什么 是 公平 ？如何 分配 利益 才能 大家 都 满意 ？李永乐 老师 讲切 蛋糕 问题 (1) What is fairness? How to distribute benefits so that everyone is satisfied? Teacher Li Yongle talks about cake cutting (1) 公平性とは？誰もが満足するように利益を分配する方法は？李永楽先生がケーキカットについて語る (1)

各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師

最近 有個 朋友 跟 我 說 他 遇到 了 兩件 煩心事

第一件 是 家裏 的 兩個 小朋友

總是 因為 搶 玩具 和 食物 而 打架

第二件 事 就是 馬上 就要 到 年底 了

他 需要 製作 一個 方案

來給 部門 的 下屬 分配 各種 獎勵 部署の部下に各種報酬を配布するため

有 的 獎勵 是 現金

也 有 晉升 的 機會 以及 各種 榮譽

每年 到 了 這個 時候 部門 裏面 就 會 雞飛狗跳

所有人 都 覺得 自己 拿少 了

甚至 發生 過 有人 去 上級 主管部門

舉報 自己 同事 的 事兒

所以 他 就 想問 我

有沒有 一種 方法 可以 讓 大家 都 滿意 呢

其實 這個 問題 在 數學 上 是 有解 的

稱 之 為切 蛋糕 問題

我們 今天 就 來講 一講

如何 能夠 讓 大家 都 滿意 地 分配 一塊 蛋糕

首先 我們 先 來講 一講

公平 的 切 蛋糕 方法 是 什 麽

那什 麽 叫 公平 呢

我們 在 數學 上 可以 這樣 定義 公平

如果 有 N 個人 去 分 一塊 蛋糕

那 麽 N 個人 的話

每 一個 人 都 可以 拿到 一塊 蛋糕

拿到 多少 呢

都 拿到 不 少於 1/N 的 蛋糕

如果 每 一個 人 都 拿到 了 不 少於 1/N 的 蛋糕

我們 就 稱 這種 分配 方法 是 公平 的

有人 說 那 一共 就 一塊 蛋糕

你 有 N 個人 的話

每個 人 都 不 少於 1/N

那 不 就是 每個 人 都 是 1/N 嗎

其實 不是 這樣 的

因為 每 一個 人 對於 蛋糕 的 不同 部分

喜好 是 不 一樣 的

就 比如說 吧

這 一塊 蛋糕 有 的 地方 是 奶油

有 的 地方 是 草莓

那 有人 喜歡 奶油 有人 喜歡 草莓

你 把 喜歡 奶油 的 這 一部分 給了 喜歡 奶油 的 人

他 就 會 覺得 自己 獲得 的 收益 超過 1/2

同樣 另外 一部分 喜歡 草莓 的 人

你 把 這個 草莓 給他

他 就 會 覺得 自己 的 收益 也 超過 1/2

這就 叫 每 一個 人 拿到 的 部分 都 不 少於 1/N

再 生活化 一點

比如 有 一個 老人 去世 了 他 留下 了 一些 遺產

有 房子 有 車子 還有 現金 要給 三個 兒子

那 麽 有 的 兒子 可能 特別 喜歡 房子

他 覺得 這個 房子 是 最 值錢 的

也 有人 可能 特別 喜歡 車

也 有人 可能 特別 喜歡 現金

所以 如果 你們 按照 正確 的 方式 去 分配 的話

可能 所有人 都 會 覺得 自己 拿到 的 超過 了 1/3

那 這 就是 一個 比較 好 的

或者說 比較 公平 的 一個 分配 的 方案

好 那 我們 現在 說 比較簡單 的 情況

我們 怎 麽 樣 公平 地 分配 一塊 蛋糕 呢

比如說 如果 只有 兩個 人分

那 這個 問題 就 會 變得 比較簡單

我們 只 需要 采用 一個 經典 的 方法

那 就是 我切 你 選 就 可以 了

什 麽 叫 我切 你 選 呢

就是說 一共 不是 兩個 人 嗎

我們 設置 為 A 和 B

首先 我們 讓 A 去切 蛋糕

你 把 這個 蛋糕 切成 兩份

切成 兩份 了 之後 B 先選

一共 兩個 人

你 B 沒有 切 蛋糕 那個 你 先選

你 選完 了 之後 剩下 那 一塊 就給 A 就行了

你 用 這種 分配 方法

你 就 會 發現 A 和 B 都 覺得 它 是 公平 的

為什 麽 呢

咱們 仔細 看 這是 一塊 蛋糕

A 在 切 它 的 時候 他 就要 考慮 了

一會兒 我 可是 後 選 的 對 不 對

所以 B 如果 把 好 的 那個 拿走 了

我 剩下 那個 不 就 不好 嗎

那 我 為 了 讓 自己 能夠 獲得 最大 的 收益

A 會 怎 麽 做

A 一定 會 想盡 一切辦法

把 它 切成 比較 均勻 的 兩份 對 不 對

當然 這種 均勻 或者說 公平 是從 A 的 角度 來看

A 認為 左邊 的 這 一半 值 1/2

右邊 的 這 一半 也 值 1/2

這 是從 A 的 視角 去 看

但是 B 也 這 麽 認為 嗎

那 可不 一定

因為 這是 在 A 的 視角

A 可能 喜歡 奶油

所以 他 認為 這 一半 值 1/2

那 一半 也 值 1/2

而 B 可能 他 不 喜歡 奶油

所以 他 可能 認為 左邊 這 一半 就是 垃圾

所以 左邊 這 一半 它 只值 1/4 的 效用

而 右邊 的 這 一半 它值 3/4

所以 B 先選 B 會 非常高興

B 說好 我 現在 選 我選 右邊 這 一半 對 不 對

我選 右邊 這 一半 之後

我 就 可以 拿到 3/4 的 效用

我 相當於 是 把 3/4 蛋糕 拿走 了 是不是

而 A 呢

A 就 拿 左邊 這 一半 A 也 不 覺得 虧

為什 麽 呢

你 想 A 我 是 均勻 分 的 兩邊 各 一半 對 不 對

你 拿走 右邊 這 一半 我 拿 左邊 這 一半

還是 你 拿走 左邊 這 一半 我 拿 右邊 這 一半

我 都 不虧

這樣一來 就 實現 了

每 一個 人 都 拿到 了 不 少於 1/N 的 蛋糕

這 就是 一種 比較 公平 的 分配 方案

其實 這種 分配 方法 在歷史上 早就 有 了

那舉 兩個 例子

比如 第一個 例子 是 《 聖經 》

在 《 聖經 》 裏面 有 一個 故事

說 亞伯拉罕 和 洛特 要分 迦南 之地

那 怎 麽 分 呢

亞伯拉罕 說 這樣 吧

我 把 這個 土地 分成 左右兩半 然後 你 先選

這樣一來 無論是 亞伯拉罕 還是 洛特

他們 都 覺得 自己 占 了 便宜

洛特 先選 他 自然 占便宜 對 吧

亞伯拉罕 雖然 是後選 但是 是 他 分 的

他 兩邊 土地 對 他 來講 意義 是 一樣 的 是不是

所以 他們 都 覺得 自己 沒有 虧

這 就是 一種 公平 的 分配 方案

除此之外 還有 一個 叫 《 聯合國 海洋 憲章 》

《 聯合國 海洋 憲章 》 裏

有 一個 非常 有意思 的 規定

就是說 發達國家 有 能力 對 公海 的 礦藏 進行 開發

但是 發展中國家 沒有 能力 開發

但是 公海 的 礦藏 應該 是 屬於 全人類 的

你 不能 只 允許 發達國家 去 開采

那 於是 怎 麽 辦 呢

這個 聯合國 就 想 了 一個 餿主意

他 說 如果 發達國家

你 想 在 某 一個 海域 開發 這個 礦產 的話

那 你 首先 要 向 我 提交 一份 報告

選 兩個 區域 一起 提交 給我

把 它們 的 數據 什 麽 都給 我

給我 了 之後 我 在 這 兩個 區域 裏邊

我選 一塊 留給 發展中國家

另外 一塊 給你 你 去 開發 對 吧

這樣一來

它 既 可以 允許 發達國家 開采 這個 礦產

同時 也 為 發展中國家

保留 了 跟 發達國家 一樣 的 礦產資源 對 不 對

你 發達國家 想 開發 得 越 多

你給 發展中國家 你 保留 的 就 必須 越 多

而且 你 也 不 知道 我選 哪個 是 吧

你 只能 把 它 就 盡量 公正 地去 切割 是 吧

所以 在 這樣 的 情況 下

這 發達國家 一定 會 誠實 地 提交 報告

就 好像 這個 A

他 一定 會 誠實 地 把 這個 蛋糕 分成 兩份 一樣

那 麽 如果 人數 多一些 的話 又 該 怎 麽 辦 呢

比如說 假如 有 三個 人要 分 一塊 蛋糕

那 麽 你 應該 采用 什 麽 樣 的 方案 呢

三個 人 公平 分 蛋糕 的 方法

在 一九四 幾年 的 時候

有 一個 波蘭 的 猶太裔 的 數學家

名字 叫做 斯坦豪斯

他 提出 了 一種 解決方案

但是 這個 方法 有點 復 雜 咱們 暫時 先不講

那 麽 在 1961 年 的 時候 又 有 兩位 數學家

一個 人 名字 叫 杜賓斯

還有 一個 人 名字 叫斯巴 尼爾

他們 兩個 人 這個 搞出 了 一種

叫做 移動 刀法

通過 這種 方法 它 就 可以 讓 三個 人

都 能夠 公平 地去 分 這個 蛋糕 了

具體來講 怎 麽 做 呢

我們 看 我們 首先 把 這個 蛋糕 畫得長 一點

畫得長 一點

然後 有 一個 人 就 拿 著 一把 刀

從 左側 開始 一點一點 地 往右邊 移動

然後 告訴 這 三個 人 誰 感覺 左邊 的 蛋糕

已經 達到 了 整個 蛋糕 的 1/3 誰 就 喊停

比如說 A 突然 感覺 到 你 移動 到 這兒 了

這個 時候 你 已經 達到 了 1/3 了

所以 A 就 喊 停 是 吧

然後 幹什 麽

然後 你 就 把 這 一塊 就給 A 就行了

就給 第一個 喊停 的 人 是 吧

A 感覺 到 它 已經 達到 了 1/3 了

所以 就 喊停

說 那 B 和 C 為什 麽 不 喊 呢

因為 我 剛才 還是 那句話

就是 不同 的 人 感受 是 不 一樣 的

A 可能 特別 喜歡 左端 因為 左端 可能 有 草莓

B 和 C 可能 不 喜歡 草莓

所以 B 和 C 他 就 不 喊停

對於 B 來講

他 可能 認為 這 一半 只 到達 了 整個 蛋糕 的 1/4

它 並不指 長度 它 指 的 是 整個 的 效用

就是 我 感覺 到 我 享受 的 這 一份 蛋糕

只能 提供 總共 蛋糕 的 1/4 的 享受 值

所以 我 不 喊停 對 吧

而 對於 C 來講

他 可能 感覺 A 這一 份兒 只值 1/5

所以 他們 倆 都 不 喊停

A 喊停 了 好 這 一塊兒 蛋糕 就給 A 了

然後 不是 還剩 了 這 一大 塊兒 嗎

這 一大 塊兒 現在 只有 兩個 人 了

於是 這個 刀口 繼續 往右 走

告訴 B 和 C

誰 感覺 已經 到達 了 剩余 部分 的 1/2

剩余 部分 的 1/2 應該 就是 總體 的 1/3

到達 了 剩余 部分 的 1/2 誰 就 喊停

結果 到 這的 時候 B 喊停 了

那 就 把 這 一塊兒 給 B 是 吧

為什 麽 B 喊停 了 呢

B 可能 覺得 這 一部分

已經 達到 了 剩余 蛋糕 的 1/2 了

那 咱們 思考 一下 剩余 部分 的 1/2 是 多少

B 認為 A 這 一塊兒 只值 1/4

認為 第 一塊兒 只值 1/4

所以 剩下 的 這兩塊 兒 應該 值 3/4 對 吧

達到 一半兒 的話

它 應該 能夠 分到 3/8

所以 B 感覺 到 這 一份 的 效用 是 3/8

他 就 會 喊停 了

那 C 為什 麽 不 喊 呢

因為 C 可能 覺得 B 這 一塊 其實 也 不好

他 也 只有 1/4 的 效用

那 麽 剩下 的 這 一塊 因為 只有 一個 C 了

所以 就給 C 吧 C 就 賺 了

為什 麽 呢

第一塊 對 C 來講 效用 是 1/5

第二塊 對於 C 來講 是 1/4

所以 加 到 一塊 只有 9/20

因此 C 拿到 了 第三塊

他 感覺 到 拿到 了 蛋糕 的 11/20

好像 比 一半 還多

在 這種 情況 下

咱們 來 思考 一下 是不是 公平 的

A 拿到 了 整個 部分 的 1/3

A 感覺 自己 不虧 對 吧

一共 三個 人 拿 一塊 蛋糕 我 拿 1/3 不虧

B 呢 B 感覺 到 自己 拿 了 3/8 我 也 不虧

因為 我 正常 應該 是 拿 1/3 的

我 現在 拿到 3/8 我 超過 1/3 了

所以 我 不虧

那 C 就 更 不 虧了 對 不 對

C 拿到 了 11/20 一半 還多

我 更 賺 了 是不是

所以 他們 三個 人 應該 都 是 非常高興 的

因此 我們 稱 這種 方法 是 一種 公平 的 方法

那 麽 我們 還要 解釋 一個 問題

為什 麽 這個 刀口 到 1/3 的 時候

A 就 一定 要 喊停 呢

他 在 等 一會兒 喊停 他 不是 會 拿到 的 更 多 嗎

這 就要 註 意 了

如果 到 了 這個 部分 的 時候

左邊 是 1/3 右邊 是 2/3

A 不 喊停 的話 A 就 會 面臨 風險

什 麽 風險 呢

就是 刀口 繼續 往前 走時 被 別人 先喊 了 停

於是 超過 1/3 的 部分 被 別人 拿走 了

那 A 和 另外 一個 人 只能 分 不到 2/3 的 部分

於是 A 就 有 可能 會虧 對 不 對

A 為 了 防止 自己 拿到 少於 1/3 的

他 一定 要 在 到達 1/3 的 時候 就要 喊停

因此 一個 好 的 規則 可以 讓 A B C 都 怎 麽 樣

都 變得 比較 誠實 是 吧

這 就是 一個 好 的 規則

因為 這個 規則 就 造成 了

A B C 一定 要用 最 誠實 的 方法

說出 自己 的 內心 感受 是 吧

到 1/3 你 必須 喊停

如果 你 不 喊 的話

那過 一會兒 你 很 有 可能 虧

你 可能 會 拿 不到 1/3 是 吧

就 出現 這樣 一個 情況

不過 大家 一定 要 註 意

這種 方案 我們 稱之為 是 公平 的

而且 在 公平 的 方案 中