¿Qué es la matemática? ✨📙
Hola Amigos, Vamos a dedicar
este vídeo íntegramente a hablar de un libro que creo que a todo matemático o matemático en
potencia le alegraría tener en su biblioteca. ¿QUÉ ES LA MATEMÁTICA? WHAT IS MATHEMATICS
o ¿QUÉ SON LAS MATEMÁTICAS? Dependiendo del idioma y la edición.
El libro resulta realmente mágico porque en sus 500 páginas parece estar contenido
todo el edificio de las matemáticas. El libro como veremos contiene matemática
avanzada, pero puede perfectamente ser leído por un estudiante que haya acabado
la secundaria y tenga una buena formación y, por supuesto, pasión por las matemáticas.
Pero también es absolutamente recomendable para estudiantes del grado de matemáticas u
otras carreras de ciencias o ingenierías. Lo curioso es que el libro del que os
quiero hablar lo conocí por pura coincidencia. En las Navidades de 2019, cuando aún se producían
aglomeraciones estábamos Miriam y yo tratando de ver que libros divulgativos podíamos encontrar en
la casa del Libro de Madrid. Pero la cantidad de gente que
se agolpaba en las estanterías era tal que tuvimos que salir buscando un poco de
tranquilidad. En la calle, en Gran Vía, seguíamos encontrándonos multitudes y fuimos callejeando
hasta acabar en la plaza del 2 de mayo. Tras buscar una mesa, no encontrarnos del
todo cómodos y levantarnos y cambiar de bar por fin llegamos a una esquina tranquila y solitaria.
Bueno sí, soy un poco maniático, ya os habréis dado cuenta ¿no?
Mientras bebíamos una cerveza Miriam se dio cuenta de que en la esquina donde habíamos acabado
confluían nuestro bar y una librería de segunda mano. Así que allí me metí a ver que me encontraba
y lo que me encontré fue este libro viejo. A todas luces el libro era una antigualla
y me sorprendió que en la portada el libro se promocionaba como: “Albert Einstein ha dicho
de esta obra: Una acertada exposición de los conceptos fundamentales de toda la matemática”.
Pero… ¿de qué año es este libro? Como podemos ver el primer Prólogo
del autor, Richard Courant, es de 1941 con sucesivas ediciones en 1943, 1945, 1947
A medida que empiezo a ojear el libro cada vez me voy sorprendiendo más pues el libro empieza
hablando de números naturales, números enteros, números decimales… todo muy exhaustivo.
Pero pronto uno se encuentra con representaciones de números en sistemas diferente del decimal con
inducción matemática, progresiones geométricas, el teorema binomial.
En el primer capítulo ya empezamos a sumergirnos en ¡TEORÍA DE NUMEROS!
De repente estamos rodeados de números primos, primos de Fermat, la distribución
de los números primos y la conjetura de Gauss demostrada por Hadamard y de la Vallé Poussin
Una de las principales características del libro, como veremos a continuación, es que la matemática
que contiene no solo es profunda, esencial y explicada con claridad, sino que siempre se
acompaña de datos históricos y biográficos que sitúan cada problema matemático en su contexto.
Probablemente una de las críticas que se le puede hacer al estudio de las matemáticas en cualquier
nivel, pero en particular en el Universitario es la presentación de las matemáticas de forma
aséptica. Como un ente frío y acabado. Pero no nos entretengamos y
continuemos con el libro. El libro es una auténtica maravilla y esta copia
de segunda mano me enamoró pues contenía algunas hojas con anotaciones de su anterior propietario.
El libro habla también de números irracionales y magnitudes inconmensurables, geometría analítica,
pero quiero detenerme en el capítulo sobre “EL CONCEPTO MATEMÁTICO DE INFINITUD”
El capítulo abarca la teoría de conjuntos de Cantor y prueba por
ejemplo que el conjunto de los números naturales y los racionales tienen el mismo cardinal.
Y por supuesto, el argumento de la diagonal para probar que los números reales y los
naturales NO tienen el mismo cardinal. Pero el libro está tan lleno de sutilezas
que incluye una demostración alternativa de este hecho muy sencilla que no conocía y que,
en el próximo vídeo, la semana que bien, quiero compartir con vosotros, pero sigamos, sigamos.
La sección VI del capítulo sobre números introduce los números algebraicos, esto es,
números que son solución de una ecuación polinómica con coeficientes enteros y
números trascendentes, esto es, números que no son solución de ninguna de estas ecuaciones.
El primer ejemplo de la existencia de números trascendentes fue la constante
de Liouville y en este libro se da la demostración ¡Fabuloso!
De hecho, Courant también nos comenta uno de los problemas que Hilbert hizo en el congreso
internacional de matemáticas de 1900 en Paris. Probar que 2 elevado a raíz de 2 es trascendente
o probar al menos que es irracional. Este problema fue resuelto unas décadas después.
¡Ah! Por cierto ¿sabéis quién fue el director de tesis de
Courant el autor del libro? ¡David Hilbert! El Capítulo III está dedicado a un tema que a los
matemáticos siempre nos ha apasionado y no resulta fácil de encontrar explicado de forma accesible.
CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS CON REGLA Y COMPÁS De hecho, en el libro se demuestra con mucho
detalle la irresolubilidad de dos de los tres problemas clásicos griegos. La imposibilidad
de duplicar un cubo con regla y compás y la imposibilidad de trisecar un ángulo.
Los Capítulos sobre Geometría son muy completos e incluyen Secciones sobre Geometría Proyectiva
y sobre Geometrías No euclídeas. De hecho, se describen con detalle los modelos hiperbólicos de
Klein y Poincaré ¡Que más se puede pedir! Y como no podía ser de otra forma también
tenemos un Capítulo dedicado a…La TOPOLOGÍA Cosas que podréis encontrar que os van a
fascinar son la FORMULA DE EULER con la demostración de Cauchy.
O el teorema de la curva de Jordan que dice que toda curva simple del
plano separa a este en dos regiones interior y exterior. Aunque el teorema parece sencillo
es realmente complejo y el libro incluye una demostración para curvas simples poligonales.
También el libro habla del teorema de los cuatro colores que afirma que para colorear cualquier
mapa sin que haya dos regiones fronterizas con el mismo color solo hacen falta 4 colores.
En el libro aparece como conjetura, pues la demostración es de 1976 claro.
El libro también incluye capítulos sobre funciones y límites y de hecho encontraréis
demostraciones de cosas tan fascinantes como la fórmula de Leibniz para pi cuartos
O el problema de Basilea, resuelto por Leonhard Euler,
que dice que la suma de los inversos de los cuadrados es pi cuadrado entre 6.
Me dejo muchas cosas en el tintero, pero os animo a que busquéis una librería de segunda
mano algún día que huyáis de una muchedumbre y miréis si lo encontráis entre sus estanterías
