如何 证明 3=0？推翻 数学 大厦！ How to prove 3=0?

 各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师 最近 有个 小朋友 跟 我 说 呀 他 在 网上 看 了 一个 帖子 说 有 一个 人 呢 推翻 了 现有 数学 体系 因为 他 可以 证明 3=0 这是 怎么回事 呢 那 今天 我们 来 讨论一下 这个 问题 我们 首先 来说 一下 这个 帖子 的 证明 说 他 想 证明 一件 事 什么 事 呢 就是 3 它 是 等于 0 的 他 的 这个 证明 方法 是 什么 呢 我们 来看 啊 这个 证明 方法 很 有意思 他 首先 构造 了 一个 方程 他 说 x²+x+1=0 这是 一个 一元二次方程 显而易见 啊 这个 方程 x 是 不 等于零 的 因为 零 不是 这个 方程 的 根 对 吧 既然 零 不是 这个 方程 的 根 我 就 可以 让 这个 方程 等 号 两边 同时 除以 x 除以 x 之后 x² 除以 x 就是 x 再 加上 1 再 加上 1/x 右边 还是 零 这 是因为 这个 式子 等 号 两边 都 除以 x x 又 不 等于零 就 得到 这个 结果 然后 我 再 把 原来 的 式子 吧 和 这个 式子 作差 你 就 会 发现 它们 还有 公共 部分 x+1 对 不 对 把 x+1 给 去掉 最后 就 会 变成 x²-1/x=0 就是 左边 减 左边 右边 减 右边 就 得到 这个 式子 现在 我 在 这 等 号 两边 同时 乘以 一个 x 就 会 变成 什么 呢 x³-1=0 这 就是 两边 乘以 x 的 结果 最后 我们 就 会 发现 原来 这个 方程 就是 x³-1=0 了 那 x³-1=0 x 等于 几 呢 显而易见 x 等于 1 对 不 对 好 方程解 完 了 我们 再 把 这个 解呀 代 回到 这个 表达式 中 去 所以 就 会 有 1+1+1=0 所以 3=0 现有 数学 体系 被 推翻 了 对 吧 这 就是 网上 这个 帖子 的 证明 那么 这个 证明 显而易见 呢 是 有 问题 的 我们 就是 要 找到 这个 问题 在 哪 我们 首先 来 讨论一下 一元二次方程 因为 这道题 它 涉及 到 一元二次方程 我们 再 回到 初二 去 讲 一下 一元二次方程 一个 一元二次方程 叫 ax²+bx+c=0 而且 a 不 等于零 这个 方程 的 解是 什么 这个 方程 的 解 咱们 上 初中 的 时候 都 学过 它 有 两个 根 等于 (-b±√(b²-4ac))/2a 对 不 对 我们 上 初中 的 时候 学过 这根 号 里边 的 数 叫 b²-4ac 它 叫 判别式 判别式 等于 b²-4ac 对 吧 只有 判别式 大于 等于零 怎么着 这个 方程 才 有 实根 对 吧 才 有 实根 如果 判别式 小于 零 初中 怎么 讲 的 叫 无 实根 无 实根 不是 没有 根 它 有 复数 根 Without real roots is not without roots, it has plural roots 只是 没有 什么 实数 根 而已 没有 实数 根 但是 它 还有 复数 根 那好 我们 明白 了 这个 道理 之后 我们 再 回过头来 看 这个 方程 x²+x+1 这个 方程 是 吧 x²+x+1=0 这个 方程 的 系数 a b c 其实 都 是 1 按照 这个 一元二次方程 的 解法 你 就 会 发现 它 的 判别式 等于 b²-4ac=-3 它 是 小于 零 的 小于 零 的 怎么样 就 说明 这个 方程 是 没有 实数 根 的 没有 实数 根 没有 实数 根 的话 你 解出 x=1 这个 结果 肯定 是 不 对 的 所以 x 等于 1 一定 不是 根 而是 一会 我们 要 讲 到 的 它 是 增根 是 吧 But what we are going to talk about in a while, it is rooting, right? 没有 实根 虽然 没有 实根 但是 它 其实 是 有 什么 呢 有 复数 根 的 什么 叫 复数 根 还 记得 以前 我们 说 过 吗 √(-1)=i 这 叫 虚数 只要 我 把 虚数 引进 去 之后 这个 方程 还是 可以 有根 的 咱们 看看 这个 方程 的 根是 多少 x₁,₂ 等于 按照 求根 公式 (-b±√(b²-4ac))/2a 就是 -3 对 吧 好 写成 这个 样子 那 √(-3) 是 多少 初中 我们 学习 过 就 一个 小于 零 的 数 是 没有 办法 开 平方根 的 但是 如果 我们 引入 了 虚数 就 可以 开 平方根 了 √(-1) 等于 i 所以 √(-3) 等于 √3i 于是 这个 数 就 变成 了 什么 呢 等于 (-1±√3i)/2 好 这个 就是 两个 复数 根 这个 复数 怎么 去 表示 呢 我们 来看 一下 在 初中 的 时候 我们 学过 这个 任何 一个 实数 都 可以 表示 成 实数 轴上 的 一个点 比如说 这个 点 它 叫做 0 这个 点 叫做 1 这个 点 叫做 -1 两边 还 可能 有 什么 -2 -3 之类 的 是不是 好 那 现在 呢 我 把 这个 坐标轴 So now I put this coordinate axis 我 把 这个 竖轴 （ 加上 ） 变成 二维 的 二维 的 我 再加 一个 轴 这个 叫 虚轴 虚轴 而 原来 这个 轴 呢 就 叫 实轴 虚轴 上 的 标注 单位 呢 就 叫 i 这个 是 i 这个 是 -i 是 吧 是 这个 样子 的 那 这样的话 整个 这个 平面 就 叫 复 平面 上面 的 任何 一个点 就 表示 了 一个 复数 举个 例子 刚才 这个 一元二次方程 的 根 它 是 -1/2+√3i/2 -1/2 在 这个 位置 是 吧 在 这个 位置 然后 √3/2 是 0.8 几 对 吧 所以 大概 在 这个 位置 所以 呢 实际上 我们 就 可以 表示 出来 一个点 这个 点 就是 第一个 数 x₁ 是 吧 这个 是 √3i/2 这个 地方 呢 是 1/2 就 表示 出来 了 同样 道理 第二个 这个 根 呢 -1/2-√3i/2 所以 它 实际上 表示 的 就是 这个 点 这个 就是 x₂ 你 这样一来 呢 就 可以 把 这 两个 根 表示 在 这 一个 复 平面 内 了 所以 说 复数 还是 很 有用 的 总而言之 我们 就 得到 了 这个 方程 的 两个 根 这 两个 根 呢 都 不是 1 是 吧 所以 解出 1 是 错 的 那有 的 同学 可能 会 说 那 既然 根 不是 1 我 为什么 会 解出 x=1 呢 这个 呢 就是 初中 我们 在 学习 的 时候 知道 的 一件 事儿 叫做 增根 我们 来看 一下 增根 是 怎么回事 Let's take a look at what's going on with increasing roots 比如 有 一个 方程 这个 方程 叫 f(x)=0 这个 方程 呢 它 有 根 这个 根 我们 假设 两个 吧 x₁ 和 x₂ 是不是 好 那么 如果 f(x)=0 我 是不是 可以 一定 能够 推出 (x-a)f(x)=0 对 吧 因为 你 f(x)=0 你 乘以 任何 一个 数都 等于零 所以 我 可以 乘 这个 (x-a) 乘 完 了 之后 大家 看 后面 这个 方程 的 根 这个 方程 的 根除 了 刚才 的 x₁ 和 x₂ 以外 肯定 还有 一个 根是 a 对 吗 你 这个 x₁ 代 进去 这个 式子 肯定 是 零 x₂ 代 进去 这个 式子 也 是 零 如果 你 把 a 代 进去 因为 第一项 是 零嘛 所以 整个 这个 式子 也 是 零 因此 它 就 会 多出 一个 根 a 来 但是 这个 根 它 却 不 一定 是 原来 方程 的 根 换句话说 如果 这个 a 和 x₁ x₂ 不 相等 的话 这个 a 就是 增根 它 并 不 满足 原来 的 方程 你 在 等 号 两边 同时 乘以 一个 为 零 的 数 你 就 会 出现 一个 增根 这 就是 增根 的 来源 一般 呢 我们 在 初中 解 分式方程 的 时候 经常 会 出现 增根 好 了 我们 明白 了 增根 的 问题 的话 那 现在 你 再 回过 头去 看 那个 方程 就 很 好解 了 我们 令 这个 f(x) 等于 什么 呢 等于 x²+x+1 然后 你 第一步 不是 除了 个 x 嘛 那 所以 f(x)/x 就 等于 x+1+1/x 对 不 对 然后 呢 我 再 把 这个 式子 和 这个 式子 再作 差 一作 差 左边 变成 (1-1/x)f(x) 右边 呢 x+1 约 掉 了 对 吧 变成 了 x²-1/x 然后 我 再 让 等 号 两边 同时 乘以 一个 x 于是 就 变成 了 (x-1)f(x)=x³-1 然后 呢 他 就 说 你 看 原来 这个 方程 等于零 是 有 根 的 对 不 对 而 这个 根 呢 它 也 是 最后 这个 方程 等于零 的 根 对 不 对 这个 说话 是 没错 的 但 问题 是 后面 这个 方程 等于零 的 根 它 并 不是 原来 这个 方程 等于零 的 根 它会 有 一些 增根 而且 增根 你 能 看 出来 是 哪儿 吗 因为 你 是 乘 了 个 x-1 的 所以 说会 多出 一个 增根来 也 就是 x=1 因此 它会 多出 一个 增根 这个 增根 就是 x=1 而 这位 写 帖子 的 同学 他 把 这个 增根 x=1 当成 了 原来 这个 方程 的 根 自然 就 会 得到 3=0 这种 不靠 谱 的 结果 事实上 根据 这个 代数 基本 定理 x³-1=0 它 是 个 三次 方程 三次 方程 必然 有 三个 根 而 这 三个 根 分别 是 什么 呢 除了 刚才 我们 说 的 这 两个 根 x₁ x₂ 以外 还有 一个 根 就是 x=1 于是 我们 可以 在 复 平面 内画 出 第三个 根来 这 三个 根 大家 能 看 出来 吗 其实 它 是 彼此 夹 120 度角 的 三个 矢量 如果 我们 画成 一个 圆 的话 正好 能够 把 它 用 一个 圆给 圈起来 是 吧 非常 的 有趣 所以 整体 来说 这位 同学 的 这个 做法 就是 把 增根 当成 原来 方程 的 根 于是 得出 了 一个 不靠 谱 的 一个 结果 想起 代数 基本 定理 也 就是 几次 方程 就 有 几个 根 以及 解方程 的 时候 可以 解出 增根来 这些 知识 都 是 我 在 初二 的 时候 老师 教给 我 的 回想起来 好像 就 在 昨天 我 初中 的 老师 们 你们 还好 吗 2021 年 祝 各位 老师 身体健康 万事如意 大家 如果 喜欢 我 的 视频 可以 在 YouTube 账号 李永乐 老师 里 订阅 我 点击 小 铃铛 可以 第一 时间 获得 更新 信息