Líkindafræði Teoria prawdopodobieństwa

Alright, heyrið þið. Þá ætlum við að tala aðeins um líkindafræði, hérna, þau náttúrulega eru nátengd, tölfræðin og líkindafræðin, þó að líkindafræðin náttúrulega eigi svona meiri rætur í hérna, hérna, svona fjárhættuspilum og svoleiðis. En, en hérna, þið náttúrulega hafið öll séð líkindafræði þið voruð öll í strjálli stærðfræði, er það ekki, þannig að þið kunnið öll þessi basic, hérna, concepts, nákvæmlega. En ég ætla bara að fara, þú veist, stuttlega í gegnum þetta. Það er sem sagt Jupyter, hérna, svona notebook á, hérna, á Canvas, sem er rosalega flott, það er hérna eitthvað sem við fengum lánað hjá einhverjum, hérna, mann og það er farið mjög skemmtilega í gegnum, sem sagt bara hvernig maður reiknar líkindi og svona með mismunandi föllum í, í Python. Þannig að endilega kíkið á það, það er mjög skemmtilegt að fara í gegnum það. En allavegana, í grunninn, þá náttúrulega eru líkindi bara sem sagt mælikvarði á það hversu líklegt eitthvað er. Eða hversu miklar líkur eru á því að eitthvað gerist. Og, og það er skilgreint sem einhver tala á milli núll og eins, þar sem að núll táknar að það sé ómöguleg og einn táknar að það gerist alveg örugglega. Og því hærri sem líkurnar á einhverjum atburði eru því, náttúrulega, öruggara er að, að sá atburður muni gerast. Þetta er svona leið fyrir Þetta er svona leið fyrir okkur til þess að meta hversu, já, öruggt eitthvað gerist Og við erum með svona nokkur, hérna, undirstöðu atriði í líkindafræðinni. Fyrsta lagi er útkoma, það er sem sagt út, eða sem sagt niðurstoða úr einni, einni tilraun. Eins og til dæmis þegar maður kastar Eins og til dæmis þegar maður kastar teningi þá, hvaða hlið þá, hvaða hlið kemur upp, eða þegar þú kastar krónu, hvað, hvor hliðin kemur upp. Og atburður er þá ákveðin útkoma eða safn af útkomum. Til dæmis að fá slétta tölu þegar maður kastar tening af því að það er sett saman úr því að fá tvo, fjóra og sex. Og svo erum við með eitthvað sem heitir tilraun sem er einhvers konar ferli, þar sem við erum sem sagt að, að, hérna, endurtaka eitthvað, einhvern atburð, og við vitum nákvæmlega fyrir fram hverjar mögulegar útkomur eru. Og það er sem sagt mögu, þessar mögulegu útkomur, þær búa til það sem við köllum, hérna, líkindarúmið, sem er sem sagt safn af öllum mögulegum útkomum. Og svo táknum við líkurnar á þennan hátt með því að skrifa P af atburðinum okkar og þá er sem sagt P af A sem sagt einhver tala á bilinu núll og einn, og svo ef A er einhver atburður þá táknum við fylliatburðinn, sem sagt það að A gerist ekki, með svona AC eða A prime. Og svo sem sagt, þegar erum að gera svona tilraunir þá tölum við gjarnan um óháðar tilraunir þar sem að útkoman úr einni tilraun hefur ekki áhrif á útkomur úr öðrum tilraunum, eins og til dæmis ef við erum með spilastokk og við drögum eitt spil. Ef við setjum spilið aftur í stokkin þá erum við með óháðar tilraunir af því að spilastokkurinn, hann er eins í öll skiptin sem við drögum, af því að við setjum spilið aftur í stokkinn En ef við setjum spilið ekki aftur í stokkinn, þá erum við búin að breyta stokkinum þannig að þær eru ekki lengur óháðar. Það er sem sagt, til þess að vera óháðar þá þarf það alltaf, þá þurfa forsendurnar alltaf að vera eins. Og dæmi sem sagt, er við erum með pening sem við köstum tvisvar og þá er sem sagt rúmið okkar, líkindarúmið, er, mögulegar útkomur, fyrirgefðu, útkomurúmið eru mögulegar útkomur sem eru sem sagt H H, H T, T H og T T, þetta eru sem sagt útkomurnar sem við getum fengið. Við getum verið með fjóra mismunandi atburði og hérna, sem sagt, og ef við köstum krónu tvisvar, og við fáum f og við fáum fyrst sem sagt heads og svo tails þá er þetta ein ákveðin útkoma og á sama hátt þá eru tvö tails líka ein útkoma. Og til þess að reikna út líkur þá einfaldlega teljum við mögulegar útkomur af atburðinum okkar og svo mögulegar útkomur í öllu útkomurúminu og þá sem sagt fáum við tölu á milli núll og eins. Og sem sagt dæmi, til dæmis ef við erum með spilastokk með fimmtíu og tveimur spilum og við veljum eitt spil af handahófi, þá eru líkurnar á því að fá út spaða, þrettán á móti, fimmtíu og tveimur af því að það eru þrettán möguleikar á því að fá spaða En það eru fimmtíu og tveir möguleikar á að draga spil, þannig að þetta eru sem sagt fjórðungslíkur. Og svo erum við með sem sagt óháða atburði. Ef við köstum krónu þá eru alltaf óháðir atburðir af því það er alltaf sem sagt, eins líkur í hvert skipti sem þú kastar. Það breytist ekkert, líkurnar, þegar þú kastar í annað skiptið. En þegar við erum með sem sagt, ekki óháðar útkomur eins og það þegar við erum að draga spilið úr stokknum, ef við setjum það ekki aftur í stokkinn þá erum við búin að breyta stokkinum og þess vegna er það ekki lengur óháð. Þetta kannast allir við. Við erum með sem sagt, sniðmengi, það eru atburðirnir sem gerast bæði, eða sem sagt, í A og B á sama tíma, sem sagt A og B. Og svo erum við með sammengið þar sem annaðhvort A eða B gerist, eða báðir, náttúrulega. Það myndi vera sammengi. Fyllimengi, það er sem sagt líkurnar á því að atburðurinn gerist ekki. Og svo erum við með það sem heitir skilyrtrar líkur og það er sem sagt líkurnar á því að eitthvað gerist, gefið að eitthvað annað gerist. Og ef tveir atburðir eru ekki óháðir þá sem sagt eru líkurnar á sniðmenginu líkurnar á sem sagt, öðrum sinnum líkurnar á A, gefið B. Þannig að sem sagt, við getum táknað líkurnar á A, gefið B sem hlutfallið á milli líkunum á sniðmenginu og líkunum á B. Þannig að þið getið ímyndað ykkur, hugsað þetta sem svo að, hérna, við vitum að eitthvað gerðist og við viljum vita líkurnar á að eitthvað annað gerist þá líka, gefið að eitthvað annað gerðist. Til dæmis hér, við erum með hérna, að draga spil úr spilastokknum, fimmtíu og tveimur spilum, og við viljum finna líkurnar á því að spilið sé ás, gefið að það sé spaði. Þannig að ég segi ykkur það, ég dró spil af handahófi, það er spaði. Hverjar eru líkurnar á því að það sé ás? Þetta myndi vera dæmi um skilyrt líkindi. Og við notum þessa sem sagt jöfnu til þess að reikna þetta. Við vitum að líkurnar á því að fá ás eru fjórir á móti fimmtíu og tveimur og líkurnar á því að fá spaða eru, hérna, einn fjórði, líkurnar á því að fá spaðaásinn eru náttúrulega bara einn á móti fimmtíu og tveimur, af því það er bara einn spaðaás í stokknum. Og þá vitum við líka að líkurnar á því að fá ás, gefið að við drógum spaða, eru líkurnar á sniðmenginu deilt með líkunum á spaðanum. Þannig að það myndi vera fjórir á móti fimmtíu og tveimur í þessu tilfelli. Ókei, og svo erum við með, sem sagt, atburði sem eru, hérna, disjoint, ekki samhangandi. Hvað heitir það á íslensku Það kemur. Sem sagt þeir geta ekki gerst á sama tíma. Ekkert spil getur verið bæði spaði og hjarta, það er bara annaðhvort. Þannig að það myndi vera dæmi um atburði sem eru ekki samhangandi. Og svo hins vegar erum við með óháða atburði eða independent events, þar sem að útkoman úr öðrum hefur ekki áhrif á útkomuna úr hinum. Og ef þeir eru sem sagt ekki samhangandi þá getum við skrifað líkurnar af, af, sem sagt, sammenginu sem summu af, af tveimur atburðum. Þannig að, mér finnst alltaf bara voðalega hjálplegt að, að taka þetta á mynd, sko. Að ef þeir eru, hérna, ekki samhangandi þá eru þeir einfaldlega svona, þannig að A og B þá er P af A, eða B, einfaldlega P af A plús P af B. En ef þeir eru hins vegar samhangandi þá er sniðmengið ekki tómt það er einhver bútur hérna þar sem þeir gerast á sama tíma, þannig að þetta er A og þetta er B, þá er P af A, eða B, líkurnar á plús líkurnar á B. En svo þurfum við að draga frá sniðmengið af því að við erum búin að telja það tvisvar. En við töldum það einu sinni þegar við reiknuðum A, svo töldum við það aftur þegar við reiknuðum B og svo þurfum við að draga það frá, út af tvítalningu. En þetta þekki þið náttúrulega alveg. En sem er oft mjög hjálplegt samt er að teikna myndir bara til þess að átta sig á því hvernig landið liggur. Ókei, þannig að ef við erum með atburði sem eru ekki samhangandi, til dæmis hér, við erum með einhverja miða fyrir einhverja sýningu og einn maður kaupir tíu miða, annar maður kaupir tuttugu miða og svo erum við eitthvað svona hérna, happadrætti, þannig að einn miði er valinn sem vinningsmiðinn, og við viljum vita líkurnar á því að hverjar, sem sagt hverjar eru líkurnar á því að annaðhvort Smith eða Chris vinni þetta happadrætti, og af því að þeir eru með sem sagt sitthvort mengið af miðum, þá er þetta ekki samhangandi Þannig að við getum einfaldlega lagt saman líkurnar á því að annar hvor þeirra vinni. Svo erum með óháða atburði og það er mjög þægilegt þegar maður með óháða atburði þá getur maður sagt að líkurnar á sem sagt sniðmenginu eru þær sömu og að margfalda saman líkurnar á hvorum atburði fyrir sig. Dæmi hér er, við erum með spilastokk með fimmtíu og tveimur spilum og við viljum vita líkurnar á því að velja af handahófi annaðhvort kóng eða ás. Og hérna, sem sagt, já, þetta er nú eiginlega á vitlausum stað, þetta dæmi. Allavegana, líkurnar á því að draga kóng eru einn á móti þrettán, líkurnar á því að draga ás eru einn á móti þrettán og þetta eru ekki samhangandi atburðir. Ekkert spil getur verið bæði kóngur og ás, þannig að við einfaldlega leggjum saman þessar tvær líkur, þannig að líkurnar á því að draga annaðhvort kóng eða ás eru tveir á móti þrettán. Og já, myndin sem ég teiknaði, og við erum með sem sagt samhangandi atburði, þannig að við erum að draga frá líkurnar á sniðmenginu. Þessu tilfelli þá erum við með sem sagt líkurnar á því að, hérna, draga annaðhvort ás eða spaða og þetta eru sem sagt samhangandi atburðir af því að það er eitt spil í stokknum sem er bæði ás og spaði. Þannig að þegar við reiknum líkurnar hér þá einfaldlega leggjum við saman líkurnar á að fá spaða og líkurnar, nei fyrirgefðu, líkurnar á að fá ás, líkurnar að fá spaða, og drögum frá svo spaðaásinn og fáum út fjóra þrettándu. Ókei. Sem sagt, svo erum við með líkindadreifingar þar sem að við erum með einhverja breytu sem að, hérna, tekur gildi, tekur slembin gildi. Við sem sagt vitum ekki fyrir fram hvaða gildi hún tekur og við erum með annars vegar með strjálar líkinda, strjálar slembistærðir og hins vegar samfelldar slembistærðir þar sem að strjálu taka gildi í einhverja endanlegu mengi, eins og þegar maður kastar tening, eða samfelldar slembistærðir sem að, hérna, geta tekið óendanlega mörg gildi, bara sem sagt á einhverju bili. Getur verið tala á milli núll og eins, eða það getur bara verið einhver rauntala. Já, sem sagt, samfelld breyta gæti verið tíminn sem það tekur að hlaupa hundrað metra og strjál slembibreyta gæti verið, hérna, hver vinnur í einhverju, hérna, kapphlaupi. Þegar við erum með sem sagt slembistærðir þá, hérna, gildir þetta law of large numbers, þannig að ef við tökum nóg, eða þú veist, ef við endurtökum einhverja tilraun nógu oft og mælum sem sagt eitthvað gildi sem við viljum vita, þá nálgast meðaltalið væntigildið. Þannig að ef við erum alltaf að mæla eitthvað aftur og aftur og aftur fyrir sömu tilraunina, þá hérna, nálgast gildið þetta væntigildi sem er reiknað á, á þennan hátt, þar sem við leggjum einfaldlega saman gildin og líkurnar á því að gildið komi upp. Svo erum við með það sem heitir tvíkosta slembistærð, þar sem við erum með, sem sagt, einhverja slembistærð sem getur tekið eitt af tveimur gildum, annaðhvort sem sagt success eða failure, og líkurnar eru þannig að, að ef líkurnar á því að þetta heppnist eru P þá eru líkurnar á því að það mistakist einn mínus P og, hérna, og í svona tvíkosta tilraun þá erum við með ákveðinn fjölda af, af hérna, tilraunum, kannski tíu tilraunir, og í hvert skipti eru jafnmiklar líkur á að þetta heppnist og þetta heppnist ekki. Þannig þið getið ímyndað ykkur, til dæmis ef þið eruð í krossaprófi þar sem eru alltaf fimm möguleikar, þá eru alltaf tuttugu prósent líkur á því að þið giskið á réttan kross. Þannig að ef þið eruð með tíu krossaspurningar á þessu prófi þá myndi þetta vera mjög gott dæmi um tvíkosta líkindadreifingu Af því að það er alltaf jafnlíklegt að þið giskið á rétt svar og þið eruð með ákveðinn, sem sagt fastan fjölda af, af hérna, tilraunum. Og þá getur maður notað, sem sagt, sem sagt þessa tíluðu dreifingu til að reikna út líkurnar á ákveðnum atburðum, eins og þið sjáið hér. Og, kannist þið við Monty Hall vandamálið? Nei, ókei, þá skulum við spjalla aðeins um það. Það er mjög skemmtilegt. Það er, ímynið ykkur svona spurningaleik þar sem þú ert með þrjár dyr, þrennar, þrennar dyr og hérna, sem sagt, hvað heitir það? Þáttastjórnandinn, hann segir þér að bak við eina hurðina er bíll, en bak við hinar tvær er ekki neitt, þannig að þú hefur þriðjungslíkur á því að vinna bílinn, ef þú velur einar dyr af handahófi. Ókei, og svo velur þú einhverjar dyr, bara eitthvað, númer eitt, til dæmis og segir stjórnandinn við þig: ókei, núna ætla ég að, hérna, opna eina af hinum dyrunum, og þegar þú ert búinn að sjá hvað er á bak við, þá máttu skipta um skoðun og velja hinar dyrnar. Þannig að þú sem sagt, með þrennar dyr, þú velur eina, stjórnandinn opnar eina af hinum og gefur þér val um það hvort þú eigir að skipta um skoðun eða ekki. Á maður að skipta um skoðun eða á maður að halda sig við hurðina sem maður valdi upphaflega? Af hverju? Nákvæmlega. Þannig að, eins og þú segir, sem sagt, ef við gerum, gengum út frá því að hann valdi sem sagt hurð númer eitt og stjórnandinn opnar dyr þar sem er ekki neitt, eða sem sagt hann, hann náttúrulega, hann er neyddur til þess að opna dyrnar þar sem er ekki neitt. Nei, fyrirgefðu, hann er neyddur til að velja að opna dyrnar þar sem bíllinn er ekki. Hann myndi [HIK:al] stjórnandinn myndi aldrei opna hurðina þar sem bíllinn, þannig að stjórnandinn, hann er skilyrtur til þess að opna hurð þar sem er ekki bíll. Ef hann myndi, jú það er, það er sama sko, en þetta eru náttúrulega möguleikarnir sem eru í boði. Já, og hérna, þannig að þið sjáið að hérna þá myndi, sem sagt, ef hann skiptir, þá myndi hann vinna, þannig að það er betra raunverulega að skipta af því það eru meiri líkur á því að hann, að hann vinni ef hann, ef hann skiptir. Og þetta er sem sagt hægt að reikna líka með sem sagt svona skilyrtum líkum af því að við erum í raun og veru búin að skilyrða á það að það er ekki neitt á bak við fyrstu hurðina. Þannig að þið getið sem sagt, já, sem sagt, þið eruð með dyr eitt, opna tvö, dyr þrjú, opna tvö og þá eru líkurnar á því að bíllinn er á bak við dyr eitt, gefið að hann opnaði dyr tvö, sem sagt þessar, og þetta eru líkur sem við vitum, þannig að við getum bara sett hérna inn í og vitað hversu miklar líkurnar eru. Og þetta þurfum við að gera fyrir sem sagt alla möguleikana, með því að nota reglur-base, sem segir okkur það að við getum sem sagt skipt þessu upp í svona hlutmengi, þannig að við erum með, raunverulega, hérna, líkurnar á einhverjum hlutatburði. Þar sem öll þessi A eru sem sagt allir mutually exclusive, þannig að, sem sagt við erum með eitthvað A, það myndi vera A og svo getum við skipt því upp í svona nokkra, þetta myndi vera A eitt, A tvö og A n. Myndum skipta þeim svona upp í mutually exclusive atburði. Þá getum við, hérna, skipt líka þessum, þessum, hérna skilyrtu líkum upp í svona herna [HIK:hlut], hlutatburði. Og sem sagt þeir nota þessa, þessa reglu til þess að reikna þetta. Og hérna er sem sagt annað, annað dæmi um base-reglu er að maður með sem sagt hausverk og illt í hálsinum, er ég þá með flensu? Og við vitum út frá tölfræðinni að fólk sem er með flensu, það, hérna, er yfirleitt, eða sem sagt í níutíu prósent tilfella, er það með hausverk og illt í hálsinum. En líkurnar á því að hafa flensu eru bara fimm prósent. Og sem sagt, við vitum það að tuttugu prósent af þýðinu í gefnu ári eru sem sagt, sem eru með hausverk og hálsbólgu, eru tuttugu prósent. Þannig að getum sem sagt skipt þessu upp í, upp svona, sem sagt við erum búin að, við erum í raun búin að umskrifa, umskrifa líkurnar, þannig í staðinn fyrir að vera með flue given symptoms, þá erum við með symptoms given flue. Og við vitum hvert symptoms given flue er, og við vitum hvað flue er og hvað symptoms er, og þess vegna getum við reiknað þetta út En þó við hefðum ekki er vitað nákvæmlega hvað þetta er, er ég með flensu, gefið að ég er með þessi einkenni? Við vissum það ekki, en með því að umskrifa þetta svona með reglu-base þá getum við reiknað þetta Þannig að við raunverulega erum að varpa þessum yfir í þennan og þá náttúrulega fáum við einhverja aukahluti þarna með sem við vitum líka, sem betur fer, Og þess vegna getum við reiknað þetta. Og þetta er það sem er svona beisísk tölfræði snýst um. Það er að, er að snúa við sem sagt þessum, þessum líkum á þennan hátt. Já, ég ætla aðeins að byrja á notebook-inu ef að ykkur sama, bara til að sýna ykkur það og svo getum haldið aðeins áfram með það næst. Af því að það er nefnilega svolítið flott, og það fylgir með alveg svona, svolítil saga um líkindafræði, hvernig hún þróaðist, af því að í upphafi þegar líkindafræðin var að þróast þá voru þetta bara einhverjir tveir karlar sem voru að, svona, pæla eitthvað í, sko, líkum á hinu og þessu, einhverjum svona fjárhættuspilum. Þú veist, ef að hérna, við erum að spila þetta fjárhættu Þú veist, ef að hérna, við erum að spila þetta fjárhættuspil og, og hérna, þú veist, hverjar líkurnar og hvernig er best að spila, hverjar eru bestu strategíurnar. Og þetta eru svo, þú veist, bara einhverjir stærðfræðingar sem urðu svo stór nöfn í stærðfræði, en þeir voru bara upphaflega bara eitthvað að leika sér að reikna þetta út. Voru að, þú veist, Voru að, þú veist, skrifast á með einhver vandamál og leysa vandamál hvor fyrir annan og svona. Þannig að þetta er mjög, þetta er skemmtileg lesning, sko, ef þið bara farið í gegnum þetta. Og, og þessi maður sem að bjó þetta til, þessi hérna Peter Norwick, hann setti þetta upp á mjög skemmtilegan hátt, hann sem sagt er með hérna, hann býr til bara hérna fall sem er, sem sagt, líkindafall þar sem þú ert með atburðinn þinn og útkomurúmið. Og svo er þetta sett upp sem sagt svona að að hérna, eins og til dæmis hér, með teninginn, og þá er maður með sem sagt sex mögulega atburði og þetta er, eða sem sagt sex mögulegar útkomur og svo erum við með atburð sem er slétt tala og þá reiknar hann út hérna P af þessum event og þessu hérna útkomurúmi. Og svo kemur, er þetta sett fram bara sem svona fraction, þannig að í staðinn fyrir að það standi núll komma fimm þá stendur bara einn, tveir og þá vitið þið það að þetta á að vera einn deilt með tveimur. En hann setur þetta upp svona til þess að forðast það að vera með einhver endalaus brot. Það er oft ágætt að horfa á þetta sem heilar tölur þegar maður er að, svona, velta þessu fyrir sér. En hérna, en ég bara hvet ykkur til að fara í, í gegnum þetta, hann byrjar hérna bara á einföldu sem sagt teningakasti og svo hérna, til dæmis, þá er hann með, já, já, hann sem sagt er með, hérna, atburð þar sem að þú ert með eitthvað sem er, raunverulega ekki í boði fyrir tening. Þú getur ekki fengið út átta þegar þú kastar tening til dæmis en líkurnar samt haldast þær sömu af því að þú ert að taka raunverulega hlutmengið af, af hérna, atburðarúminu. Og svo fer hann í gegnum svona það sem, svona kúlur í krukku vandamál, þar sem þú ert með, hérna, einhverja krukku og í þessari krukku eru kúlur, sem sagt átta eru, má ég sjá, átta eru hvítar, sex eru bláar og níu eru rauðar. Og þú ert að draga einhverjar, sem sagt taka kúlur upp úr þessari krukku og vilt vita, hérna, líkurnar á því að allar sex kúlurnar sem þú dregur séu rauðar, líkurnar á að allar séu, hérna, að þrjár séu bláar, tvær séu hvítar og ein sé rauð, finna þesar líkur. Og og hérna, og þá sem sagt skilgreinir hann earn-ið sitt, sem sagt krukkuna sína. Hann býr til krukkuna með þessu cross-falli hérna. Og þá veit hann að það eru tuttugu og þrír mismunandi, tuttugu og þrjár mismunandi kúlur í krukkunni. Það er náttúrulega átta plús, hvað var það, átta plús sex plús níu. Og svo, hérna, getur hann fundið allar mögulegar útkomur ef þú dregur sex kúlur úr þessari krukku. Þá getur þú listað hérna allar mögulegar útkomur, sem sagt ein hvít, eða þú veist, ein, tvær, þrjár hvítar, nei, fyrirgefið, þetta eru fimm hvítar, ein blá, og svo framvegis. Og, og hérna, og svo er sem sagt er hann að reikna líkurnar á því til dæmis að fá sex rauðar kúlur og þá er það fjórir á móti fjögur þúsund átta hundruð og sjö, og svo framvegis. Þetta var sem sagt þetta kúluvandamál, og svo er hann með spilavandamál líka, hann er sem sagt að draga spil úr stokk, og hann reiknar þetta allt sem sagt með þessu P-falli sem að hann skilgreinir þarna í byrjuninni. Og, og fer svona aðeins í gegnum nákvæmlega söguna á bak við þetta. Og hérna er hann með, sem sagt, M og M það stendur hérna að sem sagt, hvað var það? Fyrir níutíu og fimm voru engin blá M og M Í M og M-i og svo byrjuðu þeir á að hafa blá M og M, og þið getið séð, sem sagt, að fyrir níutíu og fimm þá voru, hvað, þrjátíu prósent brún, tuttugu prósent gul, tuttugu prósent rauð, tíu prósent græn og tíu prósent appelsínugul og tíu prósent tan. Og svo hérna, settu þeir blátt og hættu að vera með tan. Og hérna, og svo er einhver sem velur eitt M og M úr öðrum hvorum pokanum af handahófi og við viljum vita úr hvorum pokanum er líklegra að þetta M og M kom. Þannig að þarna er verið að simulate-a þessa reikninga líka Þannig að eins og ég segi, ég hvet ykkur til bara, að rúlla í gegnum þetta. Hérna, ég get haldið aðeins áfram með það næst ef þið viljið, en ég held að þetta sé komið ágætt í dag. Og svo er annað líka að, hérna, það er sem sagt eitthvað hérna sem heitir second part, þar sem er verið að fara inn í svona paradoxes af líkindafræði, svona mótsagnir. Þannig að ef þið hafið gaman af þessu endilega rúllið í gegnum það líka af því þetta er útskýrt á mjög skemmtilegan hátt og sett upp á mjög skemmtilegan hátt. Þannig að, það er já, ykkur til yndisauka. Ókei, takk í dag.