Primer Teorema de Isomorfía para Conjuntos

¡Hola amigos matemáticos! Este vídeo está  dedicado al siguiente Teorema sobre funciones.

Si tenemos una función f entre dos  conjuntos. Siempre podremos escribirla

como composición de tres funciones.  La primera de ellas será sobreyectiva,

la segunda biyectiva, y la última inyectiva. Lo sorprendente de este Teorema es que esto

se cumple para cualquier función  f. Es decir, nuestro dato es una

función f entre dos conjuntos cualesquiera. Esta función no tiene porqué ser inyectiva ni

sobreyectiva, y por tanto su imagen puede  ser un subconjunto propio del conjunto Y.

Pero esto nos da una idea. Dado que la última  aplicación ha de ser inyectiva y por fuerza

ha de aterrizar en el subconjunto Imagen de  f. Podemos empezar por el final definiendo

la función i minúscula como la inclusión  de Imagen de f en el conjunto Y griega.

Ya vimos en anteriores vídeos que la aplicación  inclusión de un subconjunto es siempre inyectiva,

y tendríamos así definida  una de las tres funciones.

Definir la primera función, esto es, la aplicación  sobreyectiva es un poco más complicado. Para ello

vamos a definir una relación binaria en X. Decimos que dos elementos x e y minúscula

del conjunto X están relacionados si  sus imágenes en el conjunto Y coinciden,

esto es, f(x) igual a f(y). Lo que vamos a ver es que

esta relación así definida, es de  hecho, una relación de EQUIVALENCIA.

Para ello, debemos comenzar probando la  propiedad reflexiva que afirma que x está

relacionado consigo mismo. Esto es trivial ya  que x está relacionado con x si y solo si f(x)

es igual a f(x) cosa que es obvia. Así  que la propiedad reflexiva se cumple.

La propiedad simétrica se cumple si siempre  que x está relacionado con y se tiene que

y también está relacionado con x. Veámoslo:  que x esté relacionado con y es equivalente

a que f(x) es igual a f(y), pero esta igualdad  podemos leerla al revés, esto es se tiene que

f(y) también es igual a f(x) lo que equivale  a que y está relacionado con x. Perfecto.

Finalmente, la propiedad transitiva diría  que si x está relacionado con y y además y

está relacionado con z entonces debe cumplirse  que x esté relacionado con z. Vamos a verlo:

X relacionado con y equivale a f(x)=f(y). y  relacionado con z equivale a f(y)=f(z). Juntando

estas dos igualdades tenemos una tercera igualdad,  que f(x) es igual a f(z) lo que equivale a que x

está relacionado con z como queríamos probar. En definitiva, tenemos una relación de

equivalencia en X. Y como vimos en nuestro  vídeo sobre relaciones de equivalencia,

esto equivale a dar una partición del conjunto:  la partición dada por las clases de equivalencia.

Además, también vimos que el conjunto cociente,

no es más que el conjunto cuyos  elementos son las clases de equivalencia.

La diferencia entre X y el conjunto cociente de  X por esta por la relación de equivalencia es

que en X las clases son SUBCONJUNTOS mientras  que en el cociente las clases son ELEMENTOS.

La aplicación proyección de X en el cociente  está definida enviando cada elemento de X en

su clase (vista como elemento del cociente). Si tenemos dos elementos de X, y y z,

que están relacionados los aplicaremos  por p en la misma clase ya que al estar

relacionados pertenecen a la misma clase, claro. De este modo esta aplicación proyección no

tiene porqué ser inyectiva, pero es claramente  sobreyectiva ya que cada elemento del cociente,

esto es, cada clase contiene algún elemento  de X y por tanto este elemento verifica que

su imagen por p es justamente dicha clase. Ya solos nos queda definir la aplicación

biyectiva. A ver, tenemos que enviar  la clase de x a algún elemento de la

imagen de f. Parece que la elección razonable  sería definir b de la clase de x como f(x)

Pero tenemos que comprobar varias cosas:  En primer lugar, que f esté bien definida.

Y en caso afirmativo que esta función es  inyectiva y sobreyectiva, esto es, biyectiva.

¿Qué quiere decir que f esté bien definida? Si  tenemos otro elemento y de X tal que su clase

sea la misma que la clase de x, tendríamos  dos formas de definir b para una misma clase

¿son estas dos definiciones la misma? En caso  contrario la función no estaría bien definida.

Veámoslo: dos clases eran la misma si y solo  si sus representantes estaban relacionados.

Pero por definición, los elementos x e y  están relacionados si f(x) es igual a f(y).

Pero esto equivale a decir que b de la clase de  x es igual a b de la clase de y ya que justamente

Veamos ahora que b es inyectiva. Fijaos  que no he borrado del todo el argumento

anterior para ver que b estaba bien  definida. Ahora entenderemos porque

Para ver que una función b es  inyectiva habría que comprobar que,

si dos elementos del dominio tienen la misma  imagen, entonces estos dos elementos son el mismo.

El mismo argumento que vimos,  pero siguiendo las implicaciones

en sentido contrario nos da la inyectividad. Para comprobar la sobreyectividad necesitamos

ver que cualquier elemento z del codominio  es imagen de algún elemento del dominio.

Si z pertenece al codominio que en este  caso es imagen de f. se tiene que z es

igual a f(x) para cierto x. Podemos tomar  como C justamente la clase del elemento x.

De este modo b del elemento C es lo mismo que b  de Clase de x. pero por definición b de clase de

x es f de x. Y f de x es justamente z y queda  por tanto probada la sobreyectividad de b.

Ya tenemos definidas nuestras 3  funciones. Pero, ¿es verdad que f,

que aplica un elemento x del dominio  en el elemento f(x) del codominio,

coincide con la composición  p seguido de b seguido de i?

Comprobémoslo: x va a parar a la clase  de x por medio de la proyección p.

A su vez la clase de x va a para a f(x)  a través de la función b. Y finalmente la

inclusión envía f(x) en si mismo y hemos llegado  al mismo elemento que llegaba la función f.

Queda por tanto probado que la función f coincide  con la composición p seguido de b seguido de i.

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