Espacios Vectoriales ↗️ Ejemplos
¿Qué tienen en común las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo?
Donde homogéneo significa que los términos independientes son nulos.
Y los vectores libres del espacio euclídeo tridimenisonal, que pueden indentificarse,
como ya sabemos, con puntos de dicho espacio.
O las matrices con coeficientes en un cuerpo K de tres filas y cuatro columnas o de dimensiones
cualesquiera.
O los polinomios con coeficientes en un cuerpo.
La respuesta es que todos ellos son ESPACIOS VECTORIALES.
Recordemos que un espacio vectorial es un conjunto de elementos a los que llamamos vectores,
dotado de una operación, que lo convierte en un GRUPO ABELIANO.
Además también tenemos un conjunto de números a los que llamamos escalares.
Este conjunto tiene dos operaciones que lo convierten en un CUERPO.
Ejemplos de cuerpo, son los números racionales o los números reales o los complejos con
la suma y multiplicación usuales.
Además de estos conjuntos con sus operaciones tenemos una operación que asocia a un número
y un vector otro vector, es decir si tenemos un escalar lambda y un vector v podemos multiplicar
el escalar por el vector y obtener otro vector.
Esta operación la denotamos comúnmente con un punto, pero tenemos que estar atentos,
pues el punto también denota la multiplicación del cuerpo K y estas dos operaciones son evidentemente
distintas.
Esta nueva operación está sujeta a 4 axiomas: En primer lugar se verifica la propiedad distributiva
respecto de la suma de vectores, es decir, si tenemos que multiplicar un número por
la suma de dos vectores, también podemos calcularlo multiplicando el escalar por cada
vector y después sumando y el resultado es el mismo.
También se verifica la propiedad distributiva respecto de la suma de escalares.
Si queremos multiplicar la suma de dos escalares por un vector también podemos calcularlo
operando cada escalar con el vector y sumando los vectores resultantes.
El tercer axioma se conoce como la propiedad pseudoasociativa.
Si tenemos un producto de dos escalares operado con un vector, podemos calcularlo desplazando
el paréntesis y operando primero un escalar por el vector y después el segundo escalar
por el vector resultante.
¿Pero por qué llamarla pseudoasocitiva?
¿esto no es la propiedad asociativa?
Realmente no.
Recordad que todos los puntos no denotan la misma operación.
En la izquierda tenemos un producto de dos escalares con la multiplicación del cuerpo,
cuyo resultado es un escalar.
Y este escalar lo operamos con el vector obteniendo un vector.
En la derecha tenemos primero que hacer la operación de un escalar con un vector cuyo
resultado es un vector, y seguidamente operarlo con el segundo escalar obteniendo de nuevo
un vector.
Lo que dice la propiedad pseudoasociativa es que estas dos formas de operar dan el mismo
vector.
El último axioma se denomina PROPIEDAD MODULAR, y dice que si tenemos que operar 1 con un
vector, donde 1 es el elemento neutro de la multiplicación del cuerpo, el resultado es
el mismo vector.
Fijaos que de nuevo esta operación NO es la multiplicación del cuerpo.
Lo que dice esta propiedad es que el elemento neutro de la multiplicación del cuerpo también
es elemento neutro para la operación de escalares por vectores.
Vamos a ver como se realizan estas operaciones en nuestro primer ejemplo, las soluciones
del sistema de ecuaciones lineales homogéneo.
Si tenemos dos soluciones de nuestro sistema, donde eso quiere decir que se satisfacen las
correspondientes ecuaciones para cada una de las ternas.
Nos preguntamos como podemos definir la suma de estas dos soluciones para que siga siendo
una solución del sistema.
Bueno, podemos obtener una nueva terna, sumando componente a componente, lo que nos preguntamos
es si este nuevo elemento satisface las ecuaciones del sistema.
Vamos a comprobarlo.
En primer lugar, quitamos paréntesis.
Ahora podemos agrupar los términos con subíndice 0 y subíndice 1 en dos paréntesis diferentes.
Y tenemos que el primer paréntesis es 0 por ser x_0, y_0 z_0 solución del sistema.
Lo mismo ocurre con el segundo paréntesis dado que x_1, y_1, z_1 era también solución
del sistema.
En definitiva tenemos 0 + 0 igual a 0.
Esto mismo sucede para la segunda y tercera ecuación probando que la suma de dos soluciones
definida es en efecto una nueva solución.
Si tenemos un vector solución del sistema y un número real, ¿cómo podemos definir
el producto del número por el vector solución?.
Podemos multiplicar el número real por cada una de las componentes.
La pregunta es ¿es esto una solución del sistema?
Para comprobarlo, quitamos paréntesis y sacamos factor común el número real lambda.
Tenemos por tanto un producto de dos números, en el que uno de ellos es cero.
Por tanto, el resultado es cero y se satisface la primer ecuación.
El mismo argumento sirve para las demás ecuaciones y hemos definido una nueva solución del sistema.
Es un ejercicio tedioso pero recomendable para familiarizarse con la definición de
espacio vectorial comprobar que, en efecto, estas operaciones verificna los 4 axiomas
de espacio vectorial.
De hecho, esta forma de sumar soluciones y multiplicar números por soluciones es precisamente
la forma en la que sumamos vectores libres y multiplicamos números por vectores.
Esto lo vimos con detalle en el vídeo que os dejo en el enlace para el caso de vectores
libres del plano.
Nuestro tercer ejemplo, las matrices con coeficientes en un cuerpo son también una generalización
de los vectores libres del espacio euclideo.
En efecto, el conjunto de matrices de 1 fila y cuatro columnas son precisamente los vectores
de R 4, el espacio euclídeo de dimensión 4.
En el caso de las matrices con tres filas y cuatro columnas podemos verlas como tres
vectores de R 4 apilados.
De este modo si tenemos dos matrices de 3 filas y 4 columnas podemos sumarlas sumando
los elementos de cada columna de la primera matriz con los elementos de cada columna de
la segunda, obteniendo de nuevo una matriz de 3 filas y 4 columnas.
El producto de un número del cuerpo por una matriz también es una generalización del
que ya hemos visto.
En este caso multiplicamos el número por cada uno de los coeficientes de la matriz.
De nuevo es recomendable probar que se verifican los 4 axiomas de espacio vectorial para esta
suma de matrices y producto de números por matrices.
Finalmente, ¿Podemos también ver los polinomios como vectores?
En primer lugar reordenamos el polinomio situando de izquierda a derecha los términos en grado
creciente.
Además, los términos que no aparecen los podemos ver como términos con coeficiente
0 (el elemento neutro de la suma del cuerpo).
Esto también se tiene para los términos de grado mayor que el grado del polinomio.
Si nos quedamos tan solo con los coeficientes, vemos que un polinomio es un vector con infinitas
coordenadas que tiene todas sus coordenadas nulas a partir de un punto.
La posición del último coeficiente no nulo determina el grado del polinomio.
Como podréis imaginar la suma de polinomios no es más que sumar estos coeficientes coordenada
a coordenada y el producto de un número real por un polinomio se realiza multiplicando
el número por cada coordenada.
Sin embargo, da igual si se trata de soluciones de un sistema, vectores del espacio, matrices
o polinomios, si las operaciones suma y producto por escalares satisfacen los cuatro axiomas
de espacio vectorial podremos deducir teoremas independientemente de su naturaleza original.
Trabajando directamente con espaacios vectoriales abstractos.
Esta rama de las matemáticas se conoce como ÁLGEBRA LINEAL.
En nustro próximo vídeo comenzaremos a ver consecuencias que se pueden deducir de estos
cuatro axiomas.
Ya sabéis, si os ha gustado el vídeo, like y sub.
Y recordad que podéis descargaros los apuntes en le siguiente enlace.
¡Hasta luego!
