Μαθηματικά - Γεωμετρία (Εισαγωγή) - Δ' & Ε΄Δημοτικού Επ. 5
Γεια, καλή σας μέρα.
Ονομάζομαι Γιώργος Ανδρίκος είμαι δάσκαλος στη Ε' Δημοτικού και είμαι εδώ σήμερα για να μιλήσουμε για τη Γεωμετρία.
Αν πάρουμε λίγο την ετυμολογία της λέξης Γεωμετρία θα παρατηρήσουμε το εξής.
Αποτελείται από 2 ξεχωριστές λέξεις, τη λέξη γη, γαία και μετρώ.
Ήταν λοιπόν η ανάγκη, παγματικά η ανάγκη, για τη μέτρηση της γης.
Να δούμε όμως πως προέκυψε αυτή η ανάγκη.
Γιατί, τελικά, πραγματικά προέκυψε από ένα πολύ πολύ σοβαρό λόγο.
Θα ταξιδέψουμε πίσω.
Θα ταξιδέψουμε πίσω, στο παρελθόν, και μάλιστα να μην σας πω ότι θα πάμε και δυο και τρεις χιλιάδες χρόνια πίσω.
και - Ω! Τι βλέπω;
Είναι κάτι Αιγύπτιοι, με τα μάτια μαυρισμένα από τις μπουνιές.
Παίζουν ξύλο εκεί κάτω, κοντά στο Νείλο.
Ο Νείλος είναι πλημμυρισμένος.
Τα πάντα, ολά γεμάτα λάσπη.
Γιατί;
Η απάντηση είναι πάρα πολύ απλή.
Χάθηκαν τα σημάδια των χωραφιών.
Αυτό που, μέχρι χθες, ήξερε ότι τελείωνε εκεί,
σήμερα δεν μπορεί να το δει.
Να σας θυμίσω ότι όταν ο Νείλος πλημμύριζε,
κατέβαζε από πάνω εκατομμύρια τόνους λάσπη.
Η λάσπη αυτή ήταν ευεργετική για τους Αιγύπτιους.
Έλα ντε, όμως, που χάνανε τα σημάδια των χωραφιών τους
και μετά παίζανε ξύλο γιατί, δεν ήξερε, ποιο χωράφι τελεώνει που;
Να, λοιπόν, που παρουσιάστηκε η τεράστια ανάγκη για να γεννηθεί η Γεωμετρία.
Και η Γεωμετρία, και εδώ μάλιστα εμείς ως Έλληνες μπορούμε να υπερηφανευόμαστε
γιατί η Γεωμετρία που είναι γνωστή στον πλανήτη σήμερα είναι η Ευκλείδεια Γεωμετρία.
Η Γεωμετρία που έφτιαξε ο Ευκλείδης.
Ένας Έλληνας, σπουδαίος μαθηματικός.
Ξεκινάει από κάτι πάρα πάρα πάρα πάρα πάρα πάρα πολύ απλό.
Ποιο είναι αυτό;
Ας πούμε ότι αυτή η επιφάνεια είναι ένα επίπεδο.
Ένα επίπεδο είναι και το ταβάνι.
Ένα επίπεδο είναι ο τοίχος πίσω μας.
Ένα επίπεδο είναι το πάτωμα.
Ένα επίπεδο είναι ο απέναντι τοίχος,
όπως και ένα επίπεδο είναι αυτός ο τοίχος.
Είμαστε γεμάτοι από επίπεδα, παντού γύρω μας.
Όπου εφαρμόζει ο χάρακας μας, έχω και ένα επίπεδο.
Ένα επίπεδο εκεί, ένα επίπεδο εδώ.
Πάρα πάρα πολλά επίπεδα.
Πάνω λοιπόν σε αυτό το επίπεδο, θα πάω λοιπόν τώρα εγώ και θα δώσω την αρχή των πάντων.
Κυρίες και κύριοι, μπροστά μας έχουμε το σημείο!
Το είδες;
Αποκλείεται, τι να δεις;
Μα για να κάνει η κάμερα λίγο focus να πάμε..
Όσο και να πάμε, δεν πρόκειται να το δούμε.
Το σημείο, κυρίες και κύριοι, δεν έχει διαστάσεις,
δεν έχει πάχος, δεν έχει τίποτα.
Γι αυτό λοιπόν, πήγαμε και τι του είπαμε;
Επειδή πρέπει να σε βλέπουνε, δεν γίνεται, φανερώσου στον κόσμο.
Γίνε λίγο πιο παχουλός, φάε λίγο.
Και έτσι λοιπόν το σημείο μας έφαγε και έγινε στρουμπουλούτσικο.
Και του δώσαμε και όνομα -
το ονομάσαμε "σημείο", να σας ξαναθυμίσω με λένε Γιώργο, Γ.
Λοιπόν, έγινε το σημείο Γ.
Και το συμβολίσαμε με ένα κεφαλαίο γράμμα,
στην προκειμένη περίπτωση είναι το Γ.
Φανταστείτε τώρα το εξής.
Ξέρετε, στη Γεωμετρία φαντάζομαι συχνά.
Αλλά αυτό που επίσης πρέπει να θυμάστε καλά
είναι ότι στη Γεωμετρία, εκτός από φαντασία, κάθε τι που μαθαίνω
μπορώ να το χρησιμοποιώ στο επόμενο βήμα.
Δεν χρειάζεται να ξαναπώ ότι εγώ το ήξερα από κει.
Τα ξέρω όλα.
Και γιατί τα ξέρω όλα;
Τα ξέρω όλα γιατί τα είχα μάθει πριν,
οπότε μπορώ να τα χρησιμοποιώ τώρα.
Έρχομαι λοιπόν και λέω.
Πάνω εδώ λοιπόν, στο σημείο.
Το σημείο ουσιαστικά δεν έχει καμία διάσταση.
Από αυτό λοιπόν το σημείο περνάνε άπειρες γραμμές.
Ώπα, Γιώργο, τι είναι η γραμμή;
Η γραμμή, φίλη μου και φίλε μου - κοίταξε λίγο! -
είναι ένα σύνολο από άπειρα σημεία.
Τι σημαίνει "άπειρα" σημεία;
"Πέρας" στα αρχαία ελληνικά είναι το τέλος.
Το "α" είναι στερητικό.
Άπειρα, λοιπόν, λέγονται αυτά τα οποία είναι ατελείωτα.
Σημεία που δεν έχουν τέλος.
Δεν τελειώνουνε ποτέ!
Αν μπορούσαμε να πάμε πάρα πάρα πολύ κοντά,
με έναν εκπληκτικά μεγάλο μεγενθυντικό φακό και μικροσκόπιο,
τι θα βλέπαμε;
Δις τετράκις εκατομμύρια σημεία τα οποία είναι το ένα δίπλα δίπλα..
και μου φτιάχνουν αυτή τη γραμμή.
Και μάλιστα επειδή θα παρατήρησες ότι αυτή η γραμμή έχει το σχήμα ενός τεντωμένου σχοινιού,
την ονομάζω "ευθεία γραμμή".
Από σήμερα, λοιπόν, αυτή την ευθεία γραμμή,
την ευθεία γραμμή που περνάει από το σημείο Γ, το όνομα μου,
θα τη συμβολίζω με ένα μικρό γράμμα.
Το γράμμα "ε", από τη λέξη "ευθεία".
Το έχεις, το θυμάσαι, το βλέπω!
Το κρατάμε λοιπόν.
Η ευθεία γραμμή (όπως είπαμε πριν, στη Γεωμετρία τα φαντάζομαι τα περισσότερα)
γιατί έχει μεγέθη μέσα τα οποία, ομολογουμένως, πρέπει να τα φαντάζομαι
γιατί ακριβώς αυτή τη δυναμική έχουνε.
Η ευθεία γραμμή δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος.
Ώπα, τι θα πει "ούτε αρχή, ούτε τέλος".
Και γω δηλαδή, αν μου πουν να φτιάξουμε μια ευθεία γραμμή, τι θα κάνω;
Εσύ θα κάνεις αυτό που πρέπει:
Θα φτιάξεις αυτό ακριβώς και θα σκέφτεσαι ότι,
από εδώ και από κει
η γραμμή σου ουσιαστικά - κοίταξέ με! - και αντίστοιχα
δεν τελειώνει πουθενά.
Ναι, εγώ πως θα τη χρησιμοποιώ αυτή τη γραμμή;
Έχεις δίκιο, έχεις δίκιο.
Δεν είναι εύκολο να τη χρησιμοποιείς αυτή τη γραμμή.
Μάλλον δεν είναι τόσο εύκολο.
Εμείς όμως θα τα κάνουμε λίγο πιο εύκολα τα πράγματα.
Ο άνθρωπος, λοιπόν, σκέφτηκε το εξής και είπε.
Πάνω σε αυτή τη γραμμή εγώ, την ατελείωτη γραμμή,
θα πάρω ένα κομμάτι της.
Αυτό το κομμάτι λοιπόν εγώ, θέλω να είναι
τόσο.
Πάρα πολύ ωραία.
Αυτή λοιπόν τη γραμμή,
που ξέρω ακριβώς το μήκος της, γιατί το όρισα εγώ,
θα την ονομάσω ευθύγραμμο τμήμα.
Αυτή εδώ ευθεία, αυτό εδώ είναι το ευθύγραμμο τμήμα.
Και θα μου πεις τώρα,
μα καλά ρε Γιώργο πως,
δύο σημεία μόνο;
Tο πρώτο και το τελευταίο;
Αυτή έχει άπειρα σημεία μέσα της.
Βεβαίως και έχει άπειρα σημεία μέσα της.
Είναι αδύνατον όμως να τα παραστήσω όλα.
Γι' αυτό, λοιπόν, στο ευθύγραμμο τμήμα θα κρατήσω
και θα πάρω το πρώτο και το τελευταίο
και θα το ονομάσω ΑΒ.
Αναλόγως.
Όπως θέλω εγώ, όπως το επιθυμώ.
Πάντα όμως με κεφαλαία.
Αυτό μην το ξεχνάς ποτέ σου,
πάντα κεφαλαία γράμματα όταν ονομάζω ευθύγραμμο τμήμα.
Και αυτό είναι το τελευταίο, τελειώσαμε;
Aμ δεν τελείωσαμε
γιατί έχω πάλι κάτι άλλο,
το οποίο θα το ονομάσω "ημιευθεία",
που όπως καταλαβαίνεις είναι μισή ευθεία.
Θα λέγαμε λοιπόν πως έχει αρχή.
-ας την πούμε την αρχή της "Β"-, και δεν έχει τέλος,
είναι ευθεία.
Άρα "ε".
Ξαναθυμίζουμε.
Σημείο κεφαλαίο γράμμα, ευθεία μικρό γράμμα στο συμβολισμό
Ας το βάλουμε και σε μια παρένθεση μέσα,
για να είμαστε πιο σίγουροι.
Τα σημεία δεν τα βάζουμε σε παρένθεση. Αυτά.
Μέχρι στιγμής λοιπόν, είδαμε ότι
ξεκινήσαμε από το σημείο -
το σημείο, ξαναθυμίζουμε, δεν έχει διαστάσεις.
Είδαμε ότι η ευθεία περνάει από το σημείο -
και εδώ θα σου κάνω μία ερώτηση:
Πόσες ευθείες πάνω στο ίδιο επίπεδο φαντάζεσαι ότι περνούν από ένα σημείο;
Θα σου δώσω λίγο χρόνο.
Ε όχι κι άλλο, εντάξει, αφού το ξέρεις.
Το βλέπω ότι το ξέρεις.
Λοιπόν, πολύ σωστά, πάρα πολύ σωστά το σκέφτηκες.
Από ένα σημείο πάνω στο ίδιο επίπεδο, περνούν άπειρες ευθείες.
Να δούμε μερικές!
Καλά, μην φανταστείς ότι θα τις κάνω όλες τώρα,
αν είναι δυνατόν!
Να λοιπόν μία -πως σου φαίνεται αυτή;
Εμένα μια χαρά μου φαίνεται, πολύ ωραία.
Να φτιάξω και άλλη μία.
Πολύ ωραία.
Κοίτα, ωραιότατη!
Άντε, επειδή είσαι εσύ θα κάνω άλλη μια,
γιατί σε συμπάθησα.
Λοιπόν, σταματάω.
Μην μπερδευτείς και μου πεις ότι
"ξέρεις εγώ το έκανα στο σπίτι μου και κάθησα με το μολύβι μου και έφερα, έφερα
και κάποια στιγμή, ξέρεις, έφερα εξακόσιες είκοσι έξι ευθείες!".
Α πάρα πολύ ωραία, ευχαριστώ πολύ.
Ξεχνάς, όμως, ότι το μολύβι έχει πάχος όπως πάχος έχει και αυτός ο μαρκαδόρος.
Και είπαμε ότι το σημείο θεωρητικά δεν έχει διαστάσεις.
Αυτό να μην το ξεχνάμε καθόλου.
Λοιπόν, πάμε λοιπόν να δούμε τι είπαμε μέχρι τώρα:
Ότι πάνω στο ίδιο επίπεδο το σημείο, η ευθεία και από το σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες.
Σύμφωνοι;
Είδαμε επίσης ότι,
επειδή η ευθεία δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος,
εγώ πήρα το ευθύγραμμο τμήμα που έχει συγκεκριμένο μήκος,
(έχει και αρχή και τέλος)
και πήρα και την ημιευθεία,
που έχει αρχή και δεν έχει τέλος.
Να τα γράψουμε όμως λίγο να τα θυμόμαστε;
Είπαμε "ευθεία".
Είπαμε "ευθύγραμμο τμήμα".
Και επίσης είπαμε "ημιευθεία".
Το θυμόμαστε λοιπόν.
Πάρα πολύ ωραία.
Να δούμε λίγο τώρα, πως ακριβώς ονομάζονται δύο ημιευθείες που βρίσκονται ακριβώς πάνω στην ίδια ευθεία;
Έλα να τις φτιάξουμε.
Ας αλλάξουμε και χρώμα.
Ας φτιάξουμε, λοιπόν, αυτές τις δύο ημιευθείες που βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία.
Θα πάρουμε αυτό το σημείο,
λοιπόν, και θα ορίσουμε τις δύο ημιευθείες μας
που έχουν κοινή αρχή.
Πρόσεξε με, "κοινή αρχή": την ίδια δηλαδή.
Ας πάρουμε ότι είναι το σημείο Α,
και αυτή εδώ πέρα είναι η χ και αυτή εδώ η χ'.
Μπορώ, επίσης, να αλλάξω τον συμβολισμό μου, όπως εγώ τον επιθυμώ.
Οι ημιευθείες λοιπόν που έχουν κοινή αρχή, όπως βλέπεις,
και βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία
και κοιτάει η μία από δω και οι άλλη κοιτάζει από κει,
ονομάζονται "αντικείμενες ημιευθείες".
Αντικείμενες.
Δηλαδή είναι ξαπλωμένες, ουσιαστικά κείνται η μια από δω και η άλλη από εκει.
Λοιπόν,
πάμε λοιπόν να ξαναθυμιθούμε λίγο πάλι από την αρχή:
Σημείο,
ευθεία (δεν έχει αρχή δεν έχει τέλος),
επίπεδο.
Από το ίδιο σημείο στο ίδιο επίπεδο περνάνε άπειρες ευθείες.
Ευθύγραμμο τμήμα:
συγκεκριμένη διάσταση.
Στην καθημερινότητα μας έχουμε ανάγκη να έχουμε φτιάξει ευθύγραμμα τμήματα παντού.
Παντού, δεν γίνεται διαφορετικά.
Φαντάσου αυτό το γραφείο, φτιάχτηκε με μια συγκεκριμένη διάσταση.
Η μία του πλευρά επί την άλλη.
Κάποιος μέτρησε, το έκοψε, το έφτιαξε σε μια συγκεκριμένη διάσταση.
Δεν μπορεί να πει κάποιος ότι όσο μου έρθει εκείνη την ώρα.
Πρέπει να ξέρω από πριν τις διαστάσεις του.
Γι' αυτό και όρισα το μετρικό μου σύστημα.
Λοιπόν, ας πάμε λοιπόν να δούμε τι κάνανε αυτές οι ευθείες,
όταν βρέθηκαν η μία κοντά στην άλλη.
Να δούμε, λοιπόν, τι έγινε ακριβώς.
Πολύ σωστά το φαντάστηκες
δημιούργησαν μία γωνία!
Να τη δούμε λίγο αυτή τη γωνία;
Ας την φτιάξουμε και μεις ξανά από την αρχή.
Λοιπόν, μπροστά μας έχουμε μία γωνία.
Το σημείο που βλέπουμε εδώ,
που συναντιούνται οι δύο,
πως να τις ονομάσουμε αυτές λες;
Για θυμίσου λίγο...
Έχουμε αρχή δεν έχουν τέλος...
Εδώ εδώ εδώ - ημιευθείες είναι!
Πολύ σωστά, μπράβο,
ημιευθείες!
Θα βάλουμε λοιπόν στην αρχή τους, ένα κεφαλαίο γράμμα
και αντίστοιχα από δω:
αυτή θα την ονομάσουμε y και y'.
Έχω λοιπόν την γωνία y'Ay
και θα σου θυμίσω ότι η γωνία είναι ο χώρος που περιορίζεται.
Είναι ακριβώς αυτό εδώ μέσα.
Για να δούμε λίγο, τι ακριβώς λοιπόν είναι η γωνία μας;
Έχω λοιπόν μία γωνία την οποία ονομάζω "κυρτή"
και μία εξωτερική γωνία που την ονομάζω μη κυρτή.
Σκέψου το σαν μία τούρτα.
Φαντάσου λοιπόν το κομμάτι που κόβεις για να φας,
από μία μεγάλη στρογγυλή τούρτα γενεθλίων:
είναι η κυρτή σου γωνία.
Το κομμάτι που υπολείπεται, που απομένει
είναι η μη κυρτή σου γωνία.
Η γωνία λοιπόν έχει τις εξής
πλευρές, να τες!
Αy' και Αy.
Άνοιγμα... να το!
Το ορίσαμε πριν, το βλέπουμε ξανά.
Και "κορυφή" το σημείο που συναντιούνται οι δύο αυτές ημιευθείες.
Πάμε λοιπόν ξανά:
Άνοιγμα, πλευρές και κορυφή.
Την γωνία τη μετράω με μοιρογνωμόνιο.
Σήμερα δεν θα μετρήσουμε γωνίες,
θα το κάνουμε κάποια άλλη στιγμή.
Θα τις γνωρίσουμε όμως.
Ας πάρουμε λοιπόν με τη σειρά,
την πρώτη γωνία που μας ενδιαφέρει.
Είναι η ορθή γωνία.
Είναι η γωνία η οποία μου σχηματίζει ενενήντα μοίρες.
Την συμβολίζω πάντοτε με ένα τετραγωνάκι.
Εγώ κάνω και μια τσακπινιά, βάζω και μια τελίτσα μέσα.
Την ονομάζω λοιπόν "ορθή",
και είναι ίση με ενενήντα μοίρες.
Η επόμενη γωνία μου είναι η "οξεία",
η οποία είναι μικρότερη από ενενήντα μοίρες.
Η οξεία είναι πάντοτε μικρότερη από ενενήντα μοίρες.
Και τέλος, είναι η "αμβλεία".
Νάτη και η αμβλεία,
η οποία είναι μεγαλύτερη από ενενήντα μοίρες.
Να τις ξαναδούμε λίγο;
Ορθή, οξεία και αμβλεία.
Ίση με ενενήντα μοίρες, μικρότερη από ενενήντα μοίρες, μεγαλύτερη από ενενήντα μοίρες.
Υπάρχει και μια τέταρτη γωνία,
την οποία θα την πούμε σήμερα,
ονομάζεται "πλήρης" γωνία.
Ποιά είναι αυτή;
Φαντάσου την ως εξής:
Θυμάσαι τη μη κυρτή που είπαμε πριν λίγο;
Πρόσεξε με λοιπόν!
Φαντάσου ότι αυτή είναι η πλήρης γωνία.
Ποια;
Μα αυτή.
Αυτή δεν είναι γωνία, αυτή είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα.
Αυτή είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα, νομίζεις,
που έχει πέσει το ένα στο άλλο
κοίταξε πως ήταν ακριβώς:
ήταν εκεί, και έκανε εναν ολοοοοόκληρο κύκλο
και πήγε ξανακούμπησε πάνω
Ε, αυτή η γωνία, λοιπόν, ονομάζεται πλήρης!
Και όπως κατάλαβες καλά είναι ίση με τριακόσιες εξήντα μοίρες.
Εδώ να σου θυμίσω ότι οι τριακόσιες εξήντα μοίρες...
σε τριακόσιες εξήντα μικρές λεπτές φέτες
ο άνθρωπος χώρισε τον κύκλο.
Το μοιρογνομόνιο λοιπόν,
το μισό αυτό κυκλάκι που μετράμε εμείς,
είναι εκατόν ογδόντα μοίρες.
Και ανάλογα με τον τρόπο που τον τοποθετούμε,
μπορούμε να μετράμε τις γωνίες μας.
Για τελευταίο, σήμερα,
κράτησα να συζητήσουμε λίγο
για δύο πολύ χαρασκτηριστικές γωνίες -
μάλλον για γωνίες οι οποίες θα σου φανούν πολύ χρήσιμες. Να τις θυμάσαι
πώς ακριβώς ονομάζονται
γιατί έχουν ένα πολύ πολύ βασικό χαρακτηριστικό:
Οι γωνίες αυτές
-κοίταξε με!-
έχουν
κοινή κορυφή. Νάτη!
Ας την πούμε "Φ",
και η πλευρά της μίας είναι προέκταση της πλευράς της άλλης.
Οι γωνίες αυτές είναι πάντα ίσες μεταξύ τους.
Αυτή η γωνία είναι ίση με αυτή
και, αντίστοιχα, αυτή η γωνία είναι ίση με αυτή.
Πρόσεξες ότι τροποποίησα τον συμβολισμό.
Για να δηλώσω την ισότητα των γωνιών,
αλλάζω τον συμβολισμό.
Αυτή με τη μία γραμμή είναι ίση με αυτή
και, αντίστοιχα, αυτή με τις δύο είναι ίση με αυτή.
Λοιπόν, αυτές οι γωνίες που έχουν -ξαναθυμίζω- κοινή κορυφή
και πλευρά της μιας είναι προέκταση της άλλης...
- δεν θα μπορούσε να είναι αυτή,
γιατί έχουν μεν κοινή κορυφή αλλά δεν είναι προέκταση-
ονομάζονται "κατακορυφήν" γωνίες,
και είναι πάντοτε ίσες.
Θυμήσου θα σου φανεί πάρα πάρα πολύ χρήσιμο!
Όταν, μάλιστα, θυμηθείς ότι όλο μαζί είναι ένας κύκλος,
άρα τριακόσιες εξήντα μοίρες.
Φαντάσου - άμα σου δώσουνε μόνο τη μία,
μπορείς πολύ εύκολα να βρεις όλες τις υπόλοιπες.
Έχουμε, όμως, πολλά να πούμε ακόμα.
Σου έυχομαι να έχεις μια υπέροχη μέρα
και να τα θυμηθείς όλα ξανά.
Εύχομαι να σε βοήθησα.
Την καλημέρα μου!
