无限 旅馆 悖论 - Jeff Dekofsky Infinity Hotel|Hotel|paradox 1||Jeff Dekofsky Das Unendlichkeitshotel-Paradoxon - Jeff Dekofsky The Infinity Hotel Paradox - Jeff Dekofsky インフィニティ・ホテルのパラドックス - Jeff Dekofsky 인피니티 호텔 패러독스 - 제프 데코프스키 Парадокс отеля Infinity - Джефф Декофски 無限旅館悖論- Jeff Dekofsky

在 1920年， |year 1920 In the 1920's, 在1920年，

德国 数学家 David Hilbert Germany|Mathematician David Hilbert|| the German mathematician David Hilbert 德国数学家David Hilbert

设计 了 一个 著名 的 思维 实验 designed|past tense marker||famous|possessive particle|thinking|experiment devised a famous thought experiment 设计了一个著名的思维实验

向 我们 展示 了 ||showed us| to show us just how hard it is 向我们展示了

深入 思考 无限 的 理念 到底 有 多难。 deeply|thinking|||concept|really||how difficult to wrap our minds around the concept of infinity. 深入思考无限的理念到底有多难。

想象 一个 酒店 有 无限 数量 的 房间 imagine a hotel||hotel|||infinite rooms||room Imagine a hotel with an infinite number of rooms 想象一个酒店有无限数量的房间

和 一个 认真 工作 的 夜班 经理。 with a||serious|||night shift|night shift manager and a very hardworking night manager. 和一个认真工作的夜班经理。

一天 晚上 ，无限 酒店 满房 了， one day|evening|||fully booked| One night, the Infinite Hotel is completely full, 一天晚上，无限酒店满房了，

被 无限 数量 的 客人 全部 预定 了。 passive marker||infinite number||guests|all|booked| totally booked up with an infinite number of guests. 被无限数量的客人全部预定了。

一个 男士 走进 了 酒店 |man|walked into|| A man walks into the hotel and asks for a room. 一个男士走进了酒店

并且 要求 一个 房间。 and|Requirement 1|| And ask for a room. 并且要求一个房间。

夜班 经理 并 没有 拒绝 他， |||did not|| Rather than turn him down, 夜班经理并没有拒绝他，

而是 决定 给 他 一个 房间。 but rather||to give||| the night manager decides to make room for him. 而是决定给他一个房间。

怎么 可能？ |how possible How? 怎么可能？

很 简单 ，他 让 1号 客房 的 客人 |very easy||let|Room 1||| Easy, he asks the guest in room number 1 很简单，他让1号客房的客人

搬到 了 2号 客房， to move to room 2, 搬到了2号客房，

2号 客房 的 客人 搬到 3号 客房， the guest in room 2 to move to room 3, 2号客房的客人搬到3号客房，

以此类推。 and so on and so on. 以此类推。

每个 客人 从 “n”号 房间 each||||| Every guest moves from room number "n" 每个客人从“n”号房间

搬入 “n+1”号 房间。 to room number "n+1". 搬入“n+1”号房间。

因为 那里 有 一个 无限 个 房间， because there|||||| Since there are an infinite number of rooms, 因为那里有一个无限个房间，

总有 一个 新 房间 给 每 一个 已有 的 客人 ||new|||each||existing|| there is a new room for each existing guest. 总有一个新房间给每一个已有的客人

这样 1号 房间 就 留给 了 新 的 客人。 this room|||then||||| This leaves room 1 open for the new customer. 这样1号房间就留给了新的客人。

这个 过程 可以 被 重复 this process|process 1|||repeatable The process can be repeated 这个过程可以被重复

给 任何 有限 数量 的 新 客人 们。 ||limited number||||| for any finite number of new guests. 给任何有限数量的新客人们。

假设 一个 观光 大巴 If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms, 假设一个观光大巴

40人 下车 要 找 房间， 40 people got off the bus to find the room. 40人下车要找房间，

那么 每个 已 在 的 客人 只要 Then every guest who is already in just 那么每个已在的客人只要

从 “n"号 房间 from room number "n" 从“n"号房间

搬 到 “n+40"号 房间， to room number "n+40", 搬到“n+40"号房间，

因此 ，就 能 打开 新 的 40个 房间。 thus, opening up the first 40 rooms. 因此，就能打开新的40个房间。

但是 现在 有 一个 无限大 的 巴士 But now an infinitely large bus 但是现在有一个无限大的巴士

拉 了 可数 的 无限 多 的 乘客 with a countably infinite number of passengers 拉了可数的无限多的乘客

来租 房间。 pulls up to rent rooms. 来租房间。

可数 的 无限 是 关键。 countably infinite is the key. 可数的无限是关键。

现在 ，极大 的 巴士 的 无限 的 乘客 Now, the infinite bus of infinite passengers 现在，极大的巴士的无限的乘客

一 开始 为难 了 夜店 经理， perplexes the night manager at first, 一开始为难了夜店经理，

但是 他 意识 到 有 一个 方法 but he realizes there's a way 但是他意识到有一个方法

来 安置 每 一个 新人。 to place each new person. 来安置每一个新人。

他 让 1号 房间 的 客人 He asks the guest in room 1 to move to room 2. 他让1号房间的客人

搬到 了 2号 房间。 Moved to room #2. 搬到了2号房间。

他 然后 让 2号 房间 的 客人 He then asks the guest in room 2 他然后让2号房间的客人

搬到 了 4号 房间， to move to room 4, 搬到了4号房间，

3号 房间 的 客人 the guest in room 3 to move to room 6, 3号房间的客人

搬到 6号 房间， Move to room 6. 搬到6号房间，

以此类推。 and so on And so on. 以此类推。

每 一个 当前 的 客人 从 ”n"号 房间 Each current guest from room "n" 每一个当前的客人从”n"号房间

搬到 了 “2n“号 房间， Moved to room "2n". 搬到了“2n“号房间，

填补 了 只有 无限 的 偶数号 房间。 filled in|||||even-numbered room| filling up only the infinite even-numbered rooms. 填补了只有无限的偶数号房间。

通过 这个 ，他 现在 清空 了 By doing this, he has now emptied 通过这个，他现在清空了

所有 的 无限 的 奇数 号 房间， all of the infinitely many odd-numbered rooms, 所有的无限的奇数号房间，

无限大 的 巴士 的 乘客 们 which are then taken by the people filing off the infinite bus. 无限大的巴士的乘客们

将 占用 这些 奇数 房间。 will occupy these odd-numbered rooms. 将占用这些奇数房间。

每个 人 的 开心 和 酒店 的 生意 Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever. 每个人的开心和酒店的生意

达到 了 从未有过 的 兴荣。 It has reached a level of prosperity that has never been seen before. 达到了从未有过的兴荣。

好 吧 ，事实上 ，它 只是 和 以前 一样 Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever, 好吧，事实上，它只是和以前一样

一直 在 兴荣， has been in the Hing Wing. 一直在兴荣，

在 一夜之间 把 无数 的 美元 存入 银行。 banking an infinite number of dollars a night. 在一夜之间把无数的美元存入银行。

关于 这家 惊人 的 酒店 的 消息 传开 了。 Word spreads about this incredible hotel. 关于这家惊人的酒店的消息传开了。

人们 从 世界各地 蜂拥而来。 People pour in from far and wide. 人们从世界各地蜂拥而来。

一天 晚上 ，意外 发生 了。 One night, the unthinkable happens. 一天晚上，意外发生了。

夜班 经理 看 了 外面 The night manager looks outside 夜班经理看了外面

并且 看到 了 由 无限 大巴 们 and sees an infinite line of infinitely large buses, 并且看到了由无限大巴们

组成 的 一个 无限 的 排列， consists of an infinite array of 组成的一个无限的排列，

每个 大巴 都 有 一个 可数 的 无限 多 的 客人。 each with a countably infinite number of passengers. 每个大巴都有一个可数的无限多的客人。

他 能干 些 什么？ What can he do? 他能干些什么？

如果 他 不能 给 他们 找到 房间， If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out 如果他不能给他们找到房间，

这个 酒店 可能 会 This hotel may be 这个酒店可能会

失去 一大笔 无数 的 钱， on an infinite amount of money, 失去一大笔无数的钱，

并且 他 肯定 会 失去 他 的 工作。 and he will surely lose his job. 并且他肯定会失去他的工作。

幸运 的 是 ，他 记得 Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E., 幸运的是，他记得

在 公元 300年前， In the year 300 A.D., the 在公元300年前，

Euclid证明 了 质数 的 Euclid proved that there is an infinite quantity Euclid证明了质数的

一个 无穷 量。 of prime numbers. 一个无穷量。

所以 ，为了 完成 这个 看上去 不 可能 的 任务 So, to accomplish this seemingly impossible task 所以，为了完成这个看上去不可能的任务

找到 无数 的 床 of finding infinite beds for infinite buses 找到无数的床

给 无数 的 大巴 上 的 For the countless busloads of 给无数的大巴上的

无数 的 疲倦 的 旅客 们， countless tired travelers. 无数的疲倦的旅客们，

夜店 经理 安排 给 每个 当前 的 客人 nightclub||||each||| the night manager assigns every current guest 夜店经理安排给每个当前的客人

第一个 质数，2， to the first prime number, 2, 第一个质数，2，

幂指数 为 他们 当前 的 房间 号。 exponent|is||||| raised to the power of their current room number. 幂指数为他们当前的房间号。

因此 ，当前 所 居住 房间 号 为7 therefore|||living||| So, the current occupant of room number 7 因此，当前所居住房间号为7

那么 就要 住 到 房间 号 为 2的 7次方 的 房间 里， ||||||||2 to the power of 7||| goes to room number 2^7, 那么就要住到房间号为2的7次方的房间里，

也 就是 128号房。 ||Room 128 which is room 128. 也就是128号房。

夜班 经理 然后 带领 The night manager then takes the people on the first of the infinite buses 夜班经理然后带领

在 第一个 超级 大巴 们 上 的 人们 The people on the first superbus 在第一个超级大巴们上的人们

并且 安排 了 房间 号 给 他们 and|||||| and assigns them to the room number 并且安排了房间号给他们

下 一个 质数，3， of the next prime, 3, 下一个质数，3，

幂指数 为 他们 在 大巴 的 座位号。 raised to the power of their seat number on the bus. 幂指数为他们在大巴的座位号。

因此 ，座位号 为 7的 第一辆 大巴 上 的 人 So, the person in seat number 7 on the first bus 因此，座位号为7的第一辆大巴上的人

到 房间 号 为 3的 七次 方 |||||seven cubed| goes to room number 3^7 到房间号为3的七次方

即 2187号 房间 去。 or room number 2,187. 即2187号房间去。

这个 过程 持续 给 第一辆 大巴 上 的 所有人。 |process||||bus|on|possessive particle| This continues for all of the first bus. 这个过程持续给第一辆大巴上的所有人。

第二辆 大巴 上 的 乘客 们 The passengers on the second bus 第二辆大巴上的乘客们

被 安排 到 了 下 一个 质数 ，5的 幂. ||||||||power are assigned powers of the next prime, 5. 被安排到了下一个质数，5的幂.

接下 的 大巴 ，7的 幂。 The following bus, powers of 7. 接下的大巴，7的幂。

每辆 大巴 如下： Each bus follows: 每辆大巴如下：

11的 幂， powers of 11, powers of 13, 11的幂，

13的 幂， powers of 17, etc. 13的幂，

17的 幂 ，等等。 The power of 17 , etc. 17的幂，等等。

因为 这些 数字 每 一个 Since each of these numbers 因为这些数字每一个

都 只有 1和 它们 的 幂 本身 only has 1 and the natural number powers 都只有1和它们的幂本身

作为 因数， |factor of their prime number base as factors, 作为因数，

因此 就 没有 重叠 数字 号 的 房间。 there are no overlapping room numbers. 因此就没有重叠数字号的房间。

所有 大巴 乘客 们 呈 扇形 散开 到 各自 房间 去 ||passengers|plural marker||||||| All the buses' passengers fan out into rooms 所有大巴乘客们呈扇形散开到各自房间去

利用 独特 的 房间 安置 计划 ||||placement| using unique room-assignment schemes 利用独特的房间安置计划

基于 独特 的 质数 们。 based on unique prime numbers. 基于独特的质数们。

这样一来 ，夜班 经理 能够 安排 ||||arrange In this way, the night manager can accommodate 这样一来，夜班经理能够安排

每辆 大巴 的 每位 乘客 入住。 every passenger on every bus. 每辆大巴的每位乘客入住。

尽管 ，还有 许多 房间 是 空 的， Although, there will be many rooms that go unfilled, 尽管，还有许多房间是空的，

像是 6号房 like room 6, 像是6号房

因为 6不是 任何 质数 的 幂。 |||prime||power since 6 is not a power of any prime number. 因为6不是任何质数的幂。

幸运 的 是 ，他 的 老板 数学 不是 很棒， lucky|||||||| Luckily, his bosses weren't very good in math, 幸运的是，他的老板数学不是很棒，

所以 他 的 工作 是 安全 的。 so his job is safe. 所以他的工作是安全的。

夜班 经理 策略 的 实现 是 可能 的 night shift|manager|||||| The night manager's strategies are only possible 夜班经理策略的实现是可能的

仅仅 因为 infinite酒店 because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare, 仅仅因为infinite酒店

一定 是 难办 之 事， It must be a difficult thing to do. 一定是难办之事，

它 只能 处理 最低水平 的 无穷 数， |||||infinity| it only deals with the lowest level of infinity, 它只能处理最低水平的无穷数，

主要 是 可数 的 mainly, the countable infinity of the natural numbers, 主要是可数的

无限 自然数 Infinite Natural Number 无限自然数

1，2，3，4.等等。 1, 2, 3, 4. etc. 1，2，3，4.等等。

George Cantor称 这个 水平 为 无穷大 阿列 夫零. |||||infinity|Aleph null|Aleph null Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero. George Cantor称这个水平为无穷大阿列夫零.

我们 使用 自然数 为 房间 号 We use natural numbers for the room numbers 我们使用自然数为房间号

同时 也 是 大巴 的 座位号。 as well as the seat numbers on the buses. 同时也是大巴的座位号。

如果 我们 处理 更 高级 顺序 的 无穷 数， If we were dealing with higher orders of infinity, 如果我们处理更高级顺序的无穷数，

比如 实数， |real numbers such as that of the real numbers, 比如实数，

这些 结构 策略 these structured strategies would no longer be possible 这些结构策略

便是 不 可能 的 Then it is not possible 便是不可能的

因为 我们 没有 办法 as we have no way to systematically include every number. 因为我们没有办法

系统地 包含 每 一个 数字。 Systematically includes every number. 系统地包含每一个数字。

实数 Infinite酒店 The Real Number Infinite Hotel 实数Infinite酒店

有 负数 号 的 房间 在 地下室， |negative number||||| has negative number rooms in the basement, 有负数号的房间在地下室，

分数 号 的 房间， room number||| fractional rooms, 分数号的房间，

因此 房间 号 为 二分之一 的 人 总 怀疑 therefore|||||||| so the guy in room 1/2 always suspects 因此房间号为二分之一的人总怀疑

他 的 房间 小于 1号房 的 人。 he has less room than the guy in room 1. 他的房间小于1号房的人。

平方根 的 房间 ，像 房间 号 为 根号 2的 房间 square root|||||||square root|| Square root rooms, like room radical 2, 平方根的房间，像房间号为根号2的房间

和 房间 号 为 圆周率 的 房间， ||||pi|| and room pi, 和房间号为圆周率的房间，

这些 乘客 期待 免费 的 点心。 where the guests expect free dessert. 这些乘客期待免费的点心。

而 什么样 的 自重 的 夜班 经理 |||self-respect|||manager What self-respecting night manager would ever want to work there 而什么样的自重的夜班经理

会 想要 在 那 工作 Will want to work there 会想要在那工作

甚至 是 为了 无穷的 薪水？ even for an infinite salary? 甚至是为了无穷的薪水？

但是 再 看看 Hilbert的 Infinite酒店， But over at Hilbert's Infinite Hotel, 但是再看看Hilbert的Infinite酒店，

永远 都 不会 有 空缺 ||||vacancy where there's never any vacancy 永远都不会有空缺

并且 总是 有 房间 给 更 多 的 人， and always room for more, 并且总是有房间给更多的人，

永远 的 勤劳 还有 可能 太 热情好客 的 夜班 经理 the scenarios faced by the ever-diligent 永远的勤劳还有可能太热情好客的夜班经理

面临 着 这样 的 场景 and maybe too hospitable night manager 面临着这样的场景

是 在 提醒 我们 serve to remind us of just how hard it is 是在提醒我们

我们 这样 相对 有 穷 的 思维 We have a relatively poor mindset like this 我们这样相对有穷的思维

想 掌握 一个 像 无穷 数 一样 大 的 概念。 for our relatively finite minds 想掌握一个像无穷数一样大的概念。

是 有 多么 困难 to grasp a concept as large as infinity. 是有多么困难

可能 你 在 好好 睡 了 一晚 后 Maybe you can help tackle these problems 可能你在好好睡了一晚后

能 解决 这些 问题 after a good night's sleep. 能解决这些问题

但是 老实 说 ，我们 可能 需要 你 But honestly, we might need you 但是老实说，我们可能需要你

在 凌晨 2点换 房间。 to change rooms at 2 a.m. 在凌晨2点换房间。