Las Ecuaciones del Toro
Este vídeo no es un curso de socorrismo.
Tampoco explicaremos cómo cambiar la rueda de un coche. ¿Puede mandar una grúa? Gracias
Ni tampoco te vamos a enseñar a bailar el hula hop
Desde luego no vamos a dar consejossobre hábitos alimenticios.
De lo que sí trata este vídeo es una forma geométrica
una superficie que en matemáticas llamamos el TORO.
¡Empezamos!
Desde el punto de vista de la geometría definiremos el toro como una superficie de revolución
generada por una circunferencia de radio r minúscula, situada en el plano xz, con centro
sobre el eje x a una distancia R mayúscula del origen de coordenadas.
Si esta circunferencia la hacemos girar alrededor del eje z, los puntos por los que pasa determinan
nuestra superficie, ¡El toro! ¿Cuáles son las ecuaciones que ha de satisfacer
un punto (x, y , z) arbitrario del toro? Para determinar estas ecuaciones consideremos
el plano horizontal que pasa por dicho punto. Este plano corta al toro en una circunferencia.
Vamos a observar nuestro punto y el toro a ras de suelo. Lo que vemos es que la altura
del punto, esto es, su coordenada z, está determinada por un cierto ángulo alfa.
En efecto, dicha altura es el cateto opuesto al ángulo alfa en un triángulo rectángulo
de hipotenusa el radio r minúscula. Con nuestros conocimientos de trigonometría,
sabemos que este cateto es precisamente r por el seno de alfa.
También sabemos que el cateto contiguo al ángulo alfa mide r por el coseno de alfa,
y esto va a ser crucial para determinar las otras dos coordenadas, x e y.
Para ello, vamos a observar nuestro toro justo desde encima. Vemos que la circunferencia
que se obtenía como intersección del toro y el plano horizontal que pasaba por nuestro
punto, tiene radio R mayúscula + r minúscula por coseno de alfa.
Y la proyección del punto sobre el plano xy está determinada conociendo un cierto
ángulo beta. El cateto opuesto al ángulo beta en el triángulo
rectángulo de hipotenusa R mayúscula + r minúscula por coseno de alfa, es por tanto
la hipotenusa multiplicada por el seno de beta, y este cateto es precisamente la coordenada
y del punto. La coordenada x viene dada por el cateto contiguo
a beta, que es precisamente la hipotenusa multiplicada por el coseno de beta.
Estas son las ecuaciones PARAMÉTRICAS DEL TORO.
Para obtener la ecuación cartesiana del toro, esto es, una ecuación en x, y, z que deben
satisfacer todos los puntos del toro, debemos eliminar los parámetros alfa y beta de las
ecuaciones paramétricas En primer lugar, despejamos seno de alfa en
la tercera ecuación. En la identidad fundamental de la trigonometría podemos despejar el coseno
de alfa en función del seno y obtenemos que coseno de alfa es igual a la raíz cuadrada
de 1 menos el seno cuadrado de alfa. Pero el seno de alfa era igual a z dividido
entre r y podemos sustituir en nuestra nueva ecuación el seno de alfa por dicho valor.
Obtenemos una expresión para coseno de alfa en función de z.
Esta nueva ecuación la utilizaremos en breve.
Vamos a dar una expresión en función de los parámetros para la suma x al cuadrado
mas y al cuadrado. Esto podemos hacerlo, teniendo en cuenta que x e y están expresados en función
de alfa y beta, simplemente sustituyendo. Pero observamos que en la suma resultante
hay un factor que se repite y por tanto podemos sacarlo factor común.
Pero en el factor de la derecha nos ha quedado coseno cuadrado de beta mas seno cuadrado
de beta que, de nuevo, por la identidad fundamental de la trigonometría es 1 que al multiplicar
no hace nada. Y ahora es cuando utilizamos la ecuación
que teníamos aparcada. Coseno de alfa podemos sustituirlo por la expresión radical en función
de z y tenemos la ecuación buscada en la que ya no aparecen los parámetros.
Tan solo queda arreglar un poco esta expresión para escribirla en la forma más usual.
Hacemos la raíz cuadrada en ambos miembros, lo que elimina el cuadrado del miembro derecho.
R mayúscula lo pasamos al miembro izquierdo restando y elevamos ambos miembros al cuadrado.
En el miembro derecho el cuadrado se reparte entre los dos factores pero el cuadrado de
una raíz es simplemente el radicando. Ya solo nos queda quitar paréntesis, simplificar
la fracción, y pasar z cuadrado al miembro izquierdo sumando.
Esta es la ecuación cartesiana del toro Las ecuaciones que hemos visto dependen de
las longitudes r y R y por eso se llaman ecuaciones geométricas ya que las medidas, las longitudes
importan. En nuestro próximo vídeo veremos cuál es
la definición del toro desde el punto de vista topológico. Ya sabéis que en topología
las longitudes, áreas y ángulos no importan ya que tan solo importa la “forma” del
espacio. Pero eso ya es otra historia.
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en los comentarios y la responderemos encantados ¡Hasta luego!
