RAZONES TRIGONOMÉTRICAS de 30, 45 y 60 🕐 📐🕑
¡Ángulos, ángulos, ángulos por todas partes! Queremos medir entender estos objetos
tan importantes para un sinfín de disciplinas como: arquitectura, ingeniería,
astronomía o matemáticas. Por cierto hasta en los emojis de whatsapp aparecen
ángulos como podéis ver en este divertidísimo y delirante vídeo de Ter
en nuestro vídeo anterior definimos lo que eran las razones trigonométricas
para ángulos agudos. En el vídeo de hoy vamos a calcular razones trigonométricas
para ciertos ángulos destacados vamos a completar la siguiente tabla. Es decir
vamos a calcular el seno el coseno y la tangente de los ángulos 30 grados 45
grados y 60 grados y os preguntaréis ¿qué tienen estos
ángulos de destacados? Bueno el ángulo más simple es el ángulo recto el de 90 grados
y si lo dividimos por la mitad tenemos dos ángulos de 45 grados,
si lo dividimos entre 3 tendríamos tres ángulos de 30 grados que sumados daría
un ángulo de 60 grados así que estos ángulos son los más
sencillos que nos podemos encontrar y le vamos a dedicar este vídeo, ¡ea!
Consideremos un triángulo equilátero para que los cálculos nos salgan lo más
sencillos posible vamos a suponer que el lado de este triángulo mide dos unidades
como sabéis la suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre 180 grados
y este triángulo como además de equilátero es "equiángulo" es decir sus tres ángulos
son iguales tendríamos que cada uno de estos ángulos
mide 180 grados dividido entre 3 es decir 60 grados. A continuación trazamos
la altura de este triángulo que como cae verticalmente sobre su base lo divide en
dos triángulos rectángulos iguales fijaros que en este triángulo conocemos
sus tres ángulos y dos de sus lados pero por el teorema de pitágoras podemos
fácilmente calcular cuánto mide la altura como la suma de los catetos al
cuadrado es la hipotenusa al cuadrado que en este caso es 2 al cuadrado igual
a 4 despejando esta ecuación vemos fácilmente que es raíz de 3 vamos a
utilizar este triángulo para calcular las razones trigonométricas del ángulo
de 60 grados y el seno de 60 grados sería el cateto opuesto que es raíz de 3
dividido entre la hipotenusa que es 2 por tanto tenemos seno de 60 igual a
raíz de tres partido por 2. El coseno de 60 grados
el cateto opuesto en este caso es 1 dividido entre la hipotenusa que es 2 por
tanto tendríamos coseno de 60 grados igual a un medio y la tangente de 60
sería el cateto opuesto raíz de 3 dividido entre el cateto contiguo 1
raíz de 3 divido entre 1 que es raíz de 3. Pues este mismo triángulo bueno su
simétrico nos va a servir para calcular las razones trigonométricas de 30 grados
si lo tumbamos vemos que el seno de 30 es el cateto opuesto, esto es 1, dividido
entre la hipotenusa 2 por tanto nos sale seno de 30 igual a 1/2. El coseno de 30 es el cateto contiguo raíz de 3 dividido entre la hipotenusa que es 2 por
tanto tenemos coseno de 30 grados igual a raíz de 3 partido por 2
y la tangente de 30 grados es el cateto opuesto que es 1 dividido entre el
cateto contiguo que es raíz de 3 y obtenemos tangente de 30 grados igual a
1 partido por raíz de 3. Esta fracción vamos a arreglar la un poco porque no
nos gusta tener una raíz en el denominador. Así que multiplicamos
numerador y denominador por raíz de 3 y tendríamos que raíz de 3 x raíz de 3
es raíz de 3 al cuadrado y el cuadrado se simplifica con la raíz obteniendo
raíz de 3 dividido entre 3.
Para calcular las razones trigonométricas de 45 grados vamos a considerar otro triángulo también con
cierta simetría en este caso tomamos un triángulo rectángulo cuyos dos catetos
son iguales y para que los cálculos sean sencillos suponemos que miden una unidad
fijaros que los dos ángulos agudos de este triángulo son iguales y como la
suma de los tres ángulos de un triángulo siempre 180 grados
tendríamos que dos veces alfa más 90 grados es igual a 180 despejando de esta
ecuación tendríamos que alfa mide exactamente 45 grados.
De este triángulo conocemos ya sus tres ángulos y dos de sus lados el tercer lado,
la hipotenusa podemos calcularla utilizando el tema de pitágoras de nuevo.
Tendríamos que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado
esto es hipotenusa al cuadrado igual a 2 y por tanto la hipotenusa mide raíz de 2
ya podemos calcular las razones trigonométricas de 45 grados el seno de
45 grados sería cateto opuesto 1 dividido entre hipotenusa raíz de 2 tendríamos
por tanto que seno de 45 grados es 1 partido por raíz de 2
de nuevo esta fracción no nos gusta porque tiene una raíz en el denominador
pero lo arreglamos multiplicando número 2 y denominador por raíz de 2
obteniendo raíz de dos partidos por dos el coseno de 45 grados sería cateto contiguo 1
partido porque tenés a raíz de 2 y sale igual que el seno de 45 grados que esto
es raíz de 2 partido por 2 y la tangente de 45 grados sería cateto
opuesto 1 dividido entre cateto contiguo 1 por tanto 1 divido entre uno es igual a 1.
Pues ya hemos completado nuestra primera tabla de razones trigonométricas
en el próximo vídeo veremos razones trigonométricas para ángulos cualesquiera.
¡ Hasta luego! 👋🏻👋🏻👋🏻
