El Cardinal del Continuo
¡Hola amigos! El jueves pasado publicamos un
vídeo hablando de este fabuloso libro de Richard Courant ¿Qué es la matemática? Que a pesar de
tener ya algunos años sigue resultando fascinante por su rigor y la claridad de su lenguaje.
Hoy quiero que veamos una demostración que aparece en el libro: el conjunto de números
naturales no tiene el mismo cardinal que el conjunto de puntos del intervalo (0, 1).
Muchos conoceréis la demostración de George Cantor de este resultado utilizando
la expresión decimal de los números reales entre 0 y 1 y el argumento de la diagonal.
Pero en este libro, además del argumento de la diagonal se da una demostración
alternativa muy curiosa utilizando el límite de una serie geométrica
en lugar de las expresiones decimales de los números reales.
Estoy seguro que esta demostración os va a encantar ¡Empezamos!
Supongamos que tenemos una aplicación biyectiva entre el conjunto de números
naturales y los puntos del intervalo abierto 0 1 De este modo, al número 1 le hacemos corresponder
un cierto punto a_1 del intervalo, al número 2 el punto a_2 y así con cada número natural de
forma que llenamos el intervalo. Vamos a hacer lo siguiente:
sobre el punto a_1 vamos a situar un intervalo de diámetro 1 dividido entre 10.
Sobre el punto a_2 situaremos un intervalo, pero en este caso de diámetro 1 dividido entre 100,
o lo que es lo mismo, 1 entre 10 al cuadrado. Lo mismo haremos con el punto a_3 pero en
este caso tomando como diámetro 1 dividido entre 1000, es decir, 1 entre 10 al cubo.
Fijaos que no importa que algún intervalo se “salga” del intervalo (0,
1). O que los intervalos se superpongan, esto no afectará a nuestro argumento.
Procedemos de este modo con todos los puntos a_4, a_5 siempre situando un intervalo de diámetro 1
entre 10 elevado al número natural correspondiente hasta recubrir completamente el intervalo (0, 1)
Lo que observamos es que la sucesión formada por los diámetros está en progresión geométrica pues
cada término se obtiene del anterior multiplicando por un mismo número,
la razón, que en este caso es 1 décimo. Si sumamos todos estos diámetros, dado que
estos intervalos recubren el intervalo (0, 1), el valor de esta suma ha de ser mayor o igual que 1.
Pero recordad que sabemos sumar los infinitos términos de una progresión
geométrica cuando la razón es menor que 1 en valor absoluto, cosa que ocurren este caso
pues vimos que la razón era 1 décimo. La suma es igual al cociente entre el
primer término y uno menos la razón. Pero si efectuamos estas operaciones llegamos a que 1
es menor o igual que 1 noveno. Y esto es claramente falso,
¿de dónde proviene la contradicción? De suponer que existe una biyección
entre el conjunto de los números naturales y el intervalo abierto 0, 1.
Por tanto, esta biyección no puede existir. Este vídeo es un ejemplo de la multitud de
detalles maravillosos que encierra este libro. Ya sabéis si os ha gustado el vídeo sub y like y no
olvidéis darle a la campanita para que os llegue una notificación cuando publiquemos un vídeo
nuevo. Os dejo en la descripción del vídeo el enlace a nuestra librería de Amazon con muchas más
recomendaciones de libros matemáticos fascinantes ¡Hasta luego!
