🔺 El TRIÁNGULO de PASCAL
El triángulo de Pascal es una de las construcciones, más intrigantes, profundas y útiles de las
Matemáticas. Su definición es realmente sencilla, comenzamos
con un simple 1, que situamos en una fila infinita de ceros.
Y este simple 1 va a generar todo el triángulo de Pascal ¿Cómo?
Si nos desplazamos en nuestra fila por parejas contiguas, podemos ir generando una nueva
fila SUMANDO cada pareja de números y situando el resultado inmediatamente debajo.
En esta nueva fila en vez de un único 1, tenemos dos. Y podemos volver a repetir el
mismo proceso para genera una tercera fila. En esta nueva fila ya empezamos a ver algo
distinto, pues al sumar la pareja de 1's contigua obtenemos un 2.
Este proceso lo repetiremos indefinidamente generando infinitas nuevas filas, pero podemos
ir obteniendo ya algunas conclusiones: Cada nueva fila tiene un número distinto
de cero más que la fila anterior. La secuencia de números no nulos siempre
empieza y termina con un 1 y además cada una de estas secuencias es simétrica, es
decir, no solo empiezan y acaban en 1, también el segundo término es igual que el penúltimo,
el tercero igual al antepenúltimo, etc. Si nos olvidamos de todos los valores nulos
de estas filas, al triángulo formado por los números positivos se le llama EL TRIÁNGULO
DE PASCAL en honor al filósofo y matemático francés Blaise Pascal quien lo introdujo
en 1654 en su Tratado del triángulo Aritmético. Aunque el triángulo ya era conocido con anterioridad
al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos, persas, alemanes e italianos, fue
Pascal quien descubrió muchas de sus propiedad y aplicaciones.
Pero ¿Qué tiene que ver este triángulo con los NÚMEROS COMBINATORIOS?
Recordemos que el número combinatorio (n k) es precisamente el número de subconjuntos
diferentes de k elementos que podemos extraer de un conjunto de n elementos.
Por ejemplo, si tenemos un conjunto de n=3 elementos (3 0) representa el número de subconjuntos
distintos con cero elementos ¿Tenemos alguno? Si. Siempre existe un único conjunto con
cero elementos al que llamamos el conjunto vacío.
De este modo (3 0)=1; Subconjuntos con k=1 elemento hay tres posibles
por lo que (3 1)=3; Con dos elementos hay otros tres ¿verdad? En efecto solo hay que
decidir a quién excluir del subconjunto y hay tres candidatos posibles por lo que (3
2) = 3. Finalmente, subconjuntos con 3 elementos solo
tenemos el propio conjunto, esto es, (3 3) = 1
De hecho, tenemos una FÓRMULA para el número (n k), pero en este vídeo queremos que toda
nuestra matemática sea puramente intuitiva y visual… ¡y no por ello menos rigurosa!
Pero sustituiremos manipulaciones algebraicas tediosas por argumentos simples y transparentes.
Para que todos entendamos con claridad qué es un número combinatorio vamos a imaginarnos
que el conjunto de n elementos es una clase de una escuela (8 alumnos) y por ejemplo el
número combinatorio (8 3) representa cuántos grupos de trabajo diferentes de 3 estudiantes
se pueden hacer. ¿Cómo podemos demostrar teoremas de forma
intuitiva? vamos a ver que el número de subconjuntos
de k elementos de un conjunto de n, esto es, (n k) es igual al número de subconjuntos
de n-k elementos del conjunto de n, esto es, (n n-k), para cualquier valor de n y k
En nuestra clase, estaríamos afirmando que hay tantos grupos de trabajo vacíos (8 0)
como grupos de trabajo con todos los estudiantes (8 8) ; grupos de trabajo con 1 estudiante
(8 1) que grupos con 7, (8 7) ; grupos con 2 (8 2) y grupos con 6 (8 6); etcetera
Para comprobar que, por ejemplo, (8 3) = (8 5), vamos a ver que el número de grupos de
trabajo de 3 estudiantes puede contarse de dos maneras equivalentes: Una nos dará el
número (8 3) y la forma de contar alternativa nos dará (8 5) con lo que ambos números
han de ser el mismo número. En efecto, en vez de contar los grupos de
trabajo indicando cuales son los 3 estudiantes que están en el grupo, lo que nos daría
el número (8 3). Podemos contar los grupos de trabajo indicando quién NO está en el
grupo. Habrá pues que decir qué 5 estudiantes están excluidos y hay tantos subconjuntos
posibles de 5 estudiantes excluidos como el número (8 5).
Por tanto (8 3)=(8 5)
Esto que hemos visto para un caso particular se cumple para cualquier grupo de trabajo
de k estudiantes de una clase de n. Los grupos de trabajo de k estudiantes podemos contarlos
indicando quienes son los k estudiantes que están en el grupo lo que nos daría (n k)
o indicando los n-k estudiantes que NO están en el grupo lo que nos daría (n n-k).
¡Qué fácil! Vamos a intentar algo más exigente.
El número de grupos de trabajo de k estudiantes de una clase de n es igual a la suma del número
de sgrupos de trabajo de k estudiantes de una clasde de n-1 con el número de grupos
de k -1 estudiantes de una clase de n-1. Esto parece más complicado de probar. Veamos
que en efecto (8 5)= (7 5)+ (7 4) Para ello hagamos lo siguiente, si queremos
contar cuántos grupos de trabajo de 5 estudiantes se pueden hacer en la clase lo que daría
(8 5). Podemos contarlo de una forma alternativa, Calvin puede contar primero todos los grupos
de 5 estudiantes que NO lo incluyen a él y después añadirle los que si le incluyen.
Para contar los grupos de 5 estudiantes que No lo incluyen, Calvin se da cuenta que basta
con salirse de clase y decir a sus compañeros que hagan grupos de trabajo sin contar con
él. Entonces habrá tantos como (7 5) ya que la clase tiene un estudiante menos, Calvin.
Para contar los grupos de 5 estudiantes que SI le incluyen a él les pide a sus compañeros
que hagan grupos de 4 estudiantes a los que él se unirá al entrar en clase. En total
habrá en este caso (7 4) grupos. ¿Qué hemos probado? Que (8 5)= (7 5)+ (7
4) Pero el método alternativo que hemos dado
para contar los grupos de trabajo vale para cualquier n y k. Un estudiante se sale de
clase y cuenta los grupos que no lo incluyen que son (n-1 k) y después cuenta los que
si le incluyen pidiendo a sus compañeros que cuenten grupos de k-1 estudiantes a los
que se unirá, es decir (n-1 k-1). Por lo que (n k)= (n-1, k) + (n-1 k-1).
¡Genial! Pero… y que tiene que ver todo esto con
el triángulo de Pascal. Fijaros que, si tomamos una clase con 0 estudiantes,
el número de grupos de trabajo de cero estudiantes es 1 !! ¡¡el conjunto vacío, esto es, (0
0)=1 Si en la clase hay un único estudiante, grupos
con cero estudiantes hay de nuevo 1, el conjunto vacío. Y grupos con 1 estudiante hay también
solamente 1, el formado por el único estudiante. Tenemos pues (1 0)=1 y (1 1)=1, un par de
1's. Si tenemos una clase con dos estudiantes,
grupos de cero estudiantes hay otra vez uno solo, el conjunto vacío y por tanto (2 0)=1;
grupos con un estudiante tenemos dos posibles cada grupo formado por cada uno de los dos
estudiantes, esto es (2 1)=2 y grupos de 2 estudiantes hay uno solo el formado por la
clase completa obteniendo (2 2)=1. Esto se parece mucho al triángulo de Pascal…
¡Y tanto! Siempre se tiene que (n 0) = 1 cualquier clase admite un único grupo con
cero estudiantes, el vacío. Y (n n)=1 cualquier clase de n estudiantes admite un único grupo
con n estudiantes, la clase completa. Es decir, la lista de números combinatorios
(n 0), (n 1), ….,(n k),…, (n n-1), (n n) empieza y acaba como las filas del triángulo
de Pascal con sendos 1's Pero acabamos de ver la identidad para números
combinatorios (n k)=(n-1 k) + (n-1 k-1). ¡Aja! Esto es precisamente decir que, si
ponemos los números combinatorios por filas formando un triángulo, cada número combinatorio
se obtiene de la fila anterior sumando los términos que están inmediatamente encima
de él. ¡Justo lo que ocurría con el triángulo de Pascal!
Lo que acabamos de ver es que el triángulo de Pascal es precisamente el triángulo formado
por los números combinatorios. Ya solo nos queda entender qué demonios tiene
que ver el triángulo de Pascal con el Teorema binomial. Vamos a considerar un binomio no
nulo a + b que vamos a elevar a las potencias 0, 1, 2,…
(a+b)^0 = 1 ya que todo valor no nulo elevado a 0 es igual a 1.
(a+b)^1= a + b nada que añadir (a+b)^2 podemos realizarlo algebraicamente
o verlo geométricamente como un cuadrado de lado a+b y obtenemos que equivale a a^2
+ 2ab + b^2 Lo mismo sucede con (a+b)^3, tanto algebraicamente como geométricamente, viéndolo como un cubo de arista a+b obtenemos que equivale a a^3
+ 3 a^2b + 3 ab^2 + b^3. Si nos fijamos en los coeficientes que nos aparecen cuando desarrollamos la potencia del binomio, vemos que estamos obteniendo
las filas del triángulo de Pascal. ¿Será esto una mera casualidad? ¿O más bien un
Teorema? En efecto, el teorema binomial afirma que
la potencia del binomio (a+b)^n es igual a la suma desde k = 0 hasta n de a ^k por b^n-k
multiplicado por el número combinatorio (n k) al que también se le llama coeficiente
binomial (justo por este Toerema) ¿Cómo podemos demostrarlo? La potencia (a+b)^n
es precisamente el producto (a+b) x (a+b)x…x(a+b)x(a+b) n veces.
por la propiedad distributiva, tendremos pues que multiplicar cada uno de los sumandos de
cada factor por cada uno de los sumandos de los demás factores.
¿De cuántas formas podemos obtener a^n? Solamente de una. Mutiplicando todas las a's
de los n factores. Por eso el coeficiente binomial de a^n es (n 0)=1
¿De cuántas formas podemos obtener b^n? Solamente de una. Multiplicando todas las
b's de los n factores, o lo que es lo mismo multiplicando 0 a's. Por eso también el
coeficiente binomial de b^n es (n n)=1. Pero ¿de cuántas formas podemos obtener
a^k b^n-k? Necesitamos multiplicar exactamente k a's, pero podemos hacerlo de muchas formas
diferentes. Si vemos los n factores como los n elementos
de un conjunto. Hay tantas formas de obtener el término a^k b^n-k multiplicando estos
n factores, como subconjuntos de k elementos del conjunto de n.
Este subconjunto de k elementos es precisamente las k a's que necesitamos ¿Y cuántos subconjuntos
diferentes de k elementos de un conjunto de n podemos tomar? En efecto (n k) el coeficiente
binomial! En próximos vídeos seguiremos explorando
los misterios del troángulo de Pascal y la combinatoria. Ya sabes, si te gustó el vídeo
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