📏 Ecuaciones de la Recta - PARTE #1
¡Hola amigos! Este vídeo es el primero de
una mini-serie dedicada a las ecuaciones
de la recta.
Para ello comencemos fijando unos ejes
de coordenadas cartesianas como ya
hicimos cuando estudiamos vectores en el
plano.
Para determinar completamente una recta
es necesario dar dos elementos de la
recta. Por ejemplo, si nos dicen un P por
el que pasa la recta y un vector
director v que nos indique la
dirección de dicha recta, podremos
deducir las ecuaciones vectorial,
las ecuaciones paramétricas y la ecuación
continua de la recta. En este vídeo
deduciremos estas tres ecuaciones de
forma razonada y aplicaremos el método
para obtener las ecuaciones en un ejemplo concreto.
Recordad que al final del vídeo
os dejo un enlace para descargar los apuntes.
¡Empezamos!
El punto P está determinado por sus
coordenadas cartesianas, esto es,
los valores que se obtienen al proyectar
perpendicularmente el punto en los ejes
de coordenadas. Las coordenadas de este
punto también son las coordenadas del
vector cuyo origen es el origen de
coordenadas y cuyo extremo es el punto P.
A este vector OP se le llama el vector
de posición del punto P. Por otra parte,
el vector v viene determinado por sus
coordenadas (a , b) que no son más que
las coordenadas del extremo de dicho
vector si lo desplazamos paralelamente
de forma que su origen coincida con el
origen de coordenadas.
Estos dos vectores, el vector de posición
del punto P, y el vector director de la
recta, son los datos de los que partimos.
Y queremos describir por medio de una
ecuación las coordenadas (x , y) de
cualquier X que pertenezca a nuestra
recta.
Vamos a hacer lo siguiente: las
coordenadas del punto X también son las
coordenadas de su vector de posición,
esto es, del vector con origen en el
punto (0,0) y extremo en el punto X.
De este modo, nos preguntamos cómo podemos
obtener las coordenadas del vector OX
a partir de los vectores conocidos OP y v,
utilizando las operaciones con vectores
que ya conocemos.
Fijaros que el vector v podemos
desplazarlo paralelamente sobre la recta
de forma que su origen esté en el punto
P y estirarlo o encogerlo hasta que su
extremo se sitúe sobre el punto X.
Para ello basta con multiplicar el vector v
por un determinado número real lambda.
Tenemos entonces al vector OP con su
extremo situado en el origen del vector
lambda por v. Como vimos en nuestro
anterior vídeo sobre vectores, la suma de
OP y lambda por v es un vector de origen
el origen de OP y extremo el extremo
de lambda por v, esto es, la suma de estos
dos vectores no es otra cosa que
¡ el vector de posición OX !
Esto es, el vector OX se escribe como
OP más lambda por el vector v y esta
ecuación vectorial determina todos los
puntos de la recta a medida que movemos
el número lambda entre todos los números
reales. En efecto, si por ejemplo tomamos
el 0 como el número real, 0 por v es el
vector nulo y tenemos que X coincide con
el punto P. También podemos multiplicar
el vector director v por un número
negativo obteniendo los puntos de la
recta situados al otro lado del punto P.
En definitiva, esta ecuación determina
todos los puntos de la recta y recibe el
nombre de ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA.
El nombre de esta ecuación, "ecuación
vectorial" se debe lógicamente a que
relacionamos vectores: el vector de
posición del punto X como suma del
vector de posición del punto P y el
vector director v multiplicado por un
cierto escalar lambda, es decir, un número
real al que también nos referiremos como
parámetro. Fijaros que los vectores OP y v están
fijos. Eran los datos que determinaban la
recta y a medida que movemos el
parámetro lambda se mueve el punto X de
la recta. Hay tantos puntos en una recta
como números reales.
Si observamos esta ecuación entre
vectores en términos de coordenadas nos
damos cuenta de que podemos operar el
miembro derecho. En efecto, podemos
multiplicar lambda por el vector
multiplicando lambda por cada coordenada,
y podemos sumar los dos vectores
resultantes sumando sus coordenadas.
Obtenemos una igualdad entre dos
vectores y eso significa que sus dos
coordenadas son iguales, obteniendo dos
ecuaciones. Estas dos ecuaciones que
también dependen del parámetro lambda
se llaman ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA.
Este parámetro podemos, de hecho,
eliminarlo del siguiente modo: En la
primera ecuación despejamos el parámetro
obteniendo que lambda es igual a un
cierto cociente x - x sub cero / a.
Esto también podemos hacerlo con la
segunda ecuación obteniendo que lambda
también es igual al cociente y menos y
sub cero dividido entre b.
De este modo obtenemos que ambos
cocientes son iguales lo que da lugar a
una nueva ecuación. Los puntos de
coordenadas x , y minúscula que satisfacen
esta ecuación son precisamente todos los
puntos de la recta.
Esta ecuación recibe el nombre de
ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA.
Esto que hemos hecho de forma totalmente general
para una recta que pasa por un punto P
de coordenadas x_0 , y_0 y tenga como
vector director al vector v de
coordenadas (a , b)
podemos verlo en particular en un
ejemplo.
Consideremos la recta que pasa por el
punto P de coordenadas (1, 2) y tiene la
dirección del vector v de coordenadas (3, 1)
El vector de posición de cualquier punto
X de la recta puede escribirse por tanto
como el vector (1, 2) + lambda por el vector
(3, 1). Si esta ecuación vectorial la
desarrollamos multiplicando el vector
(3 , 1) por el numero lambda y sumando los
vectores (1,2) y el vector lambda por 3
, lambda por 1, tenemos una igualdad de
vectores que da lugar a dos ecuaciones
igualando componente a componente.
Esto lo podemos arreglar un poco ya que
multiplicar por 1 es como no hacer nada
y en vez de lambda por 3 escribimos 3
por lambda y omitimos el punto de la
multiplicación. Llegamos así a las
ecuaciones paramétricas de la recta.
Finalmente, podemos eliminar el parámetro
lambda del siguiente modo: despejamos el
parámetro de la primera ecuación lo que
nos da la ecuación lambda igual a x menos
1 dividido entre 3. También podemos
despejar lambda de la segunda ecuación
obteniendo lambda igual a y menos 2.
De este modo, podemos eliminar el
parámetro y llegar a una ecuación que
deben verificar todos los puntos (x, y)
de la recta: y - 2 = (x -1 )/3
Esta es la ecuación continua de la recta.
En nuestro próximo vídeo veremos más
ecuaciones de la recta que se obtienen
comenzando con elementos diferentes que
caracterizan una recta como por ejemplo,
la pendiente de la recta o simplemente
dando dos puntos de una recta.
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¡Hasta luego!
