李永樂老師, 民科盛宴冰雹猜想：小学生都能看懂，专业数学家80年都证不出来

各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師 最近 有 小朋友 跟 我 說 他 從小 就 有 一個 夢想 希望 解決 一個 數學 猜想 從此 名揚天下 但是 讀書 又 不 多 所以 如果 用 高等數學 表述 的 問題 他 就 看不懂 能 不能 給他 介紹 一個 類似 於 哥德巴赫猜想 這樣 看起來 非常簡單 但是 又 沒有 人 能夠 證出來 的 問題 呢 那 今天 就給 大家 介紹 一個 有趣 的 數學 猜想 冰雹 猜想 冰雹 猜想 是 在 1937 年 的 時候 由 德國 的 數學家 考拉 茲 提出 的 所以 也 叫做 考拉 茲 猜想 考拉 茲 說 如果 你給 我 一個 任意 的 正整數 這個 正整數 是 多少 都 可以 正整數 N 然後 你 對 這個 正整數 重 復 一個 操作 重 復 進行 一個 操作 什 麽 操作 呢 那 就是 假如 這個 正整數 N 它 是 一個 奇數 那 麽 你 就 把 這個 N 換成 3N+1 就是 乘以 3 再加 1 如果 它 不是 一個 奇數 而是 一個 偶數 如果 這個 數它 是 一個 偶數 你 就 把 這個 數 除以 2 變成 (1/2)N 然後 再重 復 就是 反反 復 復 地 做 這個 操作 是 奇數 就 乘以 3 加 1 是 偶數 就 除以 2 經過 很多很多 次 之後 你 會 發現 這個 數列 會 落入 一個 循環 我們 舉 個例 子 比如說 我們 從 N 等於 6 出發 6 是 一個 偶數 它 要 除以 2 除以 2 就 變成 3 了 3 是 個 奇數 乘以 3 加 1 就是 10 10 是 個 偶數 除以 2 是 5 5 是 個 奇數 乘以 3 加 1 16 16 偶數 除以 2 8 是 偶數 除以 2 4 是 偶數 除以 2 2 是 偶數 除以 2 變成 1 1 是 奇數 要 乘以 3 加 1 而 1 乘以 3 加 1 是 幾 是 4 所以 它 就 又 回到 4 了 對 不 對 4 再 除以 2 又 是 2 2 除以 2 又 是 1 然後 1 再 乘以 3 加 1 又 回到 4 所以 最後 它會 落入 4 2 1 循環 對 吧 好 咱們 再 來看 假如 我們 不 是從 6 出發 的 而 是從 7 出發 又 如何 呢 7 是 奇數 乘以 3 加 1 22 偶數 除以 2 11 奇數 乘以 3 加 1 34 34 偶數 除以 2 17 奇數 乘以 3 加 1 52 偶數 除以 2 是 26 繼續 26 除以 2 13 13 乘以 3 加 1 40 40 除以 2 20 20 除以 2 是 10 10 在 哪 呢 好像 剛才 我們 算過 對 不 對 後面 一定 是 5 16 8 4 2 1 我 就 不 寫 了 所以 這個 10 它 實際上 就 已經 回到 這 一條 鏈 上去 了 最終 它 也 會 回到 4 2 1 循環 是不是 我們 甚至 還 可以 搞 一個 大 一點 的數 比如說 27 27 這個 數是 比較 特殊 的 它 先 變成 82 然後 又 變成 41 對 吧 然後 一次 又 一次 地變 最多 它 能變 到 9232 這 麽 大 但是 最後 它 依然 是 回到 了 4 2 1 循環 最後 回到 1 了 也就是說 經過 很多很多 次 操作 之後 你 一定 會 落入 4 2 1 然後 再 回到 4 這 麽 一個 循環 那 我們 經過 很 多次 驗證 發現 許許多多 的 數都 滿足 這個 規律 那 是不是 所有 的 自然數 做 這個 操作 之後 最後 都 會 落入 到 4 2 1 循環 呢 它 就 叫做 考拉 茲 猜想 而且 你 會 發現 這些 個數 字 一會兒 大 一會兒 小 一會兒 大 一會兒 小 非常 像 冰雹 冰雹 在 空中 受到 上升 氣流 的 影響 有 可能 會 上升 過 一會兒 它 大 了 托 不住 它 又 下降 過 一會兒 它 又 上升 一會兒 又 下降 最終 會落 回到 地面 上 是 吧 所以 上上下下 的 像 冰雹 一樣 所以 也 叫做 冰雹 猜想 那 這個 猜想 從 1937 年 提 出來 之後 到 現在 80 多年 了 數學家 們 還是 沒有 解決 它 當然 了 我們 還 可以 再 挑 一些 數字 去 驗證 並且 找到 某 一些 規律 找到 某 一些 規律 舉 個例 子 來講 人們 拿 很多 數字 去 驗證 它 看一看 就 這些 數回 到 1 需要 多少 個 步驟 人們 就 發現 說 在 N 小於 10 的 時候 N 等於 9 它 的 步驟 是 最 多 的 需要 多少 步 呢 需要 19 步 才能 回到 1 反正 也 能 回到 1 如果 是 N 小於 100 的數 從 N 等於 97 開始 它 回到 1 的 步驟 是 最 多 的 它 需要 118 步 如果 是 小於 1000 的話 從 N 等於 871 開始 回到 1 的數 那個 步驟 最 多 需要 178 步 如果 是 小於 10000 的話 就 是從 N 等於 6171 開始 回到 1 的 步驟 最 多 它 需要 261 步 反正 我 驗證 的 這些 數 不管 你 從 幾 開始 最終 都 會 回到 1 只不過 步驟 是 有 多 有 少 的 人們 對 N 小於 2⁶⁸ 以內 所有 的 正整數 都 進行 了 驗證 結果 發現 每 一個 正整數 這個 規律 都 是 成立 的 但是 你 驗證 了 這 麽 多 數字 都 成立 並不 就 意味著 所有 的 數字 都 成立 對 不 對 因為 整數 有 無窮 多個 你 驗證 了 這 麽 多 其實 還是 遠遠不夠 的 人們 對於 這個 問題 除了 可以 畫出 這個 數字 上下跳動 的 這個 冰雹 曲線 以外 還 能夠 畫出 很多 其它 有趣 的 圖 比如說 人們 可以 畫出 一個 珊瑚 圖 珊瑚 圖 珊瑚 圖是 什 麽 意思 呢 就是 你 最終 的 數字 不是 落 回到 1 了 嘛 對 不 對 1 是 怎 麽 出來 的 呢 1 應該 是 2/2 得到 的 對 不 對 2 是 怎 麽 出來 的 2 應該 是 4/2 得到 的 4 是 8/2 得到 的 這都 沒 啥 問題 吧 8 是 16/2 得到 的 16 是 32/2 得到 的 32 是 64/2 得到 的 64 是 128/2 得到 的 等等 吧 你 後面 還 可以 再 繼續 寫 但是 你 仔細觀察 16 不 一定 是 32/2 得到 的 因為 如果 你 上 一個 數字 是 5 的話 那 5×3+1 也 是 16 對 不 對 所以 16 也 有 可能 是從 5×3+1 得到 的 而 5 有 可能 是 10/2 得到 的 10 有 可能 是 20/2 得到 的 20 是 40/2 得到 的 咱們 再 看 這個 10 又 可能 是 怎 麽 來 的 10 除 的 是 20/2 以外 還有 可能 是 3×3+1 得到 的 對 不 對 所以 也 可能 上 一個 數字 是 3 3 上 一個 數字 是 6 等等 吧 你 會 發現 我們 可以 把 這些 數字 畫成 一個 非常 龐大 的 一個 圖 長 得 像 珊瑚 一樣 如果 所有 的 正整數 都 在 這個 珊瑚 圖中 能夠 找到 的話 那 是不是 就 說明 考拉 茲 猜想 是 成立 的 對 不 對 但 這件 事兒 還 沒有 證明 出來 咱們 可以 設想 一下 假如 我 能夠 找到 一個 反例 這個 反例 不在 我 這個 珊瑚 圖上 那 它 應該 是 什 麽 樣子 的 假如 能夠 找到 反例 的話 反例 其實 也 無外乎 是 兩種 可能 第一種 可能 就是 你 從 一個 數字 x₁ 出發 然後 第二個 數字 叫 x₂ 第三個 數字 叫 x₃ 然後 一直 可以 到 多少 可以 到 無窮 這個 數列 它 就 沒有 1 因為 它 一直 都 長大 長 到 無窮大 這是 有 可能 的 第一個 情況 第二種 情況 就是說 你 從 一個 數字 x₁ 出發 到 x₂ 到 x₃ ... 然後 一直 到 某 一個 數字 叫 xₙ 然後 這個 xₙ 在 算 下 一 個數 的 時候 它 又 回到 了 x₁ 它 又 回到 了 x₁ 但是 這個 數列 裏邊 這個 循環 裏邊 它 不 含有 數字 1 如果 你 有 這樣 一個 循環 這個 循環 又 沒有 1 的話 那 也 說明 了 考拉 茲 猜想 是 不 正確 的 但是 到 目前 為止 人們 這 兩種 反例 都 沒有 找到 好像 所有 的 正整數 的確 都 在 這個 珊瑚樹 中 一樣 這個 猜想 描述 起來 非常簡單 小學生 都 可以 理解 要不然 就 除以 2 要不然 就 乘以 3 加 1 最後 一定 會落 回到 1 你 說 對 不 對 吧 結果 專業 數學家 工作 了 八十年 還是 沒有 辦法 把 它 解決 掉 當然 了 解決不了 這個 問題 人們 也 提供 了 一點 進展 我們 來說 一說 對於 這個 問題 人們 已經 有 了 哪些 的 研究成果 首先 我們 要 說明 對於 這個 猜想 的 一個 等價 問題 什 麽 呢 就是 我們 從 一個 正整數 N 出發 對 吧 從 一個 正整數 N 出發 經過 這個 操作 之後 形成 一個 序列 那 麽 這個 序列 中 它 有 一個 最小值 序列 中 的 最小值 序列 中 的 最小值 我們 給它 起個 名字 叫 col(N) 它會 形成 一個 序列 這裏 邊 最小 的 那個 數字 叫 col(N) col 就是 考拉 茲 的 意思 那 麽 我們 現在 是 要 證明 什 麽 呢 我們 其實 是 要 證明 不管 這個 N 是 幾 對於 任意 的 N 來講 col(N) 都 等於 1 我們 就要 證明 這個 對 吧 對於 所有 的 正整數 col(N) 這個 序列 中 最小 的 值 都 是 1 其實 證明 這個 問題 和 證明 col(N) 小於 N 是 一樣 的 是 等價 的 什 麽 意思 呢 就是 你 只要 證明 從 任意 正整數 出發 然後 你 做出 一個 序列 來 這個 序列 中 的 最小值 比 初始 那個 值 小 你 就 一定 能夠 證明 它 最後 會 落入 到 421 循環 為什 麽 呢 你 琢磨 琢磨 假如 你 從 100 出發 然後 形成 一個 序列 之後 這個 序列 中 最小 的 那個 值 是 99 的話 那 麽 99 還有 個 後續 序列 對 不 對 99 出發 形成 的 後續 序列 中 的 最小值 是不是 小於 99 對 吧 那 它 有 可能 是 97 那 97 往後 也 有 一個 序列 這個 序列 中 最小值 又 小於 97 你 就 這樣 一直 推下去 最終 的 那個 最小值 一定 會 變成 1 對 不 對 而 1 的 下 一個 數字 就是 4 所以 它 一定 會 落入 421 循環 因此 你 要 想 證明 它 最終 落入 421 循環 你 只要 證明 不管 從 哪個 正整數 出發 它 最後 形成 的 序列 中 最小值 都 比 初始 的 N 要 小 這個 問題 就 成立 了 對 不 對 那 麽 這個 東西 到底 證明 出來 了 沒有 呢 沒有 但是 有 一些 進展 在 1976 年 的 時候 數學家 泰拉斯 得到 了 一個 定理 得到 了 一個 證明 他 說 什 麽 呢 他 說 在 自然 密度 的 情況 下 自然 密度 的 情況 下 幾乎 所有 的 正整數 N 大家 註 意 這 句 話 自然 密度 下 幾乎 所有 的 正整數 N 都 會 有 col(N) 小於 N 這個 和 我 剛才 說 的 有 什 麽 區別 我剛 才 說 的 是 所有 的 正整數 都 有 col(N) 小於 N 的話 你 就 證明 了 考拉 茲 猜想 對 吧 但 問題 是 他 證明 的 是 在 自然數 密度 下 幾乎 所有 的 正整數 都 滿足 這個 規律 什 麽 叫 幾乎 所有 呢 一會兒 我們 會 去 說明 這個 問題 幾乎 所有 並不指 的 是 所有 而 指 的 是從 比例 上 來講 這樣 的 自然數 占 絕大多數 而且 後來 人們 還對 這個 問題 進行 了 兩點 衍生 其實 它並 不是 小於 N 我 可以 證明 col(N) 它 是 小於 Nᵅ 的 而且 這個 α 人們 還 經過 了 兩次 改進 最 開始 的 時候 人們 證明 這個 α 是 0.869 就是說 這個 序列 中 最小值 你 不光 小於 初始值 你還 小於 初始值 的 0.869 次 冪 是 吧 後來 人們 又 把 這個 數字 改進 了 改進 成 0.792 就是 不光 小於 原來 的 這個 正整數 還 小於 這個 正整數 的 0.792 次 冪 越來越 小 了 但是 這個 其實 並不 重要 重要 的 是 你 能 不能 證明 所有 的 正整數 都 滿足 前面 這個 規律 你 只要 證明 對於 所有 正整數 都 滿足 這個 規律 的話 考拉 茲 猜想 就 證出來 了 對 吧 你 還是 在 自然數 密度 下 證明 了 幾乎 所有 的 正整數 都 滿足 這個 規律 那 沒有 什 麽 意義 是 吧 後來 到 了 2019 年 的 時候 2019 年 的 時候 著名 華裔 數學家 陶哲軒 他 又 做出 了 一個 證明 他 說 在 對數 密度 下 對數 密度 它 跟 自然數 密度 有點像 不太 一樣 有點像 對數 密度 下 還是 幾乎 所有 的 正整數 它 都 滿足 一個 規律 什 麽 規律 呢 就是 col(N) 它會 小於 任意 的 一個 序列 f(N) 只要 在 N 趨向於 無窮的 時候 這個 序列 f(N) 也 趨向於 無窮 就 可以 了 這個 意思 是 什 麽 呢 就是說 你 隨便 給我 一個 序列 只要 這個 序列 在 N 趨向於 無窮的 時候 它 也 趨向於 無窮 那 麽 這個 考拉 茲 序列 中 最小值 就 一定 小於 這個 序列 還 有點 繞 對 不 對 比如說 你 這個 函數 可以 是 n^0.5 可以 是 n^0.1 可以 是 log(n) 你 也 可以 是 log(log(n)) 是 吧 只要 N 趨向於 無窮的 時候 這個 序列 趨向於 無窮 那 麽 考拉 茲 序列 中 最小值 就 小於 這個 數 這個 問題 看起來 結論 比剛 才 那個 更強 一些 但 問題 是 它 依然 沒有 解決 前提 它 依然 是 對 幾乎 所有 的 正整數 滿足 這個 規律 的 是 吧 好 現在 咱們 就 來 解釋一下 所有 正整數 和 幾乎 所有 正整數 到底 有什 麽 區別 要 理解 這個 問題 我們 必須 得 講解 一下 這個 整數 集 的 密度 的 問題 什 麽 是 密度 它 和 我們 物理 上講 的 密度 不太 一樣 它 是 表示 一個 自然數 集 的 大小 程度 你 密度 越大 就 說明 你 這個 集合 越接 近於 完整 的 自然數 集 你 密度 越 小 就 說明 你 在 這個 自然數 集中 占 的 比例 就 越 小 這個 密度 值 應該 是 在 0 到 1 之間 的 一個 數字 0 到 1 之間 的 數字 完整 的 定義 是 比較 復 雜的 我 把 它 寫 在 這個 屏幕 上 大家 可以 截個 圖 自己 去 研究 一下 但是 我們 可以 通過 一個 例子 來說 明 這個 道理 比如說 我們 就 定義 一個 集合 這個 集合 叫 平方 數集 平方 數集 就是 1² 2² 3² 4² ... 對 吧 有 無窮 多個 平方 數 這個 集合 有 無窮 多個 元素 那 麽 它 和 自然數 集比 起來 它 的 密度 是 多 大 呢 它 也 是 無窮 多個 自然數 集 也 是 無窮 多個 沒法 比 對 不 對 怎 麽 辦 數學家 們 想 了 一個 辦法 截斷 你 這個 無窮 多 個數 沒法 比 我先 看前 100 個 我 再 看前 1000 個 我 再 看前 10000 個 對 吧 我 讓 截斷 的 這個 位置 趨向於 無窮 再 去 比較 你們 之間 的 比例 不 就 能夠 比 了 嗎 對 不 對 這 就是 第一種 方法 我們 來畫 一個 表格 首先 我們 來說 一個 截斷 的 位置 就是 這個 元素 的 最大值 最大值 N 這個 N 比如說 100 第二行 這個 N 有 10⁴ 第三行 這 N 是 10⁶ 直到 最後 我們 要 把 它 變到 無窮 是不是 好 我們 來看 那 你 在 100 以內 你 這個 元素 我們 叫 aᵢ aᵢ 小於 等於 N 這樣 的 元素 有 幾個 呢 它 的 個數 叫 n 咱們 想一想 完全 平方 數 小於 100 的 有 幾個 是不是 有 10 個 1² 2² ... 一直 到 10² 小於 等於 100 所以 這個 n 就是 10 個 那 這個 平方 數 小於 10⁴ 的 數有 幾個 是不是 有 100 個 平方 數 小於 10⁶ 的 數有 幾個 有 1000 個 對 不 對 小於 無窮的 數 當然 是 有 無窮 多個 了 好 再往 下 看 那 麽 我們 就 有 一個 密度 了 這個 密度 我們 就 用 n/N 就是 小於 N 的 元素 個數 占 n 的 比例 我們 把 這個 比例 算 出來 在 100 以內 的話 用 10/100 是 10% 用 100/10⁴ 是 1% 用 1000/10⁶ 是 0.1% 大家 發現 了 嗎 隨著 你 這個 N 越來越 大 這個 比例 越來越 下降 就 說明 在 自然數 範圍 內 這個 完全 平方 數 其實 是 越來越少 的 你 取 的 這個 範圍 越大 完全 平方 數就 越 小 那 麽 如果 你 把 這個 範圍 取 到 無窮大 呢 在 無窮大 的 範圍 內有 多少 個 完全 平方 數呢 有 無窮 多個 但是 比例 是 多少 比例 是 0 這就 說明 在 自然 密度 下 完全 平方 數的 密度 是 0 我們 就 說 幾乎 所有 的 數都 不是 完全 平方 數 這 就是 在 自然數 密度 下 幾乎 所有 的 含義 但是 你 能 說 沒有 完全 平方 數 完全 平方 數有 無窮 多個 對 不 對 所以 幾乎 所有 和 所有 完全 不是 一 回事 咱們 再來 說一說 陶哲軒 這個 對數 密度 是 什 麽 意思 對數 密度 是 另外 一種 密度 就是 你 先 把 小於 等於 N 的 所有 的 元素 aᵢ 都 找 出來 然後 把 這些 aᵢ 做 一下 倒數 和 數學 語言 叫 調和級數 對 吧 把 這個 調和級數 求 出來 然後 用 這個 和 再 去除 以 log(N) 除 完 了 之後 得出 一個 比例 來 你 會 發現 在 100 以內 這個 數是 33.6% 在 10⁴ 以內 是 17.7% 下 一 個數 是 11.9% 到 無窮的 時候 這個 數會 趨於 0 那 麽 為 什 麽 用 這個 表達式 來 表達 呢 這個 分母 log(N) 的 含義 其實 就是 歐拉 公式 調和級數 求和 公式 是 log(N) 我們 這裏 不 仔細 講了 反正 你 用 這種 方法 也 能夠 表示 出來 這個 集合 的 元素 個數 占 總共 自然數 的 元素 個數 的 比例 而且 可以 證明 如果 在 自然 密度 下 你 能求 出 一個 集合 的 密度 的話 那 麽 這個 密度 是 和 對數 密度 下 集合 的 密度 是 一樣 的 是 吧 這個 又 比較 復 雜 我們 也 不 仔細 解釋 了 反正 總而言之 陶哲軒 的 工作 依然 是 證明 了 絕大多數 的 自然數 出發 你 都 會 滿足 考拉 茲 猜想 但是 是不是 所有 的 數字 都 滿足 呢 還是 不 知道 雖然 這個 問題 表述 起來 非常容易 但是 八十多年 來 數學家 們 前赴後繼 依然 沒有 解決 它 甚至於 我們 想 了解 一下 研究進展 都 需要 學習 很多 高等數學 的 知識 足見 這個 問題 的 復 雜性 那 麽 有 數學家 就 說 人類 的 數學 工具 還 沒有 發達 到 足以 解決 如此 復 雜的 數學 問題 甚至 有 美國 數學家 開玩笑 說 這個 問題 就是 蘇聯 人提 出來 的 目的 就是 為 了 攪亂 美國 數學家 的 研究 進程 雖然 職業 數學家 解決不了 這個 問題 但是 我 上網 一 搜 發現 我們 很多 民間 科學家 卻 已經 把 這個 問題 解決 了 他們 一般 使用 的 都 是 初等數學 的 觀點 論文 也 不長 有的還 發表 在 正規 的 學術期刊 上 真是 讓 人 非常 唏噓 無論是 愛因斯坦 提出 狹義 相對論 還是 羅巴切 夫斯基 創立 了 非歐 幾何 都 是 在 充分 理解 前人 工作 基礎 之上 得出 的 新 的 科學研究 進展 在 現在 這樣 一個 信息 交流 充分 發達 的 社會 裏面 希望 通過 撿漏 來 獲得 研究 突破 幾乎 是 不 可能 的 與其 把 大 把 的 時間 花 在 解決 哥德巴赫猜想 或者 冰雹 猜想 這樣 的 世界級 難題 上 不如 多去 讀 幾本書 也許 對 我們 的 幫助 更大 中國 有句 古話 與其 臨淵羨魚 不如 退而結網 在 數學 上 是 如此 在生活中 也 是 如此 大家 如果 喜歡 我 的 視頻 可以 在 YouTube 賬號 李永樂 老師 裏 訂閱 我 點擊 小 鈴鐺 可以 第一 時間 獲得 更新 信息