Μαθηματικά | Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων | Ε' Δημοτικού Επ. 121
Παιδιά, γεια σας. Ονομάζομαι Λεωνίδας Μπανάκος...
και μαζί θα κάνουμε Μαθηματικά.
Σήμερα θα κάνουμε πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων.
Το βιβλίο Μαθηματικών της Ε' Δημοτικού...
έχει την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων στο κεφάλαιο 18.
Να θυμηθούμε πρώτα τι είπαμε στο προηγούμενο μάθημα.
Στο προηγούμενο μάθημα,
μιλήσαμε για τη σύγκριση και τη διάταξη κλασμάτων.
Ξεκινήσαμε και είπαμε ότι όταν έχουν τα κλάσματα τον ίδιο παρονομαστή,
τα πράγματα είναι εύκολα,
γιατί μιλάμε για κλάσματα που έχουν παραχθεί από την ίδια κλασματική μονάδα...
οπότε μπορούμε να συγκρίνουμε χωρίς να κάνουμε καμία άλλη διαδικασία...
ότι το 3/8 είναι μικρότερο από το 6/8,
γιατί εδώ πήραμε 3 φορές το 1/8 και εδώ πήραμε 6 φορές το 1/8.
Μια άλλη περίπτωση,
είναι όταν έχουμε ίδιο αριθμητή.
Εδώ έχουμε 5/9 και 5/7.
Χωρίς λοιπόν να κάνουμε κάποια άλλη διαδικασία,
μπορούμε να πούμε ότι εδώ έχω 5 μικρά κομμάτια,
5 φορές το 1/9, και εδώ έχω 5 φορές το 1/7.
Προφανώς όταν πάρω 5 φορές το 1/7,
είναι μεγαλύτερο κομμάτι από το 1/9,
άρα κι εδώ...
Τα 5/7 είναι μεγαλύτερο από τα 5/9.
Εδώ τα πράγματα είναι πιο σύνθετα.
Έχουμε να συγκρίνουμε δύο κλάσματα,
το 16/30 και το 13/28.
Μια ασφαλής λύση έχουμε πει ότι είναι να τα μετατρέψουμε,
να βρούμε ισοδύναμα που θα έχουν τον ίδιο παρονομαστή...
και έτσι πλέον θα μπορούμε μέσω της σύγκρισης των ισοδυνάμων,
να αποφανθούμε για τα αρχικά κλάσματα.
Αν κοιτάξουμε προσεκτικότερα, θα δούμε ότι ίσως...
μπορούμε να αποφύγουμε αυτή τη διαδικασία,
να βρούμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο του 30 και του 28.
Θα βγάλουμε, καταρχάς, κλάσματα με πολύ μεγάλους όρους.
Τα 15/30...
είναι το μισό.
Είναι το ίδιο με το 1/2.
Τα 16/30 λοιπόν είναι λίγο πιο μεγάλο,
κατά 1/30 από τα 15/30...
δηλαδή από το μισό.
Τα 13/28...
Θα πάμε αντίστροφα λίγο εδώ.
Το 14/28 είναι το μισό. Το 14 είναι το μισό του 28.
Είναι το ίδιο με το 1/2.
Τα 13/28 είναι λίγο...
μικρότερο από τα 14/28.
Άρα λοιπόν το ένα κλάσμα εδώ,
είναι μεγαλύτερο από το μισό...
και το άλλο κλάσμα είναι λίγο μικρότερο από το μισό.
Άρα το 16/30 είναι μεγαλύτερο από το 13/28.
Συμφωνούμε λοιπόν ότι δεν χρειάζεται να καταφύγουμε σε μια διαδικασία...
με την οποία θα γεμίσουμε τον πίνακα με πράξεις...
για να μιλήσουμε για το αποτέλεσμα στο οποίο καταλήξαμε...
μέσα από συλλογισμούς.
Για να δούμε τώρα εδώ: έχουμε να συγκρίνουμε...
τα 9/10 και τα 15/16.
Ας βάλουμε εδώ την ακέραια μονάδα, την ακέραια ποσότητα.
Τι μου λείπει από τα 9/10;
Ας γράψουμε εδώ τα 9/10...
κι εδώ τα 15/16.
Τι μου λείπει από τα 9/10 για να συμπληρώσω;
Μου λείπει 1/10.
Αν το προσθέσω...
Να μη βάλουμε και το σύμβολο.
Από τα 15/16 τι μου λείπει;
Το 1/16.
15/16 + 1/16 μου κάνει την ακέραια μονάδα.
Εδώ μου λείπει μεγαλύτερο κομμάτι.
Εδώ μου λείπει μικρότερο.
Άρα λοιπόν αυτό είναι πιο κοντά στην ακέραια ποσότητα, στην ακέραια μονάδα.
Άρα το 9/10...
είναι μικρότερο από το 15/16,
γιατί του 15/16 του λείπει μικρότερη ποσότητα από την ακέραιη μονάδα.
Έτσι λοιπόν καταλήξαμε, με αυτούς τους συλλογισμούς,
να πάρουμε απόφαση...
για τα κλάσματα αυτά,
χωρίς Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο,
χωρίς ισοδύναμα, χωρίς πράξεις,
τις οποίες όμως δεν μπορούμε να τις αποφύγουμε στην περίπτωση εδώ.
Στην περίπτωση που έχουμε το 3/5 και το 4/7,
δεν μπορούμε με την ίδια διαδικασία να πούμε ότι...
Ή δεν μπορούμε να βρούμε εύκολα...
μια διαδικασία, έτσι, με νοερούς συλλογισμούς,
Γι' αυτό θα πάμε στην ασφάλεια της διαδικασίας.
Της διαδικασίας που προβλέπει ότι θα φτιάξουμε ισοδύναμα κλάσματα,
θα τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα και μετά θα αποφασίσουμε.
Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο του 5 και του 7 είναι το 35.
Για το 35, το 5 θα το πολλαπλασιάσουμε με το 7.
Το 3/5 θα γίνει...
3 Χ 7 = 21, 5 Χ 7 = 35,
θα γίνει 21/35.
Και το 4/7 θα γίνει...
4 Χ 5 = 20, 7 Χ 5 = 35,
θα γίνει 20/35.
Άρα λοιπόν, έχουμε 3/5 και 4/7,
το 4/7 είναι μικρότερο από τα 3/5.
Ή το 3/5 είναι μεγαλύτερο από τα 4/7.
Θυμηθήκαμε όλα αυτά που είπαμε στο προηγούμενο μάθημα.
Και τώρα πάμε στο κεφάλαιο 18 που είναι η πρόσθεση και η αφαίρεση κλασμάτων.
Εδώ δεν μπορούμε εύκολα να πούμε ότι...
θα αποφύγω να τα μετατρέψω σε ομώνυμα,
θα αποφύγω, θα βρω έναν πιο σύντομο και εύκολο τρόπο.
Ποιο είναι το πρόβλημα εδώ;
Ας πούμε ότι έχουμε να προσθέσουμε...
τα 3/4 και τα 2/6.
Για να δούμε τα 3/4.
Ας βάλουμε εδώ πέρα λοιπόν...
τρεις φορές την αντίστοιχη κλασματική μονάδα 1/4.
Και εδώ έχουμε τα 2/6.
Συμβολικά και με σχήματα...
έχουμε αυτό εδώ.
Τι μπορώ να πω για το αποτέλεσμα;
Να πω περιγραφικά με λόγια ότι έχω 3 κομμάτια του 1/4...
και 2 κομμάτια του 1/6 από την ακέραιη μονάδα.
Ο προβληματισμός που έχω εδώ είναι πώς θα εκφράσω...
αυτές τις κλασματικές μονάδες με κάτι άλλο,
με μια κοινή κλασματική μονάδα, που να μπορεί να εκφράζει και τις δύο.
Για να δούμε πώς θα το καταφέρουμε αυτό,
ώστε όταν αντικαταστήσω τα 3/4 με κάποιο άλλο κλάσμα...
και αντικαταστήσω και τα 2/6 με κάποιο άλλο ισοδύναμο κλάσμα,
αλλά τα οποία, το ισοδύναμο κλάσμα των 3/4 και το ισοδύναμο κλάσμα των 2/6,
θα έχουν τον ίδιο παρονομαστή,
δηλαδή θα είναι ομώνυμα,
τότε το αποτέλεσμά μου θα το εκφράσω με το καινούργιο κλάσμα,
που θα έχει προέλθει από τα αντίστοιχα ισοδύναμα κλάσματα.
Για να δούμε λίγο τι έχουμε πει εδώ.
Τα ομώνυμα κλάσματα και τα ετερώνυμα κλάσματα.
Ετερώνυμα κλάσματα είναι αυτά που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές,
ενώ ομώνυμα είναι αυτά που έχουν ίδιους παρονομαστές.
Είχαμε πει και στο προηγούμενο μάθημα ότι...
όταν έχουμε ίδιους παρονομαστές, όλα είναι πιο εύκολα.
Άρα λοιπόν για να προσθέσουμε και για να αφαιρέσουμε,
έχουμε έναν κανόνα, μια διαδικασία που λέει ότι...
για να προσθέσουμε και να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα,
το πρώτο που πρέπει να κάνω είναι να τα μετατρέψω σε ομώνυμα.
Αν τα μετατρέψω σε ομώνυμα,
μπορώ πιο εύκολα μετά να κάνω την πρόσθεση και την αφαίρεση, να κάνω την πράξη μου.
Πριν φτάσω εδώ,
ας προσπαθήσουμε να δούμε κάτι άλλο...
για να κατανοήσουμε καλύτερα πώς προκύπτει αυτός ο κανόνας.
Ας πάρουμε το κλάσμα 3/4.
Ας βάλουμε εδώ στην άκρη τα σχήματα,
για να έχουμε περισσότερο χώρο να δουλέψουμε, να εργαστούμε.
Λοιπόν ας αρχίσουμε να φτιάχνουμε κάποια ισοδύναμα κλάσματα...
με το 3/4. Θα μπορούσε να είναι επί 2.
2 Χ 3 = 6,
2 Χ 4 = 8.
Με το 3.
3 Χ 3 = 9,
3 Χ 4 = 12.
Με το 4. 3 Χ 4 = 12, 4 Χ 4 = 16.
Με το 5. 3 Χ 5 = 15,
4 Χ 5 = 20.
Με το 6.
3 Χ 6 = 18, 4 Χ 6 = 24.
Με το 7.
3 Χ 7 = 21, 4 Χ 7 = 28.
Ας κάνουμε και με το 8 και με το 9.
3 Χ 8 = 24, 4 Χ 8 = 32.
Με το 9. 3 Χ 9 = 27,
4 Χ 9 = 36.
Πάμε να δούμε και το 2/6.
Το 2/6. Και να φτιάξουμε κι εδώ κάποια ισοδύναμα κλάσματα με το αρχικό.
Ξεκινάμε με το 2.
Θα γίνει 4/12.
Με το 3 θα γίνει 6/18.
Με το 4 θα γίνει 8/24.
Με το 5 θα γίνει 10/30.
Με το 6. 2 Χ 6 = 12, 6 Χ 6 = 36.
Με το 7.
2 Χ 7 = 14,
2 Χ 7 = 14, 6 Χ 7 = 42.
Με το 8.
2 Χ 8 = 16, 6 Χ 8 = 48.
Και με το 9.
2 Χ 9 = 18, 6 Χ 9 = 54.
Τι είχα αρχικά να κάνω;
Να προσθέσω το 3/4 με το 2/6,
για να τα εκφράσω με κλάσμα με κοινό παρονομαστή.
Να ξεκινήσουμε να δούμε...
ποια κλάσματα μπορώ να βρω εδώ,
τα οποία είναι ισοδύναμα με τα αρχικά...
και είναι και ομώνυμα.
Βλέπω λοιπόν ότι έχω το 9/12 και το 4/12.
Το αρχικό ερώτημα που μπορούμε να βάλουμε εδώ,
είναι αν αυτά τα ισοδύναμα κλάσματα που θα φτιάξουμε,
αυτό το ζευγάρι, είναι μοναδικό.
Δηλαδή έχω ένα ζευγάρι από αρχικά κλάσματα...
και, για να διευκολυνθώ και να κάνω την πρόσθεση,
βρίσκω άλλα κλάσματα που είναι ισοδύναμα και ομώνυμα μεταξύ τους,
γιατί έχουν κοινό, ίδιο παρονομαστή.
Είναι αυτό το ζευγάρι μοναδικό;
Θα απαντήσουμε στο ερώτημα πολύ σύντομα.
Αν δεν βρούμε άλλο ζευγάρι δεν μπορούμε να απαντήσουμε.
Δεν ξέρουμε, γιατί μπορεί να υπάρχει και κάποιο άλλο πιο μεγάλο.
Αν βρούμε όμως κι άλλο ζευγάρι που έχει κοινό παρονομαστή,
τότε δεν είναι μοναδικό.
Για να βρούμε λοιπόν! Εγώ βλέπω εδώ 18/24...
και 8/24.
Να κάνω λοιπόν την πρόσθεση τη μία φορά με το πρώτο ζευγάρι,
με τα δωδέκατα, και τη δεύτερη φορά με το δεύτερο ζευγάρι, με τα εικοστά τέταρτα.
Και αν θέλουμε βλέπουμε και με τα τριακοστά έκτα.
Εδώ έχω τριακοστά έκτα και εδώ έχω τριακοστά έκτα.
(Ο δάσκαλος λύνει την πράξη 9/12 + 4/12)
Μας κάνει 13/12.
Πάμε στα εικοστά τέταρτα.
(Ο δάσκαλος λύνει την πράξη 18/24 + 8/24)
Έχουμε 26/24.
Και πάμε και στα τριακοστά έκτα.
(Ο δάσκαλος λύνει την πράξη 27/36 + 12/36)
27/36 + 12/36 =39/36.
Κάναμε τρεις προσθέσεις με ισοδύναμα κλάσματα...
και βρήκαμε σε πρώτη ανάγνωση, κοιτώντας τα,
τρία διαφορετικά κλάσματα.
Αν όντως είναι διαφορετικά έχουμε κάνει λάθος.
Αν όμως δεν είναι διαφορετικά, τότε και βρήκαμε τρόπο...
να προσθέτουμε τα κλάσματα και δεν είναι αυτός μοναδικός.
Στο προπροηγούμενο μάθημα,
που κάναμε τα ισοδύναμα κλάσματα,
μιλήσαμε και για την απλοποίηση.
Δηλαδή αν έχω ένα κλάσμα, απλοποίηση είναι η διαδικασία...
με την οποία όταν έχω ένα κλάσμα το οποίο έχει μεγάλους όρους -
ένα κλάσμα με μεγάλους όρους είναι δύσχρηστο -
μπορώ λοιπόν διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή...
με τον ίδιο αριθμό, αν διαιρείται,
να το απλοποιήσω, να φτιάξω ένα ισοδύναμο κλάσμα με μικρότερους όρους.
Να δούμε εδώ το 39 και το 36!
Το 36 είναι άρτιος, το 39 είναι περιττός,
άρα δεν μπορώ να διαιρέσω με το 2.
Πάω με το 3...
6 + 3 = 9, 9 + 3 = 12, 1 + 2 = 3,
άρα και οι δύο όροι διαιρούνται με το 3.
Άρα τους διαιρώ με το 3 και είμαστε...
39 : 3 = 13,
36 : 3 = 12.
Να δω και το άλλο κλάσμα, το 26/24.
Και οι δύο είναι άρτιοι, άρα διαιρώ με το 2... 13/12.
13/12,
13/12,
13/12.
Οποιουσδήποτε αντιπροσώπους κι αν χρησιμοποίησα,
το αποτέλεσμα δεν θα μπορούσε να είναι διαφορετικό.
Να δούμε τώρα για ποιο λόγο μας είναι χρήσιμο το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο.
Δεν μπορώ κάθε φορά όταν έχω δύο κλάσματα,
να φτιάχνω ισοδύναμα κλάσματα για το καθένα και μετά να ψάχνω κάτι κοινό.
Γιατί εδώ, ωραία, βρήκαμε τρία κοινά ισοδύναμα κλάσματα,
ομώνυμα ισοδύναμα κλάσματα.
Όχι κοινά...
Βρήκαμε το 4/12 με το 9/12,
το 8/24 με το 18/24 και το 12/36 με το 27/36.
Κι αν συνεχίσουμε θα βρούμε κι άλλα.
Επειδή λοιπόν είναι μια καλή διαδικασία αυτή,
με την οποία κατανοούμε την πρόσθεση,
άρα λοιπόν θα εκφράσουμε το αποτέλεσμα της πράξης μας,
το 3/4 + 2/6,
θα το εκφράσουμε σε δωδέκατα.
Δηλαδή, τα 3/4 που είχαμε και τα 2/6...
Εδώ είναι τα 3/4 και τα 2/6.
Το αποτέλεσμα που θα βρω θα είναι ένα κλάσμα...
που θα είναι εκφρασμένο σε δωδέκατα.
Σ' αυτές τις κλασματικές μονάδες.
Με βάση αυτή την κλασματική μονάδα.
13/12, δεκατρείς τέτοιες κλασματικές μονάδες.
Και από αυτά που έχουμε δει βλέπουμε ότι το καινούργιο κλάσμα,
το άθροισμα, αυτό που βρήκαμε, είναι ένα κλάσμα,
που είναι μεγαλύτερο από την ακέραιη μονάδα.
Έτσι; Είναι παραπάνω, είναι μεγαλύτερο,
γιατί ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή.
Και μπορούμε να το εκφράσουμε και σαν μεικτό αριθμό,
να είναι 1 και 1/12.
Άρα λοιπόν το αποτέλεσμα είναι...
1 ακέραιη μονάδα και 1/12.
Έτσι λοιπόν κάναμε την πρόσθεση,
καταλάβαμε για ποιο λόγο κάνουμε αυτή τη διαδικασία.
Ποιος ήταν ο προβληματισμός μας;
Ο προβληματισμός μας ήταν ότι έχουμε...
κομμάτια που είναι τέταρτα και κομμάτια που είναι έκτα,
που είναι διαφορετικού μεγέθους,
και πρέπει το αποτέλεσμα να το εκφράσω...
με μία μονάδα που θα αντιπροσωπεύει και τους δύο.
Δηλαδή, και τα τέταρτα μπορώ να τα εκφράσω σε δωδέκατα,
κάθε 1/4 είναι 3/12, το βλέπουμε.
Κάθε 1/4 είναι 3/12 -δεν έχουμε άλλο 1/12 εκεί- αλλά, βλέπετε, μας λείπει άλλο 1/12.
Και κάθε 1/6 είναι 2/12.
Αυτή λοιπόν είναι η διαδικασία που κάνουμε στην πρόσθεση.
Όμως καταλαβαίνουμε ότι δεν μπορούμε κάθε φορά,
σε μία πρόσθεση, να κάνουμε αυτή τη διαδικασία.
Αυτή τη διαδικασία την κάναμε για να κατανοήσουμε τον μηχανισμό,
για να κατανοήσουμε τι κάνουμε.
Θα επιλέγουμε όπως έχουμε πει κάθε φορά το μικρότερο κλάσμα.
Και πώς θα φτιάξω το μικρότερο κλάσμα;
Το κλάσμα με τους μικρότερους όρους, συγγνώμη.
Το κλάσμα με τους μικρότερους όρους...
θα το φτιάξω χρησιμοποιώντας Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο του 4 και του 6,
που είναι το 12.
4 + 4 = 8, 8 + 4 = 12,
3 Χ 4 = 12, 2 Χ 6 = 12.
Είναι το πρώτο κοινό πολλαπλάσιο, το ελάχιστο.
Το 3/4 θα γίνει 9/12.
Και το 2/6 θα γίνει 4/12.
9/12 + 4/12 = 13/12
Και έχουμε πει ότι αυτό μπορούμε να το γράψουμε 1 1/12.
Έτσι κάθε φορά που έχω να κάνω πρόσθεση,
θα βρω το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των παρονομαστών,
θα μετατρέψω τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα,
θα κάνω την πράξη κι αν το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από την ακέραιη μονάδα,
θα το μετατρέψω σε μεικτό.
Θα ξέρω όμως τι ακριβώς κάνω.
Με τα βήματα που κάναμε σήμερα,
προσπαθήσαμε να κατανοήσουμε τι ακριβώς κάνουμε,
όταν μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα,
για να κάνουμε τη διαδικασία της πρόσθεσης.
Να συνοψίσουμε λίγο ως εδώ και να πούμε:
Στη σύγκριση δεν μας ήταν πάντα απαραίτητη η μετατροπή των κλασμάτων σε ομώνυμα,
σε ισοδύναμα που να είναι και ομώνυμα.
Στην πρόσθεση όμως πρέπει για κάθε κλάσμα να βρω ένα ισοδύναμό του,
για τον κάθε προσθετέο,
να βρω εδώ ένα ισοδύναμο για τα 3/4 και ένα ισοδύναμο του 2/6,
αλλά αυτά τα ισοδύναμα που θα βρω μεταξύ τους να είναι ομώνυμα,
να έχουν τον ίδιο παρονομαστή.
Το ίδιο πράγμα μπορώ να κάνω, την ίδια διαδικασία και για την αφαίρεση.
Έτσι λοιπόν αφού είδαμε τη διαδικασία της πρόσθεσης,
ας κάνουμε και την αφαίρεση.
Επειδή τα έχουμε κάνει ομώνυμα δεν χρειάζεται να πούμε ποιο είναι μεγαλύτερο,
το 3/4 είναι μεγαλύτερο από το 2/6.
Γιατί το 3/4 και με άλλο τρόπο, δεν χρειάζεται να πάμε στα 9/12...
Ας θυμηθούμε τι κάναμε, για ποια πράγματα έχουμε μιλήσει.
Ο ένας τρόπος είναι ότι το 9/12 είναι μεγαλύτερο από το 4/12,
άρα μπορώ να κάνω την αφαίρεση.
Το 3/4 είναι μεγαλύτερο από το μισό.
Το 2/6 είναι μικρότερο από το μισό.
Άρα αυτό είναι το μεγαλύτερο κλάσμα.
Άρα λοιπόν ποιο είναι το αποτέλεσμα;
9/12 - 4/12 = 5/12, είναι το αποτέλεσμα της αφαίρεσης.
3/4 - 2/6 = 5/12.
Δεν μπορώ να το εκφράσω ούτε σε τέταρτα ούτε σε έκτα.
Θα το εκφράσω σε δωδέκατα.
Όπως και στο άθροισμα που η έκφρασή του ήταν σε δωδέκατα.
Λοιπόν συνοψίζοντας, και πριν κάνουμε άλλη μία άσκηση για να θυμηθούμε κάτι...
Συνοψίζοντας μπορούμε να πούμε ότι για τη διαδικασία της πρόσθεσης και της αφαίρεσης,
πρέπει να μετατρέψουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα.
Δεν είναι τα μοναδικά κλάσματα που μπορούμε να πάρουμε για να κάνουμε την πρόσθεση.
Μπορούμε να βρούμε και άλλα ισοδύναμα πάντα.
Βλέπετε ότι πήραμε δωδέκατα,
το κάναμε και με εικοστά τέταρτα,
το κάναμε και με τριακοστά έκτα,
θα μπορούσαμε να το κάνουμε και με τεσσαρακοστά όγδοα.
Πάμε τώρα, κλείνοντας, να θυμηθούμε,
και από το προηγούμενο και από το σημερινό μάθημα,
δύο πολύ ωραίες ασκήσεις...
τις οποίες μπορείτε να συνεχίσετε.
Έχουμε εδώ την ακέραιη μονάδα.
Και έχουμε πει ότι το 5/6 είναι ένα κλάσμα που είναι μικρότερο από το 6/7,
γιατί κάθε φορά λείπει μικρότερο κομμάτι,
από το 7/8...
Εδώ λοιπόν μπορείτε να γράψετε και μερικά άλλα κλάσματα...
που θα είναι πάντα μικρότερα από την ακέραια μονάδα.
Ο αριθμητής θα είναι κατά έναν μικρότερος από τον παρονομαστή.
Το 8/9 θα είναι μετά, αν θέλετε.
Και να δούμε πόσο ενδιαφέρον έχει αυτή η διαδικασία.
Το δεύτερο που μπορούμε να κάνουμε...
είναι να βρούμε αυτό που ξεκινήσαμε,
να βρούμε ανάμεσα στο 1/3 και στο 2/3...
Έχουμε το κλάσμα 1/3, ας το ξαναδούμε αυτό, και το 2/3.
Και είπαμε ότι όταν φτιάξω ισοδύναμα, επί 5 θα γίνει...
Επί 2 αυτό, θα φτιάξω ένα ισοδύναμο...
Ανάμεσα στο 1/3 και στα 2/3 να δούμε αν υπάρχουν κλάσματα.
Θα πολλαπλασιάσουμε με το 5 και θα γίνει 5/15.
Και εδώ θα γίνει 10/15.
Ανάμεσα λοιπόν στα 5/15 και στα 10/15 είδαμε...
Θα το πάμε πιο πέρα, για να μπορούμε να γράψουμε τα κλάσματα.
Μπορούμε λοιπόν εδώ να τοποθετήσουμε...
το 6/15, το 7/15,
το 8/15 και το 9/15.
Μια ωραία απορία είναι ότι, καλά, μεταξύ του 1/3 και των 2/3...
μπορέσαμε και παρεμβάλαμε αυτά τα κλάσματα.
Μεταξύ δύο κλασμάτων εδώ θα 'χει ενδιαφέρον αν εδώ μπορούμε να βάλουμε κλάσματα.
Ας το δούμε, δεν έχουμε τίποτα να χάσουμε, αν το δοκιμάσουμε.
Θα φτιάξω ισοδύναμα κλάσματα με το 7/15.
Επί 3, θα γίνει 3 Χ 7 = 21,
3 Χ 15 = 45.
Είναι ισοδύναμο (το 7/15) με το 21/45.
Και αυτό (το 8/15) είναι ισοδύναμο...
3 Χ 8 = 24,
3 Χ 15 = 45.
Να τα ξαναγράψουμε με λίγη απόσταση.
3 Χ 8 = 24... 24/45.
Να βάλουμε και τα βελάκια για να μην ξεχάσουμε για ποια κλάσματα πρόκειται.
Τι παρατηρούμε λοιπόν;
Ότι και εδώ ανάμεσα, ανάμεσα στο 7/15 και στο 8/15,
μπορώ να βάλω το 22/45 και το 23/45.
Μπορείτε λοιπόν ανάμεσα σε οποιαδήποτε κλάσματα από εδώ,
να βρείτε κι εσείς ένα ή δύο κλάσματα και να τα παρεμβάλλετε μέσα.
Είναι μια πάρα πολύ ωραία διαδικασία που θα σας φανεί αρκετά διασκεδαστική.
Έχουμε λοιπόν δύο εργασίες να κάνουμε -
να ασχοληθούμε όχι να κάνουμε.
Να δούμε, φτιάχνοντας κλάσματα,
όπου ο αριθμητής είναι κατά έναν μικρότερος από τον παρονομαστή,
πώς πλησιάζουμε την ακέραιη μονάδα, αλλά πάντα μας λείπει ένα κομμάτι -
μπορεί κάθε φορά να μας λείπει ένα μικρότερο, αλλά πάντα μας λείπει ένα κομμάτι.
Και ανάμεσα σε δύο κλάσματα μπορούμε να παρεμβάλλουμε κλάσματα.
Και σε αυτά τα καινούργια κλάσματα τα οποία παρεμβάλαμε μέσα,
μπορούμε ανάμεσα σε δύο από αυτά,
να βρούμε πάλι καινούργια κλάσματα για να παρεμβάλλουμε.
Και να δούμε πόσο ενδιαφέρον έχει...
αυτή η εργασία που δεν σταματάει ποτέ.
Λοιπόν να συνοψίσουμε και να κλείσουμε το μάθημά μας.
Κάναμε μια επανάληψη στη σύγκριση και στη διάταξη κλασμάτων.
Μιλήσαμε για την πρόσθεση και την αφαίρεση.
Μιλήσαμε για το πώς μπορούμε να κάνουμε πρόσθεση ή αφαίρεση...
με ισοδύναμα κλάσματα που είναι ομώνυμα,
ότι δεν είναι μοναδικοί αυτοί οι αντιπρόσωποι που θα πάρουμε...
για να κάνουμε την πράξη, όμως επιλέγοντας το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο,
βρίσκουμε τα κλάσματα με τους μικρότερους όρους,
βρίσκουμε το αποτέλεσμά μας και έχουμε κάνει δύο πράγματα.
Έχουμε κατανοήσει, με τους νοερούς συλλογισμούς που κάναμε,
καλύτερα τα κλάσματα και είμαστε και αποτελεσματικοί,
ώστε να λύσουμε το πρόβλημα και να εκτελέσουμε τις πράξεις μας.
Καλή μελέτη και καλή συνέχεια στο διάβασμά σας.
