为什么 1+1=2？生 三胎 需要 什么 条件？

各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師 前 幾天 中國 的 計劃生育 政策 出現 了 重大 調整 國家 取消 了 對於 三胎 的 限 製 並且 準備 出臺 政策 鼓勵 夫妻 們 生 三胎 有 小朋友 就問 我 說 究竟 什 麽 樣 的 條件 才 能夠 生 三胎 呢 我 可以 負責 任地 告訴 大家 生 三胎 的 前提條件 就是 你 得 有 二胎 而 生二胎 的 前提條件 是 你 得 有 一胎 生 一胎 的 前提條件 是 你 得 沒有 孩子 而 沒有 孩子 是 沒有 前提條件 的 你 有沒有 想過 為什 麽 一對 夫妻 沒有 孩子 生 了 一胎 就 叫 一胎 再生 一胎 就 叫 二胎 呢 換句話說 為什 麽 0+1=1 而 1+1 就 等於 2 呢 這個 看似 簡單 的 問題 其實 有 很 深刻 的 數學 內涵 今天 我們 就 來 討論一下 這個 問題 我們 想 講一講 自然數 它 的 公理化 運動 自然數 就是 0 1 2 3 4 5 6 7 ... 這樣 的數 它 也 需要 進行 公理化 什 麽 叫 公理化 呢 我們 以前 講到 過 戴德金 的 實數 公理化 運動 我們 還講過 在 2000 多年 以前 歐幾 裏 得 從 幾條 假設 出發 就 構建 了 整個 的 幾何學 大廈 所謂 的 公理化 就是 用 一些 基本 的 假設 構建 數學 的 基礎 那 麽 完成 自然數 公理化 運動 的 人 是 在 1889 年 的 時候 有 一個 意大利 的 數學家 名字 叫做 皮亞諾 這個 皮亞諾 他 提出 了 這個 五條 公理 通過 這 五條 公理 我們 就 可以 把 自然數 進行 公理化 了 我們 來看 看 這 五條 公理 分別 是 什 麽 首先 第一條 公理 0 是 一個 自然數 他 要 定義 自然數 所以 他 首先 找 一個 元素 說 0 是 一個 自然數 在 我們 小 的 時候 說 1 才 是 最小 的 自然數 但 現在 已經 把 0 改為 自然數 了 0 是 一個 自然數 第二個 就是 對於 每 一個 自然數 對 每個 自然數 自然數 我們 一般 用 字母 N 來 表示 對 每 一個 自然數 a 這個 每 一個 自然數 都 有 一個 後繼 的 自然數 它 有 一個 後繼 的 自然數 這個 後繼 的 自然數 什 麽 叫 後繼 大家 現在 暫時 不用 管 你 可以 表示 它 是 一種 運算 這種 運算 之後 的 結果 還是 個 自然數 我們 寫成 是 a' 一個 自然數 a 它 有 一個 後繼 的 自然數 這個 後繼 的 自然數 寫作 是 a' 這是 第二條 假設 那 麽 第三條 假設 就是 對於 兩個 自然數 來講 我們 這 兩個 自然數 這 幾個 字 我 不 寫 了 如果 這 兩個 自然數 b 和 c 是 相等 的 則 它們 的 後繼 數 b' 和 c' 也 是 相等 的 反過來說 如果 它們 的 後繼 數是 相等 的 那 麽 這兩 個數 也 是 相等 的 如果 b' 等於 c' 的話 那 麽 b 也 必須 等於 c 這是 第三條 假設 還有 第四條 假設 叫做 0 不是 任何 自然數 的 後繼 數 0 不是 任何 自然數 的 後繼 數 好 這是 第四條 假設 我們 可以 用 這個 生 孩子 的 胎數 來 做 個 比喻 說 0 是 一個 自然數 就是 一胎 都 不生 這是 一種 胎數 第二個 不管 你生 了 幾胎 你 都 可以 再生 一胎 對 不 對 都 有 一個 後繼 數 第三個 如果 兩個 人 他們 現在 的 胎數 相等 那 他們 再生 一胎 胎數 還是 相等 的 反過來說 他們 如果 再生 一胎 之後 胎數 相等 那 麽 他們 沒 生 之前 胎數 也 是 相等 的 第四個 如果 你 一胎 都 不生 的話 這個 是 不 需要 任何 條件 的 所以 我們 就 可以 把 前 四個 假設 理解 了 那 麽 明白 了 這 四個 假設 之後 其實 我們 就 可以 構建 了 一個 這樣 的 數列 了 我們 看 假如 說 有 一大堆 的 元素 它們 排列 到 一條 直線 上 最 開始 有個 元素 叫 0 對 不 對 因為 0 是 一個 自然數 然後 它 有 一個 後繼 數 後繼 數 我們 寫作 0' 0' 還有 個 後繼 數叫 0'' 0'' 還有 個 後繼 數叫 0''' 0''' 還有 個 後繼 數叫 0'''' 等等 好 那 麽 我 就 想問 說 這 是不是 已經 把 自然 數列 構建 出來 的 咱們 來 琢磨 琢磨 首先 有沒有 可能 出現 分叉 說 這邊 還有 一個 叉 這 還有 一個 元素 叫 a 這個 a 的 後繼 數是 0' 有沒有 可能 呢 不 可能 為什 麽 呢 因為 如果 兩個 數字 的 後繼 數 相同 那 麽 這 兩個 數字 也 相同 這是 公理 三 所以 如果 0 和 a 的 後繼 數都 是 0' 那 a 就是 0 所以 這個 分叉 才 它 是 不 存在 的 同樣 道理 你 說 我 往 後來 一個 分叉 這裏 有 一個 b 這也 是 不 可能 的 為什 麽 呢 因為 0''' 的 後繼 數是 0'''' 0''' 的 後繼 數也 是 b 所以 b 就是 0'''' 這一叉 也 是 不 存在 的 因此 通過 前 四個 公理 我們 應該 知道 它 不 應該 是 有 分叉 的 咱們 再來 想一想 有沒有 可能 循環 呢 比如說 這個 0'''' 它 的 後繼 數就 又 回到 了 0 了 一共 就 只有 這 麽 幾個 元素 0'''' 的 後繼 數是 0 有沒有 可能 不 可能 為什 麽 因為 0 不是 任何 自然數 的 後繼 數 那 有人 說 那 0'''' 的 後繼 數 如果 是 0' 有沒有 可能 呢 就是 這樣 一 循環 可不可以 不 可以 為什 麽 不 可以 呢 因為 如果 0'''' 的 後繼 數是 0' 而 0 的 後繼 數也 是 0' 的話 那 麽 0'''' 就 應該 是 0 對 不 對 而且 我們 還說 0'''' 是 0''' 的 後繼 數 但是 0 不是 任何 自然數 的 後繼 數 這又 矛盾 了 大家 聽 明白 了 嗎 總而言之 循環 也 不 可能 因此 通過 前 四個 公設 我們 就 知道 了 它 既 不 分叉 也 不 循環 但是 它 有 可能 是 多條 的 什 麽 意思 呢 就 好像 說 吧 你 有 可能 除了 這些 元素 以外 另外 還有 一支 另外 還有 一支 有 兩個 元素 一個 元素 叫 c 一個 元素 叫 d 然後 c 的 後繼 數是 d d 的 後繼 數是 c 你 上面 這 一大堆 元素 再 加上 底下 c d 這 兩個 元素 那 不 還是 滿足 上面 這 四個 公設 這時候 怎 麽 辦 為 了 避免 這種 出 了 兩支 的 情況 皮亞諾 又 提出 了 第五條 公設 這 第五條 公設 是 這 麽 說 的 說 如果 有 一個 命題 這個 命題 是 一個 跟 自然數 有關 的 命題 叫 f 這個 命題 f 它 滿足 什 麽 呢 它 滿足 兩條 第一條 就是 f(0) 為 真 就是 對於 0 這個 元素 來講 這個 命題 是 個 真 命題 而 第二條 叫做 若 f(a) 為 真 這個 a 是 自然數 則 f(a') 也 為 真 就是 如果 它 對於 某 一個 自然數 這個 命題 是 真 命題 的話 那 麽 對於 這個 自然數 的 後繼 數也 是 真 命題 大家 如果 了解 一點 數學 的話 就 知道 這 實際上 就是 數學 歸納法 就是 對於 第一個 元素 來講 它 是 真 命題 然後 如果 其中 某 一個 元素 是 真 命題 的話 則 後 一個 元素 也 是 真 命題 你 把 這 兩條 結合 起來 怎 麽 著 則 這個 命題 對 所有 的 元素 都 是 真 命題 然後 就則 這個 f 對 所有 的 自然數 就 都 為 真 好 這個 就是 第五條 公設 這個 公設 我們 可以 打個比方 就 好像 多米諾骨牌 一樣 你 把 第一個 多米諾骨牌 推倒 了 而且 如果 第 a 個 多米諾骨牌 倒 的話 那 麽 下 一個 多米諾骨牌 也 會 倒 這樣 會 發生 什 麽 這樣 就 會 發生 所有 的 多米諾骨牌 都 會 倒 就 會 形成 這樣 的 一個 效果 但是 如果說 你 這個 自然數 集 裏面 你 有 一個 分支 那 麽 這 一串 都 倒 了 不會 影響 到 這 一串 所以 這種 情況 也 被 我們 排除 了 你 滿足 了 這 五條 公設 之後 自然數 集 就 非常 好 了 自然數 集有 什 麽 特點 呢 首先 它 是 一個 單支 的 沒有 分叉 沒有 另外 一條 對 吧 第二個 是 有序 的 有序 的 從 0 元素 開始 每 個數 都 有 個 後繼 數 第三個 它 是 單向 的 就是 不會 出現 循環 最後 它 還是 無窮的 有 這樣 的 一個 特點 那 麽 這樣 的 一個 數列 我們 就 管 它 叫 自然 數列 自然 數列 好 那 麽 我們 現在 說 自然 數列 怎 麽 去 定義 呢 我們 就 把 這個 0 寫作 0 把 0 的 後繼 數 寫作 1 所以 我們 就 說 0 的 後繼 數 寫作 1 這 就是 1 的 含義 它 表示 的 是 0 的 後繼 數 而 1 的 後繼 數 我們 寫作 2 2 的 後繼 數 我們 寫作 3 3 的 後繼 數 我們 寫作 4 ... 這樣 自然 數列 就 被 定義 出來 了 也就是說 我們 每生 一胎 我們 的 這個 胎數 都 會 變成 以前 的 胎數 的 後繼 數 是不是 形成 了 一個 自然 數列 我們 構建 了 自然 數列 之後 就 可以 定義 在 自然數 中 的 加法 了 我們 來看 加法 怎 麽 定義 加法 也 有 兩條 規則 第一條 規則 就是 一個 自然數 +0 等於 什 麽 等於 這個 自然數 這個 是 加法 的 一個 規定 另外 一個 規定 就是 一個 自然數 加上 另外 一個 自然數 的 後繼 數 等於 這個 數 加上 這個 數的 後繼 數 就 這 兩條 你 用 這 兩條 來 定義 加法 你 現在 要 拋開 你 腦子 中 的 加法 含義 你 不 知道 什 麽 叫 加法 你 就 說 我 要 定義 一種 運算 這種 運算 滿足 兩個 特點 第一個 特點 就是 任何 一個 自然數 和 0 做 這個 運算 還 等於 這個 自然數 第二個 就是 一個 自然數 和 另外 一個 自然數 的 後繼 數做 這個 運算 等於 先 把 它們 倆 做 這個 運算 再取 後繼 數 是不是 你 滿足 這 兩條 之後 我們 就 可以 得出 很多 有意思 的 結論 了 比如說 我們 想問 你 說 是 a+1 等於 幾 a+1 就是 我 已經 有 了 a 胎 了 我 還想 再生 一胎 我生 完 了 之後 是 幾胎 就問 這 麽 個 問題 怎 麽 做 呢 咱們 就 得 想 了 你 說 這個 1 是 什 麽 1 是 0 的 後繼 數 對 不 對 所以 它 等於 a+0 的 後繼 數 是不是 而 a+0' 按照 這個 法則 它 等於 (a+0)' a+0 得 幾 根據 法則 a+0=a 對 吧 所以 它 等於 a' 對 吧 所以 我們 想 a+1=a' 這就 告訴 我們 1+1 等於 什 麽 1+1=1' 是不是 等於 2 2+1 等於 什 麽 等於 2 的 後繼 數 是不是 等於 3 3+1 等於 什 麽 等於 3 的 後繼 數 是不是 等於 4 你 看 基本 法則 就 出來 了 吧 對 吧 當然 我們 還 可以 再問 你 比如說 請問 a+2 等於 啥 是 吧 我 一下子 生個 雙胞胎 請問 我 的 胎數 怎 麽 變 其實 也 很 簡單 a+2 就 等於 a 加上 2 是 什 麽 2 是 1 的 後繼 數 對 不 對 而 a+1'=(a+1)' a+1 是 a 的 後繼 數 所以 是 a 的 後繼 數的 後繼 數 對 不 對 因此 你 只要 往後 跳 兩格 就行了 a+2 就是 往後 跳 兩格 於是 我們 就 知道 1+2 就 等於 1 的 後繼 數的 後繼 數 就 等於 3 2+2 就 等於 2 的 後繼 數的 後繼 數 就是 4 3+2 就 等於 3 的 後繼 數的 後繼 數 就 等於 5 對 不 對 你 看 這不 就 出來 了 嗎 甚至 我們 還 可以 再 做點 比較 高大 上 的 比如 我們 現在 已經 知道 了 a+0=a 我們 想 證明 證明 什 麽 呢 證明 0+a=a 我們 想 證明 這件 事 怎 麽 證明 呢 方法 就 可以 使用 數學 歸納法 我們 首先 看 第一步 我們 首先 說 如果 a=0 的話 這個 式子 是否是 成立 的 如果 a=0 的話 那 麽 0+0 等於 什 麽 根據 這個 法則 任意 一 個數 +0 都 等於 這個 數 所以 它 就 等於 0 對 不 對 所以 你 看 a=0 的 時候 其實 這個 式子 是 滿足 的 當然 這個 式子 也 是 滿足 的 所以 0+0=0 這個 式子 是 成立 的 好 這是 第一個 第二個 如果 如果 a=k 是 成立 的 這個 k 是 一個 自然數 也 就是 0+k=k 這是 數學 歸納法 第二步 你 這個 假設 a=k 的 時候 是 成立 的 那 麽 我問 你當 a=k' 的 時候 成 不 成立 呢 那 我們 就 想 a=k' 的 時候 0+k'=(0+k)' 0+k 等於 什 麽 根據 我們 剛才 假設 0+k=k 所以 它 就 等於 k' 你 看 0+k' 也 等於 k' 是不是 又 成立 了 綜上所述 這個 結論 對於 a=0 的 時候 成立 如果 a=k 成立 則 a=k' 時 也 是 成立 的 因此 0+a=a 對於 所有 自然數 都 成立 對 不 對 你 看 我們 就 證明 完畢 了 有 同學 可能 感覺 很 奇怪 你 在 這裏 幹 了 半天 究竟 在 做些 什 麽 數學 就是 這樣 就是 任何 一個 我們 看似 很 簡單 的 問題 都 需要 一個 非常 堅實 的 基礎 我們 有 了 這種 公理化 的 運動 之後 就 可以 嚴格 地 定義 加法 和 減法 以及 乘法 了 這種 嚴謹 的 數學 思維 也 可以 用 在 我們 生活 當中 比如 你 想 祝福 一個 人 早生貴子 你 也 可以 跟 他 說 你 的 胎數 應該 有個 後繼 數了 大家 如果 喜歡 我 的 視頻 可以 在 YouTobe 賬號 李永樂 老師 裏 訂閱 我 點擊 小 鈴鐺 可以 第一 時間 獲得 更新 信息