Arquímedes y el Descubrimiento del número Pi
El primer matemático que tuvo un
conocimiento preciso de la existencia
del número pi fue Árquímedes de Siracusa
Arquímedes está considerado uno de los
grandes matemáticos de todos los tiempos.
Su vida y su obra son de leyenda,
descubrió la ley de la palanca, el
principio fundamental de la hidrostática,
el volumen de la esfera y ¡se anticipó
casi dos mil años al cálculo integral!
Este genial matemático murió durante el
sitio de Siracusa asesinado por un
soldado romano a pesar de las órdenes
dadas para mantenerlo con vida.
Lo que descubrí hace muchos siglos es
que dado que todos los círculos sean
grandes o pequeños tienen la misma forma
el cociente entre su perímetro y su
diámetro es siempre el mismo.
Si este cociente es siempre el mismo
número para cualquier perímetro el
diámetro bien merece un nombre. Y en
efecto estaríamos hablando del número pi.
¡Ay! De la misma definición de pi podemos
despejar el perímetro, y dado que el
diámetro es dos veces el radio
obtendremos la fórmula que todos habréis
estudiado en el colegio gracias a mí.
Uno de los resultados probados por
Arquímedes y a los que debe su
inmortalidad es la fórmula para el área
del círculo. Este resultado es la
Proposición I de su tratado sobre
la medida del círculo. El enunciado es cómo
Sigue: Todo círculo es equivalente a un
triángulo rectángulo, uno de cuyos
catetos es el radio y el otro el
perímetro del círculo. Fijaos que si el
área el círculo es igual al área del
triángulo podemos obtener una fórmula
Explícita, ¿verdad? El área del triángulo
es base por altura dividido entre dos
sustituimos la base por el perímetro y
la altura por el radio del círculo.
Recordad que el perímetro era 2 pi por
el radio, simplificamos y llegamos a la
fórmula área del círculo igual a pi por
el radio al cuadrado.
¿Pero como se le pudo ocurrir esta idea a
Arquímedes! Vamos a verlo.
Vamos a hacer lo siguiente, dividimos
nuestro círculo en cuatro partes iguales
y con nuestras tijeras recortamos estas
cuatro porciones y las situamos de modo
que el perímetro del círculo quede lo
más horizontal posible. Esta nueva figura
plana tiene el mismo área que el círculo
ya que no hemos añadido ni quitado nada.
Pero si situamos una copia idéntica
encima tenemos otra figura plana a la
que llamamos P1 cuyo área es el
doble que la del círculo. Hay un leve
parecido entre esta figura P1 y un
paralelogramo de altura r si no fuese
porque el perímetro no ha quedado
Horizontal. Pero podemos hacer una cosa,
en vez de en cuatro partes podemos
cortar el círculo en ocho partes iguales
y situarlo con el perímetro horizontal.
La nueva figura duplicada a la que
llamamos P2 sigue teniendo como
área el doble del área del círculo pero
en este caso el parecido con un
Paralelogramo es mayor. Si seguimos
este procedimiento cortando el círculo
en 16 partes iguales la figura P3 tiene
el doble del área del círculo y ya se
parece bastante a un paralelogramo de
altura r y base el perímetro del círculo.
Si aumentamos cada vez más el número de
partes en las que dividimos el círculo
las figuras duplicadas tienen todas el
doble de área que el círculo, pero el
parecido con un paralelogramo es cada
vez mayor. En el límite tenemos la figura
Pn que es un paralelogramo, de hecho un
rectángulo de altura r y base l y cuyo
área sigue siendo el doble que la
superficie del círculo.
Pero el área de este rectángulo es
también el doble de la del triángulo de
altura r y base l. ¡Qué es la conclusión a
la que llegó Arquímedes! Estas fórmulas
dependen de la constante pi. ¿Pero cuál es
el valor de este número? Pues si no
conocemos su valor de poco nos sirven
las fórmulas. También el genio de
Siracusa dio respuesta a esta pregunta
en uno de sus resultados más notables.
Pero para entender su método recordemos
primero la fórmula del área de un
polígono regular. El área de un polígono
regular es el perímetro por la apotema
dividido entre 2. Donde el perímetro es
la suma de todos los lados y la apotema
es la distancia del centro del
polígono a cualquiera de sus lados.
La idea de Arquímedes consistía en a
partir de un círculo de radio 1, cuyo
área es Pi por la fórmula que acabamos de
ver, y considerar a continuación un
polígono regular inscrito en la
circunferencia y otro un circunscrito.
De este modo el área del polígono inscrito
Será menor que el área del círculo, y que
será menor que el área del polígono
circunscrito y dado que tenemos fórmulas
para las áreas de los polígonos podremos
acotar el valor de pi. Vamos a ilustrar
el método de Arquímedes con el hexágono.
Fijaos, que dado con una vuelta completa
son 360 grados y el hexágono tiene seis
Lados, el ángulo central de cada
triángulo es 360 dividido entre 6, esto
Es, 60 grados.
Por simetría estos triángulos son
isósceles es decir los otros dos ángulos
del triángulo son iguales y dado que la
suma de los ángulos de un triángulo es
180 grados obtenemos que estos ángulos
también son de 60 grados.
El hexágono está formado por
seis triángulos equiláteros. Comencemos
estudiando el polígono inscrito. En este
caso sabemos que el lado coincide con el
radio y es por tanto 1 y dado que el
hexágono tiene 6 lados su perímetro es 6.
Sin embargo, desconocemos el valor del
apotema, pero sabemos que se proyecta
perpendicularmente en la base del
triángulo y lo divide en dos partes
Iguales. Tenemos entonces un triángulo
rectángulo en el que conocemos un lado y
la hipotenusa. Por el teorema de
Pitágoras obtenemos que el lado
Desconocido, que es precisamente el
apotema, vale exactamente raíz de 3
dividido entre 2.
Así que el área del hexágono inscrito es
(6 por raíz de tres entre 2 )/ 2.
Simplificando tenemos que este área vale
3 x raíz de 3 entre 2.
Vayamos ahora al hexágono circunscrito.
En este caso sabemos que la apotema vale
1 pero desconocemos el valor del lado.
Si llamamos x a este lado desconocido
podemos aplicar de nuevo el teorema de
Pitágoras y obtener este lado. Vale 2 x
raíz de 3 entre 3.
de este modo el área del hexágono
circunscrito es 6 por 2 raíz de 3 entre
3 todo dividido entre dos. Que tras
simplificar vale 2 por raíz de 3.
Tenemos entonces que 3 raíz de 3 entre 2
es menor que Pi que a su vez es menor que
2 raíz de 3.
[Música]
Dado que es fácil acotar el valor de
raíz de 3 viendo cuando un número al
cuadrado no llega o se pasa de 3 podemos
utilizar esta última acotación, sustituir
y concluir que 2,598 es menor Pi y que
a su vez es menor que 3,4642
esta acotación no es muy precisa pero
Arquímedes no se quedó ahí e hizo
cálculos similares para los polígonos de
12 24 48 y 96 lados llegando al
asombrosamente precisa acotación de 3,1412989
es menor que pi es menor que 3,1428265.
Espero que os haya gustado esta
breve historia de pi aquí os dejo un
enlace a nuestro cómic de Arquímedes y en
la descripción os dejamos la
bibliografía recomendada. Ya sabéis like
y Sub si os ha gustado el vídeo.
Nos vemos pronto. ¡Hasta luego!
¡Pero no me pises los círculos!
