如何 证明 3=0？推翻 数学 大厦！ How to prove 3=0? Overthrow the mathematical edifice!

 各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師

最近 有個 小朋友 跟 我 說 呀

他 在 網上 看 了 壹個 帖子

說 有 壹 個人 呢

推翻 了 現有 數學 體系

因為 他 可以 證明 3=0

這是 怎 麽 回事 呢

那 今天 我們 來 討論 壹下 這個 問題

我們 首先 來說 壹下 這個 帖子 的 證明

說 他 想 證明 壹件 事

什 麽 事 呢

就是 3 它 是 等於 0 的

他 的 這個 證明 方法 是 什 麽 呢

我們 來看 啊

這個 證明 方法 很 有意思

他 首先 構造 了 壹個 方程

他 說 x²+x+1=0

這是 壹個 壹元 二次方程

顯而易見 啊

這個 方程 x 是 不 等於零 的

因為 零 不是 這個 方程 的 根 對 吧

既然 零 不是 這個 方程 的 根

我 就 可以 讓 這個 方程

等號 兩邊 同時 除以 x

除以 x 之後

x² 除以 x 就是 x

再 加上 1 再 加上 1/x

右邊 還是 零

這是 因為 這個 式子 等號 兩邊 都 除以 x

x 又 不 等於零 就 得到 這個 結果

然後 我 再 把 原來 的 式子 吧

和 這個 式子 作差

妳 就 會 發現

它們 還有 公共 部分 x+1 對 不 對

把 x+1 給 去掉

最後 就 會 變成 x²-1/x=0

就是 左邊 減 左邊

右邊 減 右邊 就 得到 這個 式子

現在 我 在 這等號 兩邊 同時 乘以 壹個 x

就 會 變成 什 麽 呢

x³-1=0

這 就是 兩邊 乘以 x 的 結果

最後 我們 就 會 發現

原來 這個 方程 就是 x³-1=0 了

那 x³-1=0

x 等於 幾 呢

顯而易見

x 等於 1 對 不 對

好 方程解 完 了

我們 再 把 這個 解呀

代 回到 這個 表達式 中 去

所以 就 會 有 1+1+1=0

所以 3=0

現有 數學 體系 被 推翻 了 對 吧

這 就是 網上 這個 帖子 的 證明

那 麽 這個 證明 顯而易見 呢 是 有 問題 的

我們 就是 要 找到 這個 問題 在 哪

我們 首先 來 討論 壹下 壹元 二次方程

因為 這道題 它 涉及 到 壹元 二次方程

我們 再 回到 初二

去 講壹下 壹元 二次方程

壹個 壹元 二次方程

叫 ax²+bx+c=0

而且 a 不 等於零

這個 方程 的 解是 什 麽 |||The solution is||

這個 方程 的 解

咱們 上 初中 的 時候 都 學過

它 有 兩個 根 等於 (-b±√(b²-4ac))/2a 對 不 對

我們 上 初中 的 時候 學過

這根 號 裏邊 的 數叫 b²-4ac

它 叫 判別式

判別式 等於 b²-4ac 對 吧

只有 判別式 大於 等於零

怎 麽 著

這個 方程 才 有 實根 對 吧

才 有 實根

如果 判別式 小於 零

初中 怎 麽 講的

叫 無 實根

無 實根 不是 沒有 根 它 有 復 數根

只是 沒有 什 麽 實數 根 而已

沒有 實數 根

但是 它 還有 復 數根

那好 我們 明白 了 這個 道理 之後

我們 再 回過頭來 看 這個 方程

x²+x+1 這個 方程 是 吧

x²+x+1=0

這個 方程 的 系數 a b c 其實 都 是 1

按照 這個 壹元 二次方程 的 解法

妳 就 會 發現 它 的 判別式 等於 b²-4ac=-3

它 是 小於 零 的

小於 零 的 怎 麽 樣

就 說明 這個 方程 是 沒有 實數 根 的

沒有 實數 根

沒有 實數 根 的話

妳 解出 x=1

這個 結果 肯定 是 不 對 的

所以 x 等於 1 壹定 不是 根

而是 壹會 我們 要 講到 的 它 是 增根 是 吧

沒有 實根

雖然 沒有 實根

但是 它 其實 是 有 什 麽 呢

有 復 數根 的

什 麽 叫 復 數根

還 記得 以前 我們 說過 嗎

√(-1)=i

這叫 虛數

只要 我 把 虛數 引進 去 之後

這個 方程 還是 可以 有根 的

咱們 看看 這個 方程 的 根是 多少

x₁,₂ 等於 按照 求根 公式

(-b±√(b²-4ac))/2a

就是 -3 對 吧

好 寫成 這個 樣子

那 √(-3) 是 多少

初中 我們 學習 過

就 壹個 小於 零的數

是 沒有 辦法 開 平方根 的

但是 如果 我們 引入 了 虛數

就 可以 開 平方根 了

√(-1) 等於 i

所以 √(-3) 等於 √3i

於是 這個 數就 變成 了 什 麽 呢

等於 (-1±√3i)/2

好 這個 就是 兩個 復 數根

這個 復 數 怎 麽 去 表示 呢

我們 來看 壹下

在 初中 的 時候 我們 學過

這個 任何 壹個 實數

都 可以 表示 成 實數 軸上 的 壹個點

比如說 這個 點它 叫做 0

這個 點 叫做 1

這個 點 叫做 -1

兩邊 還 可能 有什 麽 -2 -3 之類 的

是不是 好

那 現在 呢 我 把 這個 坐標軸

我 把 這個 豎軸 （ 加上 ） 變成 二維 的

二維 的 我 再 加壹個軸

這個 叫 虛軸 虛軸

而 原來 這個 軸呢 就 叫 實軸

虛軸 上 的 標註 單位 呢 就 叫 i

這個 是 i

這個 是 -i 是 吧

是 這個 樣子 的

那 這樣的話

整個 這個 平面 就 叫 復 平面

上面 的 任何 壹個點

就 表示 了 壹個 復 數

舉 個例 子

剛才 這個 壹元 二次方程 的 根

它 是 -1/2+√3i/2

-1/2 在 這個 位置 是 吧

在 這個 位置

然後 √3/2 是 0.8 幾 對 吧

所以 大概 在 這個 位置

所以 呢 實際上

我們 就 可以 表示 出來 壹個點

這個 點 就是 第壹 個數 x₁ 是 吧

這個 是 √3i/2

這個 地方 呢 是 1/2

就 表示 出來 了

同樣 道理

第二個 這個 根 呢

-1/2-√3i/2

所以 它 實際上 表示 的 就是 這個 點

這個 就是 x₂

妳 這樣 壹來 呢

就 可以 把 這 兩個 根

表示 在 這壹個 復 平面 內 了

所以 說 復 數 還是 很 有用 的

總而言之

我們 就 得到 了 這個 方程 的 兩個 根

這 兩個 根 呢 都 不是 1 是 吧

所以 解出 1 是 錯 的

那有 的 同學 可能 會 說

那 既然 根 不是 1

我 為 什 麽 會 解出 x=1 呢

這個 呢 就是 初中

我們 在 學習 的 時候

知道 的 壹件 事兒

叫做 增根

我們 來看 壹下 增根 是 怎 麽 回事

比如 有壹個 方程

這個 方程 叫 f(x)=0

這個 方程 呢 它 有 根

這個 根 我們 假設 兩個 吧

x₁ 和 x₂ 是不是

好 那 麽 如果 f(x)=0

我 是不是 可以 壹定 能夠 推出

(x-a)f(x)=0 對 吧

因為 妳 f(x)=0

妳 乘以 任何 壹 個數 都 等於零

所以 我 可以 乘 這個 (x-a)

乘 完 了 之後 大家 看

後面 這個 方程 的 根

這個 方程 的 根除 了 剛才 的 x₁ 和 x₂ 以外

肯定 還有 壹個 根是 a 對 嗎

妳 這個 x₁ 代 進去

這個 式子 肯定 是 零

x₂ 代 進去

這個 式子 也 是 零

如果 妳 把 a 代 進去

因為 第壹項 是 零嘛

所以 整個 這個 式子 也 是 零

因此 它 就 會 多出 壹個 根 a 來

但是 這個 根

它 卻 不壹 定 是 原來 方程 的 根

換句話說

如果 這個 a 和 x₁ x₂ 不 相等 的話

這個 a 就是 增根

它並 不 滿足 原來 的 方程

妳在 等號 兩邊

同時 乘以 壹個 為 零的數

妳 就 會 出現 壹個 增根

這 就是 增根 的 來源

壹般 呢 我們 在 初中 解 分式方程 的 時候

經常 會 出現 增根

好 了

我們 明白 了 增根 的 問題 的話

那 現在 妳 再 回過 頭去 看 那個 方程

就 很 好解 了

我們 令 這個 f(x) 等於 什 麽 呢

等於 x²+x+1

然後 妳 第壹步 不是 除了 個 x 嘛

那 所以 f(x)/x

就 等於 x+1+1/x 對 不 對

然後 呢

我 再 把 這個 式子 和 這個 式子 再作 差

壹作 差 左邊 變成 (1-1/x)f(x)

右邊 呢 x+1 約 掉 了 對 吧

變成 了 x²-1/x

然後 我 再 讓 等號 兩邊 同時 乘以 壹個 x

於是 就 變成 了

(x-1)f(x)=x³-1

然後 呢 他 就 說 妳 看

原來 這個 方程 等於零 是 有 根 的 對 不 對

而 這個 根 呢

它 也 是 最後 這個 方程 等於零 的 根 對 不 對

這個 說話 是 沒錯 的

但 問題 是 後面 這個 方程 等於零 的 根

它並 不是 原來 這個 方程 等於零 的 根

它會 有 壹些 增根

而且 增根 妳 能 看 出來 是 哪兒 嗎

因為 妳是 乘 了 個 x-1 的

所以 說會 多出 壹個 增根來

也 就是 x=1

因此 它會 多出 壹個 增根

這個 增根 就是 x=1

而 這位 寫 帖子 的 同學

他 把 這個 增根 x=1

當成 了 原來 這個 方程 的 根

自然 就 會 得到 3=0

這種 不靠 譜 的 結果

事實上 根據 這個 代數 基本 定理

x³-1=0

它 是 個 三次 方程

三次 方程 必然 有 三個 根

而 這 三個 根 分別 是 什 麽 呢

除了 剛才 我們 說 的 這 兩個 根 x₁ x₂ 以外

還有 壹個 根 就是 x=1

於是 我們 可以 在 復 平面 內畫 出 第三個 根來

這 三個 根 大家 能 看 出來 嗎

其實 它 是 彼此 夾 120 度角 的 三個 矢量

如果 我們 畫成 壹個圓 的話

正好 能夠 把 它 用 壹個 圓給 圈起來

是 吧 非常 的 有趣

所以 整體 來說 這位 同學 的 這個 做法

就是 把 增根 當成 原來 方程 的 根

於是 得出 了 壹個 不靠 譜 的 壹個 結果

想起 代數 基本 定理

也 就是 幾次 方程 就 有 幾個 根

以及 解方程 的 時候 可以 解出 增根來

這些 知識 都 是 我 在 初二 的 時候 老師 教給 我 的

回想起來 好像 就 在 昨天

我 初中 的 老師 們 妳們 還好 嗎

2021 年 祝 各位 老師 身體健康 萬事如意 |||||All the best

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