井底之蛙 如何 看到 广阔 天空 ？猫眼 （门镜 ）啥 原理？ Wie kann ein Frosch auf dem Grund eines Brunnens den großen Himmel sehen? Was ist das Prinzip des Katzenauges (Türspiegel)? How does the frog in the well see the vast sky? What is the principle of cat eye (door mirror)? 井戸の底にいるカエルが大空を見るには？キャッツアイ（ドアミラー）の原理とは？

各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师

最近 有个 小朋友 跟 我 说

他 刚学 了 一篇 课文 叫 《 坐井观天 》

有 一只 青蛙 在 井底 看到 天空 就 只有 井口 那么 大 There is a frog at the bottom of a well that sees the sky and is only as big as the mouth of the well

他们 老师 让 他 写 一篇 读后感

他 就 想 问 我 说

如何 帮助 这个 井底之蛙 看到 更 广阔 的 世界 呢

今天 我们 就 给 这 只 青蛙 提 两个 建议

那 第一个 建议 就是 注水 The first suggestion is to water

我们 只 需要 在 这个 井 里边 注水 就 可以 了 We just need to fill this well with water

注水 为什么 就行了 呢

是因为 光 会 发生 折射 光 的 折射 because light refracts

什么 是 光 的 折射 咱们 都 知道 We all know what is refraction of light

就是说 假如 有 空气 还有 水 That is, if there is air and water

光线 从 空气 中 斜射 入 水中

那么 就 会 发生 折射

在 空气 中 这个 角 我们 叫 它 θ1 吧

在 水中 这个 角叫 θ2

分别 叫 入射角 和 折射角

然后 水中 的 这个 角 比较 小 Then this corner in the water is smaller

空气 中 的 这个 角 比较 大

这 就是 所谓 的 折射 现象 This is the so-called refraction phenomenon

为什么 会 发生 折射 现象 Why does refraction occur

折射 现象 满足 什么 规律 呢

这件 事 其实 人们 研究 了 2000 多年

在 古希腊 的 时代 就 有 一个 伟大 的 学者 In ancient Greece there was a great scholar

名字 叫 托勒密

托勒密 就是 提出 地心说 的 那个 科学家

托勒密 就 研究 了 这个 问题

他 说 θ1 如果 增大 θ2 也 跟着 增大

θ1 和 θ2 之 比 是 一个 常数

这 就是 托勒密 的 观点

他 说 θ1 与 θ2 是 成正比 的

二者 之 比 是 一个 常数 The ratio of the two is a constant

当然 事实上 这件 事 Of course the fact

只有 在 θ1 和 θ2 都 比较 小 的 时候 Only when both θ1 and θ2 are small

光线 接近 于 竖直 的 时候 才 是 成立 的

如果 这 两个 角 比较 大 的话 其实 就 不 成立 了 If these two angles are relatively large, then it does not hold.

但是 托勒密 那个 时代 他 这个 实验 条件 不太好

所以 他 得出 这么 一个 结论 So he came to the conclusion

后来 1000 多年 之后 1000 years later

陆续 有人 发现 他 这个 结论 好像 是 不 对 的 One after another, people found that his conclusion seems to be wrong.

把 这个 规律 完整 的 写 出来 有 哪个 人 呢 Who can write down this rule completely?

有 一个 荷兰 的

荷兰 的 物理学家 名字 叫 斯涅耳

这个 斯涅耳 他 最早 发现 了 折射 的 时候

到底 满足 什么 规律

除了 斯涅耳 以外 还有 一个 法国 的 学者

在 十几年 之后 也 独立 地 写出 了 这个 规律

这个 法国 学者 名字 叫 笛卡尔

当然 笛卡尔 的 名字 更 响亮 一点 Of course Descartes' name is a little louder

所以 这个 规律 我们 一般 叫做 斯涅耳 定律 So this law is generally called Snell's law.

但 在 法国 就 叫 笛卡尔 定律

这个 定律 是 什么 内容 呢 What is the content of this law?

这个 定律 内容 就是 θ1 和 θ2 并 不是 成正比 的 The content of this law is that θ1 and θ2 are not proportional

而是 二者 的 sin 之 比 是 一个 常数 Rather, the ratio of the sins of the two is a constant

sinθ1 比 sinθ2 是 一个 常数 n

这个 n 我们 就 给 它 起个 名字 叫 折射率

我们 这里 解释一下 什么 叫 sinθ

就是 我们 画 一个 直角三角形

这个 直角三角形 有 一个角 叫 θ 角

对边 叫 x 邻边 叫 y 斜边 叫 r

那 所谓 的 sinθ 就是 什么 意思 啊

sinθ 就是 对边 比 斜边 这 就 叫 sinθ

这 两个 sinθ 之 比 是 折射率

折射率 跟 材料 有关

水 的 折射率 大概 是 1.33 左右

所以 θ1 就 会 比 θ2 大

好 那么 人们 知道 了 这个 规律 之后

人们 就 想 说 这 规律 原因 是 什么 为什么 呢 People want to say why this rule is why

我们 来 做 一下 解释

对于 折射 定律 的 解释 Explanation of the law of refraction

其实 历史 上 也 是 有 很 多种不同 的 解释 的

比如说 这个 法国 的 学者 笛卡尔

他 对于 这个 规律 的 解释 是 什么 呢

他 说 是 这么回事

你 看 这 是 空气 和 水 的 界面 You see this is the interface of air and water

然后 这 光线 不 就 从 空气 这 射过来 了 吗 Then the light comes from the air, doesn't it?

射过来 了

射过来 的 时候 吧

它 的 速度 可以 分解成 一个 水平 速度 vx

和 一个 竖直 速度 vy

然后 它们 两个 的 合速度 就是 v1 Then their combined velocity is v1

v1 就是 入射 的 时候 在 空气 中 的 速度

然后 到 了 水 里边 吧 它 水平 速度 不变 And then in the water, its horizontal speed doesn't change

为什么 不变 不 知道 反正 它 就 不变 Why doesn't it change? I don't know. It doesn't change anyway.

竖直 速度 变快 了 这 叫 vy' 变快 了 The vertical speed is faster, it's called vy' faster

所以 新 的 合速度 就 变大 了 而且 往 下边 偏

这 就是 水中 的 速度 v2

这 就是 笛卡尔 的 解释

说 为什么 往下 偏 呢

因为 水 里边 速度快 而且 是 纵向 速度快

这样一来 它 就 往 下 偏 了 So it goes down

我们 还 可以 计算 一下

如果 这个 角度 是 θ1 这个 角度 是 θ2 的话

我们 来看 sinθ1 是 什么 Let's see what sinθ1 is

sinθ1 其实 就 等于 这个 边 比 斜边 吧 sinθ1 is actually equal to the ratio of this side to the hypotenuse.

就是 vx/v1 对 不 对

sinθ2 是 什么 呢

sinθ2 它 就 等于 这个 vx 比 斜边

vx/v2 这 两 vx 一样

所以 sinθ1/sinθ2

把 vx 约 掉 等于 v2/v1 Reducing vx is equal to v2/v1

v2/v1 是 什么

是 水中 的 速度 与 空气 中 速度 之 比 对 不 对

所以 它 的 意思 是 说 这个 数是 n

那 就是 水中 速度 比 空气 中 速度 快 n 倍

这个 就是 笛卡尔 的 解释

那么 如果 水中 的 光速

真的 比 空气 中 的 光速 快 快 n 倍 的话

那么 就 说明 笛卡尔 的 解释 是 对 的 是 吧

除了 笛卡尔 以外

还有 一个 荷兰 的 物理学家 叫 惠更斯

惠更斯 他 是 怎么 解释 的 呢

惠更斯 他 是 提出 了 波动 理论

他 认为 光是 一种 波

那么 这个 波在 传播 到 界面 的 时候

不是 一根 光线 而是 一束 光线

大家 注意 看 是 一束 光线

这 一束 光线 有 一根 光 传播 到 界面 上 A1 了

但 另外 一边 还 没有 传到 呢

它 只 传到 了 这个 位置 叫 A2 传到 这个 位置

而 当 右侧 这个 光 传播 到 界面 B2 的 时候

左边 的 这个 光 其实 已经 在 水 里边 传 了 一段 了

只不过 在 水 里边 的 时候 它 的 这个 速度慢

所以 当 A2 传到 B2 这 段时间 里

水中 的 光线 走 不了 这么 远

它 的 运动 范围 只有 这么 一个 小 半圆

它 没有 这个 长 对 吧

当然 中间 还会 有 一些 光线

这些 光线 进入 到 界面 比 A1 晚 比 A2 早

所以 形成 了 大小 不同 的 半圆

把 这些 半圆 的 包络 面 结合 起来

就是 新 的 波面

而波 就是 往 这边 传 的 要 跟 这个 波面 垂直

有点像 什么 呢

就是 一辆 汽车 它 开进 了 一个

斜 着 开进 了 一个 沼泽地

它 有 一个 轮子 先陷 进去 了

所以 这个 轮子 跑不动 了

整个 这 汽车 不 就 往 下边 歪 了 吗

这 就是 惠更斯 的 解释

我们 依然 可以 通过 计算 来 得到 一些 结论

咱们 看 这个 角度 叫 入射角 θ1

θ1 加 这儿 是 90 这个 角加 这个 角是 90

所以 θ1 可以 挪 这儿 来 对 吧

θ2 是 这个 角 折射角

那么 同样 道理 我 可以 把 它 挪到 这儿 来

这个 角是 θ2 这个 是 A1 这个 是 A2

同时 的

这个 是 B2 这个 点 是 B1 也 是 同时 的

左侧 光到 B1 右侧 光 就 到 B2

我们 再 来看 那么 sinθ1 是 什么

sinθ1 就 等于 对边 比 斜边 对 吧

等于 A2B2/A1B2

那 sinθ2 是 什么

sinθ2 是 这个 边 比 这个 边 是 吧

A1B1/A1B2

那么 我们 再 把 这 两个 数做 比

sinθ1/sinθ2 是 什么

sinθ1/sinθ2 那 就是 把 这个 分母 都 约 掉

等于 A2B2/A1B1

A2B2 是 同样 时间 内在 空气 中 走 的 路程

A1B1 是 同样 时间 的 在 水中 走 的 路程

所以 这 两个 路程 之 比 其实 就是 速度 之 比

左边 的 这个 数它 不 就 等于 n 吗

所以 最后 结论 就是 n 等于 v1/v2

它 的 意思 是 在 空气 中 的 速度 是 水中 速度 的 n 倍

空气 中 速度快

所以 他俩 正好 是 矛盾 的 对 吧

笛卡尔 认为 在 水中 速度 是 空气 中 的 n 倍

惠更斯 认为 空气 中 的 速度 是 水中 的 n 倍

所以 他俩 正好 是 反 的

那么 到底 水中 的 光速 比 空气 中快 还是 慢 呢

最 开始 人们 测 不 出来 光速 所以 一直 都 不 知道

后来 托马斯 · 杨 搞 出个 双缝 干涉 实验

通过 双缝 干涉 实验 可以 测量 波长

而 通过 波长 我们 就 可以 知道 光速 了

结果 这个 实验 支持 了 惠更斯 的 观点

就是 水中 光速 慢

再 后来 傅科 等 一批 科学家 干脆 就 把 光速 测 出来

又 非常 完美 的 证明 了 惠更斯 这种 观点 是 正确 的

但 惠更斯 也 并 不是 非常 完美 的

他 认为 光是 一种 机械波

但 事实上 我们 知道 光是 电磁波

总而言之 我们 现在 已经 知道 了

折射率 的 含义 到底 是 什么 其实 就是 光速 之 比

是 空气 中 光速 和 介质 中 光速 之 比

这个 结论 是 正确 的

而 笛卡尔 这种 观点 是 错误 的

好 那 我们 说了半天 都 是 在 说 折射

咱们 现在 不是 要 给 这个 青蛙 支招 吗

那 青蛙 为什么 注水 就行了 呢

咱们 就 来说 一说 注水 的 作用

井底之蛙 注水 有 什么 用

我们 来看 说 这里 有 一个 井

这个 井底 下 有 一只 青蛙

这 只 青蛙 它 不想 上来

但 它 还是 想 看一看 外面 的 世界 到底 有 多 大 是 吧

那 怎么办

我们 看 假如 说 这 只 青蛙 不 注水 的话

它 能够 看到 多大 范围 的 天空 呢

那么 空气 中 的 光 传到 这个 青蛙 擦 着 边 传过来

擦 着 边 传过来 也 只能 传到 这儿

再 往外 的 天空 它 就 看不见 了

所以 它 认为 天空 就是 这么 一个 尖角 的 范围 内

那么 假如 我们 假设 这个 井口 的 半径 是 R

我们 不计 青蛙 的 身高 井 的 深度 设 它 为 h

这样一来 我们 就 可以 知道

青蛙 能够 看到 的 圆锥 的 半角

这个 半角 我们 管它 叫 θ2

这个 θ2 是 多 大 呢 sinθ2

sinθ2=R/√(R²+h²) 勾股定理

这是 第一个 结论

但是 如果 我们 把 这个 水注 进去

它 就 会 发生 折射 所以 光线 会 这样 过来

然后 在 这折 一下 进 到 青蛙 的 眼睛 里

这边 也 是 光线 这样 过来 进 到 青蛙 的 眼睛 里

咱们 来 观察 在 折射 的 时候 空气 中 这个 角 θ1

这个 θ1 有 多 大 我们 刚才 已经 说 了

θ1 的 sin 值 是 θ2 sin 值 的 n 倍

所以 我们 只要 把 这个 数 乘以 n 就行

结论 是 sinθ1=nR/√(R²+h²)

你 看 这个 角 是不是 比 刚才 那个 角要 大 了 对 不 对

我们 来 具体 说 一下 数字

假如 我们 这个 青蛙 它 在 一个 半径 是 0.5 米

深度 是 5 米 的 井 里边 水 的 折射率 是 1.33

于是 你 就 可以 算 出来 原来 这 只 青蛙

它 能够 看到 的 这个 顶角 θ2 是 5.7 度

最 开始 它 认为 天空 集中 在 5.7 度 的 范围 内

但是 如果说 你 注 了 水 之后

更大 的 范围 天空 可以 进来 它 就 变成 了 θ1

这个 θ1 是 7.6 度

你 看 青蛙 从 一个 5.7 度 的 天空

看到 了 7.6 度 的 天空 它 是不是 大 了 一点

大 的 不 多 是 吧

主要 是因为 水 的 折射率 1.33 其实 还 不太够

那 你 说 我 搞 一个 10 倍

这个 折射率 是 10 的 这样 一个 液体 行不行

关键 是 这种 液体 它 不 一定 存在 是不是

所以 这种 做法 它 的 作用 是 有限 的

那 还有 什么 别的 办法

可以 让 这个 青蛙 看到 整个 天空 吗

还有 就是 我们 还有 一种 办法

就是 采用 透镜 我们 可以 给 这个 青蛙 安 透镜

给 青蛙 安 了 透镜 之后

它 就 能 看到 更大 范围 的 天空 甚至 是 整个 天空

为什么 这么 说 呢

我们 在 初中 阶段 其实 都 学过 透镜 成像 规律

我们 来 简单 复习 一下

假如 这里 有 一个 凹透镜

凹透镜 两侧 各有 一个 焦点

焦点 的 意思 是 说

平行 于 主光轴 的 光线 经过 凹透镜 发散

但是 发散 之后 的 反向 延长线 会过 焦点

同时 凹透镜 还有 一个 特点

过光心 的 光线 传播 方向 不变

那么 假如 我们 有 一个 物体

就 在 这个 凹透镜 旁边 有 一个 物体

我 问 这个 物体 它会 成像 在 什么 位置

怎么 研究 呢

物体 发出 了 一个 平行 光线 平行 于 主光轴 的

那么 经过 凹透镜 折射 之后

它会 反向 延长线 过 焦点

过光心 的 光线 传播 方向 不 发生变化

所以 当 我们 用 右侧 眼睛 一看 的话

你 就 会 以为 这个 物体 从 哪 发出 来 的 光

从 这儿 发出 来 的 光

这 就是 它 的 像

所以 凹透镜 会成 一个 什么 像

成 一个 正立 缩小 的 虚像

因为 你 是 反向 延长线 形成 的

正立 缩小 的 虚像

那么 凸透镜 成像 呢

凸透镜 成像 倒 是 我们 教材 里 的 一个 重点

凸透镜 成像 有 很 多种类型

那么 我们 说 其中 的 一种 类型

凸透镜 有 两个 焦点

平行 光 入射 之后

凸透镜 会聚 会 会聚 于 这个 焦点 上

如果 过光心 的 光线 传播 方向 也 不会 发生变化

我们 把 这个 物体 放在 凸透镜 的 一倍 焦距 以内

这个 是 物

那么 它 发出 的 光线 平行 光线 会过 焦点

过光心 的 光线 传播 方向 不变

所以 我们 眼睛 在 右侧 去 观察 的 时候

你 就 会 发现

这个 光线 它 好像 是 在 这个 位置 发出 来 的

这个 就是 它 的 像

所以 我们 就 说

如果 物体 位于 凸透镜 的 一倍 焦距 以内 的话

那么 它成 的 一个 是 正立 放大 的 虚像

好 凹透镜 成正立 缩小 的 虚像

凸透镜 成正立 放大 虚像

把 它 组合 起来

我们 就 可以 让 青蛙 看到 整个 天空 了

咱们 看 假如 这是 一个 井

这是 一个 井

这个 青蛙 想 看到 天空 中 一个 很大 的 物体

这个 物体 非常 大

如果 青蛙 直接 去 看 的话

它 是 看不见 的 它 是 看 不 完整 的

它 只能 看到 中间 的 这 一部分 对 吧

两边 的 看不见

那么 我们 安装 这个 透镜 系统 它 就 能 看见 了

为什么 呢 咱们 看

我们 首先 在 这个 口 这个 位置 我安 一个 凹透镜

凹透镜 会成 什么 像 啊

凹透镜 会成 一个 正立 缩小 的 虚像 对 不 对

所以 这个 物体 它 发出 的 光 经过 凹透镜 之后

它 的 光线 经过 凹透镜 成像 之后

就 会 在 比较 近 的 位置 成 一个 正立 缩小 的 虚像

这个 就 叫 A1

这 就是 第一次 成像 正立 缩小 的 虚像

成完 了 之后

我 再 让 青蛙 的 这个 眼睛 这 我 再 放 一个 凸透镜

再放 一个 放 凸透镜

理论 上 来讲 不 放 凸透镜

青蛙 直接 看 可能 也 能 看得见

但是 我 为什么 要放 一个 凸透镜

一会 咱们 再说

我 再 放 一个 凸透镜

放完 了 凸透镜 之后 这个 凸透镜 去 看 这个 A1

A1 经过 凸透镜 再 去 成 一次 像

就会成 一个 正立 放大 的 虚像

我 让 这个 A1 处于 凸透镜 的 焦距 以内

就 成 一个 正立 放大 虚像 A2

这样一来 这个 青蛙 就 能够 看到 整个 的 这个 物体

我 只要 非常 好 地 调整 这 两个 物体 的 焦距

与 它们 之间 的 距离

就 可以 让 青蛙 看到 整个 的 天空 了

那么 我们 为什么 还要 放 一个 凸透镜 呢

我 直接 用 一个 凹透镜 来看 不行 吗

这有 好处

好处 就是 现在 是 青蛙 要 看 外面 的 世界

但是 它 不 希望 外面 的 世界 看到 它 自己 对 不 对

如果 你 只加 一个 凹透镜 的话

那 光路 可逆

你 必然 两边 都 能 看得见

但是 我加 了 一凸 一凹 之后 就 不是 这个 样子 了

咱们 看 如果 外面 的 物体 发出 的 光线

它会 先 经过 凹透镜 再 经过 凸透镜

青蛙 看得见

但 反过来 青蛙 发出 的 光线 呢

是 先 经过 凸透镜 再 经过 凹透镜

外面 的 世界 鸟 就 不 一定 看得见 了

这 实际上 就是 谁 的 原理

其实 不 就是 猫眼 吗 对 不 对

或者 也 叫 门镜

就是说 我们 在 门 上面

安 了 这么 一个 很 短 的 一个 东西

这 东西 里边 有 一个 凹透镜 和 一个 凸透镜

然后 我们 在 屋子 里边 往 外边 看

看 得 非常 清楚

其实 就是 外边 的 物体 成 了 一个 正立 缩小 的 虚像

又 成 了 一次 正立 放大 的 虚像

我们 就 看见 了

但是 反过来说

如果 屋子 里边 的 物体 经过 这个 系统 之后

外面 的 人 想 看 很 困难

原因 是 什么

原因 是因为 它 倒 过来 的 时候

是 先 经过 凸透镜 再 经过 凹透镜 的 是 吧

它 的 光路 是 不 一样 的

所以 成像 的 结构 也 就 不 一样 了

好 那么 通过 这种 办法

青蛙 就 可以 看到 整个 外面 的 世界 了

不过 这 两种 方法 其实 还有 它 的 缺陷

比如说 第一种 方法 吧 它 的 这个 范围 比较 小

第二种 方法 虽然 可以 扩大 到 很大 的 范围

但是 它会 产生 畸变

什么 叫 畸变 呢

就是 两侧 的 这些 物体 会叠到 一块 会 畸形

不 知道 大家 有没有 用过 那个 鱼眼 镜头

用 鱼眼 镜头 拍照 的话

你 可以 拍 到 很大 的 范围 大 广角 是 吧

但 问题 是 它 周围 的 那些 物体 都 会 叠 到 一块 了

所以 看起来 会 发生 形变

青蛙 可能 也 并 不能 真正 地 认识 世界

所以 最好 的 方法 还是 让 这个 青蛙 从井 里边 上来

这样一来 才 能够 更好 地 认清 天空

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