街头 游戏 “摸 珠子 ”有 多 坑 ？你 大爷 还是 你 大爷！
各位 同事 大家 好 我 是 李永樂 的 老師
最近 有個 小朋友 跟 我 說
他 在 街頭 看到 了 一個 摸 珠子 的 遊戲
一個 袋子 裏 裝著紅 綠 藍 各 8 個 珠子
玩家 把手 伸進 口袋
從 這 24 個 珠子 裏邊 摸出 12 個
按照 不同 顏色 珠子 的 個數
就 能夠 獲得 相應 的 獎金 了
比如說 摸出 的 12 個 珠子 裏邊
顏色 最多 的 珠子 有 8 個 顏色 次 多 的 有 4 個
還有 一種 顏色 沒有
那 就 叫 840 就 會 獲得 100 元
如果 三種 顏色 的 珠子 個數 是 831
就 能 獲得 10 元
如果 是 444 就 能 獲得 1 元 等等
但是 還有 一種 情況
如果 三種 顏色 的 珠子 個數 是 543
那 麽 玩家 還得給 老板 10 元
這個 遊戲 看起來 贏面 很大
但是 這個 小朋友 玩 了 好 幾次
還把 自己 的 親戚朋友 都 叫來 玩
結果 一直 輸
他 想問 我 這是 為 什 麽 呢
今天 我們 就 來 研究 一下 這個 問題
很 顯然 這是 一個 概率 的 遊戲
那 我們 如何 去 計算 概率 呢
首先 我們 要 知道 我們 從 24 個 珠子 裏面
在 24 個 珠子 裏面 我們 要 取出 12 個 珠子
那 麽 一共 有 多少 種 方法 數呢
這個 時候 我們 要 用到 組合 數
所謂 組合 數 就是 在 n 中取 m 個
有 多少 種 方法 數
數學 告訴 我們 組合 數是 C(n,m)
它 等於 n!/(m!(n-m)!)
這是 什 麽 意思 呢
意思 就是說 你 從 n 個 元素 中 取出 m 個 元素
它 的 方法 的 個數 就是 這 麽 多
這裏 邊的 階乘 就是 1×2×3×4×... 再 一直 乘到 n
m 的 階乘 就是 1×2×3×4×... 一直 乘到 m
舉 個例 子 來講
在 24 個 珠子 裏面 我們 要 取出 12 個 珠子
那 麽 一共 有 多少 種 方法 呢
它 就 等於 24! 除以 12!
再 乘以 24-12 還是 12 的 階乘
那 上面 就是 1×2×... 一直 乘到 24
那 下面 就是 1×2×... 一直 乘到 12
然後 再 乘以 1×2×... 一直 乘到 12
最後 你 除 完 了 之後 這個 數得 幾 呢
它 等於 2704156
也 就是 2704156 種 情況 是 吧
好 這個 情況 數 非常 多
那 咱們 再 來看 一看 每 一種 中獎 的 可能性
它 有 多少 種 情況
每種 情況 下 的 方法 數 每種 情況 下
我們 要 把 這種 情況 分成 三類
第一類 就是 三 個數 是 不同 的 什 麽 意思 呢
就是 你 摸 出 三種 顏色 的 珠子 的 個數 是 不 一樣 的
比如說 840 這 就是 一種 情況
意思 是 說 顏色 最多 的 珠子 你 摸出來 8 個
顏色 次 多 的 你 摸出來 4 個
還有 一種 顏色 你 沒有 摸出來 叫 840
這種 情況 下 你 的 可能性 個數 有 多少 呢
首先 你 在 最 多 的 這個 顏色
比如說 紅色 你 紅色 一共 有 8 個 珠子
你 在 裏邊 取 8 個 對 不 對
有 這 麽 多種 方法 數
然後 就是 你 在 綠色 有 4 個
綠色 的 8 個 珠子 裏 你 取 4 個
然後 藍色 1 個 都 沒有
所以 在 8 個 藍色 的 珠子 裏 你 不取
把 它們 乘起來
但是 你 不要 忘 了
840 它 的 順序 並不一定 是 紅綠藍
它 也 可能 是 紅藍 綠 也 可能 是 綠 紅藍
也 可能 是 綠藍紅 也 可能 是 藍 紅綠
也 可能 是 藍綠 紅
所以 按照 顏色 排序 又 有 6 種 可能 對 不 對
所以 我 還要 再 乘以 6
因此 三 個數 不 一樣 的 時候
我們 要 註 意在 前面 有 一個 乘數 這個 乘數 是 6
它 表示 這個 顏色 的 一個 排序
那 麽 840 這種 情況 對應 了 多少 種 可能 呢
它 對應 了 420 種 可能 是 吧
相比 剛才 270 萬種 的 這種 情況 數 比較 少
再 比如說 我們 再舉 個例 子
比如 543 它 又 對應 了 多少 種 可能 呢
首先 3 個數 不 一樣
前面 有個 乘數 6 表示 顏色 排序
然後 在 最 多 顏色 裏邊 8 個裏 取 5 個
次 多 顏色 8 個裏 取 4 個 然後 8 個裏 取 3 個
把 它們 乘 到 一塊 最後 結果 是 1317120
有 1317120 種 情況 對 不 對
好 這是 第一種 就是 3 個數 不 一樣 的
那 麽 也 有 可能 會 出現 兩 個數 是 一樣 的
兩 個數 相同 的 情況
舉 個例 子 比如說 你 摸 出 的 珠子 個數 是 822
822 的 意思 是 最 多 顏色 的 珠子 有 8 個
另外 2 種顏色 各有 2 個
這種 情況 下
首先 我 在 最 多 顏色 的 8 個裏 取 8 個
次 多 顏色 的 8 個裏 取 2 個
還有 一個 8 個裏 邊也取 2 個
但是 你 不要 忘 了
它們 三個 裏邊 3 種顏色 誰 的 珠子 最多 呢
可能 是 紅色 是 8 個 也 可能 綠色 是 8 個
也 可能 藍色 是 8 個
所以 這又 對應 了 3 種 情況
所以 它 前面 應該 乘 一個 3
也 就是 如果 兩 個數 相同 它 的 乘數 應該 是 3
所以 這種 情況 下
它 的 可能性 個數 有 2352 種
類似 的 你還 可以 算 出 其他 的 情況
比如 660 等等
好 那 麽 我們 再 來看 第三種 情況
第三種 情況 是 說 3 個數 都 是 相同 的
3 個數 都 是 相同 的 那 這個 時候 只有 一種 可能
就是 444 每 一種 顏色 的 珠子 各有 4 個
這種 情況 下 它 的 可能性 有 多少 種呢
我們 在 8 個 珠子 裏 取 4 個
8 個 珠子 裏 取 4 個 8 個 珠子 裏 取 4 個
那 麽 這回 你 還有 順序 的 問題 了 嗎
沒有 了
因為 3 個 顏色 都 一樣 每個 顏色 都 是 4 個
所以 它 的 乘數 就 只有 1 了
乘數 就 1 前面 不用 再 乘 了
這個 情況 的 個數 有 343000
這 麽 多種 情況
好 現在 每 一種 中獎 的 可能
它 對應 的 情況 個數 我們 也 算 完 了
那 麽 下面 我們 就要 計算 第三個 問題 了
那 就是 概率 還有 期望 概率 和 期望
咱們 先說 概率
概率 怎 麽 計算 呢
我們 用 字母 P 來 表示
在 這個 摸 珠子 的 遊戲 中
每 一種 中獎 的 概率 應該 是 你 中獎 的 可能 數
你 中獎 它 的 可能 數
然後 再 除以 你 總共 的 可能 數
總 可能 數 你 這 麽 一除 它 就是 中獎 的 概率 的
舉 個例 子 來講
你 如果 按照 840 這種 方式 中獎 的話
那 麽 你 中獎 的 可能 數就 有 420 種 情況
總共 的 可能 數是 這種 情況
這樣 你 就 可以 算 出 概率 來 了
這個 概率 表示 你 中獎 的 可能性 大小
還有 一個 叫做 期望
所謂 期望 就是 用 中獎 的 概率 再 乘以 獎金
比如說 按照 遊戲 的 規則
那 你 如果 840 中獎 的話
那 麽 你 一個 獎金 是 100 元
所以 說 這個 獎金 就是 100
用 這個 概率 再 乘 100 元
就是 你 平均 能夠 拿 回 多少錢 了
你 按照 840 這種 情況 下 中獎
平均 可以 拿 回 多少錢
那 我們 就 具體 來 計算 一下
每 一種 可能性 到底 能夠 拿 回 多少錢 來
比如說 你 按照 840 這種 情況 中獎
我們 剛才 說 了 這個 概率 就 應該 是
420/2704156
它 的 概率 是 0.0155%
這個 概率 很小
那 麽 你 平均 能夠 拿 回 多少錢 呢
你 就 用 這個 概率
再 乘以 你 中獎 之後 拿 回 100 元
結果 就是 0.0155 元 1 分 5 厘
所以 說 你 要 按 這種 情況 中獎
看起來 好像 獎金 非常 多 但 中獎 概率 很小
所以 平均 來講 你 拿 回 的 錢 其實 並不多
我們 再 來看 一個 概率 稍微 大 一點 的 情況
比如說 444 這種 情況
這種 情況 下 你 的 中獎 概率 稍微 大 一點
它 應該 等於 343000
然後 再 除以 2704156
最後 算 完 了 它 的 概率 是 12.68%
這個 大概 有 1/9 的 概率 可以 出現
那 麽 它 平均 可以 拿 回 多少錢 呢
你 看 它 這個 中獎 概率 大
但是 你 中 了 444 之後 它 只給 你 1 塊錢
所以 你 就 用 這個 概率 P 再 乘以 1 元
最後 得 出來 的 就是 0.1268 元
雖然 中獎 概率 稍微 大 一些
但是 每 一次 給你 的 獎金 少
你 平均 拿 回來 的 錢 還是 少
但是 不要 忘 了 還有 一種 情況
你 是 要給 老板 錢 的
就是 543 這種 情況
這種 情況 你 要給 老板 錢
那好 咱們 來算 一下 在 543 這種 情況 下
你 的 中獎 的 概率 有 多 大
543 可能性 個數 有 1317120 種 對 吧
總共 是 2704156
你 這 麽 一除 它 的 概率 是 48.7%
好 這種 情況 下 你 需要 給 老板 10 元 對 吧
所以 你 平均 可以 拿 回 的 錢
就是 概率 乘以 -10 元
概率 再 乘以 -10 元
最後 結果 是 -4.87 元
這個 時候 平均 來講 你給 老板 的 錢 特別 多
為什 麽 呢
因為 它 概率 也 大 有 將近 一半 的 概率
而且 每 一次 你 獲得 的 獎金 是 -10 元 對 吧
你 要給 老板 很多 的 錢
那 麽 綜上所述
對 這個 遊戲 你 一共 是 有 十二種 贏的 可能
還有 一種 輸 的 可能
但是 那 十二種 贏的 可能 概率 都 很小 對 吧
那種 輸 的 可能 概率 很大 而且 輸 的 錢 很多
最後 綜合 起來 把 所有 的 期望 加 到 一塊
你 平均 玩 一把 你 的 期望 有 多 大 呢
我 算了 一下 -4.25 元
也就是說 你 平均 玩 一把 的話
你會輸 4 塊 2 毛 5
這 就是 這個 遊戲 坑爹 的 地方
我們 來 總結 一下
雖然 這個 遊戲 看上去 贏錢 的 可能性 非常 多
但是 每 一種 贏錢 的 情況 概率 都 很小
相對 概率 比較 大 的 633 552 和 444
每次 只有 一塊錢 的 獎金
輸錢 的 情況 雖然 只有 一種
但是 這種 情況 的 概率 有 48.7%
而且 每 一次 會輸 10 塊錢
整體 算下來 就 一定 是 虧 的
敢開 飯店 就 不怕 大肚漢
敢 在 街頭 擺攤 就 不怕 你 來 玩
你 想 從 大爺 手裏 掙錢 那 還是 太天真 了
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