Μαθηματικά - Πολλαπλασιασμός - Διαίρεση - Δ' - Ε' Δημοτικού Επ. 55
Γεια σας! Και καλώς ήρθατε!
Σήμερα θα κάνουμε μαζί ένα μάθημα μαθηματικών,
για τις μεγαλύτερες τάξεις αυτή την φορά.
Και συγκεκριμένα για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση.
Ξεκινάμε με τον πολλαπλασιασμό.
Τεράστια πολυσύλλαβη λέξη. Ναι! Ξέρω τι σκέφτεσαι!
Θα ξεκινήσουμε με μεγαλούτσικα νουμεράκια
Για να ρίξω μία κλεφτή ματιά!
3548 x 4
Όταν γράφω οριζόντια προτιμώ το σύμβολο της κουκκίδας, της τελίτσας,
ενώ όταν γράφω κάθετα βάζω απαραιτήτως το σύμβολο "x".
Πάμε να τα γράψουμε κάθετα.
Το 4 είναι μονάδα, έχει μόνο μονάδες, οπότε θα έρθω κάτω από το 8,
τις μονάδες δηλαδή του 3548 και θα το τοποθετήσω.
Τοποθετούμε σύμφωνα με την αξία όλα τα νούμερα που έχουμε να διαχειριστούμε.
Και ξεκινάμε.
Ο πολλαπλασιασμός, όπως έχεις ήδη μάθει,
είναι μία σύντομη επαναλαμβανόμενη πρόσθεση.
Υπάρχει η προπαίδεια που μας βοηθάει στα μονοψήφια.
Και θα μας βοηθήσει και εδώ.
Πάμε. Έτοιμοι;
4 x 8, Τέσσερα οχτάρια με ανεβάζουν στο 32.
Γράφω το 2 που είναι μονάδα και κρατώ το 3.
4 x 4 = 16
16 + 3 = 19
Γράφω το 9, γράφω πάντα και μόνο μονάδες, και κρατώ το 1.
19 είπαμε πριν.
4 x 5 = 20
20 + 1 = 21
Γράφω το 1 και κρατώ το 2 αυτή την φορά.
Ωραία τοποθετημένα τα κρατούμενά μου,
για να μην μπουρδουκλώνομαι.
Και 4 x 3 = 12
12 + 2 = 14
Προσοχή, γράφω το 4 και κρατάω το 1.
Ήρθε η ώρα να χωρίσω ανά τρία τα ψηφία μου,
για να μπορέσω να διαβάσω τον αριθμό μου.
1, 2, 3, τσουπ! 14.192
Και φυσικά, όπως σε όλες τις πράξεις,
έτσι και στον πολλαπλασιασμό έχουν όλα όνομα.
Ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται ονομάζεται πολλαπλασιαστέος.
Το 4 που προκαλεί τον πολλαπλασιασμό είναι ο πολλαπλασιαστής.
Και το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού 14.192, ονομάζεται γινόμενο.
Έχουμε έναν πολλαπλασιασμό με μονοψήφιο πολλαπλασιαστή,
και τα πράγματα λιγάκι αρχίζουν να ζορίζουν,
όταν ο πολλαπλασιαστής γίνει διψήφιος.
Πάμε να σβήσουμε και θα λύσουμε κάθε απορία παρέα.
Ας υποθέσουμε τώρα ότι έχουμε τον πολλαπλασιασμό...
Διψήφιος πολλαπλασιαστής.
Πάμε να τα γράψουμε κάθετα.
Χιλιάδα, εκατοντάδα,
δεκάδα, μονάδα.
Δεκάδα, μονάδα.
Όλα όμορφα και νοικοκυρεμένα.
Και ξεκινάμε πάντα με πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμό απ' τις μονάδες.
5 x 8 = 40 Ο και 4 τα κρατούμενά μας.
5 x 6 = 30
30 + 4 = 34
Γράφω τις μονάδες, 4, κρατώ τις δεκάδες, 3.
5 x 9 = 45 45 + 3 = 48
8 και ένα τεσσαράκι ακόμα κρατούμενο.
5 x 4 = 20
20 + 4 = 24
Το γράφω ολόκληρο το 24 γιατί έχουν τελειώσει τα ψηφία του πολλαπλασιαστή.
Συνεχίζω λοιπόν με το 3.
Τι είπαμε πριν ότι είναι το 3;
Ανήκει στις δεκάδες. Έχει θέση δεκάδας.
Άρα ό,τι έχω να γράψω, θα έρθω και θα το γράψω εδώ,
κάτω από τις δεκάδες μου.
Δεν έχω το δικαίωμα να πάω στις μονάδες,
γιατί το 3 είναι πιο δυνατό νούμερο.
Είναι δεκάδα. Δεν έχει θέση στις μονάδες.
Πάμε λοιπόν απ' τις δεκάδες.
3 x 8 = 24
Θα γράψω το 4 και θα κρατήσω το 2.
Αν θέλω και με διευκολύνει, μπορώ να βάλω εδώ 0,
για να χωρίσω τη θέση και να φύγει απ' το μυαλό μου.
3 x 6 = 18
18 + 2 = 20
0 και άλλα 2 τα κρατούμενα.
3 x 9 = 27
27 + 2 = 29
9 και 2. Πολύ 2 έπεσε!
Και 3 x 4 = 12.
12 + 2 = 14
4 και 1.
Γραμμή πράξης.
Και πρόσθεση.
Γιατί; Γιατί έχω δύο μερικά γινόμενα.
Έτσι ονομάζονται αυτά.
Γιατί; Γιατί έχω διψήφιο πολλαπλασιαστή.
Οπότε προκύπτουν δύο σειρές από γινόμενα.
Τα οποία αθροίζω για να φτιάξω το τελικό γινόμενο.
Μηδενικά στις μονάδες. 4 + 4 = 8
8 + 0 = 8
4 + 9 = 13
Γράφω το 3 και το 1 κρατούμενο.
4 + 1 = 5
5 + 2 = 7
Και το 1 μοναχούλι του!
173 χιλιάδες, χωρίζω τα ψηφία, 880.
Τι πρέπει να προσέξω και να έχω στο νου μου;
Όταν πολλαπλασιάζω με μονάδες, γράφω κάτω απ' τις μονάδες.
Όταν ο πολλαπλασιαστής μου έχει δεκάδα, θα γράψω κάτω απ' τις δεκάδες.
Και αν έχει και εκατοντάδα, θα πρέπει να ξεκινήσω να γράφω κάτω από τις εκατοντάδες.
Το καταλάβαμε;
Νομίζω πως άκουσα πολλά ναι.
Οπότε πάμε στη διαίρεση.
Διαίρεση λοιπόν. Τι να σημαίνει αυτή;
Όταν διαιρώ κόβω σε κομμάτια, κόβω σε τμήματα,
προκαλώ τμηματοποίηση του αριθμού.
Για παράδειγμα.
Όταν έχω να διαιρέσω το 5.695 δια 5.
Παίρνω τον πρώτο μου αριθμό και τον κόβω σε 5 ίσια κομμάτια, τεμάχια.
Πώς διαιρώ;
Όταν έχω πολυψήφιους αριθμούς, καλή ώρα,
πρέπει να κάνω κάθετα τη διαίρεσή μου.
Τραβώ λοιπόν μία γραμμή από πάνω μέχρι κάτω.
Τοποθετώ τον πρώτο αριθμό στα αριστερά της γραμμής.
Και δεξιά σε ένα παραθυράκι, τοποθετώ τον αριθμό που προκαλεί τη διαίρεση.
Το 5.695 ονομάζεται διαιρετέος.
Γιατί διαιρείται, κόβεται.
Και το 5 μας διαιρέτης.
Το κεφαλαίο "Δ" είναι για τον διαιρετέο.
Το μικρό "δ" για τον διαιρέτη.
Ό,τι βρω θα το ονομάσω πηλίκο.
Πάμε!
Ξεκινάμε με ένα υπέροχο ποιηματάκι.
Μονοψήφιος είναι ο διαιρέτης, έχει ένα ψηφίο,
ένα ψηφίο θα έρθω και θα τονίσω στο αριστερό κομμάτι του διαιρετέου,
για να ασχοληθώ μόνο με αυτό και να ξεχάσω όλα τα υπόλοιπα.
Έρχομαι λοιπόν και ρωτώ τον εαυτό μου,
πόσες φορές μπαίνει το 5 μέσα στο 5;
Έχετε σηκωθεί όλοι πάνω στους καναπέδες σας και φωνάζετε "Ε! Κυρία! 1 φορά μόνο!"
Και έχετε δίκιο!
1 x 5 = 5
Γράφω το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού εδώ.
Και τον αφαιρώ από τον αριθμό που έχω τονίσει.
Άρα, η διαίρεση περιλαμβάνει και πολλαπλασιασμό και αφαίρεση.
Γι' αυτό είναι, λένε, η πιο ζόρικη πράξη.
5 - 5 = 0
Ήρθε η ώρα να προχωρήσω στο επόμενο ψηφίο.
Τονίζω και κατεβάζω το επόμενο ψηφίο.
Και κάνω την ίδια ερώτηση στον εαυτό μου:
Πόσες φορές μπαίνει το 5 μέσα στο 6;
Και άλλη μία φορά ακούω: "Μία φορά! Μία φορά".
Ναι, ναι, ναι. Μία φορά.
1 x 5 = 5
Κάνω την αφαίρεση. 6 - 5 = 1
Και προχωρώ στον τονισμό του επόμενου ψηφίου.
Το οποίο και θα κατεβάσω δίπλα στο υπόλοιπο που μου άφησε η αφαίρεση.
Έχω 5 και 19.
Πόσες φορές μπαίνει το 5 στο 19;
Τώρα ήρθε η ώρα να σκεφτώ την προπαίδεια του 5.
1 x 5 = 5, 2 x 5 = 10
3 x 5 = 15 αρχίζω να πλησιάζω.
4 x 5 = 20. Το ξεπέρασα.
Δεν μπορώ να το πάρω 4 φορές.
Γι' αυτό και θα το πάρω 3.
3 x 5 = 15 είπαμε.
Και κάνοντας την αφαίρεση 19 - 15 = 4.
9 - 5 = 4 1 - 1 = 0
Είτε το γράψω είτε δεν το γράψω είναι ακριβώς το ίδιο.
Τονίζω και κατεβάζω και το τελευταίο ψηφίο της διαίρεσής μου.
Και έχω 5 και 45.
Και κάπου εκεί ξυπνάει η προπαίδεια στο νου μου,
5 x 9 = 45
Άρα 9 πεντάρια με ανεβάζουν στο 45.
Και όταν κάνω την αφαίρεση έχω υπόλοιπο 0.
Μηδενικό το υπόλοιπο λοιπόν της διαίρεσής μου.
Έχουν τελειώσει όλα μου τα ψηφία.
Έχω 1.139 πηλίκο.
Και μία τέλεια διαίρεση.
Που γιατί λέγεται έτσι;
Γιατί δεν αφήνει καθόλου υπόλοιπο.
Άρα μερικές διαιρέσεις μήπως αφήνουν;
Πάμε να δούμε ένα τέτοιο παράδειγμα.
Επόμενη διαίρεση με την οποία θα ασχοληθούμε:
Το σύμβολο της διαίρεσης μπορείς να το δεις είτε έτσι ":"
είτε με μία γραμμούλα στη μέση, είναι ακριβώς το ίδιο.
Έρχομαι να τοποθετήσω διαιρετέο και διαιρέτη στις θέσεις τους.
Διαιρέτης το 3.
Διαιρετέος 4.583.
Ένα ψηφίο, μονοψήφιος και πάλι είναι ο διαιρέτης μου.
Ένα θα τονίσω στο αριστερό κομμάτι του διαιρετέου.
1 x 3 = 3
4 - 3 = 1 υπόλοιπο.
Ολοκλήρωσα με το πρώτο ψηφίο. Τονίζω το δεύτερο.
Κατεβάζω το 5, αφού πρώτα το τονίσω.
5 x 3 = 15
Το κάναμε και πριν νομίζω.
15 - 15 = 0
Τονίζω και κατεβάζω το επόμενο ψηφίο.
Πόσες φορές μπαίνει το 3 στο 8;
2 x 3 = 6, 3 x 3 = 9
Άρα 2 φορές μονάχα.
2 x 3 = 6
Και 8 - 6 = 2
Τελευταίο ψηφίο προς κατέβασμα, το 3.
3 x 6 = 18, 3 x 7 = 21,
Με 3 x 9 ανεβαίνω πιο πάνω, άρα...
...άρα θα κρατήσουμε το 3 x 7 = 21,
γιατί με το 3 x 9 = 27, ξέφυγα.
Κάνω την αφαίρεση. 3 - 1 = 2
2 - 2 = 0.
Και διαπιστώνω ότι αυτή η διαίρεσή μου δεν έχει μηδενικό υπόλοιπο.
Όταν η διαίρεση αφήνει υπόλοιπο, ονομάζεται ατελής.
Τέλεια με 0 υπόλοιπο, ατελής με έναν αριθμό αφημένο στο αριστερό κομμάτι ως υπόλοιπο.
Τελειώνουμε με μία διαίρεση λιγάκι μεγαλύτερη. Πάμε!
"Τι είναι όλο αυτό, κυρία;", θα μου πεις και θα έχεις και δίκιο!
Μην πανικοβάλλεσαι. Πάμε παρέα.
207 χιλιάδες 424...
...δια 56.
Και τώρα μόλις αποκτήσαμε διψήφιο διαιρέτη.
Ξεκινάμε λοιπόν λέγοντας:
Δύο ψηφία έχει αυτή την φορά ο διαιρέτης,
δύο θα έρθω και θα τονίσω αριστερά του διαιρετέου.
Το 56 στο 20 όμως δεν μπαίνει.
Για να τονίσω και το τρίτο ψηφίο και να κάνω τη δουλειά μου,
πρέπει να πληρώσω πρόστιμο.
Έρχεται η αστυνομία των πράξεων και μου λέει:
"Κυρία Ράνια, κάνετε παρανομία, έχετε 2 ψηφία και τονίζετε 3".
"Έχετε δίκιο, κύριε αστυνόμε", του λέω εγώ.
Ορίστε το πρόστιμό μου.
Ένα ολοστρόγγυλο 0 εις το πηλίκο.
Και θα μου πεις τώρα, "Κυρία, το 0 στην αρχή του αριθμού δεν έχει αξία".
Έχεις πολύ δίκιο. Μπορώ και να το παραλείψω.
Αλλά μόνο σε αυτή την περίπτωση.
Θα το αφήσω και θα δούμε, αν θα το βγάλουμε ή όχι, στο τέλος.
Πλήρωσα πρόστιμο, κατέβασα το επόμενο ψηφίο.
Το 56 στο 207, για να σκεφτώ πιο εύκολα,
θα τα κάνω λίγο στρογγυλούτσικα τα νούμερά μου.
Το 207 θα το σκεφτώ ως 200.
Και το 56, μπορώ να το πω 50, μπορώ να το πω και 60.
Είναι πιο κοντά στο 60 όμως.
Οπότε μπορώ να το σκεφτώ ως 60.
Και 50 να το σκεφτώ δεν έγινε κάτι.
Δοκιμάζουμε. Κάνουμε λάθος. Διορθώνουμε. Μαθαίνουμε.
Δεν φοβόμαστε το λάθος.
Το 60 πόσες φορές μπαίνει στο 200; Σκέφτομαι την προπαίδεια του 6.
1 x 6 = 6, 2 x 6 = 12
3 x 6 = 18, πλησιάζω.
4 x 6 = 24, ανέβηκα.
Πάμε λοιπόν στις 3 φορές.
Δεν θα πάρω το 60 αυτή την φορά αλλά τον κανονικό μου αριθμό το 56.
3 x 6 = 18
8 και 1, 3 x 5 = 15 και άλλο 1, 16.
Για να κάνω την αφαίρεση. Είμαι καλά;
17 - 8 = 9
10 - 7 = 3 έβαλα το δανεικό.
2 - 2 = 0
Τονίζω και κατεβάζω το επόμενο ψηφίο.
394...
...αν το κάνω στρογγυλό,
θα το σκεφτώ ως... Ναι, ναι...
Προσπαθήστε πιο δυνατά! 400.
Το 60 στο 400 πόσες φορές χωράει ή το 6 στο 40;
5 x 6 = 30
6 x 6 = 36
6 x 7 = 42
Άρα κατεβαίνω στο 6.
Πάμε να δούμε. Είμαστε καλά;
6 x 6 = 36
Γράφω το 6 και κρατώ το 3.
5 x 6 = 30
30 + 3 = 33
Για να κάνουμε την αφαίρεση, να δούμε είμαστε καλά;
14 - 6 = 8
9 - 4 = 5
Ουπς! 58!
Άρα το 56 μπορεί να μπει άλλη μία φορά στο 58!
Έχουμε κάνει λάθος; Ναι! Γιατί δοκιμάζουμε. Όλα καλά!
Σβήνω το 6, το ανεβάζω. Και προχωράμε.
Γεια σου 6, γεια σου 336.
Πάμε στο 7.
6 x 7 = 42
Γράφω τα 2 και κρατάω τα 4.
5 x 7 = 35
35 + 4 = 39
Και τώρα πλησιάσαμε πολύ.
4 - 2 = 2
Μηδενικά τα υπόλοιπα.
Τονίζω και κατεβάζω το επόμενο ψηφίο.
Το 56 όμως στο 22 δεν μπαίνει.
Και ξαναέρχεται "Ίου, ίου, ίου..." η αστυνομία των πράξεων.
Και μου λέει: "Θέλεις να κατεβάσεις κι άλλο ψηφίο;"
"Όπως έκανες στην αρχή;"
"Πλήρωσέ με, σε παρακαλώ!"
Ευχαρίστως! Έχετε δίκιο.
Ορίστε! Το πρόστιμό μου.
Και τώρα συνεχίζω κανονικά τη διαδρομή μου.
224
Πόσες φορές θα χωράει το 56 στο 224;
Ψάχνοντας είδαμε ότι οι 3 φορές με ανεβάζουν στο 168,
οπότε θα πάω λίγο παραπάνω.
Για να δω. Το 4 μου κάνει;
4 x 6 = 24
4 και 2 τα κρατούμενα.
5 x 4 ή 4 x 5 = 20
20 + 2 = 22
Μηδενικό υπόλοιπο!
Έχουμε μία τέλεια διαίρεση.
Στην οποία αναγκαστήκαμε να πληρώσουμε πρόστιμο 2 φορές.
Μία στην αρχή και μία στη μέση.
Αλλά το 0 εδώ δεν έχει αξία,
οπότε μπορώ και να το παραλείψω.
Πηλίκο λοιπόν: 3.704.
Και μόλις ολοκληρώσαμε την εισαγωγή στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση,
για την Δ' και Ε' τάξη.
Καλή συνέχεια. Να είστε όλοι καλά! Γεια σας!
