一个 公式 理解 相对论 ：从 伽利略 变换 到 洛伦兹 变换 One formula to understand relativity: from Galilean to Lorentzian transformations

各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师 最近 燕山大学 的 一位 老师 发表文章 反对 相对论 引起 了 轩然大波 很多 小朋友 让 我 说 点 什么 无论 你 是 支持 相对论 还是 反对 相对论 最起码 你 得 知道 相对论 到底 讲 了 些 啥 吧 其实 狭义 相对论 一点 也 不 复杂 你 只要 听 20 分钟 掌握 我 所 讲 的 一个 公式 就 可以 看清 狭义 相对论 的 全貌 了 今天 我们 就 来讲 一讲 这个 问题 我们 首先 从 伽利略 变换 说起 Let’s start with the Galileo transformation 我们 知道 伽利略 被 称为 近代 科学 之 父 提出 了 很多 很 重要 的 物理 规律 比如说 他 有 一次 在 他 的 名著 《 关于 两种 世界 体系 的 对话 》 里 In "A Dialogue About Two World Systems" 讲 了 这样 一段话 他 说 假如 你 在 一个 匀速 行驶 的 轮船 上 你 会 发现 所有 的 物理 规律 跟 在 地面 上 是 一样 的 你 往前 跳 或者 往后 跳 绝对 不会 比 地面 上 跳 得 更 远 或者 更近 Never jump farther or closer than on the ground 如果 桅杆 上 一滴水 掉下来 的话 也 一定 会 落到 桅杆 的 正下方 而 不会 往前 或者 往后 虽然 在 这 段时间 内船 已经 往前 运行 了 很多 距离 Although the ship has traveled a lot during this time 这个 实际上 就 已经 具有 了 朴素 的 相对性 原理 那么 后人 根据 伽利略 的 观点 总结 成 了 伽利略 变换 它 的 意思 是 在 不同 参考系 下 观察 同 一件 事 它 的 坐标 有 什么样 的 变化 我们 举个 例子 比如说 地面 上 我 可以 建立 一个 坐标 有 一个 原点 然后 向 右边 是 x 轴 然后 在 地面 上 有 一辆 汽车 这辆 汽车 最 开始 是从 原点 出发 的 往前走 走 了 一段时间 就 走 到 这 了 所以 我们 可以 说 如果 我们 说 假设 你 的 时间 是 t' 车 的 速度 是 v 那 你 应该 走到 vt' 是不是 就 到 了 这个 位置 然后 我 以车 为 原点 再 建立 一个 坐标系 这个 坐标系 就 叫 x' 好 那么 在 车 开到 这个 位置 的 时候 突然 之间 发生 了 一件 事 这件 事 可以 是 各种各样 的 事件 举个 例子 比如 我 假设 这个 事 就是 天空 中有 一个 猴子 落下来 了 是 吧 天空 掉 了 一个 猴 出来 了 好 那么 我 就 想 问 这个 猴子 在 地面 参考系 下 看 它 有 一个 坐标 地面 参考系 一下 看 这个 猴子 的 位置 是 x 时间 是 t 而 在 这个 车厢 参考系 下 看 这个 猴子 它 的 位置 叫 x' 时间 叫 t' 请问 x t 和 x' t' 之间 有 什么 关系 呢 咱们 仔细 看 一下 首先 我们 假设 这个 猴子 比 这个 车厢 还要 靠前 一些 靠前 多少 呢 靠前 x' 是 吧 这个 猴子 落下来 的 时候 这个 车厢 的 时间 是 过 了 t' 而 在 地面 上 看 猴子 的 位置 应该 是 x 应该 是 这么 长 对 不 对 因为 地面 的 原点 在 这 车厢 的 原点 在 这 它 原点 不 一样 所以 显而易见 我们 可以 得出结论 地面 上 的 猴子 位置 等于 在 车厢 看来 猴子 的 位置 加上 这 段时间 内 车厢 往前走 的 距离 对 不 对 好 这 就是 第一个 变换 公式 那么 第二个 变换 公式 就是 在 地面 参考系 下 看来 猴子 落下 的 时间 和 车厢 参考系 下 看 猴子 落下 的 时间 什么 关系 呢 时间 跟 参考系 没有 关系 对 吧 你 在 哪个 参考系 下 看 猴子 落下 都 是 同样 的 时间 所以 t 等于 t' 好 那么 这 两个 公式 合 起来 其实 就 称之为 伽利略 变换 就是 你 在 车厢 参考系 下 看 猴子 落下来 这件 事 它 的 位置 是 x' 时间 是 t' 在 地面 上 看 是 x 和 t 它们 之间 的 满足 这样 一种 变换 关系 伽利略 变换 它 是 符合 生活 逻辑 的 比如说 一辆车 在 地面 上 以 100 米 每秒 的 速度 运动 你 在 车上 往前 以 50 米 每秒 的 速度 奔跑 那么 你 相对 于 地面 就是 150 米 每秒 是 吧 这是 非常 符合 逻辑 的 所以 伽利略 变换 在 很多年 以来 被 人们 认为 是 无需 证明 显而易见 的 而且 伽利略 变换 还有 一个 很 好 的 地方 就是 力学 规律 在 伽利略 变换 下 是 保持 不变 的 力学 规律 在 伽利略 变换 下 在 伽利略 变换 下 是 保持 不变 的 保持 不变 我们 也 可以 管它 叫 协变 We can also call it covariance 就是 协变 的 说 力学 规律 在 伽利略 变换 下 保持 不变 是 什么 意思 我们 举个 例子 比如 最 重要 的 力学 规律 那 就是 牛顿定律 了 牛顿定律 牛顿定律 里边 基础性 的 叫做 F=ma 牛顿 第二 定律 一个 物体 的 受力 等于 它 的 质量 再 乘以 它 的 加速度 对 不 对 好 咱们 思考 一下 这个 猴子 假如 受到 了 一个 力 的 作用 而 向前 加速 的话 你 在 地面 上 看 它 有 一个 力 它 有 个 质量 它 有 个 加速度 你 在 车厢 上 看 力 首先 是 不变 的 对 不 对 你 不管 在 什么 参考系 下 看 受力 都 是 一样 的 质量 也 是 不变 的 吧 加速度 呢 因为 这个 车厢 是 匀速 往前走 的 速度 是 v 所以 车厢 没有 加速度 因此 在 车厢 上 看 还是 在 地面 上 看 猴子 的 加速度 也 是 不变 的 因此 你 在 两个 参考系 下 看 F=ma 都 是 保持 不变 的 这 就 叫 协变 是 吧 就 牛顿定律 保持 不变 这个 保持 不变 的 性质 就 叫做 协变 就是 你 换 了 参考系 之后 这 公式 它 还是 成立 的 好 虽然 力学 规律 在 伽利略 变换 下 保持 不变 但是 后来 人们 发现 了 一个 问题 这个 问题 就是 当 麦克斯韦 提出 了 麦克斯韦 方程组 之后 人们 发现 说 这个 电磁学 规律 电磁学 规律 在 这个 伽利略 变换 下 就 和 力学 规律 不 一样 了 电磁学 规律 在 伽利略 变换 下 它 不是 保持 不变 的 或者说 叫 不 协变 力学 规律 是 协变 的 所以 你 在 这个 轮船 上面 如果 轮船 匀速运动 的话 你 没有 办法 通过 力学 实验 来 判定 这个 船 到底 是 静止 的 还是 运动 的 因为 这个 力学 规律 是 协变 的 但是 如果 你 去 做 电磁学 实验 的话 理论 上 来讲 你 好像 是 能够 确定 这个 轮船 的 速度 为什么 呢 因为 人们 发现 通过 这个 麦克斯韦 方程组 麦氏 方程组 可以 推导 出光 的 速度 可以 推导 出 光速 来 这个 光速 经过 推导 就是 3×10⁸m/s 这时候 就 会 有 问题 了 你 这个 3×10⁸m/s 是 确定 无误 的 好 那么 假如 我换 一个 参考系 的话 比如说 我 在 车厢 上 发一 道光 速度 是 3×10⁸m/s 那 我 在 地面 上 看 这个 光 的 速度 就 应该 快 一点 对 不 对 因为 你 车 还 在 往前 跑 着 但 实际上 麦克斯韦 方程组 却 告诉 我们 好像 地面 上 也 是 这个 数 这 不 就 矛盾 了 吗 那么 面对 这个 矛盾 人们 有 这么 三种 解决方案 第一种 解决方案 就是 认为 麦克斯韦 方程组 不太 对劲儿 它 是 一个 不 完备 的 方程 你 如果 再 把 它 补充 完备 了 麦克斯韦 方程组 就 会 像 牛顿定律 一样 协变 了 但是 这种 想法 没有 得到 很多 科学家 的 支持 大部分 人 都 认为 麦克斯韦 方式 组是 非常 完美 的 是 吧 那 既然 麦克斯韦 方程组 没 问题 什么 有 问题 呢 有人 可能 会 觉得 协 变性 有 问题 所谓 协 变性 有 问题 的 意思 就是 我们 不 需要 在 所有 参考系 下 物理 规律 都 相同 也就是说 应该 有 一种 特殊 的 参考系 这个 特殊 的 参考系 下 光速 是 3×10⁸m/s 你 换 了 个 参考系 之后 这 光速 就 不是 这个 数 了 这个 意思 其实 就 代表 了 光有 一种 坐标系 那 就是 以太 That is ether 于是 人们 就 开始 去 寻找 光 的 参考系 以太 So people began to look for the ether, the reference frame of light 找 了 好长 好长时间 也 没有 找到 以太 所以 第二个 思路 又 断 了 那么 最后 只能 把 这个 矛盾 指向 伽利略 变换 了 是不是 在 不同 参考系 下 这 物体 的 坐标 和 时间 不是 满足 伽利略 变换 的 呢 在 这个 时候 最早 作出贡献 的 人 叫做 洛伦兹 所以 我们 管 这种 变换 叫做 洛伦兹 变换 洛伦兹 变换 最早 的 时候 洛伦兹 是 为了 解释 为什么 我们 找 不到 光 的 参考系 找 不到 以太 而 所 提出 的 一种 理论 他 说 因为 在 物体 运动 的 时候 它 长度 会 收缩 相对 于 以太 运动 的 时候 长度 会 收缩 所以 你 才 没 找 着 实际上 以太 是 存在 的 后来 洛伦兹 又 把 它 进行 了 细化 一点儿 就 做出 了 一种 变换 这种 变换 下 麦克斯韦 方程组 就 协变 了 就 你 换个 参考系 麦克斯韦 方程组 还是 成立 的 这 叫 协变 是 吧 但是 洛伦兹 的 理解 是 错误 的 洛伦兹 认为 以太 是 存在 的 我 只是 通过 这种 变换 来 解决 一些 矛盾 点 所以 洛伦兹 虽然 正确 地 提出 了 变换 但 他 的 理解 是 错误 的 爱因斯坦 后来 提出 了 狭义 相对论 爱因斯坦 提出 狭义 相对论 的 时候 他 的 想法 跟 洛伦兹 完全 不 一样 爱因斯坦 认为 以太 根本 就 不 存在 是 吧 所有 的 参考系 都 是 平权 的 那么 他 也 可以 得出 同样 的 结论 洛伦兹 一看 我 靠 你 怎么 跟 我 的 结论 是 一样 呢 你 跟 我 的 这个 理解 又 不 一样 所以 洛伦兹 说 你 不要 管 你 的 变换 叫 洛伦兹 变换 你 管 你 的 变换 叫 相对论 对 吧 这个 相对论 这 三个 字 是 洛伦兹 给 爱因斯坦 起 的 爱因斯坦 一看 这 三个 字 还行 于是 就 一直 用 下来 了 是 吧 其实 这个 变换 最早 是 洛伦兹 提出 的 但是 洛伦兹 没有 进行 正确 的 解释 所以 我们 认为 相对论 的确 还是 爱因斯坦 提出 来 的 那么 爱因斯坦 到底 提出 哪些 说法 呢 爱因斯坦 提出 了 两个 基本 假设 相对论 的 相对论 的 基本 假设 The basic assumptions of relativity 爱因斯坦 提出 的 这 两个 基本 假设 是 什么 呢 第一条 就 叫 相对性 原理 他 说 任何 惯性 参考系 下 所有 的 物理 规律 都 是 协变 的 就是 麦克斯韦 方程组 你 在 地面 上 你 成立 你 换成 车厢 你 也 应该 成立 对 吧 你 在 地面 上算出 光速 是 3×10⁸ 你 在 车厢 运动 的 时候 你算出 光速 还是 这个 值 所有 的 物理 规律 在 不同 的 惯性 参考系 下 都 是 协变 的 这 是 他 提出 的 第一条 假设 第二条 假设 就是 什么 光速 在 真空 中是 保持 不变 的 光速 在 真空 中是 保持 不变 的 这 就 叫 光速 不变 原理 就是说 假如 有 一辆车 发出 的 一 道光 你 相对 于 车厢 去 看 这 道光 的 速度 是 3×10⁸ 你 相对 于 地面 来看 它 还是 是 吧 为什么 这样 做 呢 因为 它 必须 要 满足 相对性 原理 你 满足 相对性 原理 的话 麦克斯韦 方程组 在 不同 参考系 下 都 成立 你算出 的 光速 只能 是 相同 的 对 不 对 所以 第二条 假设 跟 第一条 假设 它 是 融洽 的 它 不是 互相矛盾 的 有 了 这 两条 基本 假设 我们 就 可以 研究 一下 如何 去 理解 相对论 了 我们 来看 从 这 两条 基本 假设 出发 推导 洛伦兹 变换 大家 注意 这是 爱因斯坦 提出 的 方法 不是 洛伦兹 的 方法 因为 洛伦兹 的 理解 是 错 的 好 咱们 来看 这样 一件 事儿 我们 已经 知道 了 一个 事件 x t 和 x' t' 我们 想求 它们 之间 的 关系 那么 上面 这个 变换 关系 它 是 不 正确 的 但是 我们 认为 这 两个 参考系 之间 进行 变换 的 时候 一定 是 线性变换 的 所以 我们 假设 x=k'(x'+vt') 什么 意思 呢 就是 原来 你 的 这个 伽利略 变换 不是 直接 x'+vt' 吗 对 吧 我 现在 进行 一下 伸缩 乘 一个 系数 k' 为什么 乘 一个 系数 因为 我 认为 它 还是 线性 的 对 吧 好 反过来说 那 x' 等于 什么 呢 在 车厢 看来 x' 应该 等于 k(x-vt) 大家 注意 这个 左右两个 式子 的 区别 第一个 区别 就是 加号 变 减号 了 原因 是 什么 呢 因为 车厢 相对 于 地面 以 速度 v 向 右 跑 所以 地面 相对 于 车厢 以 速度 v 向 左 跑 所以 它 方向 不 一样 因此 会 有 个 负号 其次 就是 第一个 式子 的 右侧 全都 是 带 ' 的 表示 这些 数都 是 在 车厢 参考 下 看算 出来 的 第二个 式子 它 右边 都 是 不带 ' 的 就 表示 这些 数都 是 在 地面 参考系 下 看 对 吧 得 出来 的 结果 好 我们 再 想 根据 相对性 原理 它 是 没有 一个 参考系 它 是 特殊 的 那 既然如此 的话 我们 应该 得出 这样 的 结论 k 等于 k' 这 俩 系数 不 应该 有 什么 区别 你 就是 换 了 个 参考系 它 不 应该 有 什么 区别 这是 第一个 第二个 就是 根据 光速 不变 原理 咱们 想一想 假如 在 最 开始 的 时候 在 这个 车厢 和 原点 重合 的 时候 我 就 发射 了 一 道光 发射 了 一 道光 等 这 道光 打 到 猴子 的 时候 猴子 刚好 出现 我 再 重说 一遍 就是 在 车厢 位于 原点 时 在 这个 位置 发出 一 道光 然后 这 道光 经过 一段时间 刚好 打中 了 猴子 咱们 思考 这个 事 这个 事 如果 在 车厢 看来 是 什么 样子 的 在 车厢 看来 这个 光 的 速度 是 c 经过 的 时间 是 t' 然后 打到 了 猴子 对 不 对 所以 在 车厢 看来 这个 猴子 的 坐标 x' 就 应该 等于 ct' 在 车厢 看来 就是 这样 对 吧 你 在 车厢 这儿 发了 一 道光 经过 了 时间 t' 这个 打中 了 一个 猴子 所以 猴子 的 位置 就 应该 是 c 乘以 t' 你 在 地面 上 看来 也 是 一样 的 你 在 地面 上 看来 的 时候 你 也 是 发 了 一 道光 你 这 道光 经过 一段时间 t 打中 了 猴子 所以 x 也 等于 ct 这 就是 利用 光速 不变 原理 得 出来 的 结论 现在 我们 把 这 几个 式子 结合 一下 你 看一看 会 得出 什么 神奇 的 事 马上 就 发生 了 我们 让 这 两个 式子 相乘 左边 乘 左边 右边 乘 右边 xx'=kk'(x'+vt')(x'-vt') 然后 我们 做 一件 事 把 这个 x 和 x' 换成 ct' 和 ct c²tt'=kk'(c+v)(c-v)tt' 你 看 是不是 这个 道理 对 吧 然后 你 再 把 这 左右 两边 的 这个 t 和 t' 你 把 它 约 了 t 和 t' 约 了 那么 你 就 会 发现 原来 kk' 是 可以 得出 一个 结论 的 对 不 对 所以 从 这个 我们 就 写 到 右侧 你 就 可以 得 出来 kk' 它 其实 是 等于 c²/(c²-v²) 好 你 不要 忘 了 这个 k 是 等于 k' 对 不 对 所以 我们 就 说 k=k'=1/(1-(v/c)²) 好 这样一来 我们 就 得出 了 这个 系数 系数 有 了 我们 再代 回去 就 得到 了 洛伦兹 变换 的 表达式 x=(x'+vt')/√(1-(v/c)²) 反过来 x'=(x-vt)/√(1-(v/c)²) 这个 就 叫做 洛伦兹 变换 也 就是 你 告诉 了 我 x' 和 t' 我 怎么 求出 x 你 告诉 我 x 和 t 我 怎么 求出 x' 而且 你 会 发现 这 里面 有 四个 变量 x x' t 和 t' 你 既然 可以 用 t 和 t' 表示 出 x x' 你 也 可以 反过来 解 对 不 对 反解 你 就 可以 反解出 两个 式子 来 就是 t=(t'+vx'/c²)/√(1-(v/c)²) 以及 t'=(t-vx/c²)/√(1-(v/c)²) 就 会 得出 这么 四个 式子 来 有 同学 可能 会 觉得 这 四个 式子 非常复杂 实际上 它 就 只有 一个 你 只要 得出 第一个 剩下 的 不是 通过 对称性 得到 的 就是 通过 反解 得到 的 而 这个 式子 表示 什么 含义 呢 这个 式子 的 含义 就是说 你 在 车厢 参考系 下 看 看到 一件 事 这 事 比如 猴子 掉下来 了 这个 事 它 的 坐标 是 x' 时间 是 t' 你 换 到 地面 参考系 下 看 它 的 坐标 变成 这个 样子 同样 道理 它 的 时间 呢 它 的 时间 变成 这个 样子 是不是 所以 我们 就 可以 从 一个 参考系 下 发生 的 事件 换 到 另外 一个 参考系 下 看 本质 上 来讲 它 和 这种 伽利略 变换 的 意思 是 差不多 的 只不过 它 比 伽利略 变换 多 了 一个 系数 看到 了 吗 多 了 底下 这个 系数 多 了 一个 叫做 洛伦兹 因子 的 东西 好 那么 现在 这个 变换 我们 已经 知道 了 有 了 这个 变换 狭义 相对论 你 基本上 就 了解 了 为什么 这么 说 呢 我们 可以 说 狭义 相对论 有 很多 很 神奇 的 这个 结论 但是 这些 结论 其实 你 都 是 可以 看作 是 通过 洛伦兹 变换 得 出来 的 比如说 第一个 叫做 同时 的 相对性 同时 的 相对性 Simultaneous relativity 也就是说 你 在 一个 参考系 下 看 同时 发生 的 事 你 换 一个 参考系 下 看 它 不 同时 这个 怎么 理解 呢 很 简单 比如说 我 在 地面 上 看 同时 发生 的 事 地面 上 看 同时 发生 那 就是 t 不变 对 不 对 t 是 相同 的 比如说 我令 t=0 这 就 表示 的 是 地面 是 同时 发生 的 那么 你 在 车厢 看来 t' 等于 什么 呢 你 看 这 公式 在 这 吗 t' 等于 如果 地面 上 t=0 的话 t'=-vx/c²×1/√(1-(v/c)²) 是 这么 一个 表达式 这 告诉 我们 什么 这 告诉 我们 在 不同 的 位置 它 的 时间 是 不 一样 的 是不是 你 越 往前 你 这个 时间 就 越早 就是 你 在 地面 上 看来 这 一趟 都 是 钟表 这些 钟表 都 是 同样 时刻 的 但是 你 在 车厢 看来 这些 钟表 不是 同样 时刻 的 越 往前 那个 钟 它 的 时刻 应该 越小 它 走 得 应该 越慢 才 对 这 就 叫 同时 的 相对性 一个 参考系 下 看来 同时 发生 的 事 另外 一个 参考系 下 看来 不是 同时 发生 的 好 咱们 再 比如说 还有 一个 我们 常说 的 叫做 什么 呢 叫做 尺缩 效应 尺缩 效应 什么 叫 尺缩 效应 呢 就是 一个 尺子 如果 它 不动 的话 它 是 L₀ 这么 长 如果 它 一动 起来 长度 就 变短 了 这是 为什么 呢 其实 也 很 简单 你 看 假如 这里 有 一把 尺子 这 把 尺子 正在 以 速度 v 运动 那么 我 在 地面 上 我 需要 进行 测量 我 需要 进行 测量 测量 的 时候 我 在 同一个 时刻 比如说 地面 上 的 时刻 t₁ 和 t₂ 是 相等 的 我 必须 在 同一个 时刻 测 所以 我 在 地面 上 看 这个 时间 t₁ 和 t₂ 是 完全 一样 的 然后 我要 测量 此时 的 地面 上 看 它 坐标 x₁ 和 x₂ 我们 用 x₂ 和 x₁ 做差 We use x₂ and x₁ to make the difference 就是 我 地面 上测 出来 的 这个 尺子 的 长度 叫 L 所以 我们 就 说 地面 上测 出来 的 这个 长度 叫 L=x₂-x₁ 是不是 当然 我们 在 尺子 本身 来看 这个 尺子 本身 来看 它 是 往前 运动 的 所以 它 自身 有 一个 长度 这个 自己 感觉 的 长度 叫做 本征 长度 L₀ 它 为什么 叫 本征 长度 呢 因为 它 就是 自己 本身 在 相对 于 自己 静止 的 参考系 下 看 你 的 长度 地面 上 看 这个 尺子 在 运动 所以 地面 上测 的 叫 非本征 长度 尺子 自己 看 尺子 不 动 所以 尺子 测量 的 叫 本征 长度 那 尺子 测量 的 本征 长度 怎么 测 呢 很 简单 本征 长度 就 等于 你 在 尺子 参考系 下 看 头有 一个 坐标 尾有 一个 坐标 你 用 x₂'-x₁' 这 不 就行了 吗 对 不 对 那么 x₂'-x₁' 是 什么 呢 咱们 看 x'=(x-vt)/√(1-(v/c)²) 所以 你 把 这个 代入 到 这里 边去 你 就 会 发现 L₀ 它 其实 等于 (x₂-x₁)/√(1-(v/c)²) x₂-x₁ 就是 L 吧 所以 它 就 等于 L/√(1-(v/c)²) 把 这个 公式 倒 过来 写 L 就 等于 L₀×√(1-(v/c)²) 这 说明 你 原本 的 本征 长度 或者说 L₀ 这个 叫 本征 长度 你 的 本征 长度 是 L₀ 的话 那么 你 在 运动 起来 之后 地面 上 看起来 你 的 长度 会 缩短 这 不 就是 尺缩 效应 吗 它 就是 因为 这个 洛伦兹 变换 得 出来 的 那么 洛伦兹 变换 又 是因为 有 两条 基本 假设 它 之所以 要 讲 这 两条 基本 假设 它 是 为了 解释 为什么 麦克斯韦 方程组 它 不是 协变 的 为了 解释 这个 问题 是不是 所以 它 整个 是 非常 连贯 非常 自洽 的 咱们 继续 看 还有 一个 很 有意思 的 现象 叫做 慢钟 效应 慢钟 效应 慢钟 效应 是 什么 意思 呢 就是 在 地面 上 比如说 有 一个 人 他 拿 着 一个 钟 拿 着 个 钟 此刻 这个 钟有 一个 示数 然后 这个 人 往前 奔跑 速度 是 v 过 了 一会 这个 人 看 这个 钟 它 又 有 一个 示数 好 那么 现在 我们 在 这个 人 本身 来看 这个 人 本身 拿 着 这个 钟 所以 这个 人 看来 的 示数 变化 就 叫 本征 时间 这个 人 是 跟 这个 钟 一起 跑 的 相当于 钟 静止 的 对 不 对 那么 此时 你 会 发现 这个 钟 的 示数 原来 叫 t₁' 后来 叫 t₂' 因此 我们 说 相对 于 这个 钟 而言 就 相当于 人 而言 这个 本征 时间 t₀ 应该 等于 t₂'-t₁' 这个 时间 是 本征 时间 为什么 叫 本征 时间 就是 我 这个 参考系 相对 于钟 是 静止 的 但是 地面 上 看来 可不是 这个 样子 的 地面 上 看来 它 这个 时钟 t 应该 等于 t₂-t₁ t₁ 和 t₁ 分别 是 什么 呢 分别 是 在 地面 上 看来 这钟 的 两个 示数 对 吧 那么 请问 t₂-t₁ 和 t₂'-t₁' 之间 有 什么样 的 关系 呢 你 就要 注意 了 因为 这个 钟 一直 拿 在 人 的 手里 所以 有 两个 数是 相等 的 那 就是 x₁' 和 x₂' 这个 钟 在 人 的 手里 位置 没有 发生变化 所以 实际上 x₁' 是 等于 x₂' 的 好 那 现在 我们 来看 一下 应该 代入 哪个 公式 在 x₁' 相等 的 情况 下 我们 找 一个 公式 想算 t₂-t₁ t₂-t₁ 用 这个 公式 x' 是 相等 的 所以 t₂-t₁ 在 做 差 的 时候 这 一项 就 没 了 对 不 对 所以 它 就 直接 等于 什么 呢 它 就 直接 等于 (t₂'-t₁')/√(1-(v/c)²) 是 这个 结果 吧 咱们 来看 这个 时间 叫做 t 这个 叫做 本征 时间 t₀ 所以 我们 改写 一下 没 地方 写 了 换个 地方 我 改写 一下 那 就 变成 了 t=t₀/√(1-(v/c)²) 这 就 说明 这个 t₀ 的 时间 是 本征 时间 这个 本征 时间 比较 短 一旦 你 运动 起来 的话 你 就 会 变成 非本征 时间 在 地面 上 看 是非 本征 时间 这个 非本征 时间 它 就 比较 长 那 不 就是 什么 所谓 的 慢钟 效应 对 不 对 所以 你 会 发现 其实 相对论 的 逻辑 是 非常 非常 自洽 的 如果 你 了解 一点 相对论 的话 你 就 会 发现 它 只 需要 从 两条 基本 假设 出发 就 可以 重塑 我们 整个 的 时空观 这 就 好像 是 欧几里得 从 几个 基本 假设 出发 构建 了 整个 的 欧几里得 几何学 一样 完美 当然 你 如果 认为 狭义 相对论 只是 一种 数学 游戏 的话 那么 爱因斯坦 还 在 1915 年 的 时候 提出 了 广义 相对论 并且 爱因斯坦 还 自己 提出 了 三种 可以 验证 广义 相对论 的 实验 最终 都 证明 爱因斯坦 是 正确 的 到 目前为止 还 没有 任何 一个 理论 能够 代替 相对论 去 解释 如此 复杂 的 宇宙 现象 那么 关于 广义 相对论 的 实验 证实 我们 会 在 下 一节课 再 给 大家 介绍 大家 如果 喜欢 我 的 的 视频 可以 在 YouTube 账号 李永乐 老师 订阅 我 点 小 铃铛 可以 第一 时间 获得 更新 信息