La magia del 🔺 Triángulo de Pascal
¡Hola amigos! Hoy les quiero presentar un
juego mátemágico-veraniego que he
encontrado en este libro de Martin Gardner
que tiene ya las páginas un
poquito amarillentas. (Miriam) Por la portada
parece que está llena de matemagia.
(Urtzi) La verdad es que me gustaban las portadas
de estos libros de Alianza Editorial.
Las nuevas ediciones tienen otros dibujos...
¡Más feos!
(Miriam) Sorprendernos con el truco matemágico
(Urtzi) Para realizarlo necesitaremos una baraja
francesa a la que le quitaremos las
figuras y los dieces
[Música]
Te voy a pedir Miriam que tomes cinco
cartas cualesquiera del mazo,
que pondremos boca arriba sobre la mesa
[Música]
(Miriam) Por aquà ha salido un 9
¿Un As cuenta como 1? (Urtzi) Si, cuenta como 1. (Miriam) Un 5
y mi número favorito el 8.
(Urtzi) Ahora voy a concentrarme un poco ohmmmmmm ¡Ya!
y pondré una carta boca abajo por aquÃ
(Miriam) ¿Y qué tiene que ver esa carta con las
que elegido? (Urtzi) Vamos a verlo.
Tenemos que hacer algunas operaciones.
Vamos a ir sumando por parejas contiguas
nuestras cartas. Por ejemplo, 9+7 es 16
pero como sólo tenemos números en las
cartas del 1 al 9
iremos eliminando nueves, es decir,
16 se pasa 7 de 9 asà que situamos aquà un 7.
7 + 1 es 8 asà que situamos un 8. 1 más 5 es 6
5 + 8 es 13 que también se pasa de 9.
Se pasa de hecho 4, asà que situamos aquà un 4
(Miriam) ¿Y ya está? (Urtzi) TodavÃa no. ahora tenemos
cuatro cartas y repetimos el mismo
proceso
sumando parejas contiguas y eliminando
nueves hasta llegar a la cúspide
[Música]
esto qué es
finalmente 2 + 6 es 8 ¿Crées que habré sido
capaz de adivinarlo?
(Miriam) Supongo que sà porque si no, no
estarÃamos aquà grabando
(Urtzi) ¡Tachan! pura matemagia
(Miriam) Mi número favorito (Urtzi) ¡En efecto!
(Miriam) ¿Y siempre sale 8? (Urtzi) No no, podéis repetirlo con cartas
diferentes y veréis que las sumas salen
números diferentes. (Miriam) ¿Tiene que ver con el
triángulo de Pascal?
(Urtzi) Tienes toda la razón. Antes de explicar
cómo se puede adivinar el número de la
cúspide vamos a analizar un poco la suma
que hemos hecho. Para empezar vamos a
escribir las sumas sin eliminar los
nueves. La suma total de la cúspide serÃa 71.
Para obtener el 8 que nos salÃa en el
juego basta con dividir 71 entre 9 y
quedarnos con el resto que, en efecto, es 8.
Pero observamos que en esta suma no
todos los números de la base del
triángulo contribuyen igual al resultado 71.
Por ejemplo, el 8 de la esquina,
¿cuántas veces contribuye a la suma 71?
solamente se suma una vez con el 5
contiguo dando 13 de resultado ahora el
13 se suma también solo una vez, y el 19,
y el 33. En definitiva, el 8 de la esquina
sólo contribuye una vez al 71 porque tan
solo tenemos un camino entre el 8 y el 71.
Pero veamos qué sucede con este 5.
El 5 se suma con 8 para dar 13 y ya sabemos
que del 13 el 71 hay un solo camino,
pero también sumamos 5 con el 1 de la derecha
dando el resultado 6, pero el 6 a su vez
se sumaba con 13 dando 19, pero también
con 8 dando 14, y a su vez 14 se suma con
19 para dar 33, pero también se suma con
24 para dar 38.
Finalmente 33 y 38 se suman una vez
dando 71, lo que vemos es que el 5 de la
base del triángulo se suma muchas más
veces, tantas como caminos que conectan
el 5 con el 71. En este caso hay 4 caminos.
Si analizamos cuántas veces contribuye
el 1 del medio a la suma total 71,
nos damos cuenta de que se suma 6 veces,
tantas como caminos que conectan el 1
con el 71
[Música]
[Música]
¿Qué tiene esto que ver con el triángulo
de Pascal?
Recordad que el triángulo de Pascal empezaba
con un triángulo formado por tres 1's,
y construÃamos triángulos cada vez más
grandes sumando los números contiguos.
Una forma de interpretar los números que
nos van saliendo es como caminos
diferentes entre la cúspide y cualquier
punto de una retÃcula triangular
(sin retroceder, claro).
Los dos primeros 1's significan que
para llegar a cada punto sólo hay un camino.
Para llegar al punto del extremo del
tercer nivel sólo podemos hacerlo a
partir del 1 extremo del segundo nivel
al que solo podÃa llegarse de una forma,
y por tanto, este punto sólo tiene un
camino que lo conecta con la cúspide.
Al punto medio del tercer nivel podemos
llegar desde cualquiera de los dos
puntos situados inmediatamente encima de él.
Estos puntos tienen sendos 1's
porque sólo se llegaba a ellos de una
forma pero entonces para llegar al punto
de enmedio hay 1 + 1 = 2 formas de
llegar.
Vemos que para añadir el número de
formas para llegar a cada punto basta
sumar el número de los puntos
inmediatamente encima de él lo que da
lugar al triángulo de Pascal.
Volvamos entonces a nuestro problema
original: ¿Cómo podemos hacer mentalmente
todas las operaciones para averiguar que
en la cúspide habrá un 8?
Basta con recordar la fila correspondiente del
triángulo de Pascal que en nuestro caso es
1, 4, 6, 4, 1 que nos dice el número de
caminos diferentes para llegar desde
cada carta hasta la cúspide, y haremos
las operaciones 8 por uno más cinco por
cuatro más uno por seis más siete por
cuatro más nueve por uno esto es 8 más
20 mas 6 mas 28 más 9 que da como resultado 71 y
ya sólo nos queda hacer la división 71
entre 9 y el resto es justamente la
solución 8.
¡Pues esto es todo amigos! Espero que os
haya gustado este entretenimiento
matemático veraniego os dejo la
referencia del libro de Martin Gardner
en la descripción del vÃdeo ¡Hasta luego!
[Música]
