甩 鞭子 为啥 会 啪啪 响 ？至今 没人能 解释 清楚 Why does the whip make a crackling sound? No one can explain it clearly yet

各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師 最近 一段時間 有 一個 在 雨 中 甩 鞭子 的 大媽 火 了 甩 鞭子 的 聲音 非常 的 清脆 悅耳 有 小朋友 就問 我 說 這甩 鞭子 的 時候 為什 麽 會 發出 啪 啪啪 的 聲音 呢 是不是 這個 鞭子 抽到 了 地面 上 呢 其實 鞭子 早 在 原始社會 的 時候 人們 就 已經 開始 使用 了 放牧 牛羊 的 時候 經常 用 鞭子 來 嚇唬 牛羊 但 實際上 甩 鞭子 發出 的 啪啪 啪 聲音 既 不是 打擊 到 地面 上 也 不是 打擊 到 牛羊 身上 而是 在 空中 發出 的 我們 一 起來 做 一個 實驗 看 我 的 節奏 越來越 熟練 了 沒有 打 到 地面 也 能響 大家 看到 了 吧 其實 鞭子 的 聲音 是 在 空中 發出 的 不管 是 馬車 夫 還是 牧民 他們 其實 都 舍不得 拿 鞭子 去 打 這些 牲畜 而是 用來 嚇唬 牲畜 的 現在 很多 人 甩 鞭子 並 不是 為 了 嚇唬人 而是 為 了 強身健體 或者 是 當做 一種 娛樂活動 比如說 有 一個 國外 的 甩 鞭 專家 就 可以 甩出 閃電 五連 鞭來 那 麽 為 什 麽 鞭子 在 空中 可以 發出 啪 啪啪 的 聲音 呢 今天 我們 就 來 研究 一下 這個 問題 這個 問題 說 簡單 也 簡單 但是 說 復 雜也 非常 復 雜 簡單 來講 一句 話 就 可以 概括 了 它 的 聲音 是 哪來 的 其實 就是 音爆 現象 那 麽 什 麽 叫 音爆 現象 呢 我們 知道 物體 振動 的 時候 就 可以 發出聲音 那 如果 物體 一邊 振動 一邊 運動 而且 它 的 運動 速度 超過 了 聲速 就 會 發生 音爆 現象 那 麽 這種 觀點 是 在 1905 年 的 時候 1905 年 的 時候 由 一個 德國 的 學者 名字 叫做 奧托 · 盧默 由 這個 奧托 · 盧默 他 提出 的 他 說 甩 鞭子 的 時候 之所以 能夠 發出聲音 是 因為 這個 鞭子 的 末梢 就 說 我們 稱之為 鞭 梢 你 會 發現 不管 這個 鞭子 是 什 麽 材料 製作 的 它 這個 鞭梢 都 是 非常 柔軟 蓬松 的 這個 鞭梢 就 發生 了 音爆 的 現象 他 提出 了 這樣 的 一種 觀點 我們 具體 來 解釋一下 比如說 一個 物體 發出聲音 但是 這個 物體 它 不動 於是 它 發出 第一圈 聲波 發出 第二圈 聲波 發出 第三圈 聲波 這些 聲波 逐漸 地向 外擴散 因為 它 不動 所以 這些 聲波 會 形成 同心 的 圓環 這種 情況 下 我們 就 說 它 的 物體 聲源 速度 等於零 那 麽 它 如果 一邊 發出聲音 一邊 往 一邊 運動 咱們 看 它 發出 第一圈 聲波 之後 它 就 往右邊 走 了 發出 第二圈 聲波 你 就 會 發現 第二圈 聲波 好像 靠右 一點 然後 又 往右邊 走 一點 發出 第三圈 聲波 所以 第三圈 聲波 更加 靠右 這樣一來 你 會 發現 這些 聲波 不在 同心 了 對 不 對 我們 就 說 此時 實際上 是 聲源 在 往右邊 運動 但是 它 的 運動 速度 是 小於 聲速 的 我們 應該 知道 在 空氣 中 的 聲速 是 340 米 / 秒 這種 情況 下 它 就 會 出現 這樣 的 情況 那 麽 假如 說 這個 物體 聲源 運動 的 速度 更 快 超過 了 聲速 會 怎 麽 樣 呢 它 首先 發出 第一個 聲波 但是 它 發出 第二個 聲波 的 時候 它 運動 的 速度 比 聲音 還要 快 所以 第二圈 聲波 是 這個 樣子 發出 第三個 聲波 的 時候 是 這個 樣子 的 第四個 聲波 是 這個 樣子 的 它 就是 在 發出 聲波 的 時候 它 跑 得 比 這個 聲源 還要 快 於是 它 就 會 形成 這樣 的 一個 圓錐 的 這樣 的 一個 形狀 這種 情況 就 表示 你 聲源 的 運動 速度 比 聲速 還要 快 v 大於 聲速 了 那 麽 在 這種 情況 下 很 多個 這個 波峰 它 疊加 到 一起 就 會 發出 巨大 的 聲響 這種 現象 我們 就 稱 之 為 音爆 我們 也 可以 說當 你 超過 了 聲速 之後 發出 的 這種 波叫 什 麽 波 叫 沖 擊波 沖 擊波 這種 波 飛機 飛過去 的 時候 你 聽不見 過 一會兒 這個 波 過來 了 就 會 發生 一個 巨大 的 聲響 這種 聲響 挺 可怕 的 有 的 時候 飛機 飛過去 如果 是 發出 沖 擊波 的話 那有 可能 會 把 這個 牛羊 都 嚇死 那 麽 這個 現象 為什 麽 能夠 用 在 這個 鞭子 上 呢 其實 也並 不難理解 我們 甩 鞭子 的 時候 怎 麽 甩 你 就 有 一個 把 對 不 對 往前 一兜 了 然後 往後 這 麽 一 蹬 就 甩出去 了 甩出去 的 時候 你 會 發現 這個 鞭子 它 有 一部分 那 被 你 這個 把給 蹬 住 了 但是 還有 一部分 正在 往前 運動 正在 往前 甩 這邊 有 一個 鞭梢 它 正在 往前 甩 這種 情況 下 它 有 一個 速度 v 當然 這個 運動 的 部分 這個 速度 v 可能 開始 的 時候 是 沒有 聲速 大 的 但是 隨著 你 往前 甩 的 過程 繼續 進行 越來越 多 的 部分 停下來 了 能夠 運動 的 部分 就 越來越少 了 最後 你 會 發現 就 只有 這個 鞭梢 就 只有 最後 的 這 一段 它 還在 運動 而 這個 運動 的 速度 它 就 可以 超過 聲速 而 一旦 你 超過 聲速 就 會 怎 麽 樣 就 會 形成 這種 音爆 現象 所以 就 發出 了 啪 啪 啪 的 這種 聲音 你 這個 鞭梢 的 末速度 非常 快 好 這種 觀點 就是 在 1905 年 的 時候 由 這個 德國 的 學者 提 出來 的 那 麽 這種 觀點 對 還是 不 對 呢 你 還是 需要 做 實驗 驗證 但 最 開始 人們 沒有 高速攝影機 驗證 不了 是 吧 後來 就 到 了 這個 1953 年 的 時候 1953 年 有 一個 法國 的 這個 學者 名字 叫做 卡列 雷 這個 卡列 雷 他 就 搞 了 一套 高速 的 攝影 裝置 結果 就 把 這個 鞭梢 的 末速度 算 出來 了 結果 一 算 發現 這個 速度 大約 是 900 米 每秒 那 麽 這個 速度 就 很快 了 你 知道 嗎 聲音 在 空氣 中 的 速度 只有 340 米 每秒 你 達到 了 900 米 每秒 說明 你 的確 已經 超過 了 聲速 發生 了 音爆 現象 所以 就 證實 了 盧默 的 這種 說法 後來 到 了 1998 年 的 時候 到 了 1998 年 又 有 一位 學者 他 是 一個 德國人 這個 德國人 又 說 我 再來 研究 研究 這個 問題 我 有 更好 的 這個 設備 這個 人 名字 叫做 基爾 這個 基爾 他 又 通過 更好 的 這個 高速攝影機 測出 了 這個 鞭子 的 鞭 梢 它 的 加速度 結果 你 猜猜 加速度 有 多 大 加速度 有 50000 倍 的 重力 加速度 那 麽 大 是不是 所以 它 加速度 非常 大 它 就 可以 在 很 短 的 時間 內 從 靜止 加速 到 一個 超過 音速 的 這 麽 一個 速度 然後 就 發生 音爆 發出 巨大 的 響聲 然後 就 可以 嚇唬 牛羊 玩 對 不 對 這 就是 鞭子 發出聲音 的 原理 在 這 一點 上 科學家 們 基本上 統一 了 就是 到 最後 的 時候 一定 是 發生 了 音爆 但是 整個 過程 是 怎 麽 樣 的 科學家 的 認識 還 沒有 統一 就是 你 到底 是 如何 加速 然後 發生 音爆 的 這個 具體 過程 科學家 們 沒有 統一 起來 我們 不妨 也 來 挑 一些 比較簡單 的 方法 來 解釋 解釋 我們 來看 這個 為什 麽 會 發生 音爆 現象 它 的 解釋 是 什 麽 第一種 解釋 是 比較簡單 的 就 四個 字 能量守恒 什 麽 意思 呢 你 想 你 在 抽 鞭子 的 時候 你 先 往前 這 麽 一 蹬 再 往後 這 麽 一 蹬 這個 過程 你 的 手 是 對 鞭子 做功 了 對 不 對 你 做 了 一個 功 這個 功 就 變成 了 這個 鞭子 的 什 麽 動能 對 不 對 動能 叫 (1/2)mv² 這裏 面 的 這個 m 叫做 質量 質量 這個 v 就是 速度 但是 大家 註 意 這個 質量 是 哪 一段 的 質量 你 這個 鞭子 你 在 蹬 的 時候 你 這個 把 已經 不動 了 你 蹬 了 一下 之後 這把 已經 不動 了 不動 了 之後 這 一段 它 其實 也 已經 不動 了 真正 在 運動 的 是 哪 一部分 是 這 一部分 對 吧 因為 這 一部分 它 沒有 伸直 它 還在 往前走 然後 要 伸直 所以 是 這 一部分 質量 它還 具有 動能 有 一部分 動能 已經 沒有 了 但是 隨著 你 這 一段 往前走 它 就 會 越來越 短 對 不 對 因為 越來越 長 的 部分 已經 蹬 直 了 還 剩下 短 的 部分 再 往前走 越 走 越短 越 走 越短 所以 這 一部分 的 質量 在 幹什 麽 在 減小 對 不 對 在 減小 的 原因 一方面 來講 是 在 隨著 過程 進行 它 越來越 短 了 另外 一方面 因為 鞭子 它 都 是 後邊 粗 它 前面 細 所以 它 也 變細 了 另外 來講 這個 鞭子 它 這個 粗 的 部分 是 用 什 麽 皮 做 的 或者 甚至 用 鐵鏈 做 的 但 它 前面 這個 末梢 往往 是 用線 做 的 就是 密度 也 比較 小 所以 因為 越來越 短 越來越 細 密度 越來越 小 這個 原因 就 造成 了 m 減小 那 麽 m 一旦 減小 大家 看 能量 是 守恒 的 m 如果 減小 那 麽 v 呢 v 就 會 增大 在 最終 的 時候 你 會 發現 因為 你 最終 整個 都 已經 平坦 起來 了 它 的 這個 m 已經 非常 非常 小 甚至於 趨 近於 0 了 對 不 對 m 如果 趨 近於 0 了 那 麽 你 速度 v 怎 麽 樣 就 會 趨 近於 無窮大 是不是 所以 理論 上 來講 你 這個 速度 可以 達到 無窮大 當然 實際上 是 不 可能 的 是不是 所以 用 能量守恒 來 解釋 它 其實 非常簡單 就是 你 能動 的 部分 越來越 小 了 能量 總和 不變 但 質量 變小 了 所以 它 速度 就 變大 就 這 麽 簡單 對 不 對 但是 也 有人 不 認同 這種 觀點 他 就 說 你 看 你 在 這個 運動 過程 之中 它們 之間 彼此 發生 了 運動 那有 可能 會 有 一部分 生熱 是 吧 那 你 這個 能量守恒 是不是 就 不 對 是 吧 我們 用 動量 守恒 或者 角動量 守恒 也許 能夠 更好 地 解釋 它 這也 有 其他人 的 觀點 是 吧 所以 不同 的 人 對於 這個 具體 過程 的 解釋 是 不 一樣 的 我 也 想 了 一個 過程 想 跟 大家 來 探討 一下 大家 來看 一看 我 的 這種 想法 是否是 合理 的 我 想 從 牛頓 第二 定律 的 角度 來 解釋 這個 問題 怎 麽 解釋 呢 我們 首先 要 知道 這樣 一件 事 就是 如果 有 一個 繩子 這個 繩子 它 彎成 了 一個 這種 U 型 並且 在 運動 這邊 往上走 這邊 往下走 上面 當然 也 在 運動 在 這種 情況 下 你 會 發現 我們 來看 這個 彎 的 這個 部分 這個 彎 的 這個 部分 因為 它 在 運動 所以 它會 受到 一個 什 麽 力 它會 應該 受到 向心力 對 不 對 或者說 我們 可以 認為 它 表現 為 受到 一個 慣性 的 離心力 就是 它 每 一部分 都 往外 掙 對 不 對 慣性 離心力 大小 每 一部分 的 慣性 離心力 大小 應該 是 這 一部分 的 質量 Δm 再 乘以 速度 的 平方 再 除以 半徑 半徑 就是 你 彎 過來 的 這個 圓的 半徑 那 麽 為 什 麽 這 一段 繩子 沒有 飛出去 呢 是 因為 我 在 這個 地方 拽 著 你 的 對 不 對 我 在 這個 繩子 這 兩端 我 拽 著 你 我 拽 著 你 這個 力使 你 沒有 飛出去 那 麽 我們 可以 通過 圓周運動 的 公式 具體 算 出 這個 力來 這個 我 就 不 寫 了 直接 寫 答案 這個 力 的 大小 應該 是 多 大 呢 是 ρ 再 乘以 一個 v² 這裏 面 的 這個 ρ 是 什 麽 呢 ρ 表示 的 是 線 密度 就是 單位 長度 上 這個 繩子 的 質量 線 密度 而 這個 v 就是 速度 你 會 發現 這個 數 它 其實 是 與 繩子 的 半徑 沒 有關 系 的 不管 你 繩子 半徑 有 多 大 反正 我 都 是 需要 這 麽 大 的 力 你給 我 這 麽 大 的 力 這 一段 繩子 就 可以 一直 拽 一直 拽 對 吧 你 要 不給 我 這 麽 大力 這段 繩子 就 會 飛出去 是不是 好 那 我們 來看 這個 鞭子 的 問題 我們 重新 畫 一個 鞭子 這是 鞭子 的 把 這個 鞭子 的 把 然後 它 這樣 彎 過來 對 不 對 當然 鞭子 實際上 是 越來越 細 的 但是 為 了 研究 這個 問題 方便 我們 就 把 鞭子 看作 是 一個 粗細 均勻 的 物體 了 認為 鞭子 的 粗細 是 均勻 的 現在 上面 的 這 一部分 已經 靜止不動 了 而 底下 的 這 一部分 底下 的 這 一部分 還在 往右 以 速度 v 運動 然後 大家 想一想 如果 底下 的 這 一部分 正在 往以 速度 v 運動 的話 那 麽 這 一個 半圓 它會 以多大 速度 運動 底下 這 一部分 往前走 了 一米 的話 那 麽 上下 都 得 有 半米 所以 實際上 如果 底下 這 一段 繩子 的 速度 是 v 中間 的 這個 半 圓環 它 的 速度 就是 (1/2)v 就 這個 問題 有點 復 雜 是 (1/2)v 那 麽 我們 以 這個 半 圓環 的 中心 為 參考 你 就 會 感覺 到 整個 的 這個 系統 實際上 是 在 轉圈 的 就是 這 一部分 半圓 它 實際上 是 在 轉圈 和 剛才 我 說 的 這種 情況 是 完全 一樣 的 只不過 那個 繩子 相對 於 半 圓環 的 中心 速度 是 (1/2)v 所以 在 這種 情況 下 你 在 這個 點 還有 這個 點就 都 會 出現 力 都 會 出現 力 這個 力 大約 如果 我們 做 一點 近似 的話 大約 就是 繩子 的 密度 ρ 再 乘以 ((1/2)v)² 就 (1/2)v 哪來 的 就是 模仿 上面 這種 情況 就 出現 了 這個 例子 那 麽 這個 地方 上 端的 力 實際上 是 被 你 的 手給 抵消 了 它 就 不動 了 你 不用 管它 而 底下 這塊 的 力 它 會 怎 麽 樣 它 就 會 拽 著 後面 的 這個 部分 往前走 而給 底下 這 一段 一個 什 麽 一個 加速度 對 不 對 所以 我們 就 可以 計算 出 這個 加速度 來 這 加速度 是 什 麽 呢 是 F/m 我們 假設 底下 這 一段 長度 是 x 所以 就 會 變成 v²/(4x) ( 筆誤 更正 ） 好 底下 這段 加速度 我們 就算 出來 了 那 麽 下面 我們 還要 對 這個 a 進行 一點 分析 a 是 什 麽 a 是 速度 的 變化率 dv/dt 對 吧 到 這裏 就 已經 比較 難 了 不過 沒 有關 系 就算 你 不 知道 的話 你 只要 知道 這個 v 和 a 有關 系 就行了 那 v 是 什 麽 呢 仔細 看 v 實際上 是 因為 底下 的 長度 x 發生變化 造成 的 x 越來越 短 所以 它 是 -2dx/dt 為什 麽 是 -2 倍 的 那 是 因為 還是 那句話 因為 它 往前走 了 一步 上下 各是 半步 是 吧 好 把 這個 式子 這個 式子 和 這個 式子 聯立 這 三個 式子 ① ② ③ 聯立 我們 就 會 得到 一個 微分方程 那 就是 (dx/dt)²(1/x)+2d²x/dt²=0 好 這 就是 微分方程 了 有 了 這個 微分方程 之後 我們 還要 知道 初始 的 邊界條件 我們 就 可以 解決問題 了 對 吧 初始條件 就是 在 最 開始 的 這個 時候 x 實際上 就是 L 對 吧 而 速度 v 就是 v₀ 我們 把 這些 結果 進行 求解 就 可以 得到 底下 這段 繩子 是 如何 隨 時間 變化 的 了 是 吧 所以 我 這裏 用到 了 什 麽 我 只用 到 了 牛頓 第二 定律 那 麽 具體 怎 麽 解 呢 大家 可以 在 網上 解 用 一個 軟件 叫 Wolframalpha 就 可以 解決 了 這個 軟件 很 好 用 好 把 它 帶進去 最後 我們 就 得到 答案 x=L(1-3v₀t/(4L))^(2/3) 你 看 我 就 解決 了 底下 這 一段 繩子 是 如何 隨著 時間 而 發生變化 的 對 吧 當然 我 這個 模型 是 非常 粗糙 的 但是 假如 你 嚴格 按照 我 這個 方法 去 你 這個 繩子 一直 往前走 這環 一點點 打開 的話 那 麽 你 底下 剩下 這段 長度 就是 隨著 時間 如此 變化 的 對 不 對 我們 可以 畫出 一個 縱 坐標 是 x 橫坐 標的 時間 的 圖 你 就 會 發現 這個 x 越來越 小 越來越 小 最後 就 會 變成 0 對 吧 在 時間 t=4L/(3v₀) 的 時候 它 就 會 減為 0 了 也 就是 這個 鞭子 它 就 抻 直 了 不僅如此 我們 還 可以 把 速度 算 出來 速度 是 什 麽 呢 是 v₀/(1-3v₀t/(4L))^(1/3) 大家 看 如果說 t=0 的話 速度 就是 v₀ 如果說 當你 這個 x 趨 近於 0 的 時候 這個 分母 也 會接 近於 0 所以 速度 就 會 變成 無窮大 對 不 對 符合 我們 最 開始 的 一個 設想 我們 還 可以 算 出 加速度 來 我 在 這寫 沒有 地方 了 這個 加速度 等於 v₀²/(4L)/(1-3v₀t/(4L))^(4/3) 你 仔細 看 就 會 發現 那 麽 當你 這個 分母 趨 近於 0 的 時候 也 就是 x 趨 近於 0 的 時候 它 這個 數 會長 到 無窮大 對 不 對 也 符合 我們 之前 的 預期 最後 我們 還 可以 算 出動 能來 動能 是 (1/2)mv² 你代 進去 就 會 發現 這個 結果 是 (1/2)ρLv₀² 這 說明 什 麽 這 說明 整個 的 動能 是 跟 時間 沒 有關 系 的 隨著 時間 的 增長 動能 的確 是 守恒 的 能量守恒 是 對 的 好 我用 這種 牛頓 第二 定律 的 方法 依然 得到 了 能量 是 守恒 的 這個 結論 也 會 得到 了 當你 最後 質量 趨 近於 0 的 時候 速度 會 變成 無窮 加速度 會 變成 無窮 也 符合 實驗 結果 但是 不管 是 用 能量守恒 的 方法 還是 牛二律 的 方法 它們 得出 的 結論 一致 只能 說明 它們 的 前提 假設 是 一致 的 但 至於 說 是否 合理 呢 還真 不 一定 我 這裏 還 列出 了 第四篇 參考文獻 在 這篇 文獻 裏面 它 把 情況 分成 了 四種 情況 比如說 有 這種 彎彎的 情況 還有 這種 打環 的 情況 以及 各種各樣 其他 的 情況 大家 如果 對 這個 問題 有 興趣 的話 不妨 去 查找 一下 這篇 論文 來 閱讀 一下 一個 生活 中 很 簡單 的 現象 如果 你 想 探討 清楚 它 背後 的 物理 原理 的話 有 可能 也 是 非常 復 雜的 比如說 甩 鞭子 為什 麽 會 啪啪 響 直到 今天 也 沒有 一個 統一 的 認識 大家 如果 喜歡 我 的 視頻 可以 在 YouTube 帳號 李永樂 老師 裏 訂閱 我 點擊 小 鈴鐺 可以 第一 時間 獲得 更新 信息