明天 的 太阳 还会 升起 吗 ？ 颠覆 你 对 概率 的 认知 ！
各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師
最近 有個 小朋友 跟 我 說
這 兩年 世界 好像 很 不 太平
每天 都 會 發生 各種各樣 的 意外
他 都 在 懷疑 明天 的 太陽 會 不會 升 起來 了
你 知道 嗎
在歷史上 法國 著名 的 科學家 拉普拉斯
真的 計算 過 太陽升 起來 的 概率
這個 計算 過程 略微 有 一些 繁瑣
但是 如果 你 能夠 看 懂 這個 過程 的話
你 一定 會 對 概率論 有 更加 深刻 的 認識
而且 使用 這種 理論
你 可以 更好 地 理解 生活 中 的
必然 事件 和 意外事件
今天 我們 就 一 起來 研究 一下
太陽升 起來 的 概率 有 多 大
有人 說 我 活得 這 麽 大 天天 太陽 都 升 起來
難道 不是 必然 事件 100% 嗎
這個 問題 我們 可以 用 一個 模型 來 跟 大家 說
大家 看 假如 說 這裏 有 一個 盒子
這個 盒子 是 封閉 的
你 也 看不見 裏邊 是 什 麽
但是 你 知道 那裏 邊有 一大堆 的 球
這些 個球 不是 白球 就是 黑球
可能 只有 白 和 黑 兩種 情況
好 現在 你 進行 了 有 放回 的 抽取
有放回 的 抽取
什 麽 叫 有 放回 的 抽取 呢
就是 你 每 抽 一個 你 都 看 一眼
看 完 了 之後 你 把 它 放 回去
然後 下次 接著 抽 是 吧
那 這種 情況 下 你 每 一次 抽
抽到 白球 的 概率 是不是 都 是 相等 的 對 吧
然後 你 就 抽 了 n 次
抽 了 n 次 之後 結果 你 發現
有 k 次 這個 球是 白色 的
有 k 次 抽到 了 白色 的 球
求 這個 盒子 裏邊 白色 球 的 比例 是 多 大
那 麽 我們 應該 知道
這個 比例 應該 就 等於 你 每 一次 抽取 時
這個 抽到 白球 的 概率 對 不 對
那 我們 想象 一下
假如 你 連續 抽 了 5 次
結果 發現 5 次 全都 是 白 的
你 是不是 就 有 100% 的 把握 說
這個 盒子 裏 全都 是 白球 呢
那 如果 你 抽 了 10 次 發現 10 次 都 是 白 的
你 是不是 確定 這個 盒子 裏 全都 是 白球 呢
假如 你 連續 抽 了 5000 年
這 5000 年 中 的 每 一天 你 都 抽 一次
發現 這個 球 都 是 白 的
你 是不是 能 確定 這個 盒子 裏 全都 是 白球 呢
這不 就是 太陽升 起來 的 問題 嗎
好 那 麽 這個 問題 我們 該 怎 麽 去 求解 呢
使用 不同 的 方法
我們 可以 得到 不同 的 結論
我們 將會給 大家 展示 兩種 方法
其中 第二種 方法 是 拉普拉斯 的 結論
我們 首先 來說 第一種 方法
第一種 方法 我們 可以 得出 這樣 一個 結論
就是 這個 比例
應該 等於 k/n 就是 你 抽 了 n 次
其中 有 k 次白球 那 我 就 認為
你 這個 盒子 裏 最 有 可能 的 白球 比例
是 k/n 是 吧
為什 麽 是 這樣 的 呢
我們 來 研究 一下 算法
首先 我們 假設
這個 盒子 裏邊 的 白球 比例 是 θ
所以 你 抽到 白球
很 顯然 它 的 概率 就 應該 是 θ 對 不 對
假如 你 的 比例 是 50% 的話
那 麽 抽到 白球 的 概率 就是 50%
黑球 你 不是 白球
自然 就是 黑球
那 麽 抽到 黑球 的 概率 就是 1-θ
這是 一次 對 吧
你 抽 一次 的話 白球 的 可能性 這 麽 大
黑球 的 可能性 這 麽 大
現在 你 抽 了 n 次
然後 有 k 次 是 白球
你 說 這個 概率 怎 麽 算
抽 了 n 次
有 k 次 是 白球
抽 一次 白球 概率 是 θ
所以 應該 是 θ^k
剩下 的 那個 n-k 次 它 不是 黑球 嗎
概率 是 1-θ
所以 是 (1-θ)^(n-k)
大家 註 意
我們 這裏 並 沒有 乘以 那個 二項式 分布 的 C(n,k)
這個 原因 是 什 麽
我們 這裏 不 解釋 了
大家 如果 有 問題
可以 在 評論 區 裏邊 留言 討論一下
但是 我們 確實 是 不 需要 乘 的
好 我們 得到 了 這個 概率 之後
我們 想一想 抽 n 次 有 k 次白球
這件 事 它 已經 發生 了
那 我們 認為 發生 的 事 概率 應該 是 最大 的 對 不 對
為什 麽 有 很 多種 可能性
但是 卻 發生 了 這種 可能性 呢
因為 這個 概率 大
比如 一個 人 天天 鍛煉 身體
結果 他 長命百歲 了
為什 麽 呢
因為 他 鍛煉 身體
他 長命百歲 的 概率 就 大 對 不 對
所以 我們 認為 發生 的 事 概率 就 最大
這是 最 有 可能 的
所以 我們 應該 將 右邊 的 這個 函數 讓 它 什 麽 呢
最大化
因為 這件 事 已經 發生 了
所以 它 的 概率 就 應該 是 最大 的
我們 要 最大化 這個 概率
最大化 的 概率 調整 誰 呢
就是 這個 θ 對 吧
這個 θ 是 可以 調整 的
那 我 就 問了
如果 想 最大化 這個 概率 的話
那 θ 應該 等於 幾 呢
對 這個 函數 求 最大值
求 最大值 有什 麽 方法
我們 可以 對 它求 導數 是 吧
但是 在 求導 之前 我們 先取 一次 對數
這樣 求導 更 容易
我們 取個 對數 lnP 是 吧
這個 是 高 中學 的
lnP 等於 什 麽 呢
等於 klnθ+(n-k)ln(1-θ)
等於 這 麽 個 結果
然後 我們 對 P 求 最大值
其實 也 就是 對 lnP 求 最大值
因為 ln 函數 是 個 增函數 對 不 對
所以 我們 對 它求 導數
dlnP/dθ 對 θ 求 導數
求 完得 啥 呢
等於 k/θ-(n-k)/(1-θ) 對 吧
如果 想 讓 這個 函數 最大
那 麽 它 的 導數 應該 為 多少 為 0 吧
這是 高 數裏 邊的 一個 基本 的 觀點 是 吧
好 在 導數 為 0 的 情況 下解 這個 方程
我們 就 可以 得到 一個 結論 了
這個 結論 就是 θ=k/n
好 這 就是 最有 可能 的 結果
什 麽 叫 最 有 可能 結果 呢
就是 θ 這個 比例 它 是 0 到 1 之間 的 一 個數
如果 你 取 k/n 的話
那 麽 抽 n 次 得到 k 次白球 的 概率 就 最大
這是 一種 最 合理 的 一個 答案 是 吧
所以 我們 管它 叫 最 可能 的 一個 比例
最 可能 的 一個 比例
那 麽 如果 你 要是 按照 這個 結論 來說 的話
咱們 思考 一下
假如 你 抽 了 5 次
然後 你 5 次 全都 是 白球
那 麽 請問 白球 的 比例 是 多少
你 應該 回答 別人 說
最有 可能 的 比例 就是 1 對 不 對
100% 全都 是 白球
為什 麽 呢
因為 你 抽 5 次 5 次 全都 是 白 的
所以 最有 可能 的 就是 這 盒子 裏 全都 是 白球
不過 大家 註 意
最有 可能 的 結果 並 不是 必然 的 結果
很 有 可能 這裏 邊有 黑球 你 沒有 看見
我們 來畫 一個 圖 研究 一下
假如 我們 畫 一個 橫坐標
表示 的 是 這個 盒子 裏面 白球 的 比例
而 這個 縱 坐標 是 我們 抽 了 5 次
並且 5 次 全都 是 白球 是 吧
你 會 發現 如果 這個 θ 是 0 的話
那 麽 你 不 可能 抽出 白球來
所以 這個 概率 也 是 0
如果 這裏 面 全都 是 白球 θ 是 1 的話
那 你 抽 5 次 必然 5 次 都 是 白球 是 吧
所以 它 的 這個 函數 圖像 它 大概 是 長 這個 樣子
大概 是 長 這個 樣子
這個 值 是 1 這塊 是 100%
大概 是 這樣
好 我們 會 發現 如果 這裏 面 的 比例
白球 比例 是 1 的話
那 麽 這個 概率 是 100%
就是 他 一定 要 抽 5 次 全都 是 白 的
但 如果 你 這個 裏面 只有 80% 是 白球
你 會 發現 它 也 有 33% 的 概率
5 次 全都 抽出 白球來
如果 你 這裏 邊 只有 60% 的 白球
它 也 有 8% 的 概率 連抽 5 次 全都 是 白 的
所以 你 僅僅 憑 借連 抽 5 次 都 是 白 的
你 一定 能夠 確定 這個 盒子 裏 全是 白球 嗎
不 一定
只是 這個 可能性 最大
所以 到 目前 為止
我們 看 我們 連續 觀察 了 太陽 5000 多年
這 5000 多 年來 太陽 每天 都 是 會升 起來 的
所以 我們 說 最 有 可能 的 結果 就是
太陽升 起來 的 概率 是 1
表示 的 是 明天 太陽 一定 會 升 起來
但 這 僅僅 是 最 有 可能 的 結果
它 不是 必然 的 結果
大家 能 明白 這個 意思 嗎
就是說 太陽升 起來 的 概率 是 100%
是 最 合理 的 結果
但 它 不是 必然 的 結果
還 存在 其他 的 可能
那 麽 拉普拉斯 對 這個 問題 又 怎 麽 回答 的 呢
他 的 回答 是 另外 一個 答案 是 吧
還是 這個 白球 黑球 的 問題
如果 我們 按著 拉普拉斯 的 方法
這個 比例 就 不是 k/n 了
它 應該 是 (k+1)/(n+2)
他 認為 這個 估計 是 更好 的
就是 你 通過 抽 n 次 發現 有 k 次白球
那 麽 你 最 合理 的 一個 估計 是
白球 的 比例
是 (k+1)/(n+2) 這 麽 多 是 吧
這個 就是 拉普拉斯 的 一個 這個 估計
好 那 麽 我們 來 研究 一下
拉普拉斯 為什 麽 說 這個 估計
比剛 才 那個 估計 更好 呢
他 的 這種 方法 實際上 是 使用 的 貝葉斯 的 方法
貝葉斯 公式 其實 就是 條件 概率 公式
它們 沒有 太 大 區別
比如說 我們 定義 兩件事
這個 A 事件 就 表示 的 是 白球 的 比例
白球 的 比例
當然 這個 A 可能 等於 不同 的 值
比如說 什 麽 0.1 0.2 0.3 0.4 都 有 可能
然後 我們 再 定義 事件 B
這個 事件 B 就是 抽取 抽球
比如說 你 可能 抽 了 5 次 看到 有 3 個白 的
你 可能 抽 了 100 次 看到 有 10 個白 的 等等
A 和 B 是 兩個 事件
好 那 麽 現在 我們 想 計算 一下
說 在 某 一種 情況 下
我們 已經 做 了 一些 抽取 了
比如說 我 抽 了 5 次 看到 5 次全 是 白 的
在 這種 情況 下
對白 球 比例 的 一個 估計 怎 麽 估計
這個 概率 有 多 大
按照 貝葉斯 的 公式 這個 概率 等於 什 麽 呢
這個 概率 等於 P(B|A) 再 乘以 P(A)
然後 再 除以 P(B)
這個 公式 其實 我們 在 之前 已經 說過 很 多次 了
我們 再來 解釋 一遍 什 麽 意思
P(A|B) 就 意味著 在 B 發生 的 情況 下
A 發生 的 概率 這叫 條件 概率
它 等於 什 麽 呢
它 等於 A 的 概率 在 乘以 A 發生 的 情況 下
B 發生 的 概率
然後 再 除以 事件 B 發生 的 概率
這 就是 所謂 的 貝葉斯 公式
那 麽 這個 貝葉斯 公式
它 這裏 面 的 每個 部分 我們 還有 一些 說法
咱們 再 看
首先 這裏 有個 P(A)
這個 P(A) 是 什 麽 呢
就是 在 我們 沒有 摸球 的 情況 下
白球 的 各種 可能 的 比例
這個 我們 管它 叫 先驗概率
先驗概率 就是 我還 沒有 摸球
你 就 猜 這裏 邊有 多少 白球
這叫 先驗 的 概率
然後 你 摸球 了 這個 B 就是 表示 你 摸球 了
你 摸 完 了 球 之後
你 對 這個 盒子 裏 的 這個 白球 的 比例
有 一個 重新 的 估計 對 不 對
這個 重新 的 估計
就 叫後驗 概率
比如說 一個 同學 他 在 考試 之前
你 不 知道 他 學習成績
這時候 你 對 他 有 一個 估計
這 叫做 先驗 估計
結果 一 考試 發現 他 是 個 天才
所以 你 對 他 有 一個 新 的 估計
就 叫後驗 的 一個 概率
好 先驗 和後驗 都 有 了
那 麽 中間 還有 一個 P(B|A)
就是 在 A 這種 情況 下 B 發生 的 概率
這個 我們 管它 叫 似然 函數
這些 事 都 是 這個 概率論 裏邊 的 一些 說法
似然 函數
好 最後 你 還要 除個 P(B)
這個 玩意 我們 可以 管它 叫 歸一化 常數
說 到 這 可能 很多 同學 都暈 了
不 知道 你 在 說些 什 麽 玩意
它 其實 意思 就是說
你 本來 對 某 一件 事有 一個 先驗 的 估計
這叫 所謂 的 先驗概率
然後 你 進行 了 一些 測試
這 就是 B
當你 做 完 了 測試 之後
你 重新 對 它 有 一個 估計 就 叫後驗 概率
你 怎 麽 從 這件 事兒 得出 一個 新 的 這種 估計 呢
用 貝葉斯 的 這種 方法 就 可以 得到 了
當然 我們 上面 寫 的 這個 方程
一般來講 是 離散 型 的 方程
但 如果 我 把 它 修正 成 一個 連續型 的 方程
我們 就 不能 用 概率 來 表示 了
而 要 用 一個 新 的 說法 叫做 概率密度
我舉 個例 子
這裏 邊的 白球 比例 它 就 不是 一個 離散 型 的 函數
白球 比例 不 一定 非得 是 0.1 0.2 0.3 0.4
它 也 可以 是 0.15
它 也 可以 是 0.155
它 也 可以 是 0.1556
所以 它 是 在 0 到 1 之間 都 有 可能 的
因此 我們 說 你 要求 的
是 這個 比例 在 不同 數值 下 的 概率密度函數
那 麽 我們 仿照 剛才 的 寫法
我們 要求 的 就是 f(θ|nk)
意思 是 你 抽取 了 n 次 有 k 次白球
這 實際上 就是 事件 B 對 不 對
在 這種 條件 下
你 能 不能 給我 估計 一下
不同 的 比例 值 它 的 概率 有 多 大
按照 貝葉斯 公式 的 估計
它 等於 什 麽 呢
仿照 上面 的 寫法
它 等於 f(nk|θ)
就是 在 不同 的 白球 比例 情況 下
抽 n 次 拿到 k 次白球 的 概率密度
再 乘以 一個 f(θ)
乘以 一個 你 最 開始 對 這裏 邊有 多少 白球 的
一個 概率 的 估計
然後 再 除以 一個 歸一化 的 常數
這個 歸一化 的 常數 比較 難解 釋
我們 也 不 解釋 了
結論 是 一個 積分 從 0 到 1 f(nk|θ)f(θ)dθ
它 的 意思 是 啥 呢
就是說 你 這個 θ 這個 比例 是從 0 到 1
所有 值 都 有 可能 的
你 把 從 0 到 1 所有 的 可能性
再 乘以 在 這種 相應 概率 下
抽 n 次 得到 k 次白球 的 概率
把 它們 乘 到 一塊
就是 總共 的 抽 n 次 得到 k 次白球 的 概率 了
然後 你 再 把 它 一除 就 跟 上面 公式 一模一樣 了
所以 我們 就 可以 從 一個 離散 的 貝葉斯 公式
變到 一個 連續 的 概率密度 的 這樣 的 一個 公式
好 現在 我們 對 這個 公式 進行 處理
首先 我們 知道 什 麽 呢
你 最 開始 沒有 進行 觀察 的 時候
你 根本 不 知道 這裏 邊白球 的 比例 有 多 大
這個 盒子 裏 有 多少 白球
你 根本 不 知道 對 吧
所以 你 最 開始 必須 得 猜
我們 就 猜
猜 這個 先驗 的 概率 f(θ)
它 等於 1 θ 是 在 0 到 1 之間
也就是說 這個 盒子 裏邊 白球 的 比例 是 多少
都 是 等 可能 的
所以 我們 說 不管 你 θ 是 多 大
那 麽 這個 f(θ) 都 是 1
就 表示 所有 的 可能性 概率 都 是 相等 的
好 這 就是 先驗 的 概率
那 麽 似然 的 概率 又 是 多 大 呢
f(nk|θ)
就是 在 你 已知 這個 盒子 裏
有 θ 比例 白球 的 情況 下
抽 了 n 次 得到 k 次白球 可能性 有 多 大 呢
跟 剛才 一樣
θ^k·(1-θ)^k 對 吧
得到 這 麽 個 結果
第三個 就是 這裏 邊的 歸一化 常數
這個 歸一化 常數 有 多 大 呢
我們 把 它代 進去
它 應該 是 0 到 1 之間
然後 θ^k·(1-θ)^k
再 乘個 1 再 乘個 dθ
那 麽 如果 高數 非常 厲害 的 小夥伴
應該 能 看 出來 的
這個 實際上 是 貝塔 函數
貝塔 函數 是 有 一個 固定 的 結果 的
我們 可以 把 它 寫 出來
結果 是 k!(n-k)!/(n+1)!
階乘 知道 啥意思 吧
就是 1×2×3×4×... 一直 乘到 那 個數 為止 是 吧
好 這 就是 一個 歸一化 常數 了
現在 右邊 的 這三項 我 都 知道 了
這個 我 知道 了 在 那兒
這個 我 也 知道 在 這兒
這個 我 也 知道 在 這兒
我 把 它 統統 代 進去
我 不 就 得到 了 左邊 的 這個 後 驗 概率 了 嗎
就是 抽 n 次 之後 有 k 次白球
那 麽 你 這個 θ 的 概率 情況 是 如何 的
所以 我們 就 會 得到 f(θ|nk)
等於 這個 乘 這個 再 除以 這個 對 吧
所以 它 等於 (n+1)!/(k!(n-k)!)×θ^k(1-θ)^k
好 我們 就 得到 這 麽 個 結果 了
這個 函數 太 復 雜了
咱們 稍微 地 解釋一下
舉 個例 子
比如 我們 現在 已經 抽 了 n 次
結果 發現 這個 n 次 裏邊 有 k 次白球
n 和 k 都 是 5
我們 已經 抽 了 5 次 了
結果 發現 這 5 次 全都 是 白球 是 吧
代到 這個 函數 裏邊 去
此時 我們 認為 θ 的 概率密度 在 抽 5 次
5 次 都 是 白球 的 這個 情況 下 它 等於 什 麽 呢
它 等於 6 倍 的 θ^5 等於 這 麽 一個 函數
我們 把 它畫 出來
橫坐標 是 θ
縱 坐標 是 剛才 說 的 這個 f 是 吧
然後 θ 是 在 0 到 1 之間 的
你 會 發現 它 的 這個 函數
跟剛 才 那 函數 長 得 非常 非常 像
唯一 的 區別 就是
它 最後 會 達到 6
當 θ 等於 1 的 時候 這個 概率密度 是 6
它 的 意思 是 什 麽 呢
就 它 依然 承認
此時 θ 是 1 的 可能性 是 最大 的
但是 θ 是 其他 值 的 可能性
它 也給 你 表示 出來 了
就是 它 不光 承認
這裏 邊 全都 是 白球 的 可能性 最大
它還 表示 說 其它 的 這個 比例 也 是 存在 的
而且 每 一種 比例 的 概率 有 多少 它 都 告訴 你 了
好 那有 了 這個 結論
我們 就 可以 計算出來 這裏 邊 平均 的 白球 比例 了
也 就是 白球 的 比例 的 期望值 是 吧
就是 這 盒子 裏邊 白球 的 比例
它 有 不同 的 可能性
那 麽 這些 可能性 的 期望值 是 多少 呢
它 應該 做 一個 積分 從 0 到 1 之間
然後 用 θ×f(θ|nk) 是 吧
用 這個 值 然後 再 乘個 dθ
就 表示 的 是 每 一種 θ 的 比例
再 乘以 相應 的後驗 概率
乘 完 了 之後 把 它 積分 起來
最後 的 結論 是 多少 呢
這個 結論 非常簡單
就是 (k+1)/(n+2)
而 這個 就是 當年 拉普拉斯 得出 的 一個 公式
就 這個 公式 告訴 我們 什 麽 呢
就是說 它 計算出來 了
在 不同 的 這個 比例 的 情況 下 它 的 概率
然後 又 把 這些 個 概率 再 乘以 相應 的 比例
把 它 作 了 一個 期望
也 就是 它 所求 的 是 這個 盒子 裏邊 的 比例 的 期望
換回 到 太陽 的 問題 中
太陽 有 可能 會 升 起來 也 有 可能 會不升 起來
每 一天 太陽 升起 的 概率 是 在 0 到 1 之間 的
這就 好像 是 這個 盒子 裏面 它 白球 的 比例 一樣
那 麽 拉普拉斯 的 分析 就是 對 這個 概率
做 了 一下 概率分布 的 研究
概率 的 概率分布
然後 把 這個 概率 求出 了 一個 期望值
這個 期望值
就是 (k+1)/(n+2) 對 不 對
假如 說 你 連續 抽 了 5 次
然後 發現 5 次 全都 是 白球
那 麽 你 應該 說
這個 盒子 裏面 的 白球 的 比例 的 期望值
應該 是 6/7 而 不是 100%
如果 你 要是 抽 了 100 次
然後 發現 100 次 全都 是 白球 的話
那 麽 你 應該 說 這個 白球 的 比例 的 期望值
是 101/102 而 不是 100%
同樣 道理
假如 我們 已經 觀察 了 5000 多年
5000 年
這 5000 年 中 每 一年 都 有 365.25 天
一共 有 1826250 天
在 這種 情況 下 你 發現
這個 每 一天 太陽 都 升 起來 了
所以 抽出 白球 或者 太陽升 起來 的 這個 數量
也 是 1826250 天
所以 按照 拉普拉斯 的 算法
太陽 明天 還會升 起來 的 概率
就 等於 (k+1)/(n+2)
它 等於 多少 呢 99.999945% 這 麽 大
大約 還有 1/200 萬 的 可能性
明天 的 太陽 是 升 不 起來 的
拉普拉斯 亞是 法國 著名 的 科學家
他 在 數學 物理 工程 等 方面
都 有 極高 的 成就
比如說 數學 中有 拉普拉斯 變換 拉普拉斯 算子
物理 上 的 拉普拉斯 完成 了 巨著
《 天體力學 》5 卷本
發展 了 太陽系 起源 的 星雲 學說
最早 提出 了 黑洞 還有 引力 坍塌 的 這個 概念
拉普拉斯 是 拿 破 侖 讀書 時候 的 老師
拿 破 侖 上臺 之後 還把 他 任命 為 法國 的 內政部長
雖然 只有 6 個 星期
後來 就 因為 他 總是 在工作中 追求 一些 細枝末節
沒有 辦法 做出 正確 的 判斷
被 拿 破 侖 給 罷免 了
有 一次 拉普拉斯 拿 著 自己 的 著作 給拿 破 侖 看
拿 破 侖 看 完 了 之後 說
為什 麽 你 的 著作 裏 從來 就 沒有 出現 上帝 呢
因為 我們 知道 牛頓 經常 說
第一 推動力 是 上帝 是 吧
拉格朗 日 也 是 這樣 說 的
但是 拉普拉斯 卻說 陛下 我們 不 需要 這個 假設
作為 一名 科學家
拉普拉斯 當然 明白
太陽 升起 是 因為 地球 自轉 的 結果
是 受到 力學 規律 統治 的 必然 事件
他 之所以 把 這個 問題 當做 是 一個 概率 問題 處理
是 因為 人類 對於 物理 世界 的 規律 和 認識
還是 不 全面 的
存在 一定 的 未知 和 誤差
而 概率 正是 反映 人類 認知 的 不足
相反 如果 人類 對 世界 是 了如指掌 的
那 麽 概率 就 不 存在 了
一切 就 都 是 確定 的 了
比如 拉普拉斯 只 知道 太陽 升起 了 5000 多年
但 我們 知道 太陽 已經 升起 了 45 億年 了
所以 我們 認為 這個 太陽 升起 的 概率
比 拉普拉斯 算 出來 的 結果 更大 一些
拉普拉斯 還 設想 了 一只 妖怪
說 假如 它 知道 目前 世界 上 所有 粒子 的 所有 性質
還 知道 所有 的 物理 規律
它 的 智力 足夠 強大
以至於 可以 對 這些 數據 進行 分析 和 推演
那 麽 對於 這個 妖怪 來說
未來 就 會 像 過去 一樣 是 清晰可見 的
沒有 什 麽 東西 是 不 確定 的 了
這個 就是 著名 的 拉普拉斯 妖
有 機會 再來 給 大家 講一講 這個 妖怪 的 故事
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