Μαθηματικά | Κλάσματα μεγαλύτερα της ακέραιης μονάδας | Ε' Δημοτικού Επ. 62
Γεια σας, παιδιά.
Ονομάζομαι Λεωνίδας Μπανάκος και μαζί θα κάνουμε Μαθηματικά.
Ειδικότερα θα κάνουμε κλάσματα...
και συγκεκριμένα κλάσματα μεγαλύτερα της ακέραιας μονάδας.
Μπορείτε να έχετε μαζί σας ένα τετράδιο και το μολύβι σας,
για να σημειώσετε οτιδήποτε σας ενδιαφέρει.
Μπορείτε ακόμα συμβουλευτείτε το σχολικό βιβλίο της Ε' Δημοτικού,
στο κεφάλαιο 14, στο οποίο αναφέρονται αυτά που θα συζητήσουμε σήμερα.
Ας κάνουμε μία σύνδεση με τα προηγούμενα.
Ας δούμε τι κάνατε στο προηγούμενο μάθημα.
Μιλήσατε για κλάσματα, τι είναι το κλάσμα, τους όρους του κλάσματος.
Ας τα ξαναθυμηθούμε μαζί για να πάμε στο επόμενο.
Βασικές μαθηματικές έννοιες, λοιπόν, που έχετε δει...
είναι το κλάσμα, είναι ένας αριθμός.
Παραδείγματος χάρη δίπλα βλέπουμε το κλάσμα 2/5.
Σχηματίζεται από τον αριθμητή και τον παρονομαστή,
οι οποίοι χωρίζονται μεταξύ τους με τη γραμμή του κλάσματος.
Αυτοί είναι οι όροι του κλάσματος.
Τι δείχνει ο καθένας από αυτούς;
Ο παρονομαστής δείχνει σε πόσα μέρη έχουμε χωρίσει την ακέραιη μονάδα.
Και ο αριθμητής μας δείχνει πόσα από αυτά τα μέρη πήραμε.
Στο παράδειγμά μας εδώ στα 2/5,
έχουμε χωρίσει την ακέραια μονάδα σε 5 μέρη και πήραμε τα 2.
Τι μπορεί να εκφράζει ένα κλάσμα;
Ένα κλάσμα μπορεί να εκφράζει μια ποσότητα από κάτι ολόκληρο.
Το βλέπετε εδώ.
Έχουμε την ακέραια μονάδα, την έχουμε χωρίσει σε 5 κομμάτια και έχουμε πάρει τα 2.
Το κάθε κομμάτι, όταν χωρίζουμε την ακέραια μονάδα,
λέγεται κλασματική μονάδα...
κι είναι το βασικό στοιχείο από το οποίο φτιάχνουμε τα κλάσματα.
Όλα τα κλάσματα φτιάχνονται απ' τις κλασματικές τους μονάδες,
που τις παίρνουμε όσες φορές χρειαστεί.
Σε λίγο θα βάλουμε στον πίνακα κάποιες κλασματικές μονάδες.
Η ακέραιη μονάδα είναι το όλο.
Όταν πάρουμε ολόκληρη την ακέραιη μονάδα,
παραδείγματος χάρη έχουμε χωρίσει σε 2 κομμάτια και τα πήραμε και τα 2,
έχουμε χωρίσει σε 4 πήραμε και τα 4.
Σε αυτές τις περιπτώσεις που ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή,
το κλάσμα μας είναι ίσο με την ακέραια μονάδα.
Ας δούμε δύο παραδείγματα.
Εδώ είναι η ακέραια μονάδα.
Και εδώ είναι άλλη μια ακέραια μονάδα χωρισμένη σε 2 κομμάτια.
Το 1/2 και το 1/2.
Εδώ είναι η ακέραια μονάδα χωρισμένη σε πέμπτα.
Βέβαια να θυμηθούμε ότι όταν λέμε χωρίζουμε,
χωρίζουμε σε ίσα μέρη.
Αν δεν χωρίσουμε σε ίσα μέρη,
δεν έχουμε ένα κλάσμα, έχουμε απλώς χωρίσει μια ποσότητα σε κάποια κομμάτια.
Εδώ έχουμε χωρίσει μια ακέραια μονάδα σε δέκατα.
Ας δούμε λοιπόν κάποιες κλασματικές μονάδες...
για αυτήν την ακέραια μονάδα που έχουμε εδώ.
Αν χωρίσουμε σε έκτα η κλασματική μονάδα θα είναι το 1/6.
Αν χωρίσουμε σε δεύτερα, δηλαδή σε 2 κομμάτια,
βλέπουμε ότι η κλασματική μονάδα είναι αυτή.
Αν χωρίσουμε σε 10 κομμάτια,
η κλασματική μας μονάδα είναι αυτή.
Με τον ίδιο τρόπο καταλαβαίνουμε ότι αν χωρίσουμε σε 5 κομμάτια,
αυτή είναι η κλασματική μονάδα.
Κι αν χωρίσουμε σε 8 κομμάτια είναι αυτή.
Κι αν χωρίσουμε σε 4 κομμάτια είναι αυτή.
Παρατηρώντας τις κλασματικές μονάδες,
είναι ευδιάκριτο ότι σε όσο μεγαλύτερα μέρη χωρίζουμε,
σε όσο περισσότερα μέρη χωρίσουμε, τόσο μικραίνει η κλασματική μονάδα.
Όταν χωρίζουμε σε 2 κομμάτια η κλασματική μονάδα είναι μεγάλη.
Είναι ακριβώς η μισή της αρχικής μας ποσότητας, της ακέραιας μονάδας.
Όταν χωρίσουμε σε 10 κομμάτια έχει μικρύνει.
Αν θέλουμε να χωρίσουμε σε ακόμα περισσότερα κομμάτια,
θα μικρύνει ακόμα περισσότερο.
Λοιπόν, βάζουμε το 1/12 και παρατηρούμε...
ότι από τις κλασματικές μονάδες που έχω εδώ,
ότι το 1/12 είναι η μικρότερη, από αυτές που έχουμε κολλήσει στον πίνακα.
Πάμε να δούμε τώρα κλάσματα που ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή.
Τα κλάσματα που βλέπουμε είναι τα...
Ας πάρουμε ένα κλάσμα από αυτά, το 9/5.
Έχουμε χωρίσει σε 5 κομμάτια και πήραμε τα 9.
Κάποιος από σας μπορεί να πει "Μα καλά, μήπως έχουμε κάνει κάποιο λάθος;"
Είναι δυνατόν να έχουμε χωρίσει σε 5 κομμάτια και να πάρουμε 9;
Πώς θα γίνει, αν έχουμε χωρίσει σε κομμάτια, να πάρουμε 7;
Ή πώς θα γίνει αν έχω χωρίσει σε 2 κομμάτια την ακέραιη μονάδα να πάρω 4;
Μήπως έχουμε κάνει κάποιο λάθος και αντί να γράψουμε 3/5,
γράψαμε 5/3; Αντί να γράψουμε 5/9, γράψαμε 9/5;
Θα το διερευνήσουμε και στο τέλος θα δούμε αν έχουμε κάνει λάθος.
Στο κεφάλαιο 14 στο σχολικό βιβλίο της Ε' Δημοτικού,
διερευνώντας αυτό το πρόβλημα, αυτή την προβληματική κατάσταση,
είναι η Δανάη, η Αγγελική και ο Αντρέι.
Τα παιδιά θέλουν να φτιάξουν προσκλήσεις για τη γιορτή του σχολείου.
Χρειάζονται να φτιάξουν 8 τέτοιες προσκλήσεις.
Τις προσκλήσεις θα τις φτιάξουν με απλό χαρτόνι μεγέθους Α4.
Αλλά όπως βλέπουμε εδώ, κάθε χαρτόνι το έχουν χωρίσει σε 4 κομμάτια.
Δεν φτάνει το χαρτόνι για να φτιάξουν τις προσκλήσεις τους.
Μια ωραία ερώτηση, λογική,
είναι να πούμε γιατί δεν χωρίζουν σε 8 κομμάτια, εφόσον δεν φτάνει,
όταν το χωρίσουμε σε 4;
Γιατί θα μικρύνουν τα κομμάτια αλλά θα έχουμε 8.
Ναι, θα λύσουμε το πρόβλημά μας, γιατί θα έχουμε 8 χαρτόνια για τις προσκλήσεις,
αλλά θα μας δημιουργηθεί ένα άλλο πρόβλημα.
Η πρόσκληση πρέπει να έχει ένα συγκεκριμένο μέγεθος.
Είναι το 1/4 της κόλλας Α4 για να μπορούμε να γράψουμε πάνω.
Αν την μικρύνουμε πάρα πολύ, θα έχουμε βέβαια 8 χαρτονάκια,
τα οποία όμως δεν θα κάνουν για προσκλήσεις.
Γιατί δεν θα μπορούμε μέσα σ' αυτά να συμπεριλάβουμε...
αυτά που θέλουμε να γράψουμε.
Δηλαδή, σας προσκαλούμε στη γιορτή του σχολείου μας ή στη γιορτή της τάξης μας.
Πώς θα λύσουμε αυτό το πρόβλημα;
Πρέπει να βρούμε μια λύση σ' αυτό.
Αφού δεν μπορούμε να το χωρίσουμε σε μικρότερα,
πρέπει να προσπαθήσουμε να δούμε τι άλλο μπορούμε να κάνουμε.
Θα πάρουμε και μια δεύτερη ακέραιη μονάδα.
Όπως εδώ είχαμε την ακέραιη μονάδα,
θα πάρουμε και μία δεύτερη.
Και θα τη χωρίσουμε κι αυτή με τον ίδιο τρόπο,
όπως και την πρώτη σε τέταρτα.
Σε τέταρτα θα χωρίσουμε και τη δεύτερη ακέραια μονάδα.
Έτσι θα έχουμε λοιπόν 8 προσκλήσεις,
1/4 της κόλλας Α4 η καθεμιά.
Και τα κορίτσια θα γράψουν τις 5 και ο Αντρέι θα γράψει τις 3 για να τις δώσουν.
Να και οι προσκλήσεις μας, τις έχουμε φτιάξει.
Θα τις συμπληρώσουν τα παιδιά.
Σας προσκαλούμε στη γιορτή του σχολείου μας που θα γίνει...
Την ημερομηνία και τα υπόλοιπα, τον τίτλο της,
θα τα συμπληρώσουν τα παιδιά.
Κι αν το κάνετε κι εσείς θα το συμπληρώσετε κι εσείς όταν χρειαστεί.
Άρα λοιπόν είδαμε ότι μπορούμε να έχουμε κλάσματα...
με αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή.
Τα κλάσματα αυτά στα οποία ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή,
είναι και μεγαλύτερα από την ακέραια μονάδα.
Τα κλάσματα αυτά μπορούμε να τα μετατρέψουμε σε μεικτούς αριθμούς.
Μπορούμε να τα αναλύσουμε,
και να δούμε ότι το 5/4, οι προσκλήσεις που θα φτιάξουν η Δανάη και η Αγγελική,
είναι 1/4, 1/4, 1/4, 1/4 και 1/4.
Πήραμε δηλαδή 5 φορές την κλασματική μονάδα 1/4.
Άρα λοιπόν το 5/4 είναι 4/4 και άλλο 1/4 που περισσεύει.
Είδαμε όμως ότι τα 4/4 είναι η ακέραια μονάδα.
Άρα το 5/4 σαν μεικτός γράφεται 1 και 1/4.
Αφού απαντήσαμε στο ερώτημά μας αν είναι δυνατό να έχουμε...
κλάσματα με αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή,
και ήταν καταφατική η απάντησή μας,
γιατί στην περίπτωση που πάρουμε δεύτερη ακέραια μονάδα,
είναι μεγαλύτερα από το 1 και αν πάρουμε κι άλλη ακέραιη μονάδα,
θα είναι ακόμα μεγαλύτερα, θα το δούμε και αυτό σε ένα παράδειγμα πιο κάτω,
ένα πολύ σημαντικό είναι να ξέρουμε να τοποθετούμε τα κλάσματα στην αριθμογραμμή.
Το κλάσμα δεν είναι μόνο μέρος μιας ποσότητας.
Τοποθετώντας το κλάσμα στην αριθμογραμμή,
κατανοούμε το κλάσμα και ως αριθμό,
και έτσι μπορούμε να το συγκρίνουμε.
Θα κάνουμε ένα παράδειγμα στον πίνακα,
για τη μετατροπή ενός κλάσματος με αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή,
σε μεικτό αριθμό και θα το τοποθετήσουμε στην αριθμογραμμή.
Στη σελίδα 42 του σχολικού βιβλίου,
θα πάρουμε το κλάσμα 9/4,
και θα προσπαθήσουμε να βρούμε τη θέση του στην αριθμογραμμή.
Έχουμε συμφωνήσει ήδη ότι ο παρονομαστής...
δείχνει σε πόσα μέρη χωρίσαμε την ακέραια μονάδα,
και ο αριθμητής μας δείχνει πόσα από αυτά πήραμε.
Επειδή ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή,
ξέρουμε ότι έχουμε πάρει τουλάχιστον και μια δεύτερη ακέραια μονάδα.
Είναι πιθανό να έχουμε πάρει κι άλλη μία.
Αλλά αυτό θα το δούμε αναλυτικά.
Ας γράψουμε το 9/4 αναλυτικά σε τέταρτα.
Στο 9/4 έχουμε πάρει 9 φορές την κλασματική μονάδα 1/4.
Για να δούμε λοιπόν...
Ας μετακινήσουμε τις κλασματικές μας μονάδες,
για να μη μας εμποδίζουν.
Αυτές οι 4 κλασματικές μονάδες,
επειδή είναι τέταρτα, είναι 4/4.
Το ίδιο και οι επόμενες 4.
Άρα λοιπόν το 9/4 είναι 4/4 + 4/4 + 1/4.
Έχουμε δει όμως ότι όταν ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή,
το κλάσμα είναι ίσο με την ακέραια μονάδα.
Άρα είναι 1 + 1 + 1/4.
Άρα το 9/4 είναι 2 και 1/4.
Έχουμε θεωρήσει σε αυτή τη γραφή να θεωρούμε...
Λοιπόν χωρίς το σημαδάκι. Είναι 2 και 1/4.
Τώρα λοιπόν μπορούμε να βρούμε τη θέση του 9/4 πάνω στην αριθμογραμμή.
Είναι 2 και 1/4.
Είναι προφανές ότι αυτή η διαδικασία,
τα βήματα που κάναμε, μας βοήθησαν να βρούμε τη θέση του αρκετά εύκολα,
με αυτή την ανάλυση.
Όμως για φανταστείτε να έχουμε ένα πολύ μεγάλο κλάσμα.
Να βγάλουμε λίγο τα κλάσματά μας,
τις κλασματικές και τις ακέραιες μονάδες,
για να έχουμε ελεύθερο χώρο να γράψουμε.
Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι έχουμε ένα κλάσμα,
από ό,τι είδαμε μπορεί να έχουμε οποιοδήποτε, οσοδήποτε μεγάλο.
Ας έχουμε το 28/4.
Αν αρχίσουμε και γράφουμε 1/4 + 1/4 + 1/4...,
είναι σαφές ότι θα χρειαστούμε όλο τον πίνακα.
28 φορές το 1/4.
Άρα είναι σημαντικό να θεωρήσουμε ότι θα κάνουμε,
ότι πρέπει να βρούμε έναν άλλο τρόπο ή πρέπει να μάθουμε,
όχι να βρούμε, να μάθουμε έναν άλλο τρόπο,
να μετατρέπουμε το κλάσμα σε μεικτό αριθμό.
Το 28/4 είναι 28 : 4.
Ας κάνουμε τη διαίρεση με τον κλασικό τρόπο που έχουμε μάθει.
Το 4 στο 28 χωράει 7 φορές.
4 Χ 7 = 28. 28 - 28 = 0.
Άρα λοιπόν το 28/4 είναι το 7.
Θα πάμε λοιπόν εδώ στην αριθμογραμμή μας.
Θα την προεκτείνουμε. Εδώ είμαστε στο 5.
Θα πάρουμε και το χάρακα, γιατί είναι σημαντικό,
είναι πολύ σημαντικό να χωρίζουμε σε ίσα διαστήματα.
Εδώ λοιπόν είναι η θέση του κλάσματος 28/4.
Και μια πολύ ωραία ερώτηση είναι,
πού θα βρίσκεται - πολύ σύντομα,
χωρίς να κάνουμε όλη την προηγούμενη διαδικασία -
πού θα τοποθετήσουμε το κλάσμα 29/4.
Αφού το 28/4 είναι εδώ,
το 29/4 θα είναι 7 και 1/4.
Εδώ θα τοποθετήσουμε το 29/4,
το 30/4, το 31/4.
Και εδώ το 32/4. Κι από την προπαίδεια ξέρουμε ότι είναι το 8.
4 Χ 8 = 32.
Έτσι λοιπόν μπορούμε μετατρέποντας...
ένα κλάσμα σε μεικτό αριθμό με τη διαίρεση,
να βρούμε πού θα τοποθετήσουμε πολύ εύκολα το κλάσμα στην αριθμογραμμή.
Όλοι συμφωνούμε λοιπόν ότι αν μας δώσουν...
το κλάσμα 31/4,
χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση,
είναι αρκετά δύσκολο αμέσως να βρούμε πού θα το τοποθετήσουμε.
Κάνοντας τη διαίρεση και ξέροντας...
Αμέσως βλέπουμε ότι το 31/4 είναι 7 και 3/4.
Το 31/4 λοιπόν είναι 7 και 3/4.
Ανακεφαλαιώνοντας,
να δούμε τι μάθαμε και τι άλλο προσθέσαμε στις γνώσεις μας σήμερα.
Σήμερα κατανοήσαμε ότι υπάρχουν κλάσματα...
με αριθμητή μεγαλύτερο του παρονομαστή.
Στην αρχή αυτό μας φαίνεται λίγο παράξενο.
Πώς είναι δυνατόν να χωρίζουμε σε κάποια κομμάτια και να παίρνουμε περισσότερα;
Εξηγήσαμε ότι χρησιμοποιώντας, παίρνοντας μία δεύτερη ακέραια μονάδα,
και τρίτη ακέραια μονάδα, και τέταρτη ακέραια μονάδα,
αναλόγως του τι χρειαζόμαστε,
μπορούμε να έχουμε ένα κλάσμα με οσοδήποτε μεγάλο αριθμητή.
Κι οσοδήποτε μεγαλύτερο από τον παρονομαστή.
Αυτό το κλάσμα μπορούμε να το μετατρέψουμε σε μεικτό αριθμό,
και κάνοντας τη διαίρεση αριθμητή δια του παρονομαστή, θα βρούμε έναν αριθμό,
και έτσι θα τοποθετήσουμε το κλάσμα πάνω στην αριθμογραμμή.
Έτσι λοιπόν ξέρουμε ότι το κλάσμα δεν είναι μόνο...
ένα κομμάτι μιας ποσότητας, είναι και ένας αριθμός.
Και αργότερα θα μάθουμε και τι άλλο μπορεί να είναι το κλάσμα.
Ευχαριστούμε πολύ που παρακολουθήσατε το μάθημα.
Σας ευχόμαστε καλή συνέχεια.
Μπορείτε αν θέλετε να συμβουλευτείτε το σχολικό βιβλίο της Ε' Δημοτικού,
στο κεφάλαιο 14, και να συνεχίσετε τη μελέτη μόνοι σας.
Καλή συνέχεια!
