Μαθηματικά - Τα Τρίγωνα - Γ' & Δ' Δημοτικού Επ. 4 Mathematics - The Triangles - 3rd & 4th grade Ep. 4

--

Παιδάκια μου καλημέρα!

Το όνομά μου είναι Μίνα.

Είμαι δασκάλα και σήμερα βρίσκομαι εδώ για να προσπαθήσουμε να περάσουμε μαζί, I am a teacher and I am here today to try to get through together,

ευχάριστα και δημιουργικά, κάποιον από το χρόνο του πρωινού μας. pleasantly and creatively, someone from our breakfast time.

Σήμερα, λοιπόν, θα σας δείξω πώς μπορούμε, με απλά πράγματα που έχουμε όλοι στο σπίτι μας, So today, I'm going to show you how we can, with simple things we all have in our homes,

να φτιάξουμε κάτι, και από αυτό το κάτι να μάθουμε - και, συγκεκριμένα, τα τρίγωνα! to make something, and from that something to learn - and, in particular, triangles!

Για τον λόγο αυτό, εγώ έχω επιλέξει να χρησιμοποιήσω καλαμάκια διαφορετικών χρωμάτων For this reason, I have chosen to use straws of different colours

και, συγκεκριμένα, έχω επιλέξει να χρησιμοποιήσω πορτοκαλί, πράσινα και φούξια.

Σε δεύτερο χρόνο έχω κάνει το εξής: In the second year I have done the following:

έχω πάρει τα πορτοκαλί καλαμάκια (έχω πάρει τρία πορτοκαλί καλαμάκια) I have taken the orange straws (I have taken three orange straws)

και τα έχω κόψει στο ίδιο μήκος.

Είναι ίσα μεταξύ τους και, συγκεκριμένα, 15 εκατοστά. They are equal to each other and, in particular, 15 cm apart.

Το ίδιο έκανα και με τρία πράσινα καλαμάκια: τα έκοψα κι αυτά ίσα με 12 εκατοστά.

Και, επίσης, διάλεξα άλλα τρία φούξια καλαμάκια,

τα έκοψα και εκείνα στο ίδιο μήκος ίσο με 9 εκατοστά. I cut them to the same length of 9 cm.

Βέβαια, το μήκος αυτό είναι τυχαίο - κι εσείς μπορείτε να διαλέξετε κάποιο άλλο. Of course, this length is random - you can choose another one too.

Τα καλαμάκια μου αυτά, εγώ θα τα βαφτίσω "πλευρές" των τριγώνων - These straws of mine, I'm going to call them "sides" of the triangles -

ό,τι θέλω μπορώ να τα κάνω! Τα βαφτίζω, λοιπόν, πλευρές τριγώνων Whatever I want I can do! So I call them the sides of triangles

και θα προσπαθήσω με αυτά να φτιάξω τα είδη τριγώνων ως προς τις πλευρές τους. and I will try to use them to make the types of triangles in terms of their sides.

Ας δοκιμάσουμε πρώτα να φτιάξουμε ισόπλευρα τρίγωνα.

Ισόπλευρα - για να θυμηθούμε λίγο ποιά είναι αυτά τα "ισόπλευρα" τρίγωνα... Equilateral - to remind us a little what these "equilateral" triangles are...

Με βοηθάει πάρα πολύ η λέξη! The word helps me very much!

Ισόπλευρα σημαίνει ότι έχουν ίσες πλευρές - άρα εάν θέλω να φτιάξω ισόπλευρα τρίγωνα

πάρα πολύ εύκολα θα χρησιμοποιώ καλαμάκια που έχουν ίδιο χρώμα, άρα και ίδιο μήκος.

Ας πάρουμε λοιπόν τα τρία πορτοκάλι καλαμάκια

και ας φτιάξουμε ένα τρίγωνο.

Ας κάνουμε το ίδιο και με τα τρία πράσινα καλαμάκια - ένα δεύτερο...

Και ένα τρίτο με τα φούξια καλαμάκια.

φτιάξαμε, λοιπόν, τρία ισόπλευρα τρίγωνα τα οποία είμαστε σίγουροι ότι είναι ισόπλευρα τρίγωνα so we made three equilateral triangles which we are sure are equilateral triangles

γιατί οι πλευρές τους έχουν το ίδιο χρώμα και άρα το ίδιο μήκος.

Ας δοκιμάσουμε τώρα να φτιάξουμε τη δεύτερη ομάδα. Let's now try to build the second team.

Η δεύτερη ομάδα είναι τα ισοσκελή -

για να τα θυμηθούμε τα ισοσκελή! to remember the isosceles!

Με βοηθάει και εδώ η λέξη να καταλάβω ποιά λέμε "ισοσκελή": The word helps me here too to understand which one we call "isosceles":

είναι αυτά που έχουν ίσα σκέλη.

Α, αυτό, ξέρετε, μου θυμίζει τα σκέλη,

δηλαδή τα πόδια των ανθρώπων που είναι ίσα μεταξύ τους. that is, the legs of people who are equal to each other.

Κάπως ετσι Like this.

αυτές οι δύο πλευρές, λοιπόν, είναι ίσες.

Άρα ισοσκελή όντως λέμε τα τρίγωνα που έχουνε μόνο τις δύο πλευρές ίσες, όχι και τις τρεις.

Για να φτιάξω, λοιπόν, ένα ισοσκελες θα χρησιμοποιήσω μόνο δύο καλαμάκια ίδιου χρώματος

και ως τρίτη πλευρά θα βάλω ένα καλαμάκι που έχει διαφορετικό χρώμα - άρα διαφορετικό μήκος.

Ας δοκιμάσουμε να φτιαξουμε κι άλλο ένα.

Παίρνω δύο πράσινα καλαμάκια για να έχω τις δύο πλευρές ίσες,

βάζω μία τρίτη πλευρά και έφτιαξα ένα δεύτερο ισοσκελές -

και με αυτά που μου έμειναν εδώ and with what I have left here

φτιάχνω ένα τρίτο ισοσκελές τρίγωνο.

Παρατηρώντας τα, ξέρετε, αναρωτιέμαι: μήπως αν κάνουμε άλλους συνδυασμούς, Looking at them, you know, I wonder: maybe if we do other combinations,

θα μπορέσουμε να φτιάξουμε άλλα ισοσκελή τρίγωνα;

Για να δοκιμάσουμε να κάνουμε κάτι άλλο!

Αν, για παράδειγμα, κρατήσω τις δύο πλευρές ίσες και αφαιρέσω την τρίτη πλευρά...

Την αντικαταστήσω, για παράδειγμα, με τη φούξια. Replace it, for example, with fuchsia.

Όντως κατάφερα να φτιάξω ένα άλλο, διαφορετικό ισοσκελές τρίγωνο! I did manage to make another, different isosceles triangle!

Ή ας κάνω το ίδιο και με αυτά εδώ:

ας πάρω αυτή την πλευρά από εδώ let's get this side of here

κι ας βάλω αυτήν εδώ.

Έφτιαξα λοιπόν άλλα τρία - συνολικά έχω φτιάξει έξι ισοσκελή τρίγωνα. So I made three more - in total I have made six isosceles triangles.

Ας δοκιμάσουμε τώρα, λοιπόν, να φτιάξουμε και την τρίτη ομάδα που είναι τα σκαληνά τρίγωνα. So now let's try to make the third group, which is the scalene triangles.

Εδώ, δυστυχώς, αγάπες μου δεν βοηθάει πολύ η λέξη. Here, unfortunately, my darlings, the word doesn't help much.

Η λέξη "σκαληνά" δεν μου μαρτυράει τι μπορεί να είναι αυτά τα τρίγωνα,

αλλά θα δοκιμάσουμε να σκεφτούμε λίγο διαφορετικά. but we're going to try to think a little differently.

Ποιες περιπτώσεις έχουμε συνάντησει ως τώρα; What cases have we encountered so far?

Έχουμε συναντήσει τρίγωνα που έχουν και τις τρεις πλευρές ίσες.

Συναντήσαμε την περίπτωση που να έχουμε μόνο τις δύο πλευρές ίσες.

Άρα τι μας μένει; So what are we left with?

Μας μένει η περίπτωση να μην έχουν καμία πλευρά ίση με την άλλη, We are left with the possibility that neither side is equal to the other,

άρα όλες τους οι πλευρές να είναι άνισες.

Όντως, λοιπόν, σκαληνά είναι αυτά τα τρίγωνα που καμία πλευρα δεν είναι ίση με την άλλη.

Αυτό είναι πάρα πολύ εύκολο να το φτιάξουμε γιατί θέλουμε τρία καλαμάκια διαφορετικού χρώματος.

Μπορεί να φτιάξουμε, λοιπόν, ένα τέτοιο τρίγωνο. So we can make such a triangle.

Μπορούμε να φτιάξουμε ένα τέτοιο τρίγωνο ή ένα τέτοιο.

Μπορείτε να κάνετε όποιους συνδυασμούς θέλετε.

Νάτα, λοιπόν, τα τρία σκαληνά.

Αν θέλουμε, λοιπόν, να μαζέψουμε πάλι όλα αυτά που είπαμε, θα ξέρουμε τα εξής: So, if we want to put together again what we have said, we will know the following:

έχουμε τρίγωνα ισόπλευρα, που και οι τρεις πλευρές τους είναι ίσες.

έχουμε τρίγωνα ισοσκελή, που οι δύο πλευρές τους είναι ίσες.

Και έχουμε τρίγωνα σκαληνά, που καμία πλευρά τους δεν είναι ίση με την άλλη.

Το τρίγωνο, όμως, εκτός από πλευρές έχει και γωνίες.

Εμένα, ξέρετε, όταν μου λένε "γωνία", το πρώτο πράγμα που έρχεται στο μυαλό μου είναι μία ορθή γωνία,

σαν αυτήν εδώ που θα φτιάξω τώρα πάλι με τα καλαμάκια μου. like the one I'm about to make again with my straws.

Είναι μία γωνία 90 μοιρών και οι πλευρές της είναι κάθετες η μία με την άλλη.

Βέβαια όταν θα μεγαλώσετε, θα μάθετε πώς να κατασκευάσετε σωστά μια ορθή γωνία - Of course, when you grow up, you will learn how to correctly construct a right angle -

σαν αληθινοί γεωμέτρες, με αληθινά γεωμετρικά όργανα. like real geometers, with real geometric instruments.

Ωστόσο, προς το παρόν θα αρκεστούμε στα καλαμάκια - However, for now, we'll settle for the straws -

κι αυτή εδώ είναι μια εικόνα ορθής γωνίας η οποία μπορεί να είναι έτσι, and this is a right angle picture which can look like this,

μπορεί να είναι έτσι,

μπορεί να είναι έτσι

ή μπορεί να είναι και έτσι.

Ξαναγύρίζουμε, λοιπόν, στην ορθή γωνία και θα προσπαθήσω να κάνω το εξής: So we're back to the right angle and I'll try to do the following:

Εάν αρχίσω να κλείνω λίγο το ένα καλαμάκι, παρατηρώ ότι η γωνία μου αρχίζει If I start to close one straw a little bit, I notice that my angle starts to

και μικραίνει και μάλιστα μπορώ να την μικρύνω όσο θέλω εγώ. and it's getting smaller and I can even make it as small as I want.

Αυτή η γωνία που βλέπετε σίγουρα ότι είναι μικρότερη από 90 μοίρες, λέγεται "οξεία" γωνία

και, όπως φαντάζεστε, όπως νομίζω ότι καταλαβαίνετε, and, as you can imagine, as I think you understand,

όπως μπορώ να την μικρύνω το ίδιο μπορώ και να τη μεγαλώσω. as I can make it smaller, so can I make it bigger.

Ξαναγυρίζω, λοιπόν, στην ορθή μου γωνία και αρχίζω να την ανοίγω: So I go back to my right angle and start to open it:

η γωνία μου μεγάλωσε, έγινε μεγαλύτερη από 90 μοίρες και η γωνία αυτή λέγεται "αμβλεία γωνία".

Ας ξαναγυρίσουμε, λοιπόν, στα τρίγωνά μας. So let's go back to our triangles.

Αν φτιάξω μία ορθή γωνία

και χρησιμοποιήσω ένα τρίτο καλαμάκι για να φτιάξω ένα τρίγωνο με αυτή την γωνία,

το τρίγωνό μου αυτό, παιδιά, ονομάζεται "ορθογώνιο" -

για τον απλούστατο λόγο ότι έχει μια ορθή γωνία.

Αν χρησιμοποιήσω τα καλαμάκια μου για να φτιάξω τώρα μια οξεία γωνία, όπως αυτή εδώ,

και σχηματίσω με αυτήν ένα τρίγωνο σαν αυτό,

τότε το τρίγωνο αυτό λέγεται "οξυγώνιο" επειδή ακριβώς έχει οξείες γωνίες. then this triangle is called "acute" because it has acute angles.

Ας δοκιμάσω να κάνω το ίδιο και με μία αμβλεία γωνία.

Φτιάχνω, λοιπόν, μία αμβλεία γωνία, πάλι με τα καλαμάκια μου.

Χρησιμοποιώ ένα τρίτο για να φτιάξω το τρίγωνο.

Και νάτο, ένα τρίγωνο το οποίο έχει αμβλεία γωνία - άρα, όπως μαντεύετε, ονομάζεται αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Κι αυτά, πάρα πολύ απλά, είναι τα είδη των τριγώνων όσον αφορά τις γωνίες. And these, very simply, are the kinds of triangles in terms of angles.

Για να τα ξαναπούμε λίγο! Let's go over it again!

Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις:

ή θα έχετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, όπως αυτό εδώ, με ορθή γωνία,

ή θα έχετε ένα οξυγώνιο, το οποίο θα έχει οξείες γωνίες -

και υπάρχει και η τελευταία περίπτωση, να έχετε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο, το οποίο θα έχει μία αμβλεία γωνία.

Εδώ θα ήθελα να σας πω ένα μυστικό. Here I would like to tell you a secret.

Λοιπόν, ακούστε! Στον κόσμο των τριγώνων επικρατεί ένας νόμος.

Ο νόμος αυτός λέει το εξής:

το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με 180 μοίρες -

ούτε μια παρακάτω ούτε μια παραπάνω! not one below and not one above!

Ο νόμος αυτός είναι απαράβατος. This law is inviolable.

Φανταστείτε ότι δεν τολμάει να τον παραβεί κανένα τρίγωνο Imagine that no triangle dares to violate him

είτε είναι ισόπλευρο, είτε είναι ισοσκελές, είτε είναι σκαληνό. Κανένα, μα κανένα. whether it is equilateral, isosceles, or scalene. None, but none.

Και αυτό θέλω να το έχετε στο μυαλουδάκι σας, γιατί μπορεί να το χρειαστούμε λιγάκι αργότερα. And I want you to keep that in mind, because we may need it a little bit later on.

Αν το ψάξουμε λίγο ακόμα θα δούμε ότι ίσως μπορούμε να κάνουμε κι άλλους συνδυασμούς. If we look into it some more we will see that we can probably make other combinations.

Για να φτιάξω πάλι ένα ορθογώνιο τρίγωνο..

Μάλλον θα είναι το αγαπημένο μου απ' ότι έχετε καταλάβει. It's probably going to be my favorite from what you've gathered.

Ας φτιάξω, λοιπόν, ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Παρατηρώντας το, βλέπω ότι χρησιμοποίησα τρία διαφορετικά χρώματα - άρα αυτό τι σημαίνει;

ότι το τρίγωνο που έφτιαξα, εκτός από ορθογώνιο, όσον αφορά τις πλευρές του είναι σκαληνό that the triangle I have made, apart from being a rectangle, is a scalene triangle in terms of its sides

γιατί καμιά πλευρά δεν είναι ίδια με την άλλη, αφού χρησιμοποίησα τρία διαφορετικά καλαμάκια.

Άρα τι καταλαβαίνω; So what do I understand?

Ότι ένα ορθογώνιο τρίγωνο μπορεί να είναι και σκαληνό, όσον αφορά τις πλευρές. That a right triangle can also be a scalene triangle, as far as the sides are concerned.

Για να δοκιμάσω να κάνω το ίδιο πράγμα, να κάνω έναν άλλο συνδυασμό!

Ας πάρω να κανω αυτό:

Σε αυτόν το συνδυασμό χρησιμοποίησα δύο καλαμάκια με το ίδιο χρώμα -

άρα το τρίγωνο αυτό καταλαβαίνω ότι, εκτός από ορθογώνιο, είναι και ισοσκελές so I understand that this triangle, apart from being a rectangle, is isosceles

εφόσον οι δύο του πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. if the two sides are equal to each other.

Άρα, λοιπόν, ορθογώνιο τρίγωνο -όπως βλέπετε- μπορεί να είναι ή σκαληνό ή μπορεί να είναι και ισοσκελές.

Για να δοκιμάσω να κάνω το ίδιο... Να πάμε στα οξυγώνια τρίγωνα!

Κάπως έτσι... Like this...

Παρατηρώ ότι για να φτιάξω αυτό το οξυγώνιο χρησιμοποίησα τρία καλαμάκια διαφορετικού χρώματος - I notice that to make this sharpie I used three straws of different colours -

βγάζω το συμπέρασμα ότι οι πλευρές του είναι άνισες, άρα το τρίγωνο εκτός από οξυγώνιο είναι και σκαληνό.

Ας δοκιμάσουμε έναν άλλο συνδυασμό. Let's try another combination.

Ας κάνουμε ένα τέτοιο τρίγωνο:

εδώ παρατηρώ ότι για να φτιάξω αυτό το οξυγώνιο τρίγωνο

χρησιμοποίησα δύο καλαμάκια τα οποία έχουν ίδιο χρώμα - άρα ίδιο μήκος.

Άρα το τρίγωνο αυτό, εκτός από οξυγώνιο, είναι και ισοσκελές!

Μήπως, άραγε, μπορώ να κάνω το ίδιο πράγμα και να δοκιμάσω να φτιάξω ένα ισόπλευρο τρίγωνο;

Για να δούμε, λοιπόν, μπορούμε να κάνουμε το ίδιο και με αυτό; So let's see, can we do the same with this?

Φτιάχνουμε ένα οξυγώνιο τρίγωνο χρησιμοποιώντας τρία καλαμάκια ίδιου χρώματος.

Παρατηρώ ότι, όντως, μπορώ να φτιάξω ένα οξυγώνιο τρίγωνο που να είναι ισόπλευρο. I notice that, indeed, I can make a right triangle that is equilateral.

Εδώ θα σας πω κι άλλο ένα μυστικό - Here I will tell you another secret -

για ακούστε με προσεκτικά:

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο δεν μπορεί να είναι τίποτα άλλο εκτός από αυτό. An equilateral triangle cannot be anything but that.

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο μπορεί να είναι μόνο οξυγώνιο. An equilateral triangle can only be acute.

Και ξέρετε πού οφείλεται αυτό; And do you know why that is?

Θυμάστε εκείνο το νόμο, που σας είπα πριν, που τον τηρούν απαράβατα όλα τα τρίγωνα; Do you remember that law, which I told you before, that all triangles abide by without fail?

Λοιπόν, ο νόμος αυτός, που λέει ότι το άθροισμα των γωνιών πρέπει να είναι 180 μοίρες, τι σημαίνει; So, this law, which says that the sum of the angles must be 180 degrees, what does it mean?

Ότι εγώ παίρνω τις 180 και πρέπει να τις μοιράσω στις τρεις γωνίες του τριγώνου. That I take the 180 and I have to distribute it to the three corners of the triangle.

Άρα το κάθε τρίγωνο, άρα η κάθε γωνία, θα είναι 60 μοίρες!

Άρα το ισόπλευρο τρίγωνο -να μια νέα ανακάλυψη που κάνουμε σήμερα!- So the equilateral triangle -a new discovery we are making today!-

εκτός από ίσες πλευρές έχει και ίσες γωνίες.

Ας ψάξουμε λίγο και τα αμβλυγώνια τρίγωνα. Let's look a little bit into the obtuse triangles.

Ας φτιάξουμε, λοιπόν, πάλι με τα καλαμάκια μου ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Το τρίγωνο αυτό που έφτιαξα, επειδή χρησιμοποίησα δυο καλαμάκια ίδιου χρώματος,

παρατηρώ και συμπεραίνω ότι εκτός από αμβλυγώνιο μπορεί να είναι, όσον αφορά τις πλευρές του, ισοσκελές. I observe and conclude that, in addition to being an obtriangle, it can be, as far as its sides are concerned, isosceles.

Για να δοκιμάσουμε με άλλο συνδυασμό.

Ας πάρουμε ένα φούξια, ένα πράσινο και ένα πορτοκαλί.

Έφτιαξα, λοιπόν, και ένα αμβυγώνιο τρίγωνο το οποίο όσον αφορά τις πλευρές του είναι σκαληνό.

Αυτές είναι κάποιες ιδέες για το τι σχέση μπορεί να έχουν τα τρίγωνα με τα καλαμάκια που έχουμε στο σπίτι μας. These are some ideas on how triangles can be related to the straws we have at home.

Μπορείτε, λοιπόν, όπως καταλαβαίνετε να κάνετε κι εσείς οι ίδιοι μόνοι σας διάφορους συνδυασμούς - So, as you can understand, you can make various combinations yourself -

με διαφορετικά καλαμάκια, διαφορετικά χρώματα, διαφορετικά τρίγωνα, και να μάθετε καλύτερα τα είδη των τριγώνων with different straws, different colors, different triangles, and learn more about the types of triangles

ως προς τις πλευρές και ως προς τις γωνίες τους. as for the sides and as for the angles of them.

Θα δείτε ότι τα μαθηματικά δεν είναι απλά ένα μάθημα. You will see that mathematics is not just a subject.

Είναι ένα πάρα πολύ ενδιαφέρον παιχνίδι, It is a very interesting game,

είναι μια συγκλονιστική αναζήτηση ενός κρυμμένου θησαυρού. is a thrilling search for a hidden treasure.

Και ξέρετε καλά πως όσο ψάχνουμε, πάντα σίγουρα κάτι βρίσκουμε! And you know well that as long as we search, we always find something!

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ!

Ελπίζω να περάσατε καλά. I hope you had a good time.

Εύχομαι κάθε μέρα σας να είναι γελαστή, I hope every day is a laughing day for you,

δημιουργική και να αποτελεί ένα ακόμα βήμα στο να γίνεστε ολοένα και καλύτεροι! creative and be another step in becoming better and better!