11.11优惠 可以 被 预测 吗 ？用 组合 数给 你 「加 鸡腿」
各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师 今年 的 双 11 来得 比 往年 更 早 一些 很多 同学 发挥 依然 稳定 尾款 付 得 十分 火热 面对 商家 五花八门 的 优惠 很多 同学 提前 研究 了 起来 有 一个 小朋友 就 跟 我 说 他 发现 了 一个 招商银行 信用卡 的 加 鸡腿 活动 这个 活动 还 挺 有意思 的 就是 只要 你 绑定 了 招商银行 信用卡 无论是 用 微信 支付宝 无论是 购物 还是 出行 用餐 ( 单笔 ) 刷满 18 元 就 能 抽 红包 加 鸡腿 最 多 可以 抽 100 次 而且 还有 超级 大奖 11111 元 这位 小朋友 就 跟 我 说 超级 大奖 他 也 不 指望 了 就 想 问 正常 情况 下 最大 有 可能 会 抽到 多 大 的 鸡腿 呢 为了 研究 这个 问题 前两天 我 还 做 了 个 测试 分别 抽到 了 0.8 元 1 元 和 2 元 的 鸡腿 我们 能 不能 根据 我 抽到 的 这些 鸡腿 来 估计 鸡腿 的 最大值 有 多少 呢 这个 问题 的 推导 在 数学 上 有 一点 复杂 但是 结论 非常简单 掌握 了 这种 方法 之后 每 一个 人 都 可以 用 这种 方法 来 估计 鸡腿 的 大小 我们 首先 来说 一下 这个 问题 的 历史 来源 这个 问题 我们 叫 它 德国 坦克 问题 德国 坦克 问题 这个 问题 是 在历史上 真实 应用 过 的 一个 例子 说 二战 的 时候 盟军 要 估计 德国 每个 月 可以 产 多少 辆 坦克 因为 那个 时候 坦克 是 陆上 霸主 对 吧 你 坦克 多 打 不过 你 那得 估计 怎么 估计 呢 它 有 两种 方法 第一种 方法 就是 情报 他 可以 派 很多 的 情报人员 什么 英国 的 军情 六处 美国 的 CIA 渗透到 德国 的 占领区 去 研究 情报部门 安插 到 兵工厂 里面 去 看 每个 月 剩下 多少 辆 坦克 但 除了 情报部门 以外 还有 一种 方案 那 就是 依靠 数学家 在 作战 的 过程 中 盟军 会 俘获 一些 德军 的 坦克 或者 摧毁 一些 德军 坦克 而 这些 坦克 它 是 有 编号 的 有 一些 是 底盘 上 的 编号 变速箱 的 编号 什么 履带 上 的 编号 这些 编号 我们 认为 它 是 连续 的 1 2 3 4 一直 到 最大值 那么 你 通过 俘获 的 这些 坦克 的 编号 能 不能 估计 出来 说 这个 坦克 的 最大 编号 是 多少 呢 数学家 们 也 有 方法 去 估计 而且 这 两种 方法 估计 的 结果 差别 很大 情报部门 估计 德国 每个 月 平均 来讲 有 多少 辆 坦克 生产 呢 大约 有 1400 辆 这是 情报部门 估计 的 而 数学家 们 估计 有 多少 辆 呢 估计 有 246 辆 差别 非常 大 是从 1940 年 到 1942 年 这 一段时间 里边 估计 平均 每个 月 是 246 辆 最后 战后 终于 解密 了 那 实际 的 情况 又 是 如何 呢 在 这 段时间 内 德国 生产 坦克 每个 月 245 辆 所以 你 会 发现 数学家 们 用 数学 估计 出来 的 结果 比 最 顶尖 的 间谍 还要 有用 对 吧 那 数学家 们 是 怎么 做到 这 一点 呢 怎么 能够 通过 俘获 的 几辆 坦克 就 可以 估计 出 总共 的 坦克 数量 呢 这 就是 我们 今天 要 研究 的 问题 那么 为了 研究 这件 事 我们 首先 还 得 去 了解 一点 数学知识 这 就是 我们 在 上 高中 的 时候 学过 的 一个 数学知识 叫做 组合 数 那 我们 要 先 把 这个 组合 数再 复习 一下 什么 叫 组合 数 呢 就是 有 n 个 元素 有 n 个 元素 我们 取出 其中 的 m 个 它 有 多少 种 方法 这个 方法 数 我们 就 叫 它 c(n,m) 这 就 叫 组合 数 那么 组合 数 怎么 计算 呢 我们 举个 例子 比如说 我们 有 1 2 3 4 5 这 5 个人 1 2 3 4 吧 先说 4 个人 这 4 个人 中 我们 想 找 2 个人 参加 歌唱 比赛 去 我们 有 多少 种 方法 对 吧 那 这 就 叫 c(4,2) 在 这 4 个人 中选 2 个 那 你 可以 选 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,4 是不是 一共 6 种 方法 对 吧 所以 c(4,2) 就是 6 这 就 叫 n 个 元素 中取 m 个 元素 再 举个 例子 比如说 有 5 个人 我们 选 3 个人 参加 作文 比赛 有 多少 种 方法 你 这 就是 c(5,3) c(5,3) 的话 你 可以 想 你 选 3 个人 参加 比赛 那 剩下 这 2 个人 他 就 不 去 对 不 对 所以 有 多少 种 剩下 2 个人 的 方法 就 有 多少 种 选出 3 个人 的 方法 对 不 对 那 所以 我们 干脆 就 选 两个 好 的 选 两个 剩 的 剩 这 两个 人 可以 是 1,2 1,3 1,4 1,5 2,3 2,4 2,5 3,4 3,5 4,5 所以 剩下 两个 人 的 方法 有 10 种 选出 3 个人 的 方法 也 有 10 种 c(5,3) 等于 10 这 就是 所谓 的 组合 数 其实 并 不难理解 组合 数有 一些 性质 我们 举个 例子 第一个 组合 数 的 性质 c(n,0) 等于 多少 从 n 个人 中选 0 个人 有 几种 方法 那不就 一种 谁 也 不选 对 不 对 c(n,n) 有 多少 种 方法 从 n 个 人选 n 个 那 不是 也 有 一种 方法 就 全选 所以 这 两个 数都 是 1 这是 第一个 性质 第二个 就是 具体 计算 c(n,m) 等于 什么 它 等于 n×(n-1)×(n-2） 一直 乘到 n-m+1 也 就是 乘 m 个数 是 吧 从 n 开始 往 小 了 乘 乘 m 个数 然后 底下 是 1×2×3× 一直 乘 也 是 乘 m 个数 举个 例子 c(4,2) 就 等于 什么 等于 (4×3)/(1×2) 最后 算 完得 6 c(5,3) 等于 什么 等于 (5×4×3)/(1×2×3) 等于 10 是 吧 这 就是 组合 数 的 一个 算法 还有 什么 算法 呢 比如说 n 倍 的 c(n-1,m-1) 它 等于 m 倍 的 c(n,m) 这 也 是 它 的 一个 公式 你 不信 你 就 把 这些 数往 里代 试试 是 吧 代完 了 之后 就 能 证出来 咱 就 不证 了 还有 什么 呢 还有 这 叫做 c(n-1,m-1)+c(n-1,m)=c(n,m) 这 公式 咱们 可以 稍微 说道 说道 这是 为啥 啥意思 呢 就是说 你 有 好多个 元素 嘛 你 有 n 个 元素 你 有 n 个 元素 我 说 你 给 我取 m 个 那 我 先 问 你 你 包含 不 包含 这个 一号 c(n,m) 就是 n 个 元素 中取 m 个 对 吧 如果 你 不 包含 这个 一号 你 就 是从 n-1 元素 中取 m 个 那 方法 数 就是 c(n-1,m) 如果 你 包含 这个 一号 那有 什么 结果 你 包含 一号 的话 你 只 需要 在 剩下 的 n-1 中取 m-1 就行了 因为 有 一个 你 已经 包含 了 所以 这个 方法 数 就是 c(n-1,m-1) 大家 能 听 明白 吗 就是 实际上 就是 问 你 从 n 个 元素 中取 m 个 元素 的 时候 你 可以 分 两种 情况 一种 情况 就是 包含 它 一种 情况 是 不 包含 它 如果 包含 它 就是 前面 这个 方法 数 不 包含 它 就 后面 这个 方法 数 它 俩一 加 就是 这个 数 是 吧 好 了 性质 咱们 就 说 到 这 下面 咱做 个题 说 咱们 讲 科普 还 做题 就是 因为 吧 我们 后面 的 这个 问题 它 跟 这个 题目 有关 所以 咱们 把 这个 题 做 一下 说 有 这么 一个 式子 叫 c(k,k)+c(k+1,k)+c(k+2,k) 一直 加 加加 加 一直 加 加到 c(N,k) 问 你 这个 东西 化简 之后 是 啥 这个 是 很多很多年 前 的 一个 高考题 我 以前 讲 数学 的 时候 还 讲 过 这道题 其实 这道题 并 不难 咱们 仔细 看 c(k,k) 就是 k 个 元素 中取 k 个 几种 方法 一种 对 吧 那么 c(k,k) 我 是不是 可以 把 它 写成 是 c(k+1,k+1) 对 不 对 因为 c(k+1,k+1) 和 c(k,k) 都 是 1 然后 再 加上 第二项 c(k+1,k) 再 加 第三项 c(k+2,k) 一直 再 加 加 到 最后 一项 是 c(N,k) 然后 咱们 把 前 两项 合 起来 大家 看 前 两项 它 底下 这个 数 n 是 一样 的 而 上面 这个 数 m 它 是 差 1 的 是不是 正好 满足 这个 公式 n 是 一样 的 m 是 差 一个 数 的 最后 的 结果 是 我们 要 把 这个 n 加上 一位 而 m 我们 取大 的 那个 是 吧 我们 可以 利用 上面 这个 公式 所以 这个 东西 又 可以 变形 它 就 变成 了 c(k+2,k+1) 就是 这个 括号 变成 底下 这个 了 然后 后面 继续 保持 不变 加 c(k+2,k) 然后 一直 加 加 到 最后 的 c(N,k) 然后 你 看 是不是 又 可以 把 这 两个 合 起来 了 把 这 两个 合 起来 我们 再次 利用 这个 公式 这么 一顿 折腾 最后 你 能 看到 是 多少 吗 它 等于 c(N+1,k+1) 就 得出 了 这么 一个 结果 好 吧 也许 有 同学 说 这块 我 没 看 懂 不过 没有 关系 反正 你 就 知道 把 这 一大 串 它 可以 化简 成 底下 这个 式子 就 Ok 了 我们 就 可以 往 下 算了 好 我们 就 利用 这个 组合 数来 研究 一下 我们 俘获 了 一些 坦克 之后 如何 我们 用 样本 来 怎么样 来 估计 来 估计 总体 用 样本 估计 总体 你 得 先 问问 这个 总体 是 什么样 的 分布 而 我们 这个 问题 我们 应该 说 是 均匀分布 我们 认为 坦克 的 编号 是 1 2 3 4 一直 到 N 每 一个 编号 只有 一辆 对 吧 我 再 去 俘获 德国 坦克 的 时候 我 也 是 随机 俘获 的 所以 我 就 想 问问 如果 这个 坦克 它 的 编号 分别 是 1 2 ... 一直 到 多少 呢 一直 到 N 号 然后 我 这个 盟军 我 随便 俘获 了 几辆 对 不 对 盟军 我们 俘获 了 k 辆 德国 坦克 一共 有 N 辆 我 俘获 了 k 辆 很 显然 这个 k 是 比 N 小 的 是不是 那么 它 的 最大 编号 最大 编号 M 可能 是 多少 最大 编号 M 可能 是 多少 我们 首先 来 研究 一下 概率 什么 概率 呢 我们 思考 一下 就是 你 俘获 了 k 辆 汽车 这 k 辆 汽车 里边 最大 编号 是 M 这个 概率 是 吧 你 比如 你 俘获 了 10 辆车 最大 编号 是 50 请问 这 概率 有 多 大 这 叫 P_M 等于 什么 呢 咱们 思考 这个 P_M 表示 你 俘获 的 k 辆 而且 最大 变化 是 M 的 那 你 俘获 k 辆 的 方法 数 一共 有 多少 种 呢 德国 坦克 一共 有 N 辆 这 N 辆 坦克 中 我 俘获 k 辆 是不是 就是 c(N,k) 这么 多种 那么 在 这么 多种 情况 下 有 多少 种 情况 俘获 的 最大 编号 是 M 呢 比如说 这辆 坦克 这辆 坦克 就是 编号 为 M 的 坦克 它 就是 我们 俘获 的 最大 编号 剩下 我们 俘获 的 那些 坦克 必须 在 它 左边 所以 方法 数 是不是 应该 是 在 在 M-1 辆 坦克 中 找 k-1 辆 这么 多种 方法 对 吗 这个 M 它 应该 是 等于 k k+1 一直 到 N 是 吧 这个 M 有 很 多种 可能 好 M 有 这么 多种 可能 那么 我们 平均 来讲 你 俘获 的 这些 坦克 中 最大 编号 是 多少 这个 叫做 什么 呢 这个 叫 数学 期望 意思 是 说 你 可能 俘获 的 这个 坦克 最大 编号 是 比如 10 也 可能 是 11 也 可能 是 12 也 可能 是 13 也 可能 是 14 一直 到 N 对 吧 每 一个 情况 下 都 有 一个 相应 的 概率 数学 期望 怎么 算 呢 就是 用 每 一种 情况 最大 的 编号 再 乘以 它 相应 的 概率 然后 取加 和 这个 就 叫 数学 期望 是 吧 而且 这个 M 的 取值 还是 那句话 从 k 开始 一直 取到 N 我们 把 数学 期望 给 算 出来 这 就是 俘获 坦克 中 最 有 可能 的 最大 编号 对 吧 然后 我们 来算 一下 这个 数 这个 数用 E 来 表示 俘获 坦克 编号 的 最大值 的 数学 期望 它 等于 Σ M 从 k 开始 一直 到 N 然后 M×c(M-1,k-1)/c(N,k) 然后 我们 可以 用 刚才 我们 说 的 这个 公式 做 一个 变形 它 就 可以 变成 什么 呢 可以 变成 Σ M 等于 k 一直 到 N 然后 k×c(M,k) 然后 再 除以 一个 c(N,k) 这个 实际上 是 一个 加 和 的 形式 然后 你 可以 利用 这个 公式 再 把 这个 加 和 给 换 一下 是 吧 我 就 不 仔细 写 了 反正 最后 的 结果 它 等于 什么 等于 k 倍 的 c(N+1,k+1) 再 除以 一个 c(N,k) 然后 我们 再 把 这个 式子 利用 这个 组合 数 公式 展开 是 吧 最后 展开 完 的 结果 是 什么 呢 就是 k(N+1)/(k+1) 我们 终于 算 出来 了 也就是说 我们 可以 俘获 k 辆 坦克 这 k 辆 坦克 的 最大 编号 有 很 多种 可能 但是 这个 很 多种 可能 的 最大 编号 里 平均 来讲 最大 编号 是 这个 值 它 跟 坦克 的 总 数量 有关 还 跟 你 俘获 坦克 的 数量 有关 对 不 对 那好 我们 假如 说 在 实际 的 样本 中 比如说 我们 就 俘获 了 一大堆 坦克 在 实际 的 坦克 样本 中 这个 最大 的 编号 是 m 那么 我们 认为 你 在 样本 中 的 这个 最大 编号 就是 最有 可能 的 最大 编号 它 实际 发生 的 这个 就是 最有 可能 的 所以 我令 这个 值 直接 等于 k×(N+1)/(k+1) 这样 我们 就 可以 得到 坦克 的 总 数量 的 估计值 它 等于 m+(m-k)/k 这个 就是 我们 推 了 半天 得 出来 的 一个 公式 我们 来 解释一下 这个 公式 里面 的 每个 字母 的 含义 再 解释 一遍 这个 m 就是 样本 的 最大值 样本 的 最大值 你 比如说 你 俘获 了 10 辆 坦克 最大 编号 是 55 那 这个 m 就是 55 对 吧 这个 k 就是 样本 的 数量 样本 的 数量 你 俘获 了 10 辆 坦克 这 k 就是 10 然后 你 把 它 这么 一 算 最后 算 出来 的 这个 N 就是 总体 的 估计 的 最大值 是 吧 总体 的 最大值 我们 估计 总体 最大值 就是 这个 N 这样 我们 就 可以 用 样本 的 最大值 来 估计 总体 的 最大值 了 那 这个 事 在 二战 的 时候 已经 验证 过 了 对 吧 这 是 个 非常 有效 的 方法 那么 假如 说 我们 俘获 了 一辆 坦克 编号 是 50 我们 就 说 50+(50-1)/1=99 99 就是 坦克 的 有 可能 最大值 我们 如果 俘获 了 两辆 坦克 编号 最大值 还是 50 的话 那 就是 50+(50-2)/2 最后 的 估计 最大值 就是 74 对 吧 你 俘获 的 坦克 数量 越 多 你 就 越 能够 准确 地 估计 出 总体 的 最大值 这个 方法 在生活中 其实 很 有效 比如说 你 在 一个 班级 里面 随便 发现 了 几位 同学 的 这个 学 号 那 你 就 可以 根据 这 几个 人 的 学号 来 估计 他们 班 一共 有 多少 个人 对 吧 你 在 一 本书 里边 随便 撕出 几页 纸 给 别人 看 别人 可以 根据 这 几页 纸 来 估计 这 本书 一共 有 多少 页 对 不 对 所以 这个 方法 其实 还是 挺 有效 的 我们 现在 就 用 这种 方法 来 估计 这个 招商银行 信用卡 它 的 这个 鸡腿 大小 招行 的 鸡腿 到底 有 多 大 我们 知道 招商银行 的 这个 鸡腿 活动 你 ( 单笔 ) 刷满 18 元 就 可以 抽 一次 鸡腿 最 多 可以 抽 100 次 但是 我们 不 知道 这个 最大 鸡腿 有 多 大 我们 不妨 做 一个 大胆 的 假设 假设 抽 的 这个 鸡腿 是从 这个 奖池 中 随机 抽取 出来 的 每 一个 金额 出现 的 概率 都 相等 那 这样一来 它 的 分布 就是 一种 均匀分布 就 类似 于 这个 德国 坦克 问题 了 于是 我们 就 可以 通过 抽出来 的 鸡腿 大小 来 估计 总体 鸡腿 的 最大值 我们 来 做 一个 比较 那 大家 看 假如 说 我们 抽 的 鸡腿 它 的 次数 作为 第一列 就是 k 对 吧 然后 你 这个 样本 或者说 抽 的 鸡腿 大小 这个 鸡腿 的 大小 样本 我们 作为 第二列 它 的 单位 是 分 因为 它 最小 的 这个 间隔 是 分 吗 然后 它 的 这个 最大 的 样本 或者说 最大 的 我 抽出来 的 鸡腿 也 就是 刚才 我们 这里 边 的 m 这 m 是 样本 中 的 最大值 对 吧 那 然后 我们 通过 这 三个 数来 估计 什么 呢 我们 来 估计 这个 总体 的 最大值 奖 池里 的 最大 鸡腿 奖池 中 的 最大 鸡腿 这个 就 叫 N 就 类似 于 我们 通过 俘获 的 坦克 来 估计 最大 坦克 一样 这个 单位 都 是 分 我们 按 这种 方法 来算 假如 我 抽 的 第一次 的 时候 我 发现 我 抽 中 了 一个 80 分 的 鸡腿 那 最大 的 鸡腿 就是 80 分 对 不 对 然后 我 把 这个 k 和 m 我 带入 到 这个 公式 里 去 80+(80-1)/1 结果 是 159 所以 我 估计 奖池 中 的 最大 鸡腿 就是 159 分 就 抽 一次 我 就 能 估计 出来 那 如果 我 抽 了 两次 抽 两次 的 时候 这个 鸡腿 有 两个 一个 是 80 分 还有 一个 是 100 分 1 块钱 的 那么 这 两个 里边 最大 的 鸡腿 是 100 分 的 我 通过 这个 100 分 和 两次 我 就 可以 计算出来 奖池 中 最大 鸡腿 N 的 可能 值 了 用 100+(100-2)/2 结果 是 149 分 如果 我 抽 了 三次 鸡腿 这 三次 鸡腿 分别 是 80 100 和 200 抽 了 一个 两元 的 那 这个 时候 最大 鸡腿 不是 200 分 了 嘛 我 再 代入 200+(200-3)/3 最后 得到 266 这个 就是 我 估计 的 最大 鸡腿 如果 我 抽 了 4 次 抽 了 4 次 比如说 我们 是 80 100 200 第 4 次 又 抽 了 个 100 所以 这样一来 我们 就 抽 中 了 最大值 是 200 分 但是 我们 抽 了 4 次 所以 比 刚才 多 一次 我们 再 代入 这个 公式 200+(200-4)/4 最后 算 出来 结果 249 分 249 分 就 2 块 4 毛 9 如果 我们 这个 估计 八九不离十 的话 那么 你 抽 100 次 如果 运气 特别 好 每次 都 抽中 最大 鸡腿 的话 你 没准 可以 拿 回到 200 多 块钱 是不是 当然 了 我们 这 只是 建立 在 一个 均匀分布 的 模型 基础 之上 但 事实上 招行 给出 的 一个 政策 是 说 刷满 18 元 最小 的 鸡腿 是 0.16 元 而 最大 的 鸡腿 是 11111 元 所以 我们 其实 并 不 清楚 它 是 一个 什么样 的 模型 去 给 大家 分配 这个 鸡腿 的 不过 梦想 总 还是 要 有 的 万一 实现 了 呢 也 有 同学 可能 会 说 双 11 根本 买 不了 这么 多 东西 怎么 可能 刷满 100 笔 呢 所以 这个 鸡腿 给 的 不够 诚恳 我们 来算 一笔 账 根据 一些 公司 的 调查 他们 调查 的 对象 中 平均 月 消费 是 4800 元 这 4800 元 中 有 61% 都 是 通过 第三方 支付 也 就是 微信 支付宝 进行 的 还有 23% 是 通过 银行卡 信用卡 进行 的 只有 14% 是 通过 现金 进行 交易 的 而 根据 工信部 的 统计 中国 的 移动 支付 用户 大概 有 10 亿人 2019 年 的 时候 一共 刷 了 1.22 万亿 笔 如果 平均 到 每 一个 人 每 一个月 的话 刚好 是 刷 满 100 笔 现在 我们 每天 的 生活 中买 早餐 打车 交 水电费 交 电话费 是不是 每时每刻 都 在 使用 着 网络 支付 呢 而 这个 加 鸡腿 的 活动 是从 10 月 20 号 到 11 月 30 号 所以 刷满 100 笔 其实 根本 不是 事儿 而且 这个 活动 的 意思 是 说 只要 你 绑定 了 招商银行 信用卡 进行 支付 那 无论 前面 你 是 使用 了 微信 支付宝 或者 无论 你 是 购物 还是 打车 吃饭 只要 ( 单笔 ) 刷满 18 元 你 都 可以 笔笔 返现 对于 土豪 来讲 你 只要 把 一个 大 的 消费 拆成 几个 小笔 的 消费 而 对于 普通人 午餐 费用 18 元 都 不到 的 辛苦 了 一年 不妨 在 这个 月 给 自己 每 一餐 加 两个 荷包蛋 再 加 一个 鸡腿 兴许 这个 鸡腿 还是 可以 免单 的 大家 如果 喜欢 我 的 视频 可以 在 YouTube 帐号 李永乐 老师 里 订阅 我 点击 小 铃铛 可以 第一 时间 获取 更新 信息
