天平 最大 的 秘密 ！老师 肯定 没 告诉 你！ The biggest secret of the scales! The teacher must not have told you!

各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师 最近 有个 小朋友 跟 我 说 他 刚刚 学习 了 天平 他 知道 天平 是 一个 等 臂 杠杆 He knows that the balance is an equal-arm lever 但是 他 突发奇想 如果 在 测量 的 时候 这个 物体 不是 放在 托盘 的 正 中央 此时 天平 就 不是 等 臂 杠杆 了 那 测量 结果 会 不会 受到 影响 呢 换句话说 我们 使用 托盘 天平 的 时候 到底 要 不要 把 物体 和 砝码 放在 托盘 的 正 中央 呢 我 还 特意 做 了 一个 这样 的 实验 设备 大家 来看 一下 这是 一个 实验 装置 这个 实验 装置 就是 模拟 了 天平 的 这样 的 一个 装置 那么 我 现在 有 两个 这个 牛奶 这个 牛奶 我 把 它 放在 大约 等 臂 的 位置 上 I put it in about the arm position 那 基本上 天平 就是 可以 平衡 了 对 吧 好 如果 我们 往外 拖 一些 只要 它 的 力臂 还是 相等 的 那么 它 依然 是 可以 平衡 的 对 吧 那 我 现在 问 一个 问题 假如 我 右边 的 这 一盒 牛奶 不变 左边 的 这个 牛奶 把 它 放在 托盘 上 这样 力臂 就 会 大 一些 大家 想一想 天平 还会 不会 平衡 我们 松手 来看 一看 大家 看 天平 还是 平衡 的 对 吧 如果 我们 把 左边 的 这个 再 往外 挪 挪到 这儿 我 再 松手 天平 还会 不会 平衡 呢 你 看 还是 平衡 的 有人 说 它 不等 高 那 咱 让 它 等 高 一个 靠近 一个 远 一点 再 松手 看 你 看 还是 平衡 的 有人 说 是不是 卡住 了 它 真 没 卡住 你 看 我 一 松手 它 立刻 就 掉下来 对 吧 它 没有 卡住 但是 它 确实 是 可以 保证 平衡 虽然 力臂 不 相等 就 好像 说 呀 你 如果 在 中间 这个 横梁 上放 它 要求 力臂 相等 才行 如果 你 放在 托盘 上 远近 好像 没什么 关系 对 不 对 你 看 没什么 关系 谁 远 谁 近 好像 区别 不是 很大 是不是 你 看 基本上 都 是 可以 平衡 的 对 吧 好 所以 这个 其实 和 天平 类似 也就是说 我们 初步 得出 的 结论 就是 物体 和 砝码 放在 天平 的 什么 位置 其实 关系不大 但是 这个 原因 到底 是 什么 呢 我们 来 研究 一下 这个 问题 我们 通常 认为 天平 就长 这个 样子 这是 一个 杆 中间 立 了 一个 柱 然后 中间 这个 地方 是 可以 转动 的 对 吧 然后 我 就 把 这 物体 放到 左右 两侧 左边 放 一个 物体 这个 重量 m₁g 距离 叫 x₁ 然后 右边 也 放 了 个 物体 m₂g 然后 力臂 是 x₂ 那 如果 你 要 想 平衡 的话 根据 力臂 相等 那 m₁gx₁ 应该 等于 m₂gx₂ 在 这种 情况 下 天平 就 应该 是 平衡 的 对 吧 如果 你 想 让 它 质量 相等 的 平衡 那 就是 等 臂 杠杆 x₁ 如果 等于 x₂ 的话 x₁=x₂ 时 就 一定 会 有 m₁=m₂ 所以 利用 等 臂 的 这个 天平 就 可以 测量 质量 但 实际上 天平 并 不是 长 这个 样子 的 天平 长 什么 样子 的 呢 它 是 跟 我 刚才 画 的 这个 装置 差不多 的 它 是 实际上 是 一个 回 字形 的 杠杆 It is actually a lever in the back shape 它 上下 各有 一个 横梁 中间 再有 一个 支柱 在 支柱 底下 还有 一个 比较 重 的 物体 比较 重 的 物体 好 然后 在 左右两个 横梁 上 它 还有 一个 连接 它 形成 了 这样 的 一个 日 字型 的 形状 而且 这 六个 节点 都 是 可以 转动 的 就 这 六个 节点 它 都 是 可以 转动 的 那 也就是说 你 这个 东西 虽然 连 到 一块 了 但是 你 可以 这样 转 对 吧 可以 这样 转 铰链 相连 的 那种 情况 好 然后 我们 再 加 两个 托盘 这个 托盘 是 放在 上面 还是 下面 还是 左边 其实 没有 关系 我 这个 装置 是 连接 到 左右两个 立柱 上 而且 这个 点 它 是 固定 的 它 是 固定 的 意思 就是说 中间 的 这个 部位 它 是 不能 转 的 就是 我 这 两个 我 这 两个 装置 我 就 这么 死死地 扣 在 一块 你 要 转 就 一起 转 对 吧 你 角度 是 不能 变 的 因为 它 这个 地方 是 定 死 的 好 现在 我 在 左侧 我放 了 一个 物体 左侧 我放 了 一个 物体 重量 是 m₁g 然后 我 就 问 你 说 请问 这个 m₁g 对 整个 这个 装置 会 有 什么样 的 影响 那么 这个 影响 很多 人 可能 会 想到 力臂 就 是从 中间 这个 轴线 到 左边 这 m₁g 这么 长 对 吧 这个 其实 是 不 对 的 为什么 这么 说 呢 咱们 先 仔细 地 研究 一下 这个 物体 和 这个 托盘 这个 装置 物体 和 托盘 这个 装置 这是 一个 托盘 然后 左边 放 了 一个 物体 这个 物体 受到 一个 力 就是 重力 m₁g 因为 它 受到 重力 的 作用 那么 整个 系统 要 往下掉 它 为什么 没有 往下掉 因为 受到 一个 向上 的 力 这个 向上 力 谁 给 的 立柱 给 的 对 吧 所以 立柱 给 了 这个 托盘 一个 向上 的 F₁ 这 F₁ 就是 m₁g 大小 是 一样 的 但是 这 两个 力 它 真的 能够 平衡 吗 不能 因为 这 两个 力 等 大 反向 但是 不 共线 不 共线 的 两个 力会 造成 一个 转动 的 这样 的 趋势 叫做 力偶矩 Moment of Couple 那么 你 如果 没有 其它 力 的话 它 就 会 转 它 为什么 没有 转 呢 咱们 仔细 思考 比如说 我 拿 着 一个 这个 牛奶 我 这个 手 这么 掐着 它 按说 这个 牛奶 应该 掉下去 为什么 呢 因为 它 的 重力 是 作用 在 这儿 的 我 的 手 作用 在 这 条线 上 它 为什么 不 掉下去 呢 因为 我 的 手 除了 给 它 一个 向上 的 力 以外 我 上下 两根 手指 其实 还给 了 这个 牛奶 侧向 的 力 上面 的 这个 手指 其实 我 是 往外 抠 的 底下 这个 手指 我 是 往里 送 的 就 这么 掐住 它 所以 它 才能 不 掉下去 同样 道理 这个 杆 它 是 有 厚度 的 然后 上面 的 这个 地方 会 受到 竖梁 一个 向 右 的 力 叫做 F₂ 底下 会 受到 向 左 的 F₂ 就是 这 两个 力 它会 使得 这个 横梁 这么 横着 往 顺时针 的 方向 转 你 又 往 逆时针 的 方向 转 你 又 往 顺时针 方向 转 这 两个 力偶矩 一 平衡 它 就 静止 了 对 吧 就 保持 静止 了 如果 要是 你 问 我 怎么 算 的话 具体来讲 计算 就是 两个 力 等 大 反向 并且 它们 之间 有 一个 距离 这个 距离 比如说 叫做 x₁ 那 这样的话 力偶矩 就 叫 m₁g 乘以 x₁ 这个 就是 重力 使得 这个 系统 逆时针 旋转 的 力偶 那么 反过来说 我 这 两个 力 这 两个 力 的 力偶 就是 F₂ 再 乘以 两个 F₂ 之间 的 距离 其实 就是 板子 的 厚度 Δh 所以 可见 是 F₂ 其实 比 m₁g 要 大 很多 不管怎么 说 反正 这个 横梁 这个 托盘 它 既 能 在 力 的 方向 保持平衡 另外 在 转动 的 情况 下 它 也 能 保持平衡 但是 这个 力是 谁 给 的 F₂ 谁 给 的 是 竖 着 这个 梁给 的 对 吧 所以 我们 把 这 竖 着 梁画 出来 竖 着 的 这个 梁 它 给 了 一个 托盘 向 右 和 向 左 的 F₂ 所以 它 反作用力 就是 向 左 和 向 右 的 F₂ 那么 这 两个 力 又 会 怎么样 呢 又 会 使得 竖 着 这个 梁 逆时针 旋转 但是 竖 着 的 梁 它 为什么 没转 呢 因为 竖 着 的 梁 两边 还有 什么 还有 横梁 所以 这个 横梁 又 给 了 这个 竖梁 一个 作用力 F₃ F₃ 这个 样子 所以 这个 竖梁 既有 一个 逆时针 旋转 的 力矩 又 有 一个 顺时针 旋转 的 力矩 所以 它 就 平衡 了 是不是 你 还 可以 再 列出 方程 来 叫 F₂Δh=F₃L 知道 L 是 哪 一段 吗 L 应该 就是 两个 F₃ 之间 的 距离 对 吧 这个 竖梁 它 受到 这 两个 F₃ 的 作用力 是 谁 给 的 是 这个 两根 横梁 给 的 对 不 对 好 那 咱们 来 分析 一下 这 两根 横梁 这 两根 横梁 这 两根 横梁 它 给 了 这个 竖梁 作用力 向 左 的 F₃ 所以 它 反过来 受到 一个 就 向 左 的 F₃ 对 吧 底下 这根 受到 一个 向 右 的 F₃ 好 我们 看 这 两个 力 按说 应该 是 使得 这个 系统 转动 的 但 实际上 这 两个 力是 不会 使 系统 转动 的 为什么 呢 大家 仔细 看 这个 F₃ 它 是 过 中间 这个 轴 的 所以 这个 F₃ 它 是 没有 力臂 的 它 过 中间 这个 转轴 它 不会 使 上面 这个 杆 发生 转动 对 不 对 只要 中间 的 这个 轴 再 给 横梁 一个 向 右 的 F₃ 就 可以 了 这样的话 这个 横梁 就 平衡 了 而且 它 不 转动 因为 这个 力 都 是 共线 的 对 吧 底下 也 是 一样 底下 这个 横梁 说 到 一个 向 右 的 F₃ 它 为什么 不 动 因为 中间 这个 竖梁 给 它 一个 向 左 的 F₃ 这样一来 这 两根 梁它 也 不动 了 是不是 这 两根 梁 也 不动 了 那 有人 说 那 你 这 两个 梁不动 了 你 这 两个 F₃ 谁 给 的 中间 这个 轴 给 的 那好 咱们 最后 再 把 中间 这个 轴画 出来 中间 的 这个 轴 它 受到 了 两个 力 不 共线 保持 不 动 一个 力是 向 左 的 F₃ 为什么 呢 因为 这个 竖梁 给 了 横梁 向 右 的 F₃ 所以 横梁 给 竖 梁向 左 的 F₃ 对 吧 同样 道理 这边 有 一个 向 右 的 F₃ 你 这 两个 力 难道 不会 使得 中间 这个 轴 发生 转动 吗 还 真 不会 为什么 呢 因为 托盘 很 重 这 底下 这个 座 很重 底下 这个 座 很重 你 这 两个 力是 使 这个 系统 这么 转 的 对 不 对 但是 我 这个 座 很重 所以 我 有 一个 重力 叫 Mg 我 只 需要 让 我 地面 的 支持力 稍微 往右 挪 那么 一点点 在 这 对 不 对 在 这儿 就行了 你 这样一来 你 就 会 发现 此时 这 两个 力 构成 的 力偶 正好 可以 跟 这个 F₃ 的 力偶 平衡 掉 我们 说 F₃ 再 乘以 上下 之间 距离 叫 L 它 应该 等于 Mg 再 乘以 这 两个 之间 的 距离 这 两个 之间 的 距离 我们 管它 叫 a 是 吧 换句话说 咱们 仔细 琢磨 琢磨 你 这个 物体 放在 托盘 的 不同 位置 到底 造成 什么 影响 你 这个 物体 放在 托盘 的 不同 位置 就是 这个 距离 x₁ 不 一样 你 这 x₁ 不 一样 就是 使 这个 托盘 转动 的 这个 力偶 不 一样 也 就 造成 了 F₂ F₃ 不 一样 造成 了 最后 使得 中间 这个 竖梁 转动 的 力偶 不 一样 不过 没有 关系 你 不 一样 我 也 只是 造成 我 这个 支持力 对 吧 支持力 的 位置 作用点 稍微 有点 变化 使得 这个 a 不 一样 所以 你 这个 重物 轻 一点 我 这个 支持力 就 更 靠近 中间 你 这个 重物 重 一点 我 就 支持力 就 更 靠右 只要 你 这个 重物 不是 非常 重 不足以 把 我 这 东西 弄倒 的话 我 总是 可以 平衡 掉 的 所以 到 目前为止 你 放 的 位置 就 没有 关系 了 对 吧 那 你 放 的 位置 没有 关系 重量 到底 有没有 关系 重量 还是 有 关系 的 因为 我 刚才 还 没有 分析 一个 力 就是 这个 F₁ 这个 F₁ 是 竖梁 作用 在 托盘 上 的 对 吧 它 反过来 也 会 把 这个 力 反作用 于 竖 梁上 换句话说 转动 被 抵消 了 之后 只 剩下 一个 m₁g 而 这个 m₁g 相当于 作用 在 这根 梁上 同样 道理 你 在 右侧 托盘 上 你 不管 放在 哪 你 放在 任何 一个 位置 你 放 一个 重物 m₂g 它 其实 都 相当于 是 作用 在 这个 点 m₂g 这样一来 的话 其实 你 放在 哪 就 没有 关系 了 你 放在 不同 的 位置 它 的 这个 转动 的 情况 已经 被 抵消 掉 了 就 被 底下 这个 重物 抵消 掉 了 而 它 这个 竖直 方向 的 这个 力 就 相当于 是 作用 在 这个 地方 因此 放在 托盘 上 的 任何 位置 它 的 这个 力臂 都 相当于 是 相等 的 托盘 天平 其实 也 是 这样 的 一个 道理 它 上面 有 一个 横梁 它 底下 还有 一个 横梁 中间 靠 立柱 连接 形成 了 一个 这样 的 日 字形 的 结构 所以 你 把 这个 物体 放在 托盘 天平 的 不同 位置 其实 测量 结果 都 是 一样 的 那么 这种 问题 我们 在 平时 上课 的 时候 可能 大家 没有 仔细 的 想 过 是 吧 你 应该 在 学习 的 过程 中多 去 考虑一下 这些 问题