La SERIE ARMÓNICA y el PROBLEMA del elástico INFINITO
Hola amigos hoy os quiero plantear un desafío matemático y para ello os voy a presentar a uno de los protagonistas del acertijo
El pequeño Gus
y el segundo protagonista del desafío es nuestra mata de albahaca
una planta aromática muy apreciada
yo la uso para casi todo pero sobre todo me gusta hacer pesto
el problema es que esta planta también es la debilidad del pequeño Gus
Fijaros como Gus va merendándose las hojas de nuestra albahaca
tendremos que pensar un remedio y no podemos utilizar pesticidas
porque entre otras cosas nos las queremos comer
haremos lo siguiente vamos a anclar a la pared un elástico de un metro de longitud
infinitamente extensible
este objeto solo existe en el mundo de las matemáticas claro. Y en el extremo libre situaremos nuestra planta de albahaca
si Gus quiere comerse la albahaca tendrá que recorrer el metro completo
pero Gus es muy lento pues avanza un centímetro cada hora
y para ponérselo más difícil aún al final de cada hora estiraremos el elástico un metro más
Gus seguirá avanzando un centímetro cada hora. Y al final de cada hora estiraremos el elástico un metro más
el desafío matemático consiste en decir sin Gus llegará a comerse la planta de albahaca.
La pregunta puede parecer o ridícula pero tened en cuenta que cada vez que estiramos el elástico
arrastramos a Gus con él. Dadle pausa, tomaros unos minutos, horas o días
y veremos la solución
volvamos a analizar hora por hora la odisea por la que tiene que pasar Gus para comerse el albahaca
para ello Gus tiene que recorrer el 100% del elástico
al cabo de una hora justo antes de que estiremos el elástico Gus habrá recorrido un centímetro de 100 que tiene el elástico
esto es una fracción de uno partido por cien aunque estiremos el elástico esta fracción no cambia pues el elástico
arrastra agus consigo
todavía le quedan 99 cienavos a Gus por recorrer pero sigamos analizando su viaje
el elástico tiene ahora doscientos centímetros
guste ya ha recorrido un 1/100 de su camino y en la segunda hora recorre otro centímetro, que en este caso
equivale a la fracción 1 partido por 200 por tanto lleva recorrido un 1/100 más 1/ 200
aunque volvamos a estirar el elástico otro metro esta fracción no cambia
ya llevamos 1 partido por 100 más 1 partido por 200 y la tercera hora
dado que el elástico tiene 300 centímetros y gus sigue avanzando un centímetro por hora
añadiremos a esta fracción 1 partido por 300
esto es
llevar a recorrido en la tercera hora un 1/100 + 1/200 + 1/300
en definitiva al cabo de n horas Gus habrá recorrido una fracción del elástico
equivalente a 1 partido por 100 más 1 partido por 200 más 1 partido por 300 más puntos suspensivos
1 partido por n por 100
sacando factor común 1 partido por 100 de esta expresión
tenemos que este número es 1 partido por 100 x
1 más un medio más un tercio más puntos suspensivos 1 partido por n
la suma que aparece en el paréntesis se conoce como serie armónica y la cuestión se reduce a saber si para algún valor de n
esta serie llega a sumar 100 con lo que gusta habría recorrido la fracción unidad esto es el 100% del elástico
en el próximo vídeo desvelaremos el misterio de la serie armónica
llegará a sumar 100 o más para algún valor de n dejad vuestras respuestas en los comentarios y si os ha gustado suscribiros
hasta luego
Ah
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