¿Existe el infinito ♾️? ➡️ Aleph 0
¡Hola Amigos! Hoy vamos a hablar de un tema controvertido:
El infinito. Controvertido porque a la humanidad le costó mucho entender dicho objeto. Todavía
hoy seguimos escuchando voces que niegan la existencia del infinito en acto. En este vídeo
veremos que es mucho más que una idea o una manera de hablar como decía Gauss.
El vídeo comienza con las definiciones e ideas básicas y va avanzando hasta terminar
con un problema matemático fácil de enunciar, pero difícil de resolver, tanto que sigue
abierto. Pero antes de llegar a este problema veremos con detalle distintas construcciones,
y como siempre, unas cuantas pinceladas históricas daremos, por eso entre las animaciones se
nos han colado un puñado de grandes matemáticos. ¡Empezamos!
Desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, dos conjuntos A y B son indistinguibles si
tienen la misma cantidad de elementos. Si los conjuntos son finitos, digamos que, con
3 elementos, decimos que su cardinal, que denotamos con el conjunto entre barras, es
3.
Si tenemos un cierto conjunto X y un subconjunto propio suyo Y, es decir un subconjunto que
no sea el mismo X ni el vacío, es claro que el cardinal de Y es menor que el cardinal
de X ¿verdad? Esto podemos resumirlo en una frase con gancho
“El todo es mayor que las partes”
Pero ¿estamos tan seguros de la veracidad de esta afirmación?
Consideremos el conjunto de números naturales, en el que incluiremos el 0 para este vídeo.
Un subconjunto propio suyo sería el formado por todos los números pares.
¿Podemos afirmar que el conjunto de números naturales es mayor que el conjunto de los
números pares? ¿Es el todo mayor que la parte?
Fijaos que podemos definir una función que asocie a cada número natural un número par.
En efecto, si definimos f de n igual a 2n, hacemos corresponder a cada número natural
el doble de este número que es par.
Esta función admite una inversa que asocia a cada número par p su mitad. Estas dos funciones
definen una correspondencia biunívoca entre los números naturales y los números pares.
Cada número natural tiene como pareja un número par y viceversa.
Entonces hay exactamente tantos números naturales como números pares.
Lo mismo podríamos decir también de números naturales y números cuadrados utilizando
potencia de exponente 2 y la raíz cuadrada como funciones inversas.
Esta propiedad paradójica llevo al legendario Galileo Galilei a concluir erróneamente que
los atributos mayor, menor o igual no tenían sentido al hablar de cantidades infinitas.
A pesar de ser el padre de la ciencia que superó casi dos mil años de doctrina Aristotélica,
no llegó a acabar con la idea de Aristóteles del infinito. Para Aristóteles el infinito
solo podía ser considerado como algo potencial y no como objeto matemático en sí mismo.
Las herramientas utilizadas por Galileo, esto es, las biyecciones eran las herramientas
correctas, pero no lo fue su conclusión.
Pero no podemos culpar a Galileo por este desliz pues los matemáticos más grandes
de todos los tiempos también tropezaron con la idea del infinito en acto.
Simplemente las ideas matemáticas aun no estaban lo suficientemente maduras para entender
el infinito y no deja de tener un mérito enorme haberse acercado tanto antes que nadie
en la historia.
Habría que esperar hasta finales del siglo XIX a que matemáticos como Richard Dedekind
y George Cantor dieran con la clave. En vez de utilizar herramientas sofisticadas de la
aritmética o del análisis, para entender el infinito debíamos pensar como nuestros
ancestros del neolítico.
Nuestro Cantor neolítico probablemente se dedicaba a la ganadería. De este modo su
supervivencia dependía de los alimentos que obtenía de sus ovejas y tras pastar durante
el día, al caer la noche debía asegurarse de no perder a ninguna oveja.
¿Cómo podría hacer esto el Cantor neolítico si no dispone de números? Podía tener una
pila de piedras, tantas como ovejas tuviera el rebaño. De este modo, cada vez que una
oveja es devuelta a su cabaña, desplaza una piedra del montículo colocándola aparte.
Nuestro Cantor neolítico no dispone de ninguna herramienta matemática sofisticada. Tan solo
dispone de su montículo de piedras. Si tras recoger todo su rebaño observa que ha quedado
alguna piedra en el montículo original, entonces alguna oveja se ha extraviado y debía salir
a buscarla.
La idea matemática subyacente en este método es la de biyección, esto es, una función
entre dos conjuntos que empareja los elementos de ambos conjuntos. En ese caso decimos que
los conjuntos son equipotentes o que tienen el mismo cardinal.
Digamos que el conjunto de piedras equivale al conjunto de ovejas y claramente parece
más fácil controlar un conjunto de piedras que un rebaño.
Si volvemos a nuestros ejemplos del principio, en vez de contar los elementos de los conjuntos
A y B para saber que son equipotentes, podemos simplemente definir una biyección entre sus
elementos y concluir que tiene el mismo cardinal.
Está claro que para conjuntos finitos el cardinal coincide con el número de elementos
del conjunto, pero en el caso de los números naturales y los números pares podemos afirmar
que tienen el mismo cardinal a pesar de no poder contar sus elementos, pues son infinitos.
En vez de ver esto como una paradoja o un problema como le ocurrió a Galileo, podemos
ver esto como una definición como hizo Dedekind. Un conjunto infinito es aquel que es equivalente
a una de sus partes.
Nuestro primer conjunto infinito es el conjunto de números naturales que como hemos visto
es equipotente al subconjunto propio de los números pares. Al cardinal de los números
naturales lo llamaremos aleph sub cero. La primera letra del alfabeto hebreo con subíndice
0.
Pero conocemos otros conjuntos infinitos que contienen al conjunto de números naturales
como subconjunto propio, como por ejemplo los números enteros, que denotamos con una
Z por ser la inicial de la palabra alemana Zahlen que significa ‘números'.
Dado que los números naturales están contenidos en el subconjunto de números enteros. ¿Tendrán
los números enteros un cardinal diferente de aleph sub cero?
Como ya podréis imaginar podemos utilizar la idea de los números pares para dar una
biyección entre los naturales y los enteros. En primer lugar, separamos los números naturales
en números pares y números impares.
De este modo, podemos definir una biyección que empareje los números pares con los números
entero positivos junto al cero, y los números impares con los enteros negativos.
Si os fijáis, los números pares tendremos que dividirlos entre 2 y los impares, tendremos
que sumarle 1, dividirlo entre 2 y cambiarle el signo.
Si denotamos esta función con la letra s minúscula, podemos escribirla como una función
a trozos.
Si n es par la función s le asigna el número entero n dividido entre 2. Si n es impar la
función s le hace corresponder el número entero n+1 dividido entre 2 con signo negativo.
Si no os gustan las funciones a trozos podéis comprobar que la siguiente expresión hace
exactamente el mismo trabajo que nuestra función a trozos.
Pero en este vídeo queremos ser lo más explícito posible, y no solo dar la expresión de nuestra
función sino también de su inversa, que ha de existir por tratarse de una función
biyectiva.
Si nos fijamos bien en cómo hemos definido la función s, su inversa que consiste en
asignar a cada imagen de s su anti-imagen, esto es, dar la vuelta a la flecha s, asigna
0 al 0, y cada número entero positivo va a parar al doble de este número, que es,
en efecto, un número par.
Pero ¿Qué sucede con los números enteros negativos? En este caso tenemos que esforzarnos
un poco más en darnos cuenta que lo que debemos hacer es multiplicar por 2 sumar 1 y cambiar
de signo.
En definitiva, la función inversa de s, que es una función con dominio el conjunto de
números enteros y codominio el conjunto de números naturales, está definida como una
función a trozos que asigna al cero el cero, a cada número entero positivo su doble y
a cada entero negativo, el doble más uno cambiado de signo.
Bien, el conjunto de números naturales está contenido en el de números enteros y ambos
tiene el mismo cardinal aleph sub cero. Quizás debamos buscar un conjunto más grande aun,
como el conjunto de todos los números racionales y preguntarnos si este conjunto es también
de cardinal aleph sub cero, es decir, si existe una biyección entre los números naturales
y los racionales.
La respuesta es afirmativa, sin embargo, aunque no es difícil argumentar que debe existir
esta biyección, lo que sí es más complicado es definir esta biyección y su inversa de
forma explícita y como no podía ser de otra forma, lo vamos a ver con todo detalle.
Esta construcción es muy sutil y bella y a mí me sorprendió cuando la vi por primera
vez. Comienza mostrando que se puede definir una biyección entre el conjunto de enteros
positivos y el conjunto de racionales positivos.
La clave para definir esta biyección es recordar el teorema fundamental de la aritmética que
afirma que todo entero positivo se puede escribir de forma única como un producto de números
primos, esto es, como una sucesión de potencias con base los números primos y exponentes
números naturales que serán todos cero salvo una cantidad finita.
Por ejemplo, 140 es 2 al cuadrado por 5 por 7, es decir, podemos escribirlo como 2 elevado
a 2 por 3 elevado a 0 (ya que el 3 no aparece en la descomposición factorial), por 5 elevado
a 1 por 7 elevado a 1 y el resto de números primos elevados a 0.
Esto es bien conocido, lo que no es tan usual, es utilizar que también los números racionales
positivos tienen una factorización como producto de potencias de números primos, pero en este
caso los exponentes serán ¡Números enteros! Donde todos serán cero salvo una cantidad
finita.
En efecto, consideremos por ejemplo el cociente 63 entre 100. Si descomponemos en factores
primos numerador y denominador, 63 es 3 al cuadrado por 7 y 100 es 2 al cuadrado por
5 al cuadrado. Entonces, recordando que el cociente 1 entre una potencia puede escribirse
como una potencia de exponente negativo, tenemos que 63 entre 100 es igual a 2 elevado a -2
por 3 elevado a 2 por 5 elevado a -2 por 7 elevado a 1 y por el resto de números primos
elevados a 0 ya que no intervienen en la descomposición factorial.
Entonces, la biyección entre los enteros positivos y los racionales positivos, que
llamaremos h + está definida del siguiente modo: Dado un entero positivo z, lo descomponemos
en producto de factores primos con exponente natural.
Ahora recordemos que tenemos una biyección s de los naturales a los enteros que enviaba
el 0 al 0. Podemos por tanto asociar al entero z el mismo producto de factores primos anterior,
pero cambiando los exponentes naturales por exponentes enteros por medio de la biyección
s.
Y como bien sabemos un producto de primos con exponentes enteros se corresponde con
un número racional positivo de forma única.
¿Cuál es la función inversa de h + ? Esta función tiene dominio los racionales positivos
y codomonio los enteros positivos y simplemente toma un racional positivo, que se escribe
como producto de primos con exponente entero y le asociamos el mismo producto de primos,
pero cambiando los exponentes enteros por exponentes naturales a través de la inversa
de s.
Este nuevo producto es un entero positivo al tener todos los exponentes naturales.
Claramente como s y s^{-1} son inversas una de la otra, las funciones h + y la función
recién definida son una inversa de la otra.
A partir de esta biyección entre los enteros positivos y los racionales positivos podemos
definir una biyección h entre el conjunto de números enteros y el conjunto de números
racionales con un truco que ya hemos utilizado.
Los enteros positivos los aplicamos en los racionales positivos a través de h +. El
0 lo mandamos al 0 y si tenemos un entero negativo, le cambiamos el signo para que sea
positivo, aplicamos h+ y cambiamos el signo del racional positivo para obtener un racional
negativo. Esta función h es claramente una biyección.
Precomponiendo h con la biyección s entre los naturales y los enteros que ya habíamos
definido y teniendo en cuenta que la composición de biyecciones es una biyección obtenemos
la deseada biyección entre los naturales y los racionales.
Lo bueno de esta biyección es que es explícita y nos permite calcular cuál es el número
racional que le corresponde a cada natural y viceversa en términos de las funciones
s y h.
Veamos un ejemplo: Consideremos el número natural 1077 ¿Cuál es su imagen en los números
racionales? En primer lugar, aplicamos s a 1077. Como
1077 es impar, tenemos que sumarle 1 dividir entre 2 y cambiarle el signo. Esto nos da
el número entero – 539.
A continuación, escribimos este número entero como producto de primos con exponente natural
y obtenemos - 7 al cuadrado por 11 elevado a 1.
A continuación, como el número que tenemos es un entero negativo, tenemos que cambiarle
de signo aplicar h + y volver a cambiar de signo.
h + del producto de primos con exponentes naturales es precisamente el mismo producto,
pero aplicando la función s a los exponentes.
De este modo, como 2 es par, tenemos que dividirlo entre 2 lo que nos da como exponente 1. Y
como 1 es impar, tendremos que sumarle 1, dividir entre 2 y cambiar de signo, lo que
nos da como exponente -1.
En definitiva, hemos obtenido el número racional – 7 entre 11. Si aplicamos el proceso inverso
utilizando s -1, el inverso de s, en vez de s veremos que la función inversa, en efecto
aplica la fracción – 7 entre 11 en el número natural 1077, como no podía ser de otra forma.
Esta biyección entre N y Q nos dice que tanto los naturales como los enteros como los racionales
son conjuntos con cardinal aleph sub cero. Pero para terminar este vídeo dedicado a
aleph subcero, el primer cardinal infinito vamos a ver que el producto cartesiano de
los naturales consigo mismo también tiene cardinal aleph sub cero.
En este caso será más fácil definir la biyección cuyo dominio es el producto cartesiano
y cuyo codominio son los números naturales.
Hagamos lo siguiente, consideremos una tabla de doble entrada con filas y columnas todos
los números naturales. Los elementos de esta tabla serán todos los pares ordenados de
números naturales, esto es, los elementos del producto cartesiano.
A continuación, vamos a completar la misma tabla, pero en este caso utilizando todos
los números naturales.
Comenzamos situando el cero en la intersección de la columna 0 con la fila 0.
A continuación, situamos el 1 y el 2 completando la diagonal que va desde la intersección
de la columna 1 y la fila 0 hasta la intersección de la columna 0 y la fila 1.
Hacemos lo mismo situando 3,4 y 5 en la diagonal que va desde la columna 2 y la fila 0 hasta
la columna 0 fila 2. 6, 7, 8, y 9 se sitúan en la diagonal desde columna 3 fila 0 hasta
columna 0 fila 3 y procedemos de esta forma con todos los números naturales.
En definitiva, hemos completado la tabla de doble entrada situando los números naturales
en las diagonales desde el par (n, 0) al par (0, n).
Esto define una biyección pues, por ejemplo, al par (1, 3) del producto cartesiano que
se encuentra en la intersección de la columna 1 y la fila 3 le asignamos el número natural
que esté precisamente en la intersección de la columna 1 y la fila 3, esto es, el 13.
¡Vaya! Que el par (1, 3) vaya al natural 13 es pura casualidad. Por ejemplo, al par
(2, 1) le asignamos el número natural 7.
En definitiva, la biyección consiste en superponer ambas tablas de doble entrada. Pero en este
vídeo estamos interesados no solo en la descripción de las biyecciones sino en su fórmula explícita.
¿Cómo podemos definir la biyección PI mayúscula del par (m, n) de forma explícita?
Por el modo en que hemos completado la tabla de doble entrada con los números naturales
vemos que en la primera fila nos van apareciendo unos números conocidos.
Quienes hayáis visto nuestro vídeo sobre demostraciones visuales reconocerá estos
números como los números triangulares, esto es, aquellos que se obtienen como el número
de piedras que forman un triángulo, o dicho de otro modo, como la suma de números naturales
consecutivos. Como ya vimos, estos números pueden ser descritos
por una fórmula sencilla. El primer número triangular, sería el producto de 1 por 1+1
, esto es, 2, dividido entre 2. El segundo número triangular es 2 por 2+1, esto es,
3 dividido entre 2. El tercer número triangular es 3 por 4 entre 2, etc.
¿Qué tenemos que hacer para calcular el número natural que aparecerá en la intersección
de la columna n y la fila m? Tendremos que irnos al primer número natural de su diagonal,
que es un número triangular, y desplazarnos hasta llegar a la correspondiente intersección.
¿Qué número triangular es el que le corresponde a la intersección de la columna m y la fila
n. Pues será el número triangular m+n, ya que el triángulo rectángulo con vértices
en la intersección y el número triangular es isósceles y el cateto vertical es n. De
este modo el cateto horizontal también es n al que tendremos que sumar las m primeras
columnas.
Así que el número triangular correspondiente es m+ n multiplicado por m+ n +1 dividido
entre 2. Y para obtener el número natural buscado solo hace falta sumarle a este número
el número de filas n.
En definitiva Pi mayúscula del par (m , n) es igual a m +n por m+ n + 1 entre 2 mas n.
La inversa de esta función es más complicada de calcular y es tema para otro vídeo.
Pero para terminar quiero comentaros algunas curiosidades y un problema abierto.
La función Pi recibe el nombre en inglés de Cantor pairing function que se puede traducir
como función de emparejamiento de Cantor y que fue descrita por George Cantor en 1873.
Se trata de un polinomio de grado dos en dos variables que también se llama polinomio
de Cantor. Pues bien, en 1923 Rudolf Fueter y George
Pólya demostraron que el único polinomio cuadrático en dos variables que al restringirse
a los números naturales nos da una biyección del producto cartesiano en los números naturales
es este.
Esto se conoce como el Teorema de Fueter-Polya También existen bieyecciones del producto
cartesiano de N consigo mismo k veces en N y también dadas por generalizaciones del
polinomio de Cantor. Lo que no se sabe aún y constituye un problema abierto es si estos
polinomios generalizados de Cantor son únicos.
Si sois capaces de resolver este problema tendéis abiertas las puertas del cielo matemático.
Ya sabéis si os gusto el vídeo like y sub. Y no olvidéis darle a la campana para que
os lleguen notificaciones cuando publiquemos nuevo vídeo.
Os dejamos en la descripción del vídeo un enlace a nuestra selección de libros matemáticos.
