Μαθηματικά - Δεκαδικοί αριθμοί - Γ' Δημοτικού Επ. 29 Mathematics - Decimals - 3rd grade Ep. 29

Γεια σας. Είμαι η Δήμητρα Τσάλα...

...και θα μιλήσουμε για τους δεκαδικούς αριθμούς.

Τι είναι αυτοί οι δεκαδικοί αριθμοί;

Γιατί τόσα πολλά καινούργια πράγματα μαθαίνουμε;

Καλά, χρησιμοποιούμε τους ακεραίους. Nun, wir verwenden die ganzen Zahlen.

Άντε, μάθαμε και τους κλασματικούς αριθμούς. Komm schon, wir haben auch etwas über Bruchzahlen gelernt.

Τώρα τι τους θέλουμε τους δεκαδικούς; Έχετε δίκιο.

Η αλήθεια είναι ότι οι κλασματικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται... Die Wahrheit ist, dass Bruchzahlen verwendet werden ...

...εδώ και πάρα πάρα πολλά χρόνια... ...seit vielen, vielen Jahren...

...ήδη από τη δεύτερη χιλιετηρίδα προ Χριστού από τους Αιγυπτίους. Μχμ. ...bereits ab dem zweiten Jahrtausend vor Christus von den Ägyptern. Mhm.

Ενώ οι δεκαδικοί αριθμοί είναι πιο καινούργιοι. Während Dezimalzahlen neuer sind.

Άρχισε να τους χρησιμοποιεί και να τους γράφει... Er fing an, sie zu benutzen und sie zu schreiben ...

...σαν κάτι καινούργιο δηλαδή, ένας Φλαμανδός μαθηματικός... ... wie etwas Neues, das heißt, ein flämischer Mathematiker ...

...τον 16ο αιώνα μ.Χ. ...im 16. Jahrhundert n. Chr

Εντάξει, το ξέρω, δεν είναι και πολύ κοντά στην εποχή μας.

Κι αυτό μακριά είναι, αλλά δεν συγκρίνεται με το άλλο. Und dieser hier ist weit, aber er ist nicht mit dem anderen zu vergleichen.

Γιατί, λοιπόν, παρουσιάστηκε αυτή η ανάγκη να έχουμε τους δεκαδικούς αριθμούς; Warum mussten also Dezimalzahlen entstehen?

Να χρησιμοποιήσουμε τους δεκαδικούς αριθμούς; Για κοιτάξτε ένα παράδειγμα. Sollen wir Dezimalzahlen verwenden? Schauen wir uns ein Beispiel an.

Η μαμά μας μας βάζει θερμόμετρο. Και ο μπαμπάς καμιά φορά. Unsere Mutter setzt uns ein Thermometer an. Und Papa manchmal.

Και βλέπουμε αυτό. Und das sehen wir.

Οπ. Δεν είναι ακριβώς 37. Έχει και κάτι ακόμα. Op. Er ist nicht gerade 37. Er hat etwas anderes.

Ή όταν πηγαίνουμε στο βενζινάδικο να βάλουμε βενζίνη με το αυτοκίνητο. Oder wenn wir zur Tankstelle gehen, um das Auto zu betanken.

Βλέπουμε στις τιμές αυτό. Das sehen wir an den Preisen.

Σπάνια τόσο χαμηλή τιμή, αλλά τη βλέπουμε. Selten so günstig, aber wir sehen es.

Δεν είναι ακριβώς ολόκληρο, έχει και κάτι ακόμα.

Ή όταν μας μετράει ο παιδίατρος το ύψος μας. Oder wenn der Kinderarzt unsere Körpergröße misst.

Δεν είναι ακριβώς το ολόκληρο, έχει και κάτι ακόμα. Es ist nicht genau das Ganze, es hat etwas mehr.

Αυτή, λοιπόν, η ανάγκη παρουσιάστηκε.

Όταν θέλαμε να εκφράσουμε μια ποσότητα...

...η οποία δεν ήταν ακριβώς ολόκληρη η ποσότητα, είχε και κάτι άλλα ψιλά ακόμα. ...was nicht gerade die ganze Menge war, es hatte auch noch einige andere Kleinigkeiten.

Αυτή λοιπόν την ακρίβεια που θέλαμε να την εκφράσουμε δεν μπορούσαμε να την εκφράσουμε με τους ακεραίους. Die Genauigkeit, die wir ausdrücken wollten, konnte also nicht mit ganzen Zahlen ausgedrückt werden.

Και με τα κλάσματα είχαμε μεγάλη δυσκολία. Und mit den Brüchen hatten wir große Schwierigkeiten.

Γι' αυτό, λοιπόν, χρησιμοποιούμε τους δεκαδικούς αριθμούς. Deshalb verwenden wir Dezimalzahlen.

Για να δούμε τώρα, λοιπόν, αυτούς τους δεκαδικούς αριθμούς. Sehen wir uns nun diese Dezimalzahlen an.

Πώς τους καταλαβαίνουμε ότι είναι δεκαδικοί αριθμοί; Wie verstehen wir sie als Dezimalzahlen?

Πολύ εύκολο.

Αν δούμε κάτι τέτοιο και δούμε και αυτό το σημαδάκι εδώ...

...που στη γλώσσα ξέρουμε ότι λέγεται κόμμα... ...was in der uns bekannten Sprache ein Komma heißt...

...λέμε "Οπ! Αυτός είναι δεκαδικός αριθμός". Το ίδιο κι αυτός, και αυτός ο αριθμός. ...sagen wir "Ups! Das ist eine Dezimalzahl". Er auch und diese Nummer.

Τι είναι λοιπόν, όταν βλέπουμε έναν αριθμό... Also, was ist es, wenn wir eine Zahl sehen …

...τι είναι εκείνο που μας κάνει να καταλάβουμε ότι είναι δεκαδικός αριθμός; ...wodurch verstehen wir, dass es sich um eine Dezimalzahl handelt?

Αυτό εδώ το μικρούλι μικρούλι σημαδάκι. Dieses kleine winzige Fleckchen.

Που λέγεται... Θα σας πω σε λίγο πώς λέγεται. Was heißt... Ich werde dir gleich sagen, wie es heißt.

Αυτοί, λοιπόν, οι δεκαδικοί αριθμοί έχουνε δύο κομμάτια. Diese Dezimalzahlen haben also zwei Teile.

Το βλέπετε κι εσείς. Ένα κομμάτι μπροστά από την... απ' το σημαδάκι...

...και ένα κομμάτι μετά το σημαδάκι. ...und ein Stück nach der Marke.

Για να φτιάξουμε, λοιπόν, έναν καινούργιο δεκαδικό αριθμό. Also, um eine neue Dezimalzahl zu machen.

Παράδειγμα, ας πάρουμε αυτόν.

Αυτός, λοιπόν, ο δεκαδικός αριθμός...

Τον αναγνωρίζω ότι είναι δεκαδικός γιατί έχει αυτό εδώ.

Αποτελείται από δύο κομμάτια. Το πρώτο κομμάτι, αυτό εδώ... Es besteht aus zwei Teilen. Das erste Stück, dieses...

...που είναι το ακέραιο μέρος. ... was der ganzzahlige Teil ist.

Είναι, δηλαδή, τα γνωστά μας ολόκληρα.

Ε... ακέραιο μέρος είναι τα ολόκληρα. Πολύ ωραία.

Το άλλο μέρος πώς να λέγεται, άραγε; Wie heißt der andere Teil, richtig?

Δεκαδικός αριθμός... Dezimalzahl...

Σωστά. Δεκαδικό μέρος. Korrekt. Dezimalteil.

Εδώ δεν έχουμε ολόκληρα. Εδώ έχουμε πολύ, πολύ, πολύ μικρά...

...τα οπόια προσπαθούνε να γίνουν ολόκληρα, αλλά δεν τα έχουν καταφέρει...

...γιατί αν είχαν καταφέρει να γίνουν ολόκληρα...

...θα είχε μεγαλώσει αυτό και από 273 θα έλεγε 274. ...hätte dies erhöht und von 273 würde es 274 heißen.

Και αυτή εδώ, αυτό το σημαδάκι...

...που στα μαθηματικά δεν το λέμε κόμμα, όπως στη γλώσσα... ...was wir in der Mathematik nicht als Komma bezeichnen, wie in der Sprache...

...αλλά το λέμε υποδιαστολή. ... aber wir nennen es einen Dezimalpunkt.

Είναι αυτό που χωρίζει τα δύο κομμάτια, το ακέραιο μέρος από το δεκαδικό μέρος. Es trennt die beiden Teile, den ganzzahligen Teil vom Dezimalteil.

Δεν νομίζω ότι είναι δύσκολο, το καταλαβαίνουμε. Πολύ ωραία. Ich denke nicht, dass es schwierig ist, wir verstehen. Sehr schön.

Πώς δημιουργείται, τώρα, ένας δεκαδικός αριθμός. Wie entsteht nun eine Dezimalzahl?

Ας πάρουμε για παράδειγμα... Να καθαρίσουμε λίγο.

Ας πάρουμε για παράδειγμα τον δεκαδικό αριθμό... Nehmen wir zum Beispiel die Dezimalzahl...

Πώς δημιουργείται αυτός ο δεκαδικός αριθμός; Wie entsteht diese Dezimalzahl?

Με την επανάληψη της δεκαδικής μονάδας. Durch Wiederholen der Dezimaleinheit.

Στους ακεραίους θα λέγαμε "της μονάδας" σκέτο. Bei ganzen Zahlen würden wir schlicht "von der Einheit" sagen.

Εδώ πέρα μιλάμε για τη δεκαδική μονάδα, γιατί έχουμε δεκαδικό αριθμό. Hier sprechen wir über die Dezimaleinheit, weil wir eine Dezimalzahl haben.

Άρα, λοιπόν, έχουμε 0,1... Wir haben also 0,1...

Ουψ! Είπα "μηδέν κόμμα ένα". Hoppla! Ich sagte "null Komma eins".

Το λέω απλά γιατί ακόμα δεν σας έχω πει πώς το λέμε σωστά. Ich sage es nur, weil ich dir immer noch nicht gesagt habe, wie man es richtig sagt.

Και 0,1 και 0,1 και 0,1. Und 0,1 und 0,1 und 0,1.

Μία, δύο, τρεις, τέσσερις φορές πήραμε το 0,1...

...για να φτιάξουμε το 0,4.

Είναι ίσο, λοιπόν, αυτό, με 0,4.

Με παρόμοιο τρόπο φτιάχνουμε τους δεκαδικούς αριθμούς... Auf ähnliche Weise machen wir die Dezimalzahlen ...

...οποιοσδήποτε κι αν είναι αυτός. ... wer auch immer das ist.

Ξέρουμε από τους ακεραίους ότι κάθε αριθμός... Wir wissen von ganzen Zahlen, dass jede Zahl...

...ανάλογα με τη θέση στην οποία βρίσκεται το ψηφίο του... ...je nachdem, an welcher Stelle sich seine Ziffer befindet...

...έχει και διαφορετική αξία. ...es hat auch einen anderen Wert.

Είναι πολύ σημαντικό να γνωρίζουμε την αξία των αριθμών... Es ist sehr wichtig, den Wert von Zahlen zu kennen...

...γιατί αυτό, άλλωστε, τους διαφοροποιεί και μεταξύ τους. ...denn das unterscheidet sie doch voneinander.

Η θέση στην οποία βρίσκονται. Die Position, in der sie sich befinden.

Βρίσκονται λοιπόν, ανάλογα με τη θέση τους... Sie sind also je nach Position...

...έχουν διαφορετική αξία. Πολύ ωραία.

Αυτές οι ομάδες τάξεων, όπως ονομάζονται...

...δεν ισχύουν μόνο για τους ακεραίους, ισχύουν και για τους δεκαδικούς αριθμούς.

Για να θυμηθούμε λίγο αυτές τις ομάδες τάξεων στους ακεραίους.

Ας πάρουμε έναν ακέραιο.

Πολύ ωραία.

Θυμόμαστε, ο τελευταίος είναι μονάδες...

...ο προηγούμενος είναι δεκάδες και ο πρώτος είναι εκατοντάδες.

Μπορούμε να προχωρήσουμε και να βάλουμε κι άλλους, να έχουμε χιλιάδες, δεκάδες χιλιάδων...

...αλλά δεν χρειάζεται τώρα, χρειάζεται μόνο να το κατανοήσουμε.

Εδώ απλά το θυμίζουμε.

Θυμάστε πώς δημιουργείται ο κάθε ένας αριθμός εδώ...

...ανάλογα τη θέση στην οποία βρίσκεται;

Για να το κάνουμε.

Δύο φορές το ένα, γιατί είναι μονάδες. Zweimal eins, weil es Einheiten sind.

Πέντε φορές το δέκα, γιατί είναι δεκάδες.

Έξι φορές το εκατό, γιατί έχουμε εκατοντάδες.

Πολύ, πολύ ωραία.

Κάτι αντίστοιχο γίνεται και με το δεκαδικό μέρος...

...του δεκαδικού αριθμού.

Για δείτε αυτό. Κάτι αντίστοιχο γίνεται κι εκεί.

Να το φτιάξω, λοιπόν, τώρα εγώ αυτό, να του προσθέσω ένα κομμάτι... Also, lass mich das jetzt beheben, füge ein Stück hinzu ...

...και να τον κάνω δεκαδικό.

Πολύ ωραία.

Πιστεύετε ότι εδώ έχουμε τις ίδιες ονομασίες... Glaubst du, wir haben hier die gleichen Namen?

...ανάλογα τη θέση στην οποία βρίσκεται κάθε αριθμός;

Όχι, βέβαια. Σαφώς δεν έχουμε τις ίδιες. Natürlich nicht. Wir haben eindeutig nicht die gleichen.

Για να δούμε, λοιπόν, πώς λέγεται η πρώτη θέση μετά από αυτό το σημαδάκι... Mal sehen, wie der Name des ersten Ortes nach diesem Zeichen heißt ...

...που το είπαμε πώς;

Πολύ σωστά, υποδιαστολή. Richtig, Komma.

Η πρώτη, λοιπόν, θέση, πώς λέγεται; Also die erste Position, wie heißt sie?

Λέγεται "δέκατα". Επειδή αρχίζει κι αυτό από "δ", όπως οι δεκάδες... Es heißt „Zehnt“. Denn es beginnt auch mit "d", wie die Zehner...

...για να μην τα μπερδεύουμε, το γράφουμε με μικρό. ...um Verwirrung zu vermeiden, schreiben wir es klein.

Δέκατα.

Να το γράψω όλο, γιατί είναι καινούργιο.

Όχι τα καλύτερα γράμματα, βέβαια.

Αυτός ο αριθμός, ο 3, βρίσκεται στη δεύτερη θέση μετά την υποδιαστολή. Diese Zahl, 3, steht an zweiter Stelle nach dem Komma.

Εδώ έχουμε τα εκατοστά.

Έψιλον, για να μην το μπερδέψουμε με τις εκατοντάδες, με μικρό.

Και στην τρίτη θέση έχουμε, χμ... Τα χιλιοστά. Und auf dem dritten Platz haben wir, ähm... Millimeter.

Με μικρό "χ". Αν είχαμε μπροστά εδώ κι άλλον αριθμό, θα ήταν χιλιάδες... Mit kleinem "x". Wenn wir eine andere Zahl vor uns hätten, wären es Tausende...

...που θα είχαν το μεγάλο "χ", το κεφαλαίο. ...die das große "x", das Kapital, haben würden.

Γι' αυτό, λοιπόν, συνεχίζουμε με μικρά γράμματα. Deshalb machen wir weiter mit Kleinbuchstaben.

Για να μην τα μπερδεύουμε.

Πολύ ωραία.

Άρα, λοιπόν, στην πρώτη θέση μετά την υποδιαστολή έχουμε τα δέκατα...

...στη δεύτερη τα εκατοστά και στην τρίτη τα χιλιοστά.

Θέλω να τη θυμάστε αυτή τη σειρά, είναι πάρα πολύ σημαντική... Ich möchte, dass Sie sich an diese Serie erinnern, es ist sehr wichtig...

...για να μπορέσουμε να δουλέψουμε και παρακάτω.

Κι έτσι κι αλλιώς, για να μπορούμε να δουλεύουμε με τους δεκαδικούς αριθμούς.

Πώς θα διαβάσουμε, τώρα, έναν δεκαδικό αριθμό; Για να δούμε.

Έχουμε φτιάξει αυτόν τον δεκαδικό αριθμό, 652 υποδιαστολή 132.

Έτσι θα τον διαβάζουμε;

Ή υπάρχει κάποιος άλλος τρόπος που είναι πιο όμορφος;

Ναι, υπάρχει ένας άλλος τρόπος. Ja, es gibt einen anderen Weg.

Διαβάζουμε το πρώτο κομμάτι όπως είναι... Wir lesen den ersten Teil so wie er ist...

...γιατί είναι το ακέραιο κομμάτι, το ολόκληρο, 652... ...denn es ist das ganze Stück, das Ganze, 652...

...την υποδιαστολή δεν τη διαβάζουμε "υποδιαστολή", τη διαβάζουμε "και"... ...das Komma wird nicht "Komma" gelesen, wir lesen es "und"...

...και το υπόλοιπο κομμάτι, που είναι το δεκαδικό μέρος, κι αυτό το διαβάζουμε ολόκληρο. ... und der Rest des Teils, der der Dezimalteil ist, und wir lesen ihn vollständig.

Προσέξτε. Εκατόν τριάντα δύο, δεν βάζω, όμως, τελεία. Vorsichtig sein. Einhundertzweiunddreißig, aber ich setze keinen Punkt.

Πρέπει να πω και κάτι ακόμα. Ich muss noch etwas sagen.

Σε ποια θέση τελειώνει το δεκαδικό μέρος; Στην πρώτη; Όχι. Auf welche Stelle endet der Dezimalteil? Am Anfang; Nein.

Στη δεύτερη; Μ-μ. In dieser Sekunde? M-m

Στην τρίτη. Αα, στην τρίτη θέση τι είπαμε ότι έχουμε; Τα χιλιοστά. In der dritten. Ah, an dritter Stelle, was haben wir gesagt? Die Millimeter.

Άρα, λοιπόν, 132 χιλιοστά.

Το ξαναλέμε όλο μαζί. Lassen Sie es uns gemeinsam noch einmal sagen.

Εξακόσια πενήντα δύο και εκατόν τριάντα δύο χιλιοστά. Sechshundertzweiundfünfzig und einhundertzweiunddreißig Tausendstel.

Για να σβήσω εγώ τα χιλιοστά. Damit ich die Millimeter löschen kann.

Πώς θα διαβάζαμε τώρα τον αριθμό μας; Wie würden wir unsere Nummer jetzt lesen?

Για κάντε μια προσπάθεια. Probieren Sie es aus.

Εξακόσια πενήντα δύο και... δεκατρία... εκατοστά! Sechshundertzweiundfünfzig und... dreizehn... Zentimeter!

Πολύ ωραία. Sehr schön.

Και αν σβήσω και το 3...

...πώς θα διαβαστεί τώρα ο καινούργιος δεκαδικός; ...wie wird die neue Dezimalstelle jetzt gelesen?

Εξακόσια πενήντα δύο και... ένα... δέκατο. Sechshundertzweiundfünfzig und... eins... Zehntel.

Πάρα πολύ ωραία. Sehr schön.

Είναι πολύ σημαντικό, λοιπόν, να θυμόμαστε τη σειρά...

...μετά την υποδιαστολή.

Πρώτα είναι τα δέκατα, μετά τα εκατοστά... Erst sind es die Zehntel, dann die Hunderter...

...και τελευταία, στην τρίτη θέση, είναι τα χιλιοστά.

Να το θυμάστε, είναι πάρα πολύ σημαντικό.

Έτσι, λοιπόν, τα διαβάζουμε. Πολύ ωραία.

Πώς τα γράφουμε, τώρα.

Φυσικά, για να τα γράψουμε, κάτι ακούμε, κάποιος μας τα λέει.

Μας τη δίνει την πληροφορία.

Αν λοιπόν μας τη δώσει σωστά την πληροφορία, σύμφωνα με αυτά που είπαμε...

...θα το γράψουμε κι εμείς σωστά.

Για να δούμε μερικές τέτοιες πληροφορίες.

Θυμόμαστε. Μπροστά έχουμε τον ακέραιο.

Το "και" είναι η υποδιαστολή μας.

Το επόμενο είναι το δεκαδικό μέρος, το οποίο μου λέει...

"Δέκατα", άρα σε ποια θέση πρέπει να τελειώνει το δεκαδικό μέρος; "Zehn", also wo soll die Dezimalstelle enden?

Θυμόμαστε; Μετά την υποδιαστολή, δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά. Erinnern wir uns? Nach dem Komma Zehntel, Zentimeter, Millimeter.

Στην πρώτη θέση.

Φτιάχνουμε, λοιπόν, τον αριθμό μας. Also machen wir unsere Nummer.

Δύο και τρία δέκατα. Zwei und drei Zehntel.

Έτοιμος ο δεκαδικός αριθμός.

Άλλο παράδειγμα.

Είκοσι ένα και εβδομήντα τρία εκατοστά. Einundzwanzig und dreiundsiebzig Zentimeter.

Είκοσι ένα, ο ακέραιος. Einundzwanzig, die ganze Zahl.

"Και", η υποδιαστολή μας. "Und", unser Komma.

Εβδομήντα τρία εκατοστά. Dreiundsiebzig Zentimeter.

Άρα, λοιπόν, πόσες θέσεις έχουμε καλύψει μετά την υποδιαστολή; Also, wie viele Stellen nach dem Komma haben wir abgedeckt?

Δύο θέσεις.

Εβδομήντα τρία.

Έτοιμο.

Για να βάλω τώρα ένα λίγο πιο δύσκολο, ένα λίγο πιο πονηρό. Um es jetzt ein bisschen schwieriger zu sagen, ein bisschen schlauer.

Έξι και... δύο... χιλιοστά. Sechs und... zwei... Millimeter.

Δεν αγχωνόμαστε. Σιγά σιγά, το παίρνουμε με τη σειρά του. Wir sind nicht gestresst. Nach und nach nehmen wir es der Reihe nach.

Πρώτα γράφουμε τον ακέραιο. Έξι.

"Και". Υποδιαστολή.

Δύο χιλιοστά. Μμ...

Τα χιλιοστά σε ποια θέση είπαμε ότι βρίσκονται;

Δέκατα, πρώτη θέση. Εκατοστά, δεύτερη θέση.

Χιλιοστά, τρίτη θέση.

Άρα, λοιπόν, το δύο πρέπει να βρίσκεται στην τρίτη θέση. Also müssen die beiden an dritter Stelle stehen.

Στην τρίτη θέση; Και τι θα κάνω εγώ με τις άλλες δύο μπροστά που έχει;

Τίποτα. Θα βάλω απλά ένα μηδενικό. Nichts. Ich setze einfach eine Null.

Έφτιαξα, λοιπόν, αυτό που μου είπανε. Also tat ich, was mir gesagt wurde.

Έξι και δύο χιλιοστά. Sechs und zwei Millimeter.

Δεν ήταν, τελικά, πολύ δύσκολο.

Ωραία. Μάθαμε να τους λέμε, μάθαμε να τους γράφουμε... Nett. Wir haben gelernt, sie anzurufen, wir haben gelernt, sie zu schreiben ...

Και εδώ μπορούμε να πούμε και κάτι άλλο.

Σ' έναν δεκαδικό αριθμό μπορώ, έχω το δικαίωμα...

...χωρίς να κάνω καμία ζημιά στον αριθμό...

...να προσθέσω στο τέλος του όσα μηδενικά εγώ θέλω.

Στο τέλος, όμως.

Στο δεύτερο κομμάτι, που είναι το δεκαδικό κομμάτι...

...και στο τέλος του.

Εδώ, παράδειγμα, όσα μηδενικά θέλω.

Δεν πειράζω καθόλου την αξία του αριθμού μ' αυτό τον τρόπο, καθόλου. Ich ändere den Wert der Zahl nicht auf diese Weise, überhaupt nicht.

Θα μου πείτε, τώρα γιατί να το κάνω αυτό; Γιατί να καθίσω να βάζω μηδενικά στο τέλος; Sie werden sagen, warum sollte ich das jetzt tun? Warum herumsitzen und Nullen am Ende setzen?

Θα δείτε ότι θα σας είναι πάρα πολύ χρήσιμο αυτό... Sie werden das sehr nützlich finden...

...στην αρχή, τουλάχιστον, όταν κάνετε πράξεις κάθετα. ...zunächst zumindest, wenn man vertikal arbeitet.

Ίσως όχι τόσο πολύ στην πρόσθεση, που κι εκεί μπορεί να χρειαστεί...

...όσο στην αφαίρεση. Οι κάθετες πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς...

...έχουν μια μικρή, στην αρχή, δυσκολία, όχι πολύ μεγάλη...

...και μπορεί να σας χρειαστεί να βάλετε στο τέλος ένα μηδενικό.

Θα ξέρετε ότι έχετε το δικαίωμα να το κάνετε, γιατί δεν χαλάει η αξία του αριθμού.

Επίσης, μια που μιλάμε για το μηδενικό στο τέλος.

Μπορεί να σκεφτεί κάποιος πώς μπορώ να φτιάξω έναν δεκαδικό...

...έχοντας έναν ακέραιο;

Πώς μπορώ να μετατρέψω, καλύτερα, έναν ακέραιο σε δεκαδικό;

Χωρίς να χαλάσω, όμως, την αξία του.

Νομίζω, αν έχω, παράδειγμα...

...αυτόν εδώ τον ακέραιο...

...δεν μπορώ να του βάλω στο τέλος μηδενικά, θα αλλάξει ο αριθμός.

Αν του βάλω ένα μηδενικό, θα γίνει ο 70. Άλλος αριθμός.

Αν του βάλω δύο μηδενικά, θα γίνει ο 700. Άλλος αριθμός.

Πώς θα τον μετατρέψω σε δεκαδικό; Τι είπαμε ότι έχει ο δεκαδικός;

Υποδιαστολή, πολύ ωραία.

Και πώς θα μπορούσα να του βάλω υποδιαστολή...

...και να τον πειράξω, αλλά χωρίς να του χαλάσω την αξία;

Μχμ, πολύ σωστά.

Βάζω υποδιαστολή εδώ και μετά όσα μηδενικά θέλω.

Φτάνει, και πολλά έβαλα.

Τώρα μετατράπηκε σε δεκαδικό αριθμό.

Και πάλι, όμως, διαβάζεται "εφτά".

Δεν θα διαβαστεί "εφτά και μηδέν"... Ας βάλω ένα λιγότερο.

"Μηδέν χιλιοστά". Όχι. Θα διαβαστεί πάλι "εφτά".

Πολύ ωραία.

Είπαμε στην αρχή...

...ότι έχουμε τους ακεραίους, έχουμε τα κλάσματα...

...και ξαφνικά, κάποια στιγμή, εμφανίστηκαν και οι δεκαδικοί αριθμοί. Ωραία.

Πώς περάσαμε από τα κλάσματα στους δεκαδικούς αριθμούς;

Για να δούμε, τι σύνδεση υπάρχει μεταξύ τους;

Ας θυμηθούμε λίγο στα κλάσματα τα δεκαδικά κλάσματα.

Δεκαδικά κλάσματα, δεκαδικοί αριθμοί.

Μμμ. Ήδη υποψιάζομαι ότι υπάρχει κάποια σύνδεση.

Με τη λέξη και μόνο.

Για να θυμηθούμε λίγο τα δεκαδικά κλάσματα.

Δεκαδικά είναι τα κλάσματα...

...που έχουνε για παρονομαστή το 10 ή το 100 ή το 1.000.

Γενικά, τη μονάδα και μετά όσα μηδενικά θέλουμε.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα.

Αυτό είναι ένα δεκαδικό κλάσμα.

Αριθμητής δεν μας ενδιαφέρει ποιος είναι.

Παρονομαστής είναι το ένα και δίπλα έχει μηδενικό. Μόνο.

Δεν μπορούμε να βάλουμε κάποιο άλλο ψηφίο μετά το 1. Μόνο μηδενικό.

Αυτός, λοιπόν, τώρα... Αυτό το δεκαδικό κλάσμα...

...θέλουμε να το μετατρέψουμε σε δεκαδικό αριθμό.

Μμ... για να δούμε. Δεν είναι δύσκολο.

Κατεβάζω εγώ το 3, τον αριθμητή μου, δηλαδή...

...ολόκληρο, όσο μεγάλος κι αν ήταν, τον κατεβάζω κάτω.

Και αμέσως... Προσέξτε.

Κοιτάζω τον παρονομαστή.

Πόσα μηδενικά έχει ο παρονομαστής; Ένα.

Ωραία.

Αυτό αμέσως μου λέει ότι ο δεκαδικός αριθμός που θα φτιάξω...

...πρέπει, μετά την υποδιαστολή, μετά την υποδιαστολή, όχι μπροστά...

...να έχει μόνο ένα ψηφίο.

Πώς θα το φτιάξω, λοιπόν, εγώ αυτό;

Πάω εδώ...

...γράφω ανάποδα, δηλαδή από δεξιά προς τα αριστερά...

...για να χωρίσω μόνο ένα ψηφίο.

Αυτό έχω, μόνο αυτό χωρίζω και του βάζω υποδιαστολή.

Μπροστά δεν υπάρχει κάτι άλλο, αναγκαστικά, λοιπόν, θα βάλω το 0.

Και έφτιαξα τον δεκαδικό αριθμό. Θα κάνουμε κι άλλο παράδειγμα.

Πριν πάμε στο επόμενο παράδειγμα, να κάνουμε το εξής.

Διαβάστε μου λίγο αυτό το δεκαδικό κλάσμα.

Τρία δέκατα.

Διαβάστε μου τώρα και τον δεκαδικό αριθμό.

Τρία δέκατα.

Γιατί καλύπτει το τελευταίο ψηφίο την πρώτη θέση μετά την υποδιαστολή.

Ακούγονται το ίδιο, είναι το ίδιο, κάνουμε μια χαρά τη δουλειά μας.

Πάμε σ' ένα δεύτερο παράδειγμα.

Έχουμε το δεκαδικό κλάσμα.

Είναι δεκαδικό γιατί έχει παρονομαστή το ένα και μηδενικά...

...και θέλω αυτό να το μετατρέψω, να το αλλάξω, να το κάνω δεκαδικό αριθμό.

Το γράφω ολόκληρο...

Μπερδεύτηκα και με τους μαρκαδόρους...

Λοιπόν, τον γράφω ολόκληρο και κοιτάζω αμέσως τον παρονομαστή μου.

Πόσα μηδενικά υπάρχουν στον παρονομαστή; Τρία.

Τι μου λέει αυτό; Ότι πρέπει, στον δεκαδικό αριθμό που θα φτιάξω...

...μετά την υποδιαστολή να έχω τρία ψηφία.

Όχι λιγότερα, ούτε περισσότερα.

Άρα, λοιπόν, πάω εδώ, μετράω από δεξιά προς τα αριστερά τρία ψηφία...

...ένα, δύο...

Οπ! Τι κάνω εδώ, που δεν υπάρχει τίποτα;

Βάζω το μηδέν. Τρία, υποδιαστολή.

Και μπροστά, πάλι, που δεν υπάρχει τίποτα, βάζω πάλι το μηδέν.

Έφτιαξα, λοιπόν, τον δεκαδικό αριθμό που διαβάζεται...

..."εξήντα εφτά", γιατί δεν υπάρχει ακέραιος για να τον διαβάσω...

..."εξήντα εφτά χιλιοστά". Για να δω και το δεκαδικό μου κλάσμα.

Εξήντα εφτά χιλιοστά. Είμαστε μια χαρά.

Αυτή, λοιπόν, η σύνδεση υπάρχει ανάμεσά τους.

Πάρα πολύ ωραία.

Νομίζω δεν χρειάζεστε εδώ περισσότερα.

Μπορούμε να περάσουμε σε απλές πράξεις μεταξύ δεκαδικών αριθμών...

...όπως είναι η πρόσθεση και η αφαίρεση.

Κατ' αρχήν, πριν ξεκινήσουμε να κάνουμε την πράξη...

...την ώρα που τοποθετούμε τους αριθμούς, τι πρέπει να προσέξουμε.

Ξέρετε στους ακεραίους, όταν βάζουμε τον έναν ακέραιο κάτω απ' τον άλλον...

...τον έναν ακέραιο κάτω απ' τον άλλον, ανάποδα...

...πρέπει να προσέχουμε οι μονάδες να είναι κάτω απ' τις μονάδες...

...οι δεκάδες κάτω απ' τις δεκάδες...

...οι εκατοντάδες κάτω απ' τις εκατοντάδες, και τα λοιπά.

Το ίδιο κάνουμε κι εδώ.

Οι μονάδες κάτω απ' τις μονάδες στο ακέραιο κομμάτι...

...οι δεκάδες κάτω απ' τις δεκάδες, και για το δεκαδικό κομμάτι...

...τα δέκατα, θυμίζω, κάτω απ' τα δέκατα...

...τα εκατοστά κάτω απ' τα εκατοστά.

Εδώ δεν έχουμε χιλιοστά, δεν μιλάμε γι' αυτά.

Και φυσικά η υποδιαστολή... κάτω από την υποδιαστολή.

Πάρα πολύ σημαντική η στοίχιση, η σωστή στοίχιση των αριθμών...

...για να μπορέσουμε να κάνουμε σωστά την πράξη μας.

Πάμε, λοιπόν. Εύκολο για εσάς.

Δεν έχει κρατούμενα, είναι εύκολο για εσάς. Πάμε.

Δύο και ένα, τρία. Τρία και δύο, πέντε.

Την υποδιαστολή αμέσως μόλις τη συναντήσω.

Δεν την ξεχνάω, αμέσως τη βάζω.

Εφτά και δύο, εννιά. Έξι και ένα, εφτά.

Βρήκαμε το αποτέλεσμα. Δεν είναι δύσκολο.

Το μόνο που πρέπει να προσέξουμε, είπαμε...

...να βάλουμε ακριβώς τον έναν αριθμό κάτω απ' τον άλλον.

Η υποδιαστολή κάτω απ' την υποδιαστολή και αμέσως όλα ισιώνουν.

Όλα στοιχίζονται σωστά.

Και δεν την ξεχνάω, φυσικά, και στο τέλος.

Δεν νομίζω ότι χρειάζεται να κάνουμε άλλο παράδειγμα πρόσθεσης.

Θεωρώ ότι είναι, η πρόσθεση, εύκολη πράξη για εσάς.

Με ή χωρίς κρατούμενα, το ίδιο πράγμα είναι.

Η σωστή στοίχιση μετράει.

Πάμε στην αφαίρεση, που εκεί μπορεί να υπάρξει κάποια μικρή, μμ, δυσκολία.

Κάτι που θα πρέπει να το προσέξουμε περισσότερο.

Παράδειγμα.

Αφαίρεση.

Λοιπόν, κατ' αρχήν, θέλω να μου πείτε αν έβαλα σωστά τους αριθμούς.

Ξέρουμε ότι στην αφαίρεση επάνω βάζουμε τον μεγαλύτερο αριθμό...

...και από κάτω θα βάλουμε τον μικρότερο.

Δεν μπορούμε να κάνουμε διαφορετικά την αφαίρεση. Τουλάχιστον ακόμα.

Ε... Τριάντα δύο και εφτά δέκατα.

Έντεκα και εξήντα έξι εκατοστά.

Είναι σωστά; Είναι ο μεγαλύτερος από πάνω;

Ναι, γιατί ο ακέραιος που είναι 32...

...είναι πιο μεγάλος από τον ακέραιο που είναι 11.

Δεν χρειάζεται άλλη σύγκριση.

Αφού είναι οι ακέραιοι σωστά, δεν υπάρχει κανένα άλλο θέμα.

Ωραία.

Άλλη μία ερώτηση έχω να σας κάνω.

Εδώ έχουμε εκατοστά, εδώ έχουμε δέκατα.

Όταν θα χρειαστεί να κάνω αφαίρεση, το 6 από τι θα το αφαιρέσω;

Εδώ δυσκολεύομαι.

Για να πάμε λίγο πίσω και να θυμηθούμε, τι είπαμε νωρίτερα;

Ότι σε έναν δεκαδικό αριθμό μπορώ στο τέλος του...

...στο δεκαδικό κομμάτι, στο τέλος του, όμως...

...να βάλω όσα μηδενικά θέλω, χωρίς να χαλάσει η αξία του.

Να τώρα που ήρθε η ώρα να το χρησιμοποιήσω αυτό.

Αυτή την πληροφορία, εδώ τη χρειάζομαι.

Βάζω, λοιπόν, δίπλα από το 7 ένα μηδενικό.

Δεν χαλάει η αξία του δεκαδικού αριθμού.

Και από εφτά δέκατα έγινε εβδομήντα εκατοστά, είναι ακριβώς το ίδιο.

Και μπορώ πιο εύκολα να κάνω την αφαίρεση.

Στην αρχή θα το κάνετε έτσι.

Στη συνέχεια, με τη μεγαλύτερη εξάσκηση...

...δεν θα χρειάζεται να το εμφανίζετε το μηδενικό.

Θα μπορείτε να το κάνετε και χωρίς να το βλέπετε.

Για να κάνουμε τώρα την αφαίρεση. Βέβαια, για την αφαίρεση να πω ότι...

...υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι. Τους μαθαίνετε όλους στο σχολείο.

Ο καθένας σας, όμως, πρέπει να χρησιμοποιεί τον τρόπο που τον εξυπηρετεί.

Δεν είμαστε υποχρεωμένοι να δουλεύουμε με όλους τους τρόπους.

Χρησιμοποιούμε αυτόν τον τρόπο που βολεύει εμένα.

Έτσι όπως το καταλαβαίνω εγώ καλύτερα. Αρκεί να είναι σωστός ο τρόπος αυτός.

Πάμε, λοιπόν.

Μηδέν, βγάζω έξι... Δεν γίνεται.

Παίρνω από δω πέρα, να γίνει έξι. Δέκα, βγάζω έξι.

Τη δανείζω δίπλα τη δεκάδα και θα γίνει 10. Δέκα, βγάζω έξι;

Τέσσερα.

Έξι, βγάζω έξι, μηδέν.

Οπ, αμέσως βάζω την υποδιαστολή.

Δεν την ξεχνάω.

Συνεχίζω.

Δύο, βγάζω ένα, ένα. Τρία, βγάζω ένα, δύο.

Τελειώσαμε. Η αφαίρεση δεν είναι καθόλου δύσκολη...

...άμα βάλω σωστά τους αριθμούς, όπως το κάνω και στην πρόσθεση...

...και σωστά την υποδιαστολή μου.

Πιστεύω ότι τα καταφέρατε.

Και πιστεύω ότι τα καταλάβατε, γι' αυτό τα καταφέρατε.

Θα συνεχίσουμε, λοιπόν, άλλη φορά, στις επόμενες πράξεις.

Γεια σας.