#215. ТОРРИЧЕЛЛИ ТАМ ЧТО-ТО ДОКАЗАЛ
Точки A, B, C, D являются вершинами выпуклого четырехугольника.
Где поставить точку P, чтобы сумма расстояний до вершин
четырехугольника была минимальна? Задача кажется
сложной, но подумайте на паузе хотя бы минуту — возможно,
найдете изящное решение или хотя бы правильно поймете,
каков итоговый ответ на вопрос. Готовы? Поехали!
Проведем диагональ AC. Сумма длин отрезков AP+PC никак
не меньше, чем длина AC по неравенству ломанной. Так
что минимум для такой суммы достигается, если P находится
на отрезке AC. Проведя вторую диагональ, делаем схожие
умозаключения: BP+PD не меньше, чем фиксированная длина
BD, так что минимум суммы этих двух выражений достигается,
только если P лежит на отрезке BD. По условию задачи требовался
минимум четырех слагаемых, они не могут быть меньше
заранее известной суммы AC и BD, а случай равенства
достигается, только если P лежит и на одной диагонали
четырехугольника, и на другой, то есть является
точкой их пересечения. Задача решена! Все ли было
понятно в ней? Дальше будет еще интересней!
Мы будем искать такую точку T, сумма расстояний от которой
до вершин треугольника ABC, минимальна. Казалось
бы, эта задача проще предыдущей: раньше было четыре точки,
а здесь лишь три. Но не тут то было! Нынешняя проблема
— настоящий вызов, и мы сегодня ее одолеем двумя
способами. Первый настолько красивый, что меняет представление
о мире раз и навсегда. А второй настолько изящный
и содержательный, что хочется обдумывать его снова и
снова и рождается совершенно другой взгляд на подобные
задачи. Начнем с первого. Мы попытаемся использовать
тот же инструмент, что и в предыдущем примере — неравенство
ломанной. Но для этого сначала нужно как-то все три интересующих
отрезка выстроить в одну ломанную. Попробуем, преследуя
такую цель, повернуть треугольник ATB на 60 градусов вокруг
точки A. Получим треугольник AT₁B₁, равный исходному.
В частности, отрезок BT равен отрезку B₁T₁, поэтому интересующую
сумму исходной задачи можно переписать вот так. А кроме
того, сторона AT₁ равна стороне AT — как думаете,
зачем это нам? Все дело в том, что равнобедренный
треугольник TAT₁ на самом деле является правильным,
поскольку уголочек при вершине A равен 60 градусам.
Ага, тогда отрезок AT можно смело заменить равным отрезком
TT₁, что мы и сделаем! Хорошо, сейчас сумму трех разрозненных
отрезов мы выложили в одну ломанную B₁T₁TC. Можно ли
ее длину оценить какой-нибудь константой? Да-а, а именно
отрезком B₁C: сумма длин звеньев ломанной не меньше
отрезка, соединяющего концы этой ломанной.
Притом заметьте, что величина B₁C никак не зависит от
выбора точки T. У нас изначально был дан треугольник с какими-то
сторонами и какими-то углами, длина B₁C выражается через
них и только. Получается, что сумма AT+BT+CT минимальна,
если точки T и T₁ оказываются на отрезке B₁C. Что тогда
можно сказать о градусной мере угла ATC? Смотрите, ATT₁
у нас 60 градусов, так что смежный с ним угол будет
равен 120 градусам. И это уже победа! Ведь мы поняли,
что точку T нужно выбрать таким образом, чтобы угол
ATC был равен 120 градусам. Но тот же самый поворот,
те же самые рассуждения можно было бы провести
для треугольников BTC и ATC, из чего мы сделали бы аналогичный
вывод: углы ATB и BTC должны быть также равны по 120 градусов,
именно для такой точки T, точки Торричелли треугольника,
сумма расстояний до вершин будет минимальной.
Отлично. Удивительная конструкция и невероятно красивые рассуждения.
Но на самом деле они работают, только если углы исходного
треугольника не больше 120 градусов. А где же поставить
точку T для треугольника, у которого какой-то из углов
больше 120 градусов? Подумайте и ваши идеи напишите в комментариях!
Прежде чем разбирать другое доказательство, бонусом
придумаем, как построить точку Торричелли? Будет
ли она вообще существовать для нашего треугольника,
единственна ли она? В сущности, нам главное углы по 120 градусов
получить, остальное приложится. Давайте на стороне AB соорудим
правильный треугольник ABQ так, чтобы точки Q и C лежали
по разные стороны от прямой AB. Опишем окружность около
этого треугольника и возьмем какую-нибудь точку T на
меньшей дуге AB. Чему равна градусная мера угла ATB?
Хм… Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника
AQBT равна 180 градусам, — это известное свойство, — угол
AQB равен 60 градусам, значит, при любом выборе точки
T на меньшей дуге AB, угол ATB будет ровно таким, как
нужно: 120 градусов. Ага, ну теперь ясно что делать.
Строим правильный треугольник BCP аналогичным образом,
описываем окружность около него. И если точку T поставить
вот сюда, где окружности пересекаются. То и угол
ABT будет 120 градусов, и угол BTC будет 120, и уголочку ATC
уже некуда деваться: он тоже 120 градусов. И вот мы
строили, строили и, наконец, точку Ферма-Торричелли
и построили! А теперь обещанное второе
решение нашей исходной проблемы, проблемы Штейнера.
Точки A, B и C перед вами. Пусть где-то находится
заветная точка T. Проведем окружность радиуса CT и
подумаем о сумме трех расстояний. Точка T, двигаясь по окружности,
никак не меняет длину CT, а вот сумма AT+BT, кажется,
меняется. В общем-то, здесь и спрятан главный вопрос,
на который нужно суметь ответить: где выбрать на
окружности точку T, чтобы сумма расстояний от нее
до двух фиксированных точек A и B была минимальна. Прямая
AB притом общих точек с окружностью не имеет. Да, это нетривиальная
задача, присмотритесь к анимации и как следует
подумайте! В какой момент сумма AT+BT минимальна? Итак,
начнем! В общем-то, начинать и нечего, мы уже все сделали
в #198 выпуске. Оптическое свойство эллипса. Но это
такие потрясающие рассуждения, что не откажу себе в удовольствии
привести их здесь еще раз. Первое. Где выбрать точку
T на прямой l, чтобы сумма AT+BT была минимальна? Принцип
Ферма в помощь! А вот соответствующее решение: строим точку B'
симметричную B относительно прямой l. Тогда отрезки
B'T и BT равны, и задачу можно перефразировать так: где
выбрать точку T на прямой l, чтобы сумма AT+B'T была
минимальна. По неравенству ломанной эта сумма не может
быть меньше, чем фиксированная длина AB', поэтому T мы поставим
в пересечение AB' с прямой l. Тогда, внимание, выделенные
углы равны: это и будет играть главную роль в дальнейшем.
Дублирую философский вопрос. Где поставить точку T на
окружности, чтобы сумма AT+BT была минимальна? Ответ:
там, где угол падения окажется равен углу отражения. Нам
будет проще формализовать это с помощью касательной.
При движении точки по дуге окружности, меняются углы
между касательной l в этой точке и лучами TA, TB. Оптимальное
положение будет достигаться в случае равенства выделенных
углов. Давайте это докажем. Если уголочки равны, то
никакая другая точка S касательной l не может давать меньшую
сумму расстояний до A и B, чем наша замечательная
точка T, и мы это минуту назад строго доказали.
Теперь предположим, что на окружности все-таки
существует какая-нибудь точка T', что сумма AT'+BT'
меньше выбранной нами суммы AT+BT. Почему бы и нет, почему
такого не может быть? Потому что AS+BS меньше чем AT'+BT'
— вот почему! Вы хорошо это видите? Если нет, вот
детальные выкладки, присмотритесь: это так по неравенству
треугольника, отрезочек AT' мы представляем в виде
суммы AS+ST'. И теперь, когда это ясно, мы приходим к
противоречию! Сумма AT+BT точно меньше суммы AS+BS та,
в свою очередь, точно меньше AT'+BT'. Так что верно обратное
утверждение: не существует никакой другой точки окружности
T' лучше нашей. Фух! Это было мощно! Но вы не упустили
из виду главное? Мы ищем такую точку T, что
сумма AT+BT+CT минимальна. Радиус, проведенный в точку
касания перпендикулярен касательной, так что вот
эти вот углы у нас прямые и равны между собой. Кроме
того, выделенные углы, как мы поняли, должны быть равны.
Значит, можно сделать следующий вывод: лучше всего выбрать
точку T так, чтобы углы ATC и BTC были равны, каким бы
расстояние CT ни было изначально. Но рассуждая аналогично
для вершин A и C и окружности радиуса BT, мы обнаружим
равенство углов ATB и CTB. В итоге точка T такова, что
все три угла: ATB, BTC, CTA равны между собой. Их сумма 360
градусов, стало быть, каждый по 120. Задача решена!
Ну почти, напомню актуальный вопрос как для первого
доказательства, так и для второго. Где же поставить
ту самую желанную точку T, если какой-нибудь угол
треугольника ABC будет больше 120 градусов?
А в награду всем тем, кто осилил ролик, предлагаю
третье воистину удивительное доказательство. Оно настолько
простое, что уместилось бы на полях. Предположим,
что точка Торричелли — не лучший вариант для нашего
треугольника, что есть точка T', которая дает меньшую
сумму. Проведем прямые через вершины A, B, C, перпендикулярные
AT, BT, CT соответственно. Получим правильный треугольник
XYZ. Почему правильный? Потому что этот угол 120 градусов,
тут два прямых угла, стало быть, угол YZX – 60 градусов.
Аналогично и углы с вершинами X и Y по шестьдесят.
Из #212 выпуска мы помним теорему Вивиани. Сумма
расстояний от любой точки внутри правильного треугольника
до его сторон постоянна. Что от точки T', что от точки
T — все одно. Но ведь наклонные T'A, T'B' T'C длиннее перпендикуляров
T'A', T'B', T'C' соответственно, стало быть, такая сумма
точно больше нашей. Противоречие. Значит, точка Ферма-Торричелли
— лучшее решение. Напоследок вопрос для самых
диких математиков. Точки A, B, C, D — вершины единичного
квадрата. Постройте сеть дорог наименьшей длины,
чтобы из каждой вершины можно было добраться в
каждую. Эта задача отчасти сложнее всех предыдущих,
потому что никто не сковывает вашу фантазию одной лишь
точкой, вы можете рисовать сколько угодно причудливую
сеть. Например, вот такую: из каждой точки вы можете
добраться до любой другой — связный граф. Сумма длин
ребер здесь 1+1+1 — равна трем. А вот еще одна сеть
дорог, самая естественная, две диагонали. Так, тут
суммарная длина получается 2√2, лучше прежнего, хорошо!
Но, удивительное дело, можно придумать еще более удачное
решение. И оно остается за вами. Мыслите критически,
занимайтесь математикой, счастливо!
