从 北京 出发 的 飞机 ， 绕 一圈 后 还 能 回到 北京 吗 ？ 答案 让 你 意想不到 ！ Can an airplane that departs from Beijing return to Beijing after making a loop? The answer will surprise you!

各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師 前 幾天 我 在 書上 看 了 一個 很 有趣 的 問題 說 有 一架 飛機 從 北京 出發 向北 飛行 2000 公 裏 再 向 西 飛行 2000 公 裏 再 向 南 飛行 2000 公 裏 再 向東 飛行 2000 公 裏 請問 此時 飛機 在 什 麽 地方 我 把 這道題 發到 了 網上 很多 小朋友 回答 非常 踴躍 有人 說 飛機 回到 了 北京 有人 說 這 取決於 地球 的 自轉 速度 和 飛機 飛行 的 高度 還有 人 說 飛機 沒油 了 掉 海 裏 了 其實 這是 一個 純粹 的 地理 問題 並 不是 腦筋 急轉彎 最後 飛機 在 什 麽 地方 呢 我們 一 起來 研究 一下 首先 我們 先 來說 一下 平面 上 的 幾何學 平面 上 的 幾何學 和 球面 上 的 幾何學 是 不 一樣 的 如果 我們 在 平面 上 做 一個 幾何 問題 應該 使用 的 是 歐式 幾何 如果 我們 在 雙曲面 上 做 一個 問題 應該 使用 羅巴切 夫斯基 幾何 如果 我們 在 一個 橢球面 上 做 幾何 應該 是 黎曼 幾何 在 這裏 我們 並 不想 具體 探討 它們 的 區別 我們 舉 一個 例子 比如說 你 在 平面 上 如果 飛機 那 麽 幹 的話 一定 會 回到 北京 對 不 對 為什 麽 呢 因為 你 從 A 點 出發 你 向北走 了 一段距離 S 到達 了 B 點 然後 你 向 西 走 向西 走 就是 轉 直角 對 不 對 轉 直角 又 走 了 同樣 的 距離 到達 C 點 然後 你 再 向南走 向南走 對 吧 走 同樣 的 距離 到達 D 點 然後 你 再 向東走 這樣的話 你 就 會 走 四個 直角 走 四個 直角 四條 直線 段 最後 形成 了 一個 正方形 於是 你 就 回到 原來 的 位置 對 不 對 這裏 隱含 了 兩個 條件 就是說 在 平面 上 首先 我們 是 有 直線 的 概念 這 四條 邊它 其實 都 是 直線 段 對 不 對 同時 我們 還有 四條 直線 是 相交 成 直角 的 四條 直線 四個 直角 形成 了 一個 什 麽 形 形成 了 一個 正方形 這樣一來 就 回到 了 原點 對 不 對 好 那 麽 在 球面 上 情況 就 不 一樣 了 首先 你 在 球面 上 你 是 沒有 通常 意義 上 的 直線 的 它 所有 的 線 都 是 彎 的 對 不 對 那 有沒有 類似 於 直線 的 概念 呢 有 這就 叫測 地線 或者 短程 線 咱們 思考 這樣 一個 問題 如果 我們 在 北京 買 一張 機票 準備 飛 到 美國紐約 飛機 會 怎 麽 飛 呢 可能 很多 小朋友 會 說 了 飛機 升空 之後 就 往 東飛 經過 日本 韓國 經過 太平洋 經過 美國 的 西海岸 最後 到達 美國 東海岸 的 紐約 實際上 這種 說法 是 不 對 的 飛機 起飛 之後 都 會 向北飛 然後 過 北極 到 紐約 它 為 什 麽 要過 北極 呢 這是 因為 在 球面 上 的 兩個 點 比如說 A 和 B 它 存在 一個 最短 的 路徑 這個 最短 路徑 我們 起個 名字 叫測 地線 或者 是 短程 線 怎 麽 找測 地線 或者 短程 線呢 首先 球面 上 兩個 點有 了 吧 還有 一個 球心 你 是不是 也 有 了 把 球面 上 兩個 點和 球心 三個 點做 一個 平面 然後 讓 這個 平面 和 球面 相切 就 會 切出 一個 大圓 為什 麽 叫 大圓 呢 因為 這個 圓的 半徑 跟球 的 半徑 是 一樣 的 就是 把 平面 上 兩個 點和 球心 做 一個 平面 這個 平面 和圓 相切 切出 一個 大圓 來 大圓 上 有 兩段 弧 一 段長 一點兒 的 弧 一段 短 一點兒 的 弧 這個 短 的 這個 弧 的 長度 就 叫 A 到 B 的測 地線 你 沿著 這個 短 的 弧 走 這 就是 球面 上 的 最 短 的 路徑 了 也 就 類似 於 平面 上 的 直線 然後 我 再說 一遍 就是 球面 上 沒有 直線 但是 它 存在 一個 叫做 測 地線 的 東西 測 地線 的 做法 就是 做 一個 最大 的圓 最大 的 圓中 那個 比較 短 的 弧 就是 它 的 最 短 路程 所以 如果 我們 把 北京 和 紐約 做 一個 測 地線 的話 這個 測 地線 正好 是 通過 北極 的 所以 你 就 應該 往 北極 飛 然後 跨越 北極 之後 到達 紐約 這樣的話 就 比較 近 你 要是 走 太平洋 的話 那 就 太遠 了 是不是 所以 首先 平面 上 的 直線 我們 要 修改 成 球面 上的測 地線 對 不 對 其次 來講 在 平面 上 我們 可以 畫 一個 四個 角 都 是 直角 的 正方形 那 球面 上 咱們 看 球面 上 很 有趣 比如說 這是 一個 球 這是 一個 球 這個 球 的 這個 邊緣 就是 一個 測 地線 對 不 對 因為 它 是 個 大圓 是測 地線 我們 再 來看 畫出 球 的 赤道 這個 赤道 其實 也 是測 地線 為什 麽 因為 它 也 是 大圓 是 吧 我們 再來 畫 一個 豎著 的 兩條 經線 構成 的圓 兩條 經線 構成 的圓 這個 其實 也 是測 地線 現在 它們 相交 我們 找到 交點 交點 分別 是 A 點 B 點 C 點 咱們 來看 一下 AB 之間 的 直線 或者說 測 地線 就是 這條 線 BC 之間 的 直線 或者 測 地線 就是 這條 線 CA 之間 的 直線 或者說 測 地線 就是 這條 線 而且 你 會 發現 這 三個 平面 是 彼此 垂直 的 所以 這 三個 角 都 是 直角 你 會 發現 在 一個 球面 上 你 可以 畫出 三個 角 都 是 直角 的 三角形 這個 就 很 神奇 你 在 平面 上 應該 畫出 四個 角是 直角 的 四邊形 三角形 最 多 只有 一個 直角 但是 你 在 這個 球面 上 你 可以 畫出 三個 角 都 是 直角 的 三角形 來 所以 說 在 球面 上 三角形 的 內角 和 是 超過 180 度 的 從 這 兩個 例子 大家 是不是 可以 看 出來 球面 的 幾何學 和 平面 的 幾何學 是 有所不同 的 也 正是 因為 這種 不同 才 造成 了 最後 這 架飛機 是 無法 飛回 北京 的 我們 來說 一下 這個 地球 的 這個 問題 首先 地球 我畫 一個 地球 地球 地球 有 經線 也 有 緯線 對 吧 經線 是 連接 地軸 南北 兩極 的 連接 地軸 南北 兩極 的 半圓 就是 經線 是 半圓 是 吧 每 一條 經線 其實 都 可以 看成 是測 地線 為什 麽 呢 因為 它 是 大圓 的 一部分 對 不 對 所以 經線 都 是測 地線 或者說 經線 我們 都 可以 認為 是 直線 都 可以 認為 是 直線 就是 類似 於 平面 上 的 直線 概念 那 我們 再 來看 緯線 緯線 就 不 一定 了 比如說 赤道 這個 圓 赤道 這個 圓 它 是 一個 大圓 既然 赤道 這個 圓是 大圓 所以 我們 說 赤道 這條 線 還是 可以 看作 是 直線 的 赤道 還 可以 看作 直線 因為 它 是測 地線 對 吧 它 是 大圓 的 一部分 但是 除了 赤道 以外 其它 的 緯線 就 不是 了 你 看 這條 緯線 這條 緯線 它 已經 不是 大圓 了 所以 在 這條 緯線 上 兩個 點 之間 的 最 短 路程 並 不是 這條 緯線 因此 我們 不能 把 它 叫 直線 是 吧 同樣 道理 這個 緯線 它 也 是並 不是 直線 它並 不是 直線 並 不是 圓上 的測 地線 也 不是 直線 好 了 我們 明白 了 這個 道理 之後 下面 一個 問題 就是 你 北京 出發 會 回到 什 麽 位置 咱們 來看 你 從 北京 出發 比如說 北京 在 這個 點 這個 點叫 A 對 吧 你 向 北 飛行 了 2000 公 裏 向北 飛行 2000 公 裏 比如說 你 就 飛行 到 這個 位置 飛行 到 這個 位置 到達 這個 點 B 之後 你 一定 是 沿著 經線 飛 的 吧 然後 你 就 開始 往西飛 往西飛 2000 公 裏 往西飛 2000 公 裏 大概 是 飛到 了 這個 位置 就是 C 然後 你 又 往 南飛 沿著 這個 經線 飛 2000 公 裏 沿著 經線 飛 2000 公 裏 就 到達 了 這個 點 叫做 D 咱們 仔細觀察 一下 因為 這個 緯線 的 圈 大小 不 一樣 它 越 靠近 北極 這個 圈越 小 越 靠近 赤道 這個 圈越 大 所以 如果 你 這 麽 飛 每 一段 都 是 2000 公 裏 的話 此時 這個 D 和 A 已經 距離 比 較遠 了 這個 距離 是 比 BC 之間 距離 大 的 然後 你 又 往 東飛 了 2000 公 裏 你 會 發現 此時 你 是 無法 回到 A 的 對 不 對 你 實際上 在 什 麽 位置 在 A 的 西側 所以 這個 問題 的 答案 簡單 回答 就是 最後 經過 這 麽 一個 循環 北 西 南 東 各 2000 公 裏 之後 你 最後 落點 E 是 在 A 的 西側 在 A 的 西側 那 麽 至於 說 具體 在 什 麽 位置 呢 這個 就 得 算了 那 這 就是 一個 高中 的 地理 問題 了 是 吧 當然 跟 數學 也 有關 系 好 我們 具體 再算 一下 首先 A 是 北京 北京 的 坐標 是 多少 是 北緯 40 度 東經 116 度 大約 是 這個 數 是 吧 好 現在 北京 向北飛 飛 了 2000 公 裏 之後 到 B 那 B 的 坐標 呢 是 吧 然後 再 向 西飛 C 的 坐標 呢 D 的 坐標 呢 E 的 坐標 呢 我們 把 每 一個點 的 坐 標算 出來 這個 問題 就 解決 了 我們 具體 來算 一下 首先 我們 來算 一下 B 的 位置 怎 麽 算 我們 畫 一個 地球 重新 畫 一個 地球 這個 地心 O A 點 就是 北京 它 是 在 北半球 的 一個 位置 因為 A 點是 北緯 40 度 左右 所以 相當於 是 AO 的 連線 與 赤道 方向 夾了 40 度角 而 B 是 在 A 的 北方 B 是 在 這個 位置 AB 之間 有 一個 距離 這 就是 它 走 的 弧長 這個 弧長 是 2000 公 裏 而 地球 有 一個 半徑 對 吧 地球 的 半徑 是 多少 是 6370 公 裏 左右 對 吧 那 麽 你 通過 這個 弧長 2000 以及 6370 公 裏 的 半徑 你 是不是 可以 把 AB 之間 的 這個 角度 叫 θᴀʙ 算 出來 對 吧 所 θᴀʙ 就 能夠 算 出來 了 如果 用 弧度 製 來 表示 就是 用 S 再 除以 半徑 R 如果 用 角度 來 表示 的話 大約 是 18 度 角度 是 18 度 那 麽 A 這個 北緯 是 40 度 所以 說 B 的 緯度 就 應該 是 A 的 緯度 再 加上 18 度 對 吧 結果 應該 是 58 度 θʙ 是 58 度 也就是說 B 點的 經線 實際上 是 和 A 一樣 的 而 緯度 它 是 58 度 B 點是 北緯 58 度 東經 116 度 好 B 點的 坐標 就 搞 出來 了 B 點坐標 搞 出來 了 之後 我們 還有 兩個 事 這裏 要算 出來 一個 就是 A 的 這個 緯線 圈 的 半徑 A 這有 一個 緯線 圈 它 這個 緯線 圈 的 半徑 叫 rᴀ 在 B 這也 有 一個 緯線 圈 這 兩個 緯線 圈 它 大小 不 一樣 它 的 半徑 叫 rʙ 我們 把 這 兩個 數算 出來 其實 這兩 個數 也並 不難 算 咱們 看 這 rᴀ 是 什 麽 rᴀ 實際上 我們 利用 地球 半徑 R 再 乘以 一個 cos40° 就 可以 了 所以 是 Rcos40° 是 4880 千米 這個 是 A 的 這個 緯線 圈 比較 大 而 B 的 緯線 圈 是 Rcos58° 是 3376 千米 這個 緯線 圈會 比較 小 好 第一步 我們 就 完成 了 把 B 的 坐標 找到 了 那 下面 我們 來看 第二步 我們 要 找 C 的 坐標 C 實際上 是 B 沿著 緯線 往 西邊 走 的 2000 公 裏 對 不 對 然後 從 C 又 往 D 走 了 這個 圖 我們 怎 麽 畫 我們 讓 眼睛 從 上 往 下 看 從 上 往 下 看 你 可以 看到 B 這個 圈 你 可以 看到 A 這個 圈 這 兩個 圈會 疊 到 一塊 所以 我們 重新 畫 一個 圖 畫成 這樣 的 兩個 圈 大家 看 那 這個 B 點在 這 B 點在 這 你 最 開始 的 時候 你 不 是從 A 點 開始 走 嗎 你 從 A 點走 到 這了 對 不 對 到 了 B 之後 你 就 順著 這個 緯線 圈 你 就 跑 到 了 一個點 叫 C 然後 你 從 C 點又 開始 順著 這個 經線 你 跑 到 D 然後 你 又 從 D 往回 走 走到 E 我們 換了 一個 角度 去 看 這個 問題 是 吧 換好 了 角度 之後 我們 就 可以 算 出來 你 這個 從 B 到 C 你 有 一個 弧長 這個 弧長 叫 S 對 不 對 好 你還 知道 一個 半徑 叫 rʙ 對 不 對 這個 是 rʙ 那 麽 我問 B 和 C 之間 的 這個 角度 叫 θʙᴄ 你 是不是 就 能算 出來 了 是不是 你 看 θʙᴄ 它用 弧度 製 來 表示 就是 S 再 除以 一個 rʙ 如果 用 角度 製 把 它 算 出來 的話 這個 結果 是 34 度 是 34 度 我們 在 想 這個 圈 是 俯視圖 所以 它 代表 的 是 經線 的 經度 的 變化 這個 B 的 經度 是 東經 116 度 東經 116 度 也就是說 我們 有 一個 0 度 經線 比如說 0 度 經線 可能 是 在 這個 方向 0 度 經線 所謂 116 度 就是 這個 大角到 B 是 116 度 是 吧 那 這個 角 θʙᴄ 又 是 34 度 所以 你 從 這兒 到 C 這個 經度 是 多少度 呢 我們 就 可以 算 出來 116 度減 34 度 等於 82 度 也就是說 C 實際上 是 在 東經 82 度 的 位置 C 的 緯度 跟 B 一樣 58 度 北緯 經度 變成 了 82 度 C 點就 找到 了 是不是 那 我們 再 來看 D 點 D 點的 經度 和 C 是 完全 一樣 的 對 不 對 緯度 和 A 又 是 完全 一樣 的 所以 D 點 不用 算 直接 得 出來 北緯 40 度 東經 82 度 是不是 最後 就是 E 點 那 E 點 怎 麽 找 呢 咱們 再 看 從 D 到 E 你 又 走 了 一個 距離 叫做 S 是不是 所以 這個 D E 之間 對應 的 圓心 還有 一個 夾角 就是 這個 角叫 θᴅᴇ 是 吧 θᴅᴇ 等於 多少 呢 θᴅᴇ=S/rᴀ 你 這 麽 一算 這個 角度 大約 是 23.5 度 也 就是 你 最後 往東飛 那 2000 公 裏 你 只能 走 經度 走 23.5 度 是 吧 比剛 才 走 的 34 度要 小 所以 你 回 不到 A 點 你 回 不到 A 點 而是 回到 了 哪個 度數 呢 我們 知道 D 點的 東經 是 82 度 你 再 加上 23.5 度 82 度 加上 23.5 度 大約 是 106 度 最後 E 點的 位置 就是 在 北緯 40 度 東經 106 度 的 地方 而 這個 地方 你 去 和 最 開始 的 出發點 A 點比 一下 你 就 會 發現 我們 最終 的 落點 是 在 A 的 西側 如果 我們 在 地圖 上 找到 這個 位置 的話 那 麽 大概 是 在 內蒙古自治區 阿拉善盟 阿拉善左旗 的 位置 大約 是 在 北京 西側 850 公 裏 處 所以 你 在 地球 上畫 一個 正方形 你 很 有 可能 是 回 不到 出發 的 位置 的 對 不 對 好 如果 大家 這道題 理解 的話 那 麽 咱們 再留 一個 思考題 假如 你還 是從 北京 出發 向北走 2000 公 裏 然後 你 就 向左轉 了 90 度角 繼續 走 直線 走 2000 公 裏 你 繼續 向左轉 90 度角 再 走 2000 公 裏 你 再 向左轉 90 度角 再 走 2000 公 裏 你 走 三個 直角 和 四個 2000 公 裏 請問 這個 時候 你 又 是 回到 了 什 麽 地方 呢 大家 如果 知道 這個 問題 答案 不妨 在 評論 區裏 留言 我 提醒 一下 除了 赤道 以外 其他 的 緯線 可不是 直線 大家 如果 喜歡 我 的 視頻 可以 在 YouTube 賬號 李永樂 老師 裏 訂閱 我 點擊 小 鈴鐺 可以 第一 時間 獲得 更新 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