斯 that|is|Gauss|mathematics|prince|Gauss That is, the prince of mathematics, Gauss. 史上 最 伟大 的 这个 数学家 in history|most|great|attributive marker|this|mathematician This greatest mathematician in history. 高斯 他 就 发现 了 另外 一个 内蕴 量 Gauss|he|then|discovered|past tense marker|another|one|intrinsic|quantity Gauss discovered another intrinsic quantity. 他 说 我们 可以 定义 高斯曲率 he|said|we|can|define|Gaussian curvature He said we can define Gaussian curvature. 什么 叫 高斯曲率 呢 what|is called|Gaussian curvature|emphasis marker What is Gaussian curvature? 欧拉 不是 已经 说 了 吗 Euler|not|already|said|emphasis marker|question marker Didn't Euler already say it? 在 一个 曲面 上 的 点 上 有 主 曲率 at|one|surface|on|attributive marker|point|on|has|principal|curvature At a point on a surface, there are principal curvatures. 一个 曲率 最大 一个 曲率 最小 叫 主 曲率 one|curvature|maximum|one|curvature|minimum|is called|principal|curvature One is called the maximum curvature and the other is called the minimum curvature. 我们 把 两个 主 曲率 乘 起来 we|emphasis marker|two|principal|curvature|multiply|together We multiply the two principal curvatures. 这个 就 叫做 高斯曲率 this|just|is called|Gaussian curvature This is called Gaussian curvature. 他 发现 在 等 长 变换 下 he|discovered|in|etc|long|change|under He discovered that under isometric transformations. 什么 叫 等 长 变换 呢 what|is called|equal|length|transformation|emphasis marker What is meant by isometric transformation? 就是 在 这个 变换 的 过程 之中 it is|in|this|change|attributive marker|process|within It is during the process of this transformation. 它 的 这个 线段 的 长度 是 不会 变化 的 it|attributive marker|this|line segment|attributive marker|length|is|will not|change|attributive marker The length of this line segment will not change. 其实 就 类似 于 这 曲面 发生 了 弯曲 actually|just|similar|to|this|surface|happen|past tense marker|bending In fact, it is similar to the surface bending. 在 等 长 变换 下 这个 高斯 曲率 是 保持 不变 的 under|such as|length|transformation|under|this|Gaussian|curvature|is|remain|unchanged|attributive marker Under isometric transformations, this Gaussian curvature remains unchanged. 高斯曲率 保持 不变 的 意思 就是 说 Gaussian curvature|remain|unchanged|attributive marker|meaning|is saying|to say The fact that Gaussian curvature remains unchanged means that 当 你 这个 面 弯 了 之后 when|you|this|side|bend|past tense marker|after when this surface is bent, 你 主 曲率 会 发生 变化 you|main|curvature|will|happen|change its principal curvatures will change. 比如说 一个 平面 本来 主 曲率 都 是 0 for example|one|plane|originally|principal|curvature|all|is For example, a plane originally has a principal curvature of 0. 你 这么 一弯 它 主 曲率 就 不是 0 了 you|so|one bend|it|main|curvature|then|not|emphasis marker When you bend it, its principal curvature is no longer 0. 但是 高斯曲率 也 就是 把 两个 主 曲率 乘起来 but|Gaussian curvature|also|is|to|two|principal|curvatures|multiplied together However, Gaussian curvature is simply the product of the two principal curvatures. 它 应该 是 保持 不变 的 it|should|be|maintain|unchanged|attributive marker It should remain unchanged. 高斯 就 发现 了 这 高斯曲率 是 个 内蕴 量 Gauss|then|discovered|past tense marker|this|Gaussian curvature|is|a|intrinsic|quantity Gauss discovered that this Gaussian curvature is an intrinsic quantity. 这句 话 我们 好好 解释 一下 this sentence|words|we|properly|explain|a bit Let's explain this sentence carefully. 比如 大家 看 我 这里 有 一个 比萨 for example|everyone|look|I|here|have|one|pizza For example, everyone look, I have a pizza here. 比萨 它 实际上 一块 是 个 平面 吗 对 不 对 pizza|it|actually|one piece|is|a|flat surface|question marker|correct|not|correct Is the pizza actually a flat surface? Right or wrong? 因此 它 每个 地方 的 高斯曲率 都 是 多少 therefore|it|each|place|attributive marker|Gaussian curvature|all|is|how much So, what is the Gaussian curvature at each point? 刚才 说 过 了 just now|say|past tense marker|emphasis marker As mentioned just now, 是 0 对 不 对 is|correct|not|correct it is 0, right? 那 我们 吃 比萨 的 时候 that|we|eat|pizza|attributive marker|time Now, when we eat pizza, 如果 说 这个 比萨 比较 长 if|say|this|pizza|relatively|long If this pizza is relatively long 它 就 会 弯 过来 对 不 对 it|just|will|bend|over|right|not|correct it will bend over, right? 它 一弯 咱们 看 这个 点 it|one bend|we|look|this|point Once it bends, let's look at this point 沿 这个 方向 上 它 的 主 曲率 已经 不是 0 了 along|this|direction|on|its|attributive marker|principal|curvature|already|not|emphasis marker Along this direction, its principal curvature is no longer 0. 但是 沿 这个 方向 还是 一条 直线 but|along|this|direction|still|one|straight line But along this direction, it is still a straight line. 所以 说 它 的 高斯曲率 so|say|it|attributive marker|Gaussian curvature So it is said that its Gaussian curvature 是 等于 一个 不是 0 的 数 乘以 0 还是 0 is|equal to|one|not|attributive marker|number|multiplied by|or is equal to a non-zero number multiplied by 0, which is still 0. 保持 不变 to maintain|unchanged Remains unchanged. 我们 吃 比萨 的 时候 也 可以 这样 吃 we|eat|pizza|attributive marker|time|also|can|this way|eat We can eat pizza like this too. 让 它 这样 折 一下 let|it|this way|fold|once Let it fold like this. 如果 你 要是 这样 折 的话 你 会 发现 if|you|if|this way|fold|then|you|will|find If you fold it like this, you will find that. 沿着 这个 方向 它 已经 凹 进去 了 along|this|direction|it|already|concave|into|emphasis marker Along this direction, it has already caved in. 这个 主 曲率 不是 0 this|main|curvature|is not The principal curvature is not 0. 但是 沿 这个 方向 它 还是 一条 直线 but|along|this|direction|it|still|one|straight line However, in this direction, it is still a straight line. 所以 主 曲率 还是 0 so|main|curvature|still So the principal curvature is still 0. 这样 一来 的话 this way|once|if In this case, 高斯曲率 依然 是 保持 不变 的 对 不 对 Gaussian curvature|still|is|remain|unchanged|attributive marker|correct|not|correct Gaussian curvature is still invariant, right? 说完 了 比萨 咱们 再 来 说 一说 薯片 finish speaking|emphasis marker|pizza|we|again|come|talk|briefly|chips Having talked about pizza, let's talk about chips. 一般 的 薯片 都 是 这种 马鞍形 的 generally|attributive marker|potato chips|all|are|this kind of|saddle-shaped|attributive marker Regular chips are usually in this saddle shape. 所以 我们 来看 薯片 的 正中 央 这个 部位 so|we|to look at|potato chips|attributive marker|right in the|center|this|part So let's look at the center part of the chips. 如果 沿 这个 方向 去 看 它 是 向 这边 弯 的 if|along|this|direction|to|see|it|is|towards|this side|bent|attributive marker If you look at it in this direction, it bends this way. 如果 要 沿 这个 方向 去 看 它 是 向 这边 弯 的 if|want|along|this|direction|to|see|it|is|towards|this side|bent|attributive marker If you want to look at it in this direction, it bends this way. 所以 这个 点 它 的 高斯曲率 不是 0 so|this|point|it|attributive marker|Gaussian curvature|is not So the Gaussian curvature at this point is not 0. 是 一 正 一 负 is|one|positive|one|negative It is one positive and one negative. 乘起来 之后 应该 是 个 负 的 multiply|after|should|be|a|negative|attributive marker After multiplying, it should be a negative. 虽然 说 这个 薯片 看起来 好像 没有 办法 弯 although|say|this|chips|look like|seem|no|way|bend Although this chip looks like it can't bend. 因为 你 一弯 它 就 碎 了 because|you|one bend|it|then|break|emphasis marker Because if you bend it, it will break. 但是 很多 数学 上 的 这个 曲面 but|many|mathematics|on|attributive marker|this|surface But many mathematical surfaces are like this. 它 是 具有 无限 韧性 的 it|is|has|infinite|resilience|attributive marker It is infinitely resilient. 两个 看起来 完全 不 一样 的 曲面 two|look|completely|not|the same|attributive marker|surfaces Two surfaces that look completely different. 它 有 可能 是 经过 弯折 得 出来 的 it|has|possibility|is|through|bending|to|come out|attributive marker It could possibly be derived from bending. 比如说 像 这个 悬链 面 和 螺旋面 for example|like|this|hanging chain|surface|and|spiral surface For example, like this catenary surface and spiral surface. 它们 之间 其实 就是 等 长 变换 的 they|between|actually|just|such as|long|transformation|attributive marker What they actually have between them is a long transformation. 那 如果 说 that|if|say So if we say, 我们 可以 把 这个 薯片 进行 这个 弯折 的话 we|can|put|this|chips|carry out|this|bending|if we can bend this chip, 那么 弯折 了 之后 你 会 发现 then|bend|past tense marker|after|you|will|discover then after bending, you will find. 它 两个 主 曲率 都 变 了 it|two|principal|curvature|both|changed|emphasis marker Both of its principal curvatures have changed. 但 它 的 乘积 but|it|attributive marker|product But its product... 这个 高斯曲率 它 是 不会 发生变化 的 This Gaussian curvature will not change. 也许 高斯 当年 发现 了 这件 事 之后 perhaps|Gauss|back then|discovered|past tense marker|this|matter|after Perhaps Gaussian discovered this after all. 觉得 这个 定理 特别 的 神奇 feel|this|theorem|especially|attributive marker|magical I find this theorem particularly amazing. 于是 就 给 它 起 了 个 名字 叫做 高斯 绝妙 定理 so|then|give|it|start|past tense marker|one|name|called|Gauss|marvelous|theorem So I named it the Gauss's Wonderful Theorem. 多 说 一句 more|say|one sentence Let me add a few more words. 在 这个 高斯 和 欧拉 那个 时代 at|this|Gauss|and|Euler|that|era In the era of Gauss and Euler. 人们 研究 微分 几何 还是 古典 的 微分 几何 people|study|differential|geometry|or|classical|attributive marker|differential|geometry People study differential geometry or classical differential geometry. 古典 的 微分 几何 classical|attributive marker|differential|geometry Classical differential geometry. 后来 这个 高斯 有 一个 非常 优秀 的 学生 later|this|Gauss|has|one|very|outstanding|attributive marker|student Later, this Gauss had a very excellent student. 那 就是 黎曼 that|is exactly|Riemann That is Riemann. 黎曼 又 把 这个 古典 微分 几何 进行 了 推广 Riemann|also|emphasis marker|this|classical|differential|geometry|carry out|past tense marker|generalization Riemann also generalized this classical differential geometry. 就 创造 了 一种 几何 叫做 黎曼 几何 just|created|past tense marker|one kind of|geometry|called|Riemann|geometry He created a type of geometry called Riemannian geometry. 以前 我们 也 谈到 过 黎曼 这个 人 before|we|also|talked about|past tense marker|Riemann|this|person We have also talked about Riemann before. 那么 爱因斯坦 在 创立 广义 相对论 的 过程 之中 so|Einstein|in|establish|general|relativity|attributive marker|process|during So, during the process of Einstein establishing the general theory of relativity. 就 受困 于 数学 just|trapped|in|mathematics Just trapped in mathematics. 觉得 好像 这个 空间 一旦 弯曲 了 feel|seem|this|space|once|curved|emphasis marker It seems that once this space is curved. 用 欧几里得 几何 解释 不了 了 use|Euclidean|geometry|explain|cannot|emphasis marker It can no longer be explained by Euclidean geometry. 于是 就 求助 于 他 的 同学 数学家 格罗斯曼 so|then|sought help|from|his|attributive marker|classmate|mathematician|Grossmann So he sought help from his classmate, mathematician Grossmann. 而 格罗斯曼 就 把 这个 黎曼 几何 but|Grossmann|then|focus on|this|Riemann|geometry And Grossmann introduced this Riemann geometry. 介绍 给 爱因斯坦 了 introduce|to|Einstein|emphasis marker Then Einstein took a look. 然后 爱因斯坦 一看 then|Einstein|one look This Riemann geometry is really good. 这个 黎曼 几何 真 好 this|Riemann|geometry|really|good 于是 爱因斯坦 就 用 黎曼 几何 创立 了 广义 相对论 so|Einstein|then|used|Riemann|geometry|established|past tense marker|general|relativity theory So Einstein established the general theory of relativity using Riemannian geometry. 而且 爱因斯坦 还 慨叹 moreover|Einstein|also|lament Moreover, Einstein lamented. 没想到 宇宙 的 真理 居然 是 隐藏 在 数学 当中 的 did not expect|universe|attributive marker|truth|unexpectedly|is|hidden|in|mathematics|among|attributive marker He never expected that the truth of the universe was actually hidden in mathematics. 这个 数学 就 指 的 是 这个 黎曼 几何 this|mathematics|just|refer|attributive marker|is|this|Riemann|geometry This mathematics refers to Riemannian geometry. 那么 这个 高斯 绝妙 定理 到底 有 什么 用 呢 So what is the use of this marvelous Gaussian theorem? 我们 来 介绍 一个 应用 we|come|introduce|one|application Let's introduce an application. 比如说 我们 可以 研究 一下 for example|we|can|study|a bit For example, we can study. 说 哪 一个 曲面 是 可展 曲面 say|which|one|surface|is|developable|surface Which surface is a developable surface? 这个 其实 在 我们 的 生活 当中 还是 挺 有 意义 的 this|actually|in|our|attributive marker|life|among|still|quite|have|meaning|attributive marker This is actually quite meaningful in our lives. 什么 叫 可展 曲面 呢 what|is called|developable|surface|emphasis marker What is a developable surface? 就是 这个 曲面 它 可以 展开 成 平面 it is|this|surface|it|can|unfold|into|plane It is a surface that can be unfolded into a plane. 我们 举个 例子 比如说 我们 都 吃 橘子 是 吧 we|give a|example|for example|we|all|eat|oranges|is|right Let's take an example, for instance, we all eat oranges, right? 橘子 那个 皮 你 把 它 扒开 之后 想 变成 一个 平面 orange|that|skin|you|把|it|peel open|after|want|become|one|flat surface The orange, after you peel it, you want it to become a flat surface. 那 是 做 不到 的 对 吧 that|is|do|impossible|attributive marker|right|tag question marker That's not possible, right? 为什么 橘子 皮 就 不能 扒开 成 一个 平面 呢 why|orange|peel|just|cannot|peel open|into|one|flat surface|emphasis marker Why can't the orange peel be peeled into a flat surface? 同样 道理 地球 也 是 一个 球体 the same|reason|Earth|also|is|one|sphere For the same reason, the Earth is also a sphere. 你 如果 想 把 地球仪 上 的 图案 画 在 一个 平面 上 you|if|want|to|globe|on|attributive marker|pattern|draw|on|one|plane|on If you want to draw the patterns on the globe onto a flat surface 画 成 一个 平面 地图 draw|into|one|flat|map to create a flat map 那 是 做 不到 的 that is not possible. 这个 原因 到底 是 什么 呢 this|reason|exactly|is|what|emphasis marker What is the reason for this? 咱们 琢磨 琢磨 we|think about|ponder Let's think about it. 所谓 可展 曲面 就是 可以 展开 成 平面 的 曲面 so-called|developable|surface|is|can|unfold|into|plane|attributive marker|surface The so-called developable surface is a surface that can be unfolded into a plane. 我们 先 来 看 一下 平面 we|first|come|look|at once|plane First, let's take a look at the plane. 平面 我们 刚才 刚刚 说 过 plane|we|just now|just|say|past tense marker We just mentioned the plane. 它 任何 一个 方向 的 主 曲率 都 是 0 it|any|one|direction|attributive marker|principal|curvature|all|is Its principal curvature in any direction is 0. 所以 主 曲率 的 乘积 高斯曲率 也 必须 是 0 so|principal|curvature|attributive marker|product|Gaussian curvature|also|must|be Therefore, the product of the principal curvatures, the Gaussian curvature, must also be 0. 那么 在 你 展开 的 过程 之中 then|in|you|unfold|attributive marker|process|during So during your unfolding process, 这个 平面 的 高斯曲率 是 不会 发生 变化 的 this|plane|attributive marker|Gaussian curvature|is|will not|happen|change|attributive marker the Gaussian curvature of this plane will not change. 所以 如果 一个 面 它 是 可展 曲面 的话 so|if|one|surface|it|is|developable|curved surface|then So if a surface is a developable surface, 可展 曲面 就是 可以 展开 成 平面 的 曲面 developable|surface|that is|can|unfold|into|plane|attributive marker|surface a developable surface is one that can be unfolded into a plane. 在 展开 的 过程 之中 高斯曲率 是 不会 变 的 in|unfolding|attributive marker|process|during|Gaussian curvature|is|will not|change|attributive marker During the unfolding process, the Gaussian curvature does not change. 所以 可展 曲面 也 必须 高斯曲率 是 0 so|developable|surface|also|must|Gaussian curvature|is Therefore, a developable surface must also have a Gaussian curvature of 0. 高斯曲率 是 等于 两个 主 曲率 的 乘积 Gaussian curvature|is|equal to|two|principal|curvatures|attributive marker|product Gaussian curvature is equal to the product of the two principal curvatures. 也就是说 that is to say In other words, 两个 主 曲率 中 至少 有 一个 曲率 是 0 才行 two|principal|curvature|in|at least|have|one|curvature|is|is necessary at least one of the two principal curvatures must be 0. 换句话说 in other words In other words, 如果 你 想 把 一个 曲面 展开 成 平面 的话 if|you|want|to|one|surface|unfold|into|plane|if If you want to unfold a surface into a plane, 那么 过 这个 曲面 的 任何 一个 点 then|through|this|surface|attributive marker|any|one|point then through any point on this surface, 都 至少 有 一条 直线 all|at least|have|one|straight line there is at least one straight line. 我们 来举 一个 例子 Let's take an example. 比如说 这个 圆柱体 它 就是 一个 可展 曲面 是 吧 for example|this|cylinder|it|is|one|developable|surface|is|right For example, this cylinder is a developable surface, right? 我们 在 任何 一个 点 都 可以 画出 直线 来 we|at|any|one|point|all|can|draw out|straight line|to We can draw a straight line at any point. 比如 这条线 就是 直线 对 不 对 for example|this line|is|straight line|correct|not|correct For instance, this line is a straight line, isn't it? 那么 这种 曲面 我们 把 它 沿着 任意 一个 方向 剪开 then|this kind of|surface|we|put|it|along|any|one|direction|cut open Then we can cut this surface along any direction. 任意 一个 方向 我们 把 它 剪开 arbitrary|one|direction|we|put|it|cut open No matter which direction we cut it open. 最后 你 会 发现 它 都 会 变成 一个 平面 对 不 对 finally|you|will|find|it|all|will|become|one|plane|right|not|right In the end, you will find that it all becomes a plane, right? 就是 因为 它 过 任何 一点 都 存在 一条 直线 it is|because|it|past|any|point|all|exist|one|straight line It's because there exists a straight line through any point. 所以 它 的 高斯曲率 是 0 所以 就 可以 展开 so|it|attributive marker|Gaussian curvature|is|so|then|can|unfold Therefore, its Gaussian curvature is 0, so it can be unfolded. 你 再 比如 圆锥 you|again|for example|cone For example, a cone. 你 说 这个 圆锥 它 能 不能 展开 成 一个 平面 呢 you|say|this|cone|it|can|cannot|unfold|into|one|plane|question marker Can you say that this cone can be unfolded into a flat surface? 它 是 可以 的 it|is|can|emphasis marker It can. 为什么 呢 why|emphasis marker Why is that? 因为 你 在 任何 一个 点 你 都 会 找到 一条 母线 because|you|at|any|one|point|you|all|will|find|one|bus line Because at any point you will find a directrix. 这个 母线 它 是 直线 this|busbar|it|is|straight line This directrix is a straight line. 既然 母线 就是 直线 since|busbar|is|straight line Since the directrix is a straight line, 就 说明 这个 圆锥 上 每 一个 点 高斯曲率 都 是 0 just|explain|this|cone|on|every|one|point|Gaussian curvature|all|is it indicates that the Gaussian curvature at every point on this cone is 0. 所以 我们 在 这个 圆锥 上 我 随便 剪 一刀 对 吧 so|we|on|this|cone|on|I|randomly|cut|one cut|right|tag question marker So, on this cone, I can just cut it anywhere, right? 我 随便 地 这个 剪 一刀 I|casually|adverb marker|this|cut|one cut I can just cut it anywhere. 剪 完 了 之后 cut|finish|past tense marker|after After cutting it, 它 就 能够 展开 成 一个 平面 了 对 不 对 it|then|can|unfold|into|one|plane|emphasis marker|right|not|right it can unfold into a flat surface, right? 就 可以 展开 成 平面 了 just|can|unfold|into|plane|emphasis marker It can be unfolded into a plane. 但是 如果 是 一个 橘子 的话 but|if|is|one|orange|if it is But if it's an orange, 你 就 会 发现 它 的 表面 没有 一条 直线 you|just|will|discover|it|attributive marker|surface|no|one|straight line you will find that its surface has no straight lines. 所以 你 把 它 剪开 之后 so|you|put|it|cut open|after So after you cut it open, 它 也 不 可能 变成 一个 平面 it|also|not|possible|become|one|plane It also cannot become a plane. 人们 在 高斯 之后 才 认识 到 这个 问题 people|at|Gauss|after|only|realize|that|this|problem People only recognized this problem after Gauss. 在 高斯 之前 人们 画 世界 地图 总是 画 不准 at|Gauss|before|people|draw|world|map|always|draw|inaccurately Before Gauss, people always drew world maps inaccurately. 而且 还 不 明白 为什么 moreover|still|not|understand|why And they did not understand why. 高斯 之后 人们 才 明白 了 Gauss|after|people|only|understand|emphasis marker After Gauss, people finally understood. 因为 地球 上 的 图案 是 不 可能 画 在 一张 平面 上 的 because|Earth|on|attributive marker|pattern|is|not|possible|draw|on|one|plane|on|attributive marker Because the patterns on Earth cannot be drawn on a flat surface. 那 怎么 画 地图 呢 that|how|draw|map|question marker So how do we draw maps? 人们 采用 了 各种 方法 people|adopt|past tense marker|various|methods People have adopted various methods. 比如说 有 一种 叫做 墨卡托 投影 的方法 for example|there is|one kind|called|Mercator|projection|method For example, there is a method called the Mercator projection. 墨卡托 投影 Mercator|projection Mercator projection. 墨卡托 投影 的 意思 是 说 Mercator|projection|attributive marker|meaning|is|say The meaning of the Mercator projection is that. 虽然 我们 没有 办法 把 地球 上 的 图案 although|we|do not have|way|to|earth|on|attributive marker|patterns Although we cannot represent the patterns on the Earth. 直接 放 在 一个 平面 上 directly|place|on|one|plane|on Directly place it on a flat surface. 但是 我们 可以 做 投影 but|we|can|do|projection But we can do projections. 比如 这 是 一个 地球 是 吧 for example|this|is|one|Earth|is|right For example, this is a globe, right? 我们 在 地球 外边 我 套 一个 圆柱 套个 圆柱 we|at|earth|outside|I|put on|one|cylinder|put on a|cylinder We are outside the globe, and I put a cylinder around it. 套 完 了 圆柱 之后 cover|finish|emphasis marker|cylinder|after After wrapping the cylinder, 我 就 让 这个 地球 上 每一个 点 I|just|let|this|earth|on|every|point I let every point on this Earth 都 映射 到 这个 圆柱 上 是不是 all|map|to|this|cylinder|on|is it or not be mapped onto this cylinder, right? 然后 我们 再 把 这个 圆柱 给 展开 then|we|again|give|this|cylinder|to|unfold Then we unfold this cylinder. 这 不 就 行 了 吗 对 吧 this|not|just|fine|emphasis marker|question marker|right|suggestion marker Isn't this good enough, right? 但是 这样 展开 之后 but|this way|unfold|after But after expanding like this, 虽然 地图 能画 出来 但是 你 会 发现 很 奇怪 although the map can be drawn, you will find it very strange. 你 比如说 南北 两极 的 部位 you|for example|north and south|poles|attributive marker|location For example, the areas of the North and South Poles. 它 的 那个 面积 会 扩大 的 很多 是 吧 it|attributive marker|that|area|will|expand|attributive marker|a lot|is|tag question marker Its area will expand a lot, right? 格陵兰岛 看起来 比 非洲 还 大 Greenland|looks|than|Africa|even|big Greenland looks bigger than Africa. 这个 南极 大陆 看起来 比 欧亚大陆 还要 大 是 吧 this|Antarctic|continent|looks|than|Eurasian continent|even|big|is|right This Antarctic continent looks bigger than the Eurasian continent, right? 这种 投影 它 是 有 一定 的 失真 的 this kind of|projection|it|is|has|certain|attributive marker|distortion|attributive marker This type of projection has a certain degree of distortion. 那么 除了 地图 之外 then|apart from|map|outside of So, besides the map, 现代 社会 人们 对于 美的 追求 越来越 高 了 modern|society|people|towards|beauty|pursuit|more and more|high|emphasis marker the pursuit of beauty by people in modern society is getting higher and higher. 所以 在 这个 设计 产品 上 设计 产品 上 Therefore, in this design product, 很多 时候 many|times many times. 也 需要 考虑 到 这个 曲面 是不是 可展 曲面 also|need|consider|to|this|surface|whether or not|developable|surface Also need to consider whether this surface is a developable surface. 比如说 设计 跑车 设计 手机 的 外形 等等 for example|design|sports car|design|mobile phone|attributive marker|shape|etc For example, designing the shape of a sports car or a mobile phone, etc. 你 设计 的 时候 总是 有 两个 思路 you|design|attributive marker|time|always|have|two|ideas When you design, there are always two approaches. 一个 思路 就是 你 可以 用 可展 的 这样 的 曲面 one|idea|is|you|can|use|expandable|attributive marker|such|attributive marker|surface One approach is that you can use a developable surface like this. 还有 一个 思路 就是 可以 用 不可 展 的 still|one|idea|that is|can|use|not|expand|attributive marker Another idea is that we can use non-developable surfaces. 不可 展 的 这样 的 曲面 not possible|expand|attributive marker|such|attributive marker|curved surface Non-developable surfaces like this. 那么 可展 曲面 它 制造 起来 就 比较 容易 then|deployable|curved surface|it|manufacture|up|just|relatively|easy Then developable surfaces are relatively easier to manufacture. 就是 我们 可以 先 造 一个 平 的 壳 just|we|can|first|build|one|flat|attributive marker|shell That is, we can first create a flat shell. 然后 通过 某些 方法 把 它 压弯 then|through|certain|methods|to|it|bend Then, bend it using certain methods. 这样 就 可以 造出来 了 是 吧 this way|then|can|create|emphasis marker|is|tag question marker This way, it can be created, right? 上色 也 比较 容易 coloring|also|relatively|easy Coloring is also relatively easy. 比如说 我们 可以 采用 这个 彩色 膜片 贴合 技术 for example|we|can|adopt|this|color|film|bonding|technology For example, we can use this colored film lamination technology. 彩色 膜片 贴合 技术 color|film|bonding|technology Color film lamination technology 什么 意思 呢 what|meaning|emphasis marker What does it mean? 就是 我们 在 这个 玻璃 壳 底下 just|we|at|this|glass|shell|under It means that we place a flat colored film underneath this glass shell. 我们 垫 一张 这个 平 的 彩色片 we|place|one|this|flat|attributive marker|colored paper We put a flat colored sheet under it. 然后 通过 一些 方法 一压 把 它 压弯 then|through|some|methods|one press|to|it|bend Then, by using some methods, bend it. 这个 紧紧 贴合 到 一起 就行了 this|tightly|fit|to|together|that's enough It just needs to fit tightly together. 但是 如果 想 做到 这 一点 but|if|want|achieve|this|point But if you want to achieve this, 你 必须 保证 这个 外壳 它 是 可展 曲面 you|must|guarantee|this|shell|it|is|deployable|surface you must ensure that this shell is a developable surface. 就是说 它 虽然 是 弯曲 的 但 它 是 可以 展开 的 That is to say, although it is curved, it can be unfolded. 但 也 有 一些 手机 设计 它 就 不 走 寻常 路 but|also|have|some|mobile phone|design|it|just|not|follow|ordinary|path But there are also some phone designs that do not follow the usual path. 非要 造出 一些 不可 展 的 曲面 来 must|create|some|cannot|display|attributive marker|curved surface|to They insist on creating some non-unfoldable curves. 比如说 OPPO 新出 了 一个 手机 叫 OPPO Find X3 for example|OPPO|newly released|past tense marker|one|phone|called||| For example, OPPO has recently released a phone called OPPO Find X3. 这个 OPPO Find X3 它 的 这个 后壳 this||||it|attributive marker|this|back cover This OPPO Find X3 has this back cover. 就是 采用 了 一个 不可 展 曲面 的 设计 just|adopt|past tense marker|one|not allowed|expand|curved surface|attributive marker|design It adopts a non-expandable curved design. 我们 来 看 we|come|see Let's take a look. 这个 手机 的 后 壳 设计 了 一种 比较 特殊 的 曲面 this|phone|attributive marker|back|shell|design|past tense marker|one kind of|relatively|special|attributive marker|curve This phone's back cover features a relatively unique curve design. 称之为 "环形山 " called|ring-shaped mountain Referred to as "crater". 这 两面 ( 口误 ) 它 的 高斯曲率 都 是 正 的 是 凸起来 的 Both sides (a slip of the tongue) have positive Gaussian curvature, which means they are convex. 到 了 这个 面 形成 了 一种 马鞍 的 形状 to|emphasis marker|this|surface|form|past tense marker|one kind of|saddle|attributive marker|shape On this side, it forms a saddle shape. 就是 凹 进去 的 所以 高斯曲率 是 负 的 it is|concave|inward|attributive marker|therefore|Gaussian curvature|is|negative|attributive marker It is concave, so the Gaussian curvature is negative. 那么 你 环绕 一圈 的 高斯曲率 就 一会 正 一会 负 then|you|surround|one circle|attributive marker|Gaussian curvature|just|sometimes|positive|sometimes|negative Then the Gaussian curvature around you alternates between positive and negative. 设计师 在 做 这个 设计 的 时候 designer|at|doing|this|design|attributive marker|time The designer, when creating this design, 把 整个 弧面 分成 了 2000 多个 点 to|entire|curved surface|divide into|past tense marker|more than|points divided the entire curved surface into more than 2000 points. 实现 了 这个 镜头 和 后 壳 的 完美 融合 achieve|past tense marker|this|lens|and|back|shell|attributive marker|perfect|fusion This achieved a perfect integration of the lens and the rear shell. 实现 了 不 可能 曲面 的 设计 achieve|past tense marker|not|possible|surface|attributive marker|design Achieved the design of impossible surfaces. 除了 设计 难 之外 另外 一个 难点 在于 制造 apart from|design|difficult|besides|another|one|difficulty|lies in|manufacturing In addition to the difficulty of design, another challenge lies in manufacturing. 不管 你 这个 高斯曲率 是 正 的 还是 负 的 no matter|you|this|Gaussian curvature|is|positive|attributive marker|or|negative|attributive marker Regardless of whether your Gaussian curvature is positive or negative. 只要 你 不 为 0 你 就是 不能 展成 平面 的 as long as|you|not|be|you|just|cannot|unfold into|plane|attributive marker As long as it is not zero, you cannot unfold it into a plane. 只要 你 不能 展成 平面 的 必须 是 一次 成型 as long as|you|cannot|be formed into|plane|attributive marker|must|be|one-time|molding As long as you cannot form a flat surface, it must be molded in one piece. 除了 摄像头 开孔 之外 apart from|camera|opening|outside of Except for the camera opening. 整个 后壳 没有 任何 开孔 和 拼接 whole|back cover|no|any|openings|and|seams The entire back cover has no openings or seams. 这 也 是 很多 旗舰机 所 追求 的 工艺 this|also|is|many|flagship phones|that|pursue|attributive marker|craftsmanship This is also the craftsmanship that many flagship devices pursue. 那么 在 上色 的 时候 then|at|coloring|attributive marker|time So when coloring, 也 不能 采用 这种 彩色 膜片 贴合 技术 的 also|cannot|adopt|this kind of|color|film|bonding|technology|attributive marker we also cannot use this colored film lamination technology. 因为 它 没有 办法 展开 because|it|does not have|way|unfold Because it cannot be unfolded, 所以 那样 做 的话 会 出现 气泡 那 我们 怎么办 呢 so|that way|do|if|will|appear|bubbles|then|we|what to do|question marker if we do it that way, bubbles will appear. So what should we do? OPPO 的 工程师 采用 的 是 喷涂 树脂 液 The engineers at OPPO use a spray resin liquid. 镀膜 以及 喷 油墨 的 这种 方法 coating|and|spray|ink|attributive marker|this kind of|method This method involves coating and spraying ink. 这种 技术 不光 能够 让 后 壳 看起来 鲜艳 明亮 this|technology|not only|can|make|back|shell|look|bright|shiny This technology not only makes the back cover look bright and vibrant, 而且 能够 在 手机 跌落 的时候 moreover|be able to|at|phone|drop|when but also helps when the phone falls. 减少 手机 后壳 破碎 的 概率 reduce|phone|back cover|breakage|attributive marker|probability Reduce the probability of phone back cover breakage. 不仅仅 是 手机 在 现在 的 生活 中 not only|is|mobile phone|in|now|attributive marker|life|in It's not just about phones in today's life. 很多 设计师 都 善于 用 曲线 给 人 带来 美感 many|designers|all|good at|using|curves|to|people|bring|aesthetic feeling Many designers are good at using curves to bring beauty. 比如说 北京 有 许多 现代 的 建筑 for example|Beijing|has|many|modern|attributive marker|buildings For example, Beijing has many modern buildings. 像 北京 的 凤凰 国际 传媒 中心 like|Beijing|attributive marker|Phoenix|international|media|center Like the Phoenix International Media Center in Beijing 大兴 国际 机场 望京 Soho Daxing|international|airport|Wangjing|Soho Daxing International Airport Wangjing Soho 他们 的 设计师 they|attributive marker|designer Their designers 都 用 了 大量 的 曲线 来 给 人 带来 美的 感受 all|use|past tense marker|large amount|attributive marker|curves|to|give|people|bring|aesthetic|feelings All used a large number of curves to bring a sense of beauty to people 这些 优美 的 建筑 these|beautiful|attributive marker|buildings These beautiful buildings 都 凝聚 了 设计师 和 建造 者 们 的 心血 all|gather|past tense marker|designer|and|builder|person|plural marker|attributive marker|effort all embody the hard work of the designers and builders 人们 越来越 发现 曲线 相比 于 直线 people|increasingly|discover|curve|compared to|to|straight line People are increasingly discovering that curves, compared to straight lines, 能够 给 人 带来 一种 特殊 的 美感 can|give|people|bring|a kind of|special|attributive marker|aesthetic feeling can bring a special sense of beauty. 当 我们 在 欣赏 这些 美丽 的 产品 的 时候 when|we|at|appreciate|these|beautiful|attributive marker|products|attributive marker|time When we are admiring these beautiful products, 也 不妨 想 一想 also|might as well|think|think about it we might as well think about 它 每 一个点 的 高斯曲率 是 正 的 还是 负 的 呢 whether the Gaussian curvature at each point is positive or negative. 因为 即便 有 一天 这些 建筑 和 产品 发生 了 扭曲 because|even if|there are|one day|these|buildings|and|products|happen|past tense marker|distortion Because even if one day these buildings and products become distorted, 它 在 这 一点 的 高斯曲率 依然 是 不会 发生 变化 的 it|at|this|point|attributive marker|Gaussian curvature|still|is|will not|happen|change|attributive marker Its Gaussian curvature at this point will still not change. 大家 如果 喜欢 我 的视频 everyone|if|like|my|videos If everyone likes my video, 可以 在 YouTube 账号 上 李永乐 老师 里 订阅 我 can|on|||on|Li Yongle|teacher|in|subscribe|me you can subscribe to me on the YouTube account of Teacher Li Yongle. 点击 小 铃铛 可以 第一 时间 获得 更新 信息 click|small|bell|can|first|time|obtain|update|information Click the little bell to get updates as soon as possible.

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