El Producto de Euler y la Funcion ZETA de Riemann
el gran Euler demostró que la suma
infinita de los inversos de los
cuadrados, lo que se conoce como el
problema de Basilea, valía exactamente
pi cuadrado partido por seis.
Otras sumas infinitas como la de los inversos de los
naturales, lo que se conoce como la serie
armónica, aunque crecen muy lentamente
divergen. Esto es, su suma es infinito.
¿Qué tienen en común la infinidad de los
números primos, ya demostrada por
Euclides en el 300 antes de Cristo aproximadamente,
con la serie armónica y
con el problema de Basilea?
La respuesta es: la función Zeta de Riemann.
En este vídeo vamos a probar el siguiente
resultado que Euler demostró en 1737 y
que se considera el origen de la teoría
analítica de números. Fijemos un número
real s mayor o igual que 1, vamos a ver
que el producto moviéndonos en todos
los números primos p del inverso de
1 - p elevado a -s es igual a la suma
de n igual a 1 hasta infinito de los
inversos de n elevado a s.
Esto es, un producto igual a una suma
y vamos a utilizar este resultado para
demostrar que hay infinitos números primos
¡¡Empezamos!!
Si consideramos esta serie numérica para
distintos valores de s vemos que para
s=2 obtenemos el problema de
Basilea y para s=1 lo que
tenemos es la serie armónica
Euler demostró que esta serie que tiene tantos
términos como números naturales es igual
a un producto que tiene tantos factores
como números primos. Este resultado es
verdaderamente sorprendente porque la
serie numérica de esta igualdad es un
objeto propio del análisis matemático
que estudia sucesiones, series, derivadas,
integrales. Pero el producto de esta
igualdad es un objeto propio de la
aritmética porque se mueve en los
números primos. Riemann tomó este resultado
de Euler como punto de partida para
escribir un pequeño artículo de ocho
páginas. Este artículo lo utilizo como
ponencia para su nombramiento como
profesor de la Universidad de Berlín.
En ese artículo estudiaba la función Pi (x)
que cuenta el número de primos menores
que un determinado valor x.
Riemann consideraba la serie numérica de
los inversos de en elevado a s pero para
s un número complejo y la extendía de
forma analítica obteniendo una función
de los números complejos en los números
complejos.
Esta función se conoce con el nombre de
función Zeta de Riemann, pero en este vídeo
vamos a considerar solamente valores
reales de s.
Para demostrar el teorema del producto
de Euler para la función Zeta
utilizaremos tan sólo dos resultados que
ya conocemos.
En primer lugar necesitamos
el Teorema Fundamental de la Aritmética.
Este resultado afirma que todo número natural
N se escribe de forma única con un
producto de números primos.
Por ejemplo, 600 se puede escribir de
forma única como el producto 2 por 2 por
2 por 3 por 5 por 5, esto es, 2 al cubo
por 3 por 5 al cuadrado. Aquí os dejo el
enlace al vídeo en el que probamos la
existencia de esta descomposición.
El segundo resultado que vamos a utilizar
es la fórmula para el límite de una
serie geométrica. Una serie geométrica es
aquella que comienza con un término 'a'
y cada nuevo término se obtiene
multiplicando el anterior por un número
'r' llamado razón. Esta serie es
convergente si el valor absoluto de 'r' es
menor que 1 y la suma infinita, esto es,
el límite es 'a' dividido entre '1 - r'.
Por ejemplo, si tomamos como primer
término a=1 y como razón
'r' igual a 1 partido por p elevado a s
con p un número primo y s mayor o igual
que 1. Dado que cualquier número primo es
mayor o igual que 2, se tiene que la
razón, en valor absoluto, es menor que 1 y
por tanto la suma uno más 1 partido por
p elevado a s más 1 partido por elevado
a 2 s más 1 partido por p elevado a 3 s
etc es una serie geométrica cuyo
límite es justamente uno dividido entre
1 menos 1 partido por p elevado a s, esto es,
1 dividido entre 1 - p elevado a -s
los factores de la multiplicación infinita de Euler.
Vamos pues con la demostración.
Hagámos lo siguiente:
escribimos cada factor del producto de
Euler como una serie geométrica.
El factor correspondiente al 2 con su
serie geométrica que acabamos de ver.
El factor correspondiente al 3 con su
respectiva sería. El del 5, el del 7 y así
con todos los números primos.
El miembro izquierdo del teorema
de Euler se obtiene simplemente
multiplicando todos los factores de la
columna de la izquierda y esto equivale
a multiplicar todas las series
geométricas en los diferentes
números primos.
Sin embargo, si aplicamos la propiedad
distributiva de la multiplicación
respecto de la suma, en la multiplicación
de la derecha tendremos que hacer
muchíiiiiisimos más productos que en el
miembro izquierdo de hecho tendremos que
multiplicar todos los caminos que
podamos recorrer tomando exactamente un
factor de cada serie geométrica para
cada número primo p y terminar
multiplicando infinitos 1's que no
afectan al resultado. ¿¿¡¡De verdad todos
estos productos van a dar como resultado
justamente la función Zeta evaluada en s !!??
Empecemos con el 1. ¿Aparece en la
multiplicación? En efecto, es simplemente
el resultado de multiplicar todos los
unos.
Sigamos con uno dividido entre dos elevado a s.
En este caso tomamos el segundo sumando
de la primera serie geométrica y lo
multiplicamos con todos los unos de las
demás series geométricas.
¿Y para conseguir uno partido por tres
elevado a 's'? Pues tomamos el uno de la
primera serie, multiplicado por el segundo sumando de la
segunda serie, multiplicado el resto de unos.
El siguiente término 1 partido por 4
elevado a 's' ya es más interesante pues
tomamos el tercer su mando de la serie
geométrica correspondiente al primo 2 y
lo multiplicamos con los unos de las
demás series. Esto es así porque por las
propiedades de las potencias, 2 elevado a
'2s' ese es justamente 4 elevado a 's'.
Para el sumando 1 partido por 5 elevado
's' otra vez la misma historia, el 1 de la
serie del 2, el 1 de la serie del 3, el
segundo sumando de la serie de 5 y el
resto de unos.
Pero al sumando 1 partido por 6 elevado
a 's' es muy instructivo para entender el
teorema ya que tomamos el sumando 1
partido por 2 elevado a 's' en la primera
serie, el sumando 1 partido por 3 elevado
a 's' de la segunda serie y los demás unos,
y de nuevo por las propiedades de las
potencias
el resultado es 1 partido por 6 elevado a 's'.
Para obtener un sumando arbitrario, por
ejemplo 1 partido por 600 elevado a 's',
primero descomponemos 600 en factores
primos. Recordad que esto se puede hacer
siempre y de forma única gracias al
teorema fundamental de la aritmética.
En este caso 600 es igual a 2 al cubo por 3
por 5 al cuadrado.
Por tanto, 1 partido por 600 elevado a 's'
es igual a 1 partido por 2 elevado al
cubo por 3 por 5 al cuadrado entre
paréntesis, elevado a 's'.
Por las propiedades de las potencias
esto es igual a 1 partido por 2 elevado
a '3s' por 3 elevado a 's' por 5 elevado a '2s'.
Por tanto, tomaremos el tercer sumando de
la serie del dos, el primer sumando de la
serie del tres, el segundo sumando de la
serie del 5 y los demás unos. De este
modo, cualquier sumando de la serie dada
por la función Zeta se puede obtener y
además de forma única, por lo que
tendremos que el producto infinito de
Euler es exactamente igual a la
función Zeta
¡¡Maravilloso!!
¿Cómo podemos demostrar la infinitud de
los números primos gracias a este
teorema? Vamos a ponerle su
correspondiente letrero: TEOREMA "Existen
infinitos números primos"
¡Vamos a demostrarlo por reducción al
absurdo! Supongamos que sólo existe una
cantidad finita de números primos.
Tomemos s=1 en el teorema
anterior. En el miembro de la derecha
tenemos un producto finito, dado que
estamos suponiendo que hay una cantidad
finita de números primos. De este modo, en
el miembro de la derecha tendremos un
número.
Pero si evaluamos la función zeta en s
igual a 1 lo que obtenemos es la serie
armónica que como dijimos al inicio del
vídeo es divergente, esto es, su suma es
infinito. Hemos llegado a una
contradicción: un número igual a infinito,
que parte de suponer que sólo hay una
cantidad finita de números primos con lo
que queda demostrado el teorema: "hay
infinitos números primos".
¡Esperamos que el origen de la teoría
analítica de números que comienza con el
producto de Euler y la función Zeta
de Riemann os haya entusiasmado tanto como
a nosotros ¡¡Hasta luego!!
