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李永樂老師, 街头游戏“摸珠子”有多坑?你大爷还是你大爷!

街头 游戏 “摸 珠子 ”有 多 坑 ?你 大爷 还是 你 大爷!

各位 同事 大家 好 我 是 李永樂 的 老師

最近 有個 小朋友 跟 我 說

他 在 街頭 看到 了 一個 摸 珠子 的 遊戲

一個 袋子 裏 裝著紅 綠 藍 各 8 個 珠子

玩家 把手 伸進 口袋

從 這 24 個 珠子 裏邊 摸出 12 個

按照 不同 顏色 珠子 的 個數

就 能夠 獲得 相應 的 獎金 了

比如說 摸出 的 12 個 珠子 裏邊

顏色 最多 的 珠子 有 8 個 顏色 次 多 的 有 4 個

還有 一種 顏色 沒有

那 就 叫 840 就 會 獲得 100 元

如果 三種 顏色 的 珠子 個數 是 831

就 能 獲得 10 元

如果 是 444 就 能 獲得 1 元 等等

但是 還有 一種 情況

如果 三種 顏色 的 珠子 個數 是 543

那 麽 玩家 還得給 老板 10 元

這個 遊戲 看起來 贏面 很大

但是 這個 小朋友 玩 了 好 幾次

還把 自己 的 親戚朋友 都 叫來 玩

結果 一直 輸

他 想問 我 這是 為 什 麽 呢

今天 我們 就 來 研究 一下 這個 問題

很 顯然 這是 一個 概率 的 遊戲

那 我們 如何 去 計算 概率 呢

首先 我們 要 知道 我們 從 24 個 珠子 裏面

在 24 個 珠子 裏面 我們 要 取出 12 個 珠子

那 麽 一共 有 多少 種 方法 數呢

這個 時候 我們 要 用到 組合 數

所謂 組合 數 就是 在 n 中取 m 個

有 多少 種 方法 數

數學 告訴 我們 組合 數是 C(n,m)

它 等於 n!/(m!(n-m)!)

這是 什 麽 意思 呢

意思 就是說 你 從 n 個 元素 中 取出 m 個 元素

它 的 方法 的 個數 就是 這 麽 多

這裏 邊的 階乘 就是 1×2×3×4×... 再 一直 乘到 n

m 的 階乘 就是 1×2×3×4×... 一直 乘到 m

舉 個例 子 來講

在 24 個 珠子 裏面 我們 要 取出 12 個 珠子

那 麽 一共 有 多少 種 方法 呢

它 就 等於 24! 除以 12!

再 乘以 24-12 還是 12 的 階乘

那 上面 就是 1×2×... 一直 乘到 24

那 下面 就是 1×2×... 一直 乘到 12

然後 再 乘以 1×2×... 一直 乘到 12

最後 你 除 完 了 之後 這個 數得 幾 呢

它 等於 2704156

也 就是 2704156 種 情況 是 吧

好 這個 情況 數 非常 多

那 咱們 再 來看 一看 每 一種 中獎 的 可能性

它 有 多少 種 情況

每種 情況 下 的 方法 數 每種 情況 下

我們 要 把 這種 情況 分成 三類

第一類 就是 三 個數 是 不同 的 什 麽 意思 呢

就是 你 摸 出 三種 顏色 的 珠子 的 個數 是 不 一樣 的

比如說 840 這 就是 一種 情況

意思 是 說 顏色 最多 的 珠子 你 摸出來 8 個

顏色 次 多 的 你 摸出來 4 個

還有 一種 顏色 你 沒有 摸出來 叫 840

這種 情況 下 你 的 可能性 個數 有 多少 呢

首先 你 在 最 多 的 這個 顏色

比如說 紅色 你 紅色 一共 有 8 個 珠子

你 在 裏邊 取 8 個 對 不 對

有 這 麽 多種 方法 數

然後 就是 你 在 綠色 有 4 個

綠色 的 8 個 珠子 裏 你 取 4 個

然後 藍色 1 個 都 沒有

所以 在 8 個 藍色 的 珠子 裏 你 不取

把 它們 乘起來

但是 你 不要 忘 了

840 它 的 順序 並不一定 是 紅綠藍

它 也 可能 是 紅藍 綠 也 可能 是 綠 紅藍

也 可能 是 綠藍紅 也 可能 是 藍 紅綠

也 可能 是 藍綠 紅

所以 按照 顏色 排序 又 有 6 種 可能 對 不 對

所以 我 還要 再 乘以 6

因此 三 個數 不 一樣 的 時候

我們 要 註 意在 前面 有 一個 乘數 這個 乘數 是 6

它 表示 這個 顏色 的 一個 排序

那 麽 840 這種 情況 對應 了 多少 種 可能 呢

它 對應 了 420 種 可能 是 吧

相比 剛才 270 萬種 的 這種 情況 數 比較 少

再 比如說 我們 再舉 個例 子

比如 543 它 又 對應 了 多少 種 可能 呢

首先 3 個數 不 一樣

前面 有個 乘數 6 表示 顏色 排序

然後 在 最 多 顏色 裏邊 8 個裏 取 5 個

次 多 顏色 8 個裏 取 4 個 然後 8 個裏 取 3 個

把 它們 乘 到 一塊 最後 結果 是 1317120

有 1317120 種 情況 對 不 對

好 這是 第一種 就是 3 個數 不 一樣 的

那 麽 也 有 可能 會 出現 兩 個數 是 一樣 的

兩 個數 相同 的 情況

舉 個例 子 比如說 你 摸 出 的 珠子 個數 是 822

822 的 意思 是 最 多 顏色 的 珠子 有 8 個

另外 2 種顏色 各有 2 個

這種 情況 下

首先 我 在 最 多 顏色 的 8 個裏 取 8 個

次 多 顏色 的 8 個裏 取 2 個

還有 一個 8 個裏 邊也取 2 個

但是 你 不要 忘 了

它們 三個 裏邊 3 種顏色 誰 的 珠子 最多 呢

可能 是 紅色 是 8 個 也 可能 綠色 是 8 個

也 可能 藍色 是 8 個

所以 這又 對應 了 3 種 情況

所以 它 前面 應該 乘 一個 3

也 就是 如果 兩 個數 相同 它 的 乘數 應該 是 3

所以 這種 情況 下

它 的 可能性 個數 有 2352 種

類似 的 你還 可以 算 出 其他 的 情況

比如 660 等等

好 那 麽 我們 再 來看 第三種 情況

第三種 情況 是 說 3 個數 都 是 相同 的

3 個數 都 是 相同 的 那 這個 時候 只有 一種 可能

就是 444 每 一種 顏色 的 珠子 各有 4 個

這種 情況 下 它 的 可能性 有 多少 種呢

我們 在 8 個 珠子 裏 取 4 個

8 個 珠子 裏 取 4 個 8 個 珠子 裏 取 4 個

那 麽 這回 你 還有 順序 的 問題 了 嗎

沒有 了

因為 3 個 顏色 都 一樣 每個 顏色 都 是 4 個

所以 它 的 乘數 就 只有 1 了

乘數 就 1 前面 不用 再 乘 了

這個 情況 的 個數 有 343000

這 麽 多種 情況

好 現在 每 一種 中獎 的 可能

它 對應 的 情況 個數 我們 也 算 完 了

那 麽 下面 我們 就要 計算 第三個 問題 了

那 就是 概率 還有 期望 概率 和 期望

咱們 先說 概率

概率 怎 麽 計算 呢

我們 用 字母 P 來 表示

在 這個 摸 珠子 的 遊戲 中

每 一種 中獎 的 概率 應該 是 你 中獎 的 可能 數

你 中獎 它 的 可能 數

然後 再 除以 你 總共 的 可能 數

總 可能 數 你 這 麽 一除 它 就是 中獎 的 概率 的

舉 個例 子 來講

你 如果 按照 840 這種 方式 中獎 的話

那 麽 你 中獎 的 可能 數就 有 420 種 情況

總共 的 可能 數是 這種 情況

這樣 你 就 可以 算 出 概率 來 了

這個 概率 表示 你 中獎 的 可能性 大小

還有 一個 叫做 期望

所謂 期望 就是 用 中獎 的 概率 再 乘以 獎金

比如說 按照 遊戲 的 規則

那 你 如果 840 中獎 的話

那 麽 你 一個 獎金 是 100 元

所以 說 這個 獎金 就是 100

用 這個 概率 再 乘 100 元

就是 你 平均 能夠 拿 回 多少錢 了

你 按照 840 這種 情況 下 中獎

平均 可以 拿 回 多少錢

那 我們 就 具體 來 計算 一下

每 一種 可能性 到底 能夠 拿 回 多少錢 來

比如說 你 按照 840 這種 情況 中獎

我們 剛才 說 了 這個 概率 就 應該 是

420/2704156

它 的 概率 是 0.0155%

這個 概率 很小

那 麽 你 平均 能夠 拿 回 多少錢 呢

你 就 用 這個 概率

再 乘以 你 中獎 之後 拿 回 100 元

結果 就是 0.0155 元 1 分 5 厘

所以 說 你 要 按 這種 情況 中獎

看起來 好像 獎金 非常 多 但 中獎 概率 很小

所以 平均 來講 你 拿 回 的 錢 其實 並不多

我們 再 來看 一個 概率 稍微 大 一點 的 情況

比如說 444 這種 情況

這種 情況 下 你 的 中獎 概率 稍微 大 一點

它 應該 等於 343000

然後 再 除以 2704156

最後 算 完 了 它 的 概率 是 12.68%

這個 大概 有 1/9 的 概率 可以 出現

那 麽 它 平均 可以 拿 回 多少錢 呢

你 看 它 這個 中獎 概率 大

但是 你 中 了 444 之後 它 只給 你 1 塊錢

所以 你 就 用 這個 概率 P 再 乘以 1 元

最後 得 出來 的 就是 0.1268 元

雖然 中獎 概率 稍微 大 一些

但是 每 一次 給你 的 獎金 少

你 平均 拿 回來 的 錢 還是 少

但是 不要 忘 了 還有 一種 情況

你 是 要給 老板 錢 的

就是 543 這種 情況

這種 情況 你 要給 老板 錢

那好 咱們 來算 一下 在 543 這種 情況 下

你 的 中獎 的 概率 有 多 大

543 可能性 個數 有 1317120 種 對 吧

總共 是 2704156

你 這 麽 一除 它 的 概率 是 48.7%

好 這種 情況 下 你 需要 給 老板 10 元 對 吧

所以 你 平均 可以 拿 回 的 錢

就是 概率 乘以 -10 元

概率 再 乘以 -10 元

最後 結果 是 -4.87 元

這個 時候 平均 來講 你給 老板 的 錢 特別 多

為什 麽 呢

因為 它 概率 也 大 有 將近 一半 的 概率

而且 每 一次 你 獲得 的 獎金 是 -10 元 對 吧

你 要給 老板 很多 的 錢

那 麽 綜上所述

對 這個 遊戲 你 一共 是 有 十二種 贏的 可能

還有 一種 輸 的 可能

但是 那 十二種 贏的 可能 概率 都 很小 對 吧

那種 輸 的 可能 概率 很大 而且 輸 的 錢 很多

最後 綜合 起來 把 所有 的 期望 加 到 一塊

你 平均 玩 一把 你 的 期望 有 多 大 呢

我 算了 一下 -4.25 元

也就是說 你 平均 玩 一把 的話

你會輸 4 塊 2 毛 5

這 就是 這個 遊戲 坑爹 的 地方

我們 來 總結 一下

雖然 這個 遊戲 看上去 贏錢 的 可能性 非常 多

但是 每 一種 贏錢 的 情況 概率 都 很小

相對 概率 比較 大 的 633 552 和 444

每次 只有 一塊錢 的 獎金

輸錢 的 情況 雖然 只有 一種

但是 這種 情況 的 概率 有 48.7%

而且 每 一次 會輸 10 塊錢

整體 算下來 就 一定 是 虧 的

敢開 飯店 就 不怕 大肚漢

敢 在 街頭 擺攤 就 不怕 你 來 玩

你 想 從 大爺 手裏 掙錢 那 還是 太天真 了

大家 如果 喜歡 我 的 視頻

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街头 游戏 “摸 珠子 ”有 多 坑 ?你 大爷 还是 你 大爷! ||||||||old man||| How pitiful is the street game "touching beads"? Your uncle is still your uncle!

各位 同事 大家 好 我 是 李永樂 的 老師 Hello everyone, I am Li Yongle's teacher.

最近 有個 小朋友 跟 我 說 A kid told me recently

他 在 街頭 看到 了 一個 摸 珠子 的 遊戲 He saw a game of touching beads on the street

一個 袋子 裏 裝著紅 綠 藍 各 8 個 珠子 A bag contains 8 beads each of red, green and blue

玩家 把手 伸進 口袋

從 這 24 個 珠子 裏邊 摸出 12 個

按照 不同 顏色 珠子 的 個數

就 能夠 獲得 相應 的 獎金 了

比如說 摸出 的 12 個 珠子 裏邊

顏色 最多 的 珠子 有 8 個 顏色 次 多 的 有 4 個

還有 一種 顏色 沒有

那 就 叫 840 就 會 獲得 100 元

如果 三種 顏色 的 珠子 個數 是 831

就 能 獲得 10 元

如果 是 444 就 能 獲得 1 元 等等

但是 還有 一種 情況

如果 三種 顏色 的 珠子 個數 是 543

那 麽 玩家 還得給 老板 10 元

這個 遊戲 看起來 贏面 很大

但是 這個 小朋友 玩 了 好 幾次

還把 自己 的 親戚朋友 都 叫來 玩

結果 一直 輸

他 想問 我 這是 為 什 麽 呢

今天 我們 就 來 研究 一下 這個 問題

很 顯然 這是 一個 概率 的 遊戲

那 我們 如何 去 計算 概率 呢

首先 我們 要 知道 我們 從 24 個 珠子 裏面

在 24 個 珠子 裏面 我們 要 取出 12 個 珠子

那 麽 一共 有 多少 種 方法 數呢

這個 時候 我們 要 用到 組合 數

所謂 組合 數 就是 在 n 中取 m 個 ||||||select from||

有 多少 種 方法 數

數學 告訴 我們 組合 數是 C(n,m)

它 等於 n!/(m!(n-m)!)

這是 什 麽 意思 呢

意思 就是說 你 從 n 個 元素 中 取出 m 個 元素

它 的 方法 的 個數 就是 這 麽 多

這裏 邊的 階乘 就是 1×2×3×4×... 再 一直 乘到 n

m 的 階乘 就是 1×2×3×4×... 一直 乘到 m

舉 個例 子 來講

在 24 個 珠子 裏面 我們 要 取出 12 個 珠子

那 麽 一共 有 多少 種 方法 呢

它 就 等於 24! 除以 12!

再 乘以 24-12 還是 12 的 階乘

那 上面 就是 1×2×... 一直 乘到 24

那 下面 就是 1×2×... 一直 乘到 12

然後 再 乘以 1×2×... 一直 乘到 12

最後 你 除 完 了 之後 這個 數得 幾 呢

它 等於 2704156

也 就是 2704156 種 情況 是 吧

好 這個 情況 數 非常 多

那 咱們 再 來看 一看 每 一種 中獎 的 可能性

它 有 多少 種 情況

每種 情況 下 的 方法 數 每種 情況 下

我們 要 把 這種 情況 分成 三類

第一類 就是 三 個數 是 不同 的 什 麽 意思 呢

就是 你 摸 出 三種 顏色 的 珠子 的 個數 是 不 一樣 的

比如說 840 這 就是 一種 情況

意思 是 說 顏色 最多 的 珠子 你 摸出來 8 個

顏色 次 多 的 你 摸出來 4 個

還有 一種 顏色 你 沒有 摸出來 叫 840

這種 情況 下 你 的 可能性 個數 有 多少 呢

首先 你 在 最 多 的 這個 顏色

比如說 紅色 你 紅色 一共 有 8 個 珠子

你 在 裏邊 取 8 個 對 不 對

有 這 麽 多種 方法 數

然後 就是 你 在 綠色 有 4 個

綠色 的 8 個 珠子 裏 你 取 4 個

然後 藍色 1 個 都 沒有

所以 在 8 個 藍色 的 珠子 裏 你 不取

把 它們 乘起來

但是 你 不要 忘 了

840 它 的 順序 並不一定 是 紅綠藍

它 也 可能 是 紅藍 綠 也 可能 是 綠 紅藍

也 可能 是 綠藍紅 也 可能 是 藍 紅綠 |||Green Blue Red|||||

也 可能 是 藍綠 紅

所以 按照 顏色 排序 又 有 6 種 可能 對 不 對

所以 我 還要 再 乘以 6

因此 三 個數 不 一樣 的 時候

我們 要 註 意在 前面 有 一個 乘數 這個 乘數 是 6

它 表示 這個 顏色 的 一個 排序

那 麽 840 這種 情況 對應 了 多少 種 可能 呢

它 對應 了 420 種 可能 是 吧

相比 剛才 270 萬種 的 這種 情況 數 比較 少

再 比如說 我們 再舉 個例 子

比如 543 它 又 對應 了 多少 種 可能 呢

首先 3 個數 不 一樣

前面 有個 乘數 6 表示 顏色 排序

然後 在 最 多 顏色 裏邊 8 個裏 取 5 個

次 多 顏色 8 個裏 取 4 個 然後 8 個裏 取 3 個

把 它們 乘 到 一塊 最後 結果 是 1317120

有 1317120 種 情況 對 不 對

好 這是 第一種 就是 3 個數 不 一樣 的

那 麽 也 有 可能 會 出現 兩 個數 是 一樣 的

兩 個數 相同 的 情況

舉 個例 子 比如說 你 摸 出 的 珠子 個數 是 822

822 的 意思 是 最 多 顏色 的 珠子 有 8 個

另外 2 種顏色 各有 2 個

這種 情況 下

首先 我 在 最 多 顏色 的 8 個裏 取 8 個

次 多 顏色 的 8 個裏 取 2 個

還有 一個 8 個裏 邊也取 2 個 |||take from|

但是 你 不要 忘 了

它們 三個 裏邊 3 種顏色 誰 的 珠子 最多 呢

可能 是 紅色 是 8 個 也 可能 綠色 是 8 個

也 可能 藍色 是 8 個

所以 這又 對應 了 3 種 情況

所以 它 前面 應該 乘 一個 3

也 就是 如果 兩 個數 相同 它 的 乘數 應該 是 3

所以 這種 情況 下

它 的 可能性 個數 有 2352 種

類似 的 你還 可以 算 出 其他 的 情況

比如 660 等等

好 那 麽 我們 再 來看 第三種 情況

第三種 情況 是 說 3 個數 都 是 相同 的

3 個數 都 是 相同 的 那 這個 時候 只有 一種 可能

就是 444 每 一種 顏色 的 珠子 各有 4 個

這種 情況 下 它 的 可能性 有 多少 種呢

我們 在 8 個 珠子 裏 取 4 個

8 個 珠子 裏 取 4 個 8 個 珠子 裏 取 4 個

那 麽 這回 你 還有 順序 的 問題 了 嗎

沒有 了

因為 3 個 顏色 都 一樣 每個 顏色 都 是 4 個

所以 它 的 乘數 就 只有 1 了

乘數 就 1 前面 不用 再 乘 了

這個 情況 的 個數 有 343000

這 麽 多種 情況

好 現在 每 一種 中獎 的 可能

它 對應 的 情況 個數 我們 也 算 完 了

那 麽 下面 我們 就要 計算 第三個 問題 了

那 就是 概率 還有 期望 概率 和 期望

咱們 先說 概率

概率 怎 麽 計算 呢

我們 用 字母 P 來 表示

在 這個 摸 珠子 的 遊戲 中

每 一種 中獎 的 概率 應該 是 你 中獎 的 可能 數

你 中獎 它 的 可能 數

然後 再 除以 你 總共 的 可能 數

總 可能 數 你 這 麽 一除 它 就是 中獎 的 概率 的

舉 個例 子 來講

你 如果 按照 840 這種 方式 中獎 的話

那 麽 你 中獎 的 可能 數就 有 420 種 情況

總共 的 可能 數是 這種 情況

這樣 你 就 可以 算 出 概率 來 了

這個 概率 表示 你 中獎 的 可能性 大小

還有 一個 叫做 期望

所謂 期望 就是 用 中獎 的 概率 再 乘以 獎金

比如說 按照 遊戲 的 規則

那 你 如果 840 中獎 的話

那 麽 你 一個 獎金 是 100 元

所以 說 這個 獎金 就是 100

用 這個 概率 再 乘 100 元

就是 你 平均 能夠 拿 回 多少錢 了

你 按照 840 這種 情況 下 中獎

平均 可以 拿 回 多少錢

那 我們 就 具體 來 計算 一下

每 一種 可能性 到底 能夠 拿 回 多少錢 來

比如說 你 按照 840 這種 情況 中獎

我們 剛才 說 了 這個 概率 就 應該 是

420/2704156

它 的 概率 是 0.0155%

這個 概率 很小

那 麽 你 平均 能夠 拿 回 多少錢 呢

你 就 用 這個 概率

再 乘以 你 中獎 之後 拿 回 100 元

結果 就是 0.0155 元 1 分 5 厘

所以 說 你 要 按 這種 情況 中獎

看起來 好像 獎金 非常 多 但 中獎 概率 很小

所以 平均 來講 你 拿 回 的 錢 其實 並不多

我們 再 來看 一個 概率 稍微 大 一點 的 情況

比如說 444 這種 情況

這種 情況 下 你 的 中獎 概率 稍微 大 一點

它 應該 等於 343000

然後 再 除以 2704156

最後 算 完 了 它 的 概率 是 12.68%

這個 大概 有 1/9 的 概率 可以 出現

那 麽 它 平均 可以 拿 回 多少錢 呢

你 看 它 這個 中獎 概率 大

但是 你 中 了 444 之後 它 只給 你 1 塊錢

所以 你 就 用 這個 概率 P 再 乘以 1 元

最後 得 出來 的 就是 0.1268 元

雖然 中獎 概率 稍微 大 一些

但是 每 一次 給你 的 獎金 少

你 平均 拿 回來 的 錢 還是 少

但是 不要 忘 了 還有 一種 情況

你 是 要給 老板 錢 的

就是 543 這種 情況

這種 情況 你 要給 老板 錢

那好 咱們 來算 一下 在 543 這種 情況 下

你 的 中獎 的 概率 有 多 大

543 可能性 個數 有 1317120 種 對 吧

總共 是 2704156

你 這 麽 一除 它 的 概率 是 48.7%

好 這種 情況 下 你 需要 給 老板 10 元 對 吧

所以 你 平均 可以 拿 回 的 錢

就是 概率 乘以 -10 元

概率 再 乘以 -10 元

最後 結果 是 -4.87 元

這個 時候 平均 來講 你給 老板 的 錢 特別 多

為什 麽 呢

因為 它 概率 也 大 有 將近 一半 的 概率

而且 每 一次 你 獲得 的 獎金 是 -10 元 對 吧

你 要給 老板 很多 的 錢

那 麽 綜上所述

對 這個 遊戲 你 一共 是 有 十二種 贏的 可能

還有 一種 輸 的 可能

但是 那 十二種 贏的 可能 概率 都 很小 對 吧

那種 輸 的 可能 概率 很大 而且 輸 的 錢 很多

最後 綜合 起來 把 所有 的 期望 加 到 一塊

你 平均 玩 一把 你 的 期望 有 多 大 呢

我 算了 一下 -4.25 元

也就是說 你 平均 玩 一把 的話

你會輸 4 塊 2 毛 5

這 就是 這個 遊戲 坑爹 的 地方

我們 來 總結 一下

雖然 這個 遊戲 看上去 贏錢 的 可能性 非常 多

但是 每 一種 贏錢 的 情況 概率 都 很小

相對 概率 比較 大 的 633 552 和 444

每次 只有 一塊錢 的 獎金

輸錢 的 情況 雖然 只有 一種

但是 這種 情況 的 概率 有 48.7%

而且 每 一次 會輸 10 塊錢

整體 算下來 就 一定 是 虧 的

敢開 飯店 就 不怕 大肚漢

敢 在 街頭 擺攤 就 不怕 你 來 玩

你 想 從 大爺 手裏 掙錢 那 還是 太天真 了

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