Regla de LAPLACE 🎲 Explicada con EJEMPLOS
cada atardecer si miramos al oeste vemos
como el sol se oculta tras esas montañas
[Música]
si calentamos agua hasta 100 grados
centígrados siempre hierve ¡Ay me quemo!
Y si suelto esta manzana siempre cae ¡Ay!
Pero si lanzamos esta moneda al aire
a veces obtendremos cara, a veces
obtendremos cruz. Si tiramos este dado
tampoco sabemos qué número va a salir.
Decimos que un experimento es
determinista cuando se puede predecir su
resultado antes de realizarlo.
Por ejemplo, observar el atardecer hacia el
oeste siempre termina con el sol
poniéndose; calentar agua hasta 100
grados centígrados
siempre termina con el agua hirviendo;
dejar caer una manzana al vacío siempre
termina con la manzana en el suelo.
Por otra parte se dice que un experimento es
aleatorio si al repetirlo varias veces
en las mismas condiciones se pueden
obtener resultados diferentes.
Por ejemplo, al lanzar una moneda podemos
obtener cara o cruz. Si tiramos un dado
podemos obtener seis resultados
diferentes.
¿Merece la pena aplicar el razonamiento
matemático a experimentos aleatorios en
los que el azar juega un papel esencial?
¿No son las matemáticas una
ciencia exacta? ¿De verdad podemos dar una
base matemática al azar?
En el verano de 1.654 los matemáticos
franceses Pierre de Fermat y Blaise Pascal
pensaron que esto era posible e
iniciaron una intensa correspondencia.
Otros matemáticos importantes se unieron
a la fiesta como el holandés Christiaan
Huygens y posteriormente los suizos
Jacob en Bernoulli y Leonard Euler y el
francés Pierre-Simon de Laplace de cuya
regla vamos a hablar en este vídeo.
¡Empezamos!
La probabilidad de un suceso, como por
ejemplo, que salga cara al tirar una
moneda es un número entre 0 y 1.
En este caso 0,5 que podemos escribir
como un porcentaje desplazando la coma
dos lugares. Esto es, la probabilidad de
obtener una cara al lanzar una moneda es
del 50% pero ¿qué quiere decir que la
probabilidad de este suceso es del 50% ?
El significado de este porcentaje es que
si lanzamos la moneda un número grande
de veces la frecuencia con la que
aparecerá cara será de un 50%.
A ver, lanzó la moneda diez veces y obtengo
cuatro caras y seis cruces, esto es, un
40% de caras.
¿Qué está pasando?¿No debería salir 50%?
Básicamente lo que está sucediendo es
que 10 no es un número muy grande.
Si lanzamos la moneda 100 veces obtendremos
algo más ajustado. Por ejemplo, me han
salido 52 caras y 48 cruces, esto es, un
52% de caras. Si lanzáramos la moneda mil
veces además de cansados veríamos que el
porcentaje se parece cada vez más al 50%.
Por ejemplo, 496 frente a 504, esto es,
49,6% de caras.
Si pudiéramos repetir el experimento
infinitas veces la proporción de caras
sería del 50%. Pero, ¿esto no parece muy
matemático? ¿Cómo puedo calcular la
probabilidad de un suceso si no puedo
hacer un experimento infinitas veces?
Para eso tenemos la REGLA DE LAPLACE
[Música]
si tenemos un experimento aleatorio en
el que todos los sucesos elementales
tienen la misma probabilidad decimos que
estos sucesos son equiprobables.
Por ejemplo, la probabilidad de cara y cruz
al tirar una moneda es la misma y por
tanto obtener cara y obtener cruz son
sucesos equiprobables. La probabilidad
al lanzar un dado de cada uno de sus
lados también es la misma y por tanto
los sucesos sacar un 1, sacar un 2,
etcétera son sucesos equiprobables.
La regla de Laplace afirma que en un
experimento aleatorio cuyos sucesos
elementales son equiprobables la
probabilidad de un suceso A
se calcula por la fórmula número de
casos favorables al suceso A, dividido
entre el número de casos posibles.
Por ejemplo, trivialmente la probabilidad
de obtener un 4 al lanzar un dado es
número de casos favorables al suceso
sacar un 4, esto es, un caso. Dividido
entre el número de casos posibles,
esto es, 6 casos. Por tanto, obtenemos una
probabilidad de un sexto que dividiendo
y desplazando la coma dos lugares a la
derecha nos da un
16,6 periódico por ciento ciento.
¿Cuál es la probabilidad del suceso B que
consiste en sacar un número par al
lanzar un dado?
la probabilidad de B se calculará como
el número de casos favorables al suceso B,
que son el 2 el 4 y el 6, esto es,
3 casos. Dividido entre el número de casos
posibles que es 6 y obtenemos una
probabilidad de 3 sextos que es igual a
0,5 que visto como porcentaje es el 50%
¡Claro! la mitad de las veces saldrá par y
la mitad de las veces impar si lanzamos
el dado un número grande de veces.
Pero para terminar este vídeo os propongo un
ejercicio un poco más complicado:
si nuestro experimento consiste en lanzar
dos dados ¿Cuál es la probabilidad de que
la suma de los números obtenidos sea 8?
Para determinar dicha probabilidad
utilizando la regla de Laplace vamos a
empezar viendo cuántos casos posibles
tenemos en este experimento: El primer
dado tiene seis posibilidades diferentes
y el segundo otras seis por tanto
tendremos en total seis por seis igual a
36 posibilidades. En efecto, si el primer
dado es 1 el segundo puede ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6.
Si el primer dado es un 2
el segundo puede ser de nuevo
1, 2, 3, 4, 5 o 6. Lo mismo
sucede con un 3, 4, 5 o 6
en el primer dado y al final tenemos
todas las posibilidades en una tabla de
seis filas y seis columnas, esto es,
de 36 casillas
¿Cuál es el número de casos favorables al
suceso la suma de los dados es 8?
con 1 en el primer dado no hay ninguna
opción pues lo máximo que suman es 1 + 6
igual a 7 pero con un 2 en el primer
dado y 6 en el segundo sumamos 8 y con
un 3 en el primero y 5 en el segundo y
con un 4 en el primero y 4 en el segundo
y con 5 y 3 y con 6 y 2. En definitiva, la
probabilidad del suceso sumar 8 es igual
al número de casos favorables, esto es, 5
dividido entre el número de casos
posibles que era 36. Hemos obtenido por
tanto una probabilidad de cinco partido
por 36 que es 0.138 periódico o visto
como porcentaje el 13,8 periódico por
ciento.
Esta regla tan sencilla nos será de
mucha utilidad para aprender en próximos
vídeos herramientas cada vez más
sofisticadas para calcular
probabilidades ¡Hasta luego!
[Música]
