永远 不倒 的 里拉 斜塔 ：一摞 书 一个 比 一个 凸出 ，最多凸 多少？ The Leaning Rila Tower that will never fall down: A stack of books bulges out more than the other. How much can it bulge at most?

各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師

最近 有個 小朋友 問了 我 一個 問題

比薩斜塔 為什 麽 不會 倒 呢

這個 問題 非常 的 復 雜

涉及 到 許多 的 工程 和 數學知識

科學家 們 也 沒有 完全一致 的 結論

不過 我們 可以 在家 裏面 做 一個 模擬 比薩斜塔

有人 管它 叫 裏 拉 斜塔

我們 先看 一下 這個 實驗

為什 麽 這些 書 一個 一個 凸出來 卻 不會 倒下

它們 最 多 可以 凸出 多遠 呢

今天 我們 就 來 研究 一下 這個 問題

為 了 研究 這個 問題 我們 首先

來 帶 大家 回顧 一下 初中 的 物理 知識 那 就是 杠桿

比如 我們 把 質量 分別 是 m₁ m₂ 的 兩個 物體

放在 了 一個 很輕 的 杠桿 上

我們 在 什 麽 位置 施加 一個 支點

它 才 能夠 平衡

那 我們 知道 你 要 想 平衡 的話

應該 有 初中 物理 的 知識 力 和 力臂 的 乘積 要 相等

比如說 左邊 物體 的 重力 G₁

右邊 物體 重力 是 G₂

而 這個 力臂 分別 是 r₁ 和 r₂ 對 吧

那 麽 當 G₁×r₁=G₂×r₂ 的 時候

這個 杠桿 它 就 平衡 了

這個 是 杠桿 平衡 的 一個 基本原理

我們 可以 把 它 作 一個 移項

就是 這 兩個 物體 的 力臂 之 比 它 應該 等於 什 麽

它 應該 等於 G₂ 和 G₁ 之 比

它 應該 等於 重力 的 反比

也就是說 這 兩個 物體 如果 一樣 重 的話

你 這個 支點 就 應該 架 在 正 中央 對 不 對

就 應該 架 在 正 中央

如果 你 質量 之 比 是 2:1 的話

那 麽 你 這個 力臂 之 比 就 應該 是 1:2

你 架 在 1/3 的 位置 它 就 能夠 平衡 了 對 不 對

這是 我們 初中 的 時候 學習 過的 一個 知識

事實上 之所以 能夠 平衡

就是 因為 這個 點它 就是 構成 了 系統 的 什 麽

系統 的 重心

就 這 兩個 物體 有 一個 重心

你 就 把 支點 給我架 在 重心 上 它 就 能夠 平衡

如果 我們 不是 用 一個 支點 來支

而是 用 一個 木板 去 架 著 它 的話

咱們 看 木板 要是 這 麽 放

這個 系統 是 可以 靜止 的 對 吧

這 麽 放 也 行 ...

到 這兒 這是 臨界 情況

如果 你 木板 再 往 下移

因為 重心 已經 凸出 了 木板 了

它 就 一定 會 翻倒 對 不 對

所以 不 翻倒 的 條件

就是 重心 一定 在 下面 的 支撐物 以上 對 不 對

好 我們 明白 了 這個 問題 之後

我們 下面 看

我們 剛才 做 的 斜塔 實驗 是 怎 麽 回事

首先 最 上面 有 一個 木塊 或者 是 書

或者 什 麽 其他 的 東西 是 吧

我們 假設 它 的 長度 是 L 那 麽 因為 它 是 勻質 的

所以 它 的 重心 在 正 中央

我們 設 它 為 G₁ 就是 第一塊 板 的 重心

好 我們 下面 要放 第二塊 板

第二塊 板 相當於 是 一個 支撐物

它 如果 想 支撐住 第一個 板 而 不 倒下 的話

它 的 邊緣 最起碼 應該 跟 重心 齊平

你 再 往 左點 也 行

你 再 往右 一點 重心 凸出 邊緣

它 就 會 倒下 對 不 對

所以 臨界 情況 應該 是 凸出 一半 對 吧

因此 第二 塊磚 它 應該 正好 放在 這個 位置

邊緣 就 在 這 是 吧

於是 你 就 會 凸出 一個 位置 來 這叫 L₁

當然 右邊 這個 長度 也 是 L₁

L₁ 有 多長 顯而易見

它 就是 重心 到 左 邊緣 的 距離

那 正好 就是 板長 的 一半

所以 應該 是 L/2 對 吧

好 你 放 的 這塊 板 重心 在 這個 位置

重力 大小 還是 G G₁ 和 G₂ 是 一樣 大 的

現在 我 又 要 用 一個 支撐物

去 支撐 上面 這 兩個 物體 了

我們 把 這 兩個 物體 看作 一個 整體

你 知道 這個 整體 的 重心 在 哪 嗎

這個 也 不難理解

因為 整體 只分 兩個 部分

一個 是 G₁ 一個 是 G₂

它 倆 質量 是 一樣 的

所以 按照 我們 剛才 所說 的

重心 到 兩 物體 距離 之 比 等於 質量 反比

你 質量 一樣

所以 重心 在 哪兒

在 正 中央 對 吧

這 就是 前 兩塊 板 的 整體 重心 位置

在 這 兩個 重心 的 中央

好 那 既然 這樣 我們 要 想 用 一個

板子 去 支撐 前 兩個 物體 的話

你 的 邊緣 正好 得 頂 到 上 兩塊 板 的 重心 位置

所以 你 再 往 下畫

下 一塊 板 臨界 情況 就 應該 是 放在 這個 位置

於是 你 就 又 凸出來 了 一個 距離 叫做 L₂

這個 L₂ 的 長度

大家 看能 不能 算 出來 L₂ 是 多長

G₁ 和 G₂ 是 相等 的

所以 這 兩個 距離 也 是 相等 的

也 就是 它 等於 1/2 的 板長 的 一半 對 不 對

是 這 麽 長

好 繼續 我們 把 前 三個 物體 看作 是 一個 整體

這個 整體 它 的 重心 又 在 哪

我們 思考 前 兩個 物體 它 的 重心 是 在 這

第三個 物體 重心 是 在 這

重力 之 比 是 2:1

所以 重心 到 兩邊 的 距離 之 比 就 應該 是 1:2

也 就是 我 應該 在 這裏 對 吧

1/3 2/3 這樣 的 位置 有 一個 重心

這個 點 就是 前 三塊 板 的 重心

我們 放 第 4 塊板 的 時候

第 4 塊板 的 重心 位置 必須 頂到 這個 邊緣 是 吧

所以 我們 放 第 4 塊板 是 這樣 的

它 就 又 會 凸出來 一點 叫做 L₄

這個 L₄ 的 大小 是 多少

剛才 說 了 是 1:2 的 關系

所以 是 1/3 再 乘以

整個 的 長度 是 板長 的 一半 L/2 對 吧 等等

這裏 寫錯 了 應該 是 L₃

第三塊 板 就 重新 凸出 了 (1/3)×(1/2)L 對 吧

依次 類推 那 麽 我問

如果 一共 要 凸出 n 塊板 的話

你 告訴 我 一共 凸出 了 多少 呢

很 簡單 那 就是 (1/2)L 再 乘以

1+1/2+1/3+1/4+...

一直 往下加 加到 1/n 對 吧

這 就是 如果 你 一共 有 n 塊板 的話

它 一共 可以 凸出 的 距離

大家 仔細 看 前面 那個 1/2 我 不管 了

後面 這 一大堆 玩意

以前 我們 在講 黎曼 猜想 第一期 的 時候 說過

這叫 什 麽

這個 叫做 調和級數

而且 我們 還 證明 了 調和級數 是 發散 的

什 麽 叫 發散

就是 你 越往後 加 這個 數它 越 小

但是 如果 你 n 無限 的 加下去

這個 數會 變到 無窮大 對 吧

大家 可以 回頭 去 看 一下 那個 視頻

如何 證明 它 是 發散 的

這個 名字 叫 調和級數 為什 麽 叫 調和級數

因為 每一項 都 是 前後 兩項 的 調和 平均數

所謂 調和 平均數 就 指 的 是 這個 數的 倒數

是 前後 兩 個數 倒數 的 平均數

你 看 2 的 倒數 是 1 和 1/3 倒數 的 平均值

1/3 的 倒數 是 1/2 和 1/4 倒數 的 平均值 對 吧

就 這 麽 個 意思

如果 你 要是 凸出 4 個 木塊 來 n 等於 4

你 就 會 發現 那 麽 你 能夠

一共 凸出來 的 距離 有 多長

有 1.04 個 L 也就是說

你 有 4 塊 這樣 的磚 的話

你 最 上面 那 塊磚 它會 整個 的 懸空

如果 你 要是 有 n 等於 50 塊磚

你 就 會 發現 這個 時候 凸出來 的 距離

是 2.25 個 L 是 吧

那 就是 凸出 兩塊 磚 還要 多 的 距離

如果 你 這個 n 無窮大 的話

那 麽 你 就 會 發現 這個 距離 會 越來越 大

理論 上講 你 靠 這個 一個 一個 的 木板 摞 起來

你 可以 造 出 任意 長度 的 這 麽 一個 斜塔

可以 造 一個 跨海大橋 是 吧

是 這個 樣子

那 麽 對於 這個 調和級數 咱們 多 說 一句

最早 研究 它 的 人 是 歐拉

在 1735 年 的 時候

著名 的 數學家 歐拉 對於 調和級數 做 了 一定 的 研究

他 說 1+1/2+1/3+1/4+...+1/n

如果 n 無窮大 的話

這個 數列 是 發散 的

這個 是 顯而易見 大家 都 可以 證出來

那 麽 它 到底 是 多少 呢

歐拉 經過 一大堆 的 計算

發現 說 這個 值 當 這個 n 無窮大 的 時候

當 這個 n 趨向於 無窮大 的 時候

n 趨於 無窮的 時候

它 等於 ln(n)+C

就是 以 e 為底 n 的 對數

然後 再 加 一個 常數

因為 你 n 去向 無窮的 時候

第一項 是 無窮大 的

所以 說 整個 級數 也 是 無窮大 的

後面 的 這個 常數 我們 管它 叫 歐拉 常數

歐拉 常數 有 多 大

歐拉 常數 等於 0.577... 是 吧

對於 歐拉 常數 人們 現在 已經 算出 了 幾百億 位 了

但是 到 目前 為止 人們 還不 知道 歐拉 常數

到底 是 一個 有理數 還是 一個 無理數

數學 就是 這 麽 的 迷人 而 又 復 雜 是 吧

今天 給 大家 講了 一個 有關 斜塔 的 有趣 的 實驗

還講 了 一下 歐拉 常數 的 問題

大家 如果 在家 裏面 有 條件 的話 可以 自己 試一試

看看 你 搭 出 的 斜塔 到底 可以 伸出 多長 來

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