香蕉皮 能 展 成 平面 吗 ?微分 几何 之 高斯 绝妙 定理
banana peel|can|unfold|into|plane|question marker|differential|geometry|of|Gauss|exquisite|theorem
¿Se puede extender una cáscara de plátano en un plano? Teorema de Gauss de la geometría diferencial de lo asombroso
バナナの皮は平面に広げられるか?微分幾何学の驚異のガウスの定理
Can banana peels be unfolded into a flat surface? The wonderful theorem of Gauss in differential geometry.
各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师
everyone|students|everyone|good|I|am|Li Yongle|teacher
Hello everyone, I am Teacher Li Yongle.
最近 有 一个 新闻 刷 爆 的 互联网
recently|have|one|news|brush|explode|attributive marker|internet
Recently, there has been a news story that has gone viral on the internet.
说 是 中科大 26 岁 的 特 任 教授 陈杲
say|is|University of Science and Technology of China|years old|attributive marker|||professor|Chen Gao
It is said that Chen Gao, a 26-year-old special professor at the University of Science and Technology of China.
在 复 微分 几何 领域 攻克 的 一个 世界 难题
in|complex|differential|geometry|field|conquer|attributive marker|one|world|problem
A world problem tackled in the field of differential geometry.
有 小朋友 就 问 我 说 这 微分 几何
there is|children|then|ask|me|say|this|differential|geometry
A child asked me what this differential geometry is.
到底 是 怎样 的 一门 学科 呢
exactly|is|how|attributive marker|one|subject|emphasis marker
What kind of subject is it?
陈杲 教授 的 成果 又 是 什么 呢
Chen Gao|professor|attributive marker|achievements|again|is|what|emphasis marker
What are Professor Chen Gao's achievements?
微分 几何
differential|geometry
Differential Geometry
起源于 数学家 对于 曲线 和 曲面 的 研究
originated from|mathematicians|regarding|curves|and|surfaces|attributive marker|research
Originated from mathematicians' study of curves and surfaces
如今 已经 成为 广义 相对论 的 基础
now|already|become|general|relativity|attributive marker|foundation
Has now become the foundation of General Relativity
与 拓扑学 和 理论物理 密切 相关
with|topology|and|theoretical physics|closely|related
Closely related to topology and theoretical physics
学过 微分 几何 的 小伙伴 都 知道
studied|differential|geometry|attributive marker|friends|all|know
Friends who have studied differential geometry all know
这门 学科 特别 的 复杂
this|subject|especially|attributive marker|complex
that this subject is particularly complex.
普通人 很难 理解 它 的 全貌
ordinary people|very difficult|understand|it|attributive marker|full picture
It is very difficult for ordinary people to understand its entirety.
那 今天 我们 就 来 选 一个 微分 几何 中
that|today|we|just|come|choose|one|differential|geometry|in
So today, let's choose a topic from differential geometry.
相对 比较 容易 理解 的 概念
relative|relatively|easy|understand|attributive marker|concept
A relatively easy to understand concept
高斯 绝妙 定理 来 给 大家 体会 一下
Gauss|marvelous|theorem|to|give|everyone|experience|a bit
Using Gauss's marvelous theorem to give everyone an experience
微分 几何 的 魅力
differential|geometry|attributive marker|charm
The charm of differential geometry
为了 理解 高斯 绝妙 定理
in order to|understand|Gauss|exquisite|theorem
In order to understand Gauss's marvelous theorem
我们 首先 先 来 了解 一个 平面几何 的 问题
we|first|first|come|understand|one|plane geometry|attributive marker|problem
First, let's understand a problem in plane geometry.
叫做 曲率 还有 曲率 半径
is called|curvature|and also|curvature|radius
It's called curvature and radius of curvature.
曲率 和 曲率 半径 什么 意思
curvature|and|curvature|radius|what|meaning
What do curvature and radius of curvature mean?
我们 都 知道 圆 有 半径
we|all|know|circle|has|radius
We all know that a circle has a radius.
那么 一个 曲线 有 半径 吗
so|one|curve|has|radius|question marker
So does a curve have a radius?
我们 来看 这 是 一个 随便 画 的 一条 曲线
we|take a look|this|is|one|casually|drawn|attributive marker|one|curve
Let's take a look at this is a randomly drawn curve.
那么 这 条 曲线
then|this|measure word for long|curve
Now this curve,
它 不同 的 地方 弯曲 程度 是 不 一样 的
the degree of curvature is different in different places.
我们 就 想 比较 比如说
we|just|want|compare|for example
We just want to compare, for example,
这个 点 A 这个 点 B 这个 点 C
this|point|A|this|point|B|this|point|C
this point A, this point B, this point C.
它 的 弯曲 的 程度 是 吧
it|attributive marker|curvature|attributive marker|degree|is|emphasis marker
What is the degree of their curvature?
怎么 比较 呢
how|compare|emphasis marker
How do we compare them?
人们 就 想了 个 方法
people|just|thought of|a|method
People thought of a method.
我 可以 用 一个 圆 去 贴近 这个 曲线
I|can|use|one|circle|to|approximate|this|curve
I can use a circle to approximate this curve.
如果 在 一个 很小 的 范围 内
if|in|one|very small|attributive marker|range|inside
If within a very small range,
这个 圆 可以 和 曲线 密接 密接
this|circle|can|and|curve|be in close contact|close contact
this circle can be tangent to the curve.
这个 地方 也 是 圆 和 曲线 的 密接
this|place|also|is|circle|and|curve|attributive marker|close connection
This place is also closely related to circles and curves.
这个 地方 也 是 圆 和 曲线 可以 密接
this|place|also|is|circle|and|curve|can|be in close contact
This place is also where circles and curves can be closely related.
那么 这样 的 圆
so|this way|attributive marker|round
So this kind of circle.
我们 就 管 它 叫 曲线 这个 点 的 曲率 圆
we|just|call|it|named|curve|this|point|attributive marker|curvature|circle
We call it the curvature circle of the curve at this point.
曲率 圆
curvature|circle
Curvature Circle
就是 在 一个 点 可以 和 一个 平滑 曲线 密接 的 圆
just|at|one|point|can|and|one|smooth|curve|tangentially touch|attributive marker|circle
is a circle that can be closely tangent to a smooth curve at a point.
数学 上 可以 证明 一个 平滑 曲线 上
mathematics|on|can|prove|one|smooth|curve|on
Mathematically, it can be proven that on a smooth curve,
某 一个 点 的 曲率 圆 是 唯一 的
certain|one|point|attributive marker|curvature|circle|is|unique|attributive marker
the curvature circle at a certain point is unique.
曲率 圆 它 不是 有个 半径 吗
Curvature circle, doesn't it have a radius?
曲率 圆 的 半径
curvature|circle|attributive marker|radius
The radius of the curvature circle.
我们 就 管 它 叫 曲率 半径
we|just|manage|it|call|curvature|radius
We just call it the radius of curvature.
我们 用 字母 ρ 来 表示
we|use|letter|rho|to|represent
We use the letter ρ to represent it.
这 叫 曲率 半径 对 吧
this|is called|curvature|radius|right|tag question marker
This is called the radius of curvature, right?
曲率 半径 我们 再 取个 倒数 就 叫做 曲率
curvature|radius|we|again|take a|reciprocal|then|is called|curvature
If we take the reciprocal of the radius of curvature, it is called curvature.
曲率 k 它 就 等于 曲率 半径 的 倒数
curvature|k|it|just|equals|curvature|radius|attributive marker|reciprocal
Curvature k is equal to the reciprocal of the radius of curvature.
有 了 曲率 和 曲率 半径
have|emphasis marker|curvature|and|curvature|radius
We have curvature and radius of curvature.
我们 就 可以 比较 不同 的 点 它 的 弯折 程度 了
we|just|can|compare|different|attributive marker|points|its|attributive marker|bending|degree|emphasis marker
We can compare the different points and their degree of bending.
咱们 来看 相比 来讲
we|to look at|compared to|to speak of
Let's look at it comparatively.
这个 A 点 还是 平坦 一些 对 吧
this|||still|flat|a bit|right|tag question marker
This point A is still a bit flatter, right?
这个 C 点 是 最 弯曲 的
this|||is|most|curved|attributive marker
This point C is the most curved.
你 观察 一下 A 点 的 曲率 半径 怎么着
you|observe|a bit|||attributive marker|curvature|radius|how about
Observe how the radius of curvature at point A is.
A 点 的 曲率 圆 最大
The curvature circle at point A is the largest.
所以 A 点 的 曲率 半径 最大 对 不 对
so|||attributive marker|curvature|radius|maximum|correct|not|correct
So the radius of curvature at point A is the largest, right?
曲率 半径 最大 的 时候
curvature|radius|maximum|attributive marker|time
When the radius of curvature is the largest.
它 的 曲率 是不是 就 最小
it|attributive marker|curvature|is or not|just|minimum
Is its curvature the smallest?
所以 曲率 半径 大 的 点 曲率 就 小
so|curvature|radius|large|attributive marker|point|curvature|then|small
So points with a large radius of curvature have small curvature.
这样 的 点 我们 就 叫 它 平坦 或者 叫 平缓
this way|attributive marker|point|we|then|call|it|flat|or|call|gentle
We call such points flat or gentle.
它 就 不 太 弯曲 对 吧
it|just|not|too|curved|right|tag question marker
It is not too curved, right?
你 再 看 C C 它 曲率 圆 特别 小
you|again|look|C|C|it|curvature|circle|especially|small
You look at C C, its curvature is particularly small.
它 曲率 半径 特别 小
it|curvature|radius|especially|small
Its curvature radius is particularly small.
曲率 半径 特别 小 的话
curvature|radius|especially|small|if
If the curvature radius is particularly small,
它 的 曲率 就 比较 大 对 吧
it|attributive marker|curvature|emphasis marker|relatively|large|right|tag question marker
then its curvature is relatively large, right?
这样 的 点 就是 特别 的 弯曲 的
this way|attributive marker|point|is|especially|attributive marker|curved|attributive marker
This kind of point is particularly curved.
所以 我们 就 记住 了
so|we|just|remember|emphasis marker
So we remember it.
凡是 曲率 小 的 它 就 平坦
all|curvature|small|attributive marker|it|then|flat
Anything with small curvature is flat.
曲率 大 的 它 就 弯曲 对 不 对
curvature|large|attributive marker|it|then|bend|correct|not|correct
Anything with large curvature is curved, right?
我们 来看 一下 直线 的 曲率 半径 是 多大
we|take a look|a moment|straight line|attributive marker|curvature|radius|is|how big
Let's take a look at how large the radius of curvature of a straight line is.
你 用 一个 圆 去 给 我 贴合 直线
you|use|one|circle|to|give|me|fit|line
You use a circle to fit the straight line.
你 说 多大 的 圆 能 跟 直线 完全 贴上
you|say|how big|attributive marker|circle|can|with|line|completely|stick to
What size circle can completely fit against the straight line?
是不是 得 无限大 的 圆
Doesn't it have to be an infinitely large circle?
所以 直线 它 的 曲率 半径 其实 是 无穷 的
so|line|it|attributive marker|curvature|radius|actually|is|infinite|attributive marker
So the curvature radius of a straight line is actually infinite.
直线 的 曲率 半径 是 无穷大
line|attributive marker|curvature|radius|is|infinity
The curvature radius of a straight line is infinite.
那么 直线 的 曲率 是 多少
then|straight line|attributive marker|curvature|is|how much
So what is the curvature of a straight line?
直线 的 曲率 是 1/ρ 是 不 就 是 0 对 不 对
straight line|attributive marker|curvature|is|1/rho|is|not|then|is|correct|not|correct
The curvature of a straight line is 1/ρ, which is 0, right?
我们 要 记住 了 直线 的 曲率 是 0
we|need to|remember|emphasis marker|straight line|attributive marker|curvature|is
We must remember that the curvature of a straight line is 0.
因为 它 最 平坦 是不是
because|it|most|flat|is it or not
Because it is the flattest, isn't it?
不仅如此
Not only that.
数学家 们 还 定义 了 这个 曲率 的 正负
mathematicians|plural marker|also|define|past tense marker|this|curvature|attributive marker|positive and negative
Mathematicians also defined the positive and negative of this curvature.
比如 说
for example|say
For example,
我们 定义 说 这个 曲线 向上 弯 曲率 是 负 的
we|define|say|this|curve|upwards|bend|curvature|is|negative|attributive marker
we define that the curvature of this curve bending upwards is negative.
向下 弯曲 率 是 正 的
downward|curvature|rate|is|positive|attributive marker
The curvature bending downwards is positive.
那 你 看 A 这个 点
that|you|look|A|this|point
Now, look at point A.
A这个 点 它 的 这个 弯折 程度 是 往 下 弯 的
|point|it|attributive marker|this|bend|degree|is|towards|down|bend|attributive marker
This point bends downwards.
所以 我们 叫 它 曲率 是 正 的
so|we|call|it|curvature|is|positive|attributive marker
So we call its curvature positive.
B这个 点 它 往 上 弯 对 吧
|point|it|towards|up|bend|right|tag question marker
This point bends upwards, right?
我们 管 它 叫 k 是 负 的
we|care|it|call|k|is|negative|attributive marker
We call it k negative.
C 这个 点 又 往 下 弯
C|this|point|again|towards|down|bend
Point C bends down again.
我们 又 说 k 是 正 的
we|again|say|k|is|positive|attributive marker
We say k is positive again.
那么 你 这 是 一个 平滑 曲线
then|you|this|is|a|smooth|curve
Then this is a smooth curve.
你 的 曲率 能够 从 正 变 到 负
you|attributive marker|curvature|can|from|positive|change|to|negative
Your curvature can change from positive to negative.
你 中间 一定 有 那么 一个 点 是 0
you|in the middle|definitely|have|such|one|point|is
There must be a point in the middle that is 0.
也就是说 这 一点
that is to say|this|point
In other words, this point.
它 是 一小 段 什么 线 直线 对 不 对
it|is|a small|section|what|line|straight line|correct|not|correct
It is a small segment of some line, a straight line, right?
同样 道理 从 这个 点 k 是 负 的
same|reason|from|this|point|k|is|negative|attributive marker
The same reasoning applies from this point k, which is negative.
变成 这个 点 k 是 正 的
become|this|point|k|is|positive|attributive marker
The point k becomes positive.
中间 有 一个 点 k 应该 是 0
middle|have|one|point|k|should|be
There is a point k in the middle that should be 0.
这 就是 曲率 的 正负 的 变化
This is the change in the sign of curvature.
好 我们 现在 已经 知道 了
good|we|now|already|know|emphasis marker
Okay, we now know.
曲率 有大 有 小 有 正 有负 对 不 对
Curvature can be large or small, positive or negative, right or wrong.
下面 我们 要 升级 了
below|we|are going to|upgrade|emphasis marker
Next, we are going to upgrade.
从 曲线 升级 到 曲面
from|curve|upgrade|to|surface
We will upgrade from curves to surfaces.
我们 要 研究 一下
we|want|study|a bit
We need to study this a bit.
主 曲率 的 概念
principal|curvature|attributive marker|concept
The concept of principal curvature
什么 叫 主 曲率 呢
what|is called|principal|curvature|emphasis marker
What is principal curvature?
我们 首先 来 看 这样 一个 香蕉
we|first|come|look|this kind of|one|banana
First, let's look at this banana.
我们 知道 这 香蕉 的 表面 它 实际上 是 一个 曲面
we|know|this|banana|attributive marker|surface|it|actually|is|one|curved surface
We know that the surface of this banana is actually a curved surface.
比如说 这个 点 吧
for example|this|point|emphasis marker
For example, let's talk about this point.
你 沿 不同 方向 看 它 弯折 程度 不 一样
you|along|different|direction|look|it|bending|degree|not|the same
If you look at it from different directions, the degree of bending is different.
你 要是 从 这个 方向 看
you|if|from|this|direction|look
If you look at it from this direction,
它 是 有点 弯
it|is|a bit|bent
it is a bit bent.
但是 你 要 从 这个 方向 看
but|you|need|from|this|direction|look
But you have to look from this direction.
它 叫 特别 弯 对 不 对
it|is called|especially|curved|right|not|right
It's called particularly curved, right?
所以 这个 方向 和 这个 方向
so|this|direction|and|this|direction
So this direction and this direction,
它 是 具有 不同 的 曲率 的
it|is|has|different|attributive marker|curvature|attributive marker
they have different curvatures.
我们 再 来 看 它 的 内侧
we|again|come|look|it|attributive marker|inner side
Let's take a look at its inner side again.
内侧 就 更 搞笑 了
inner side|just|more|funny|emphasis marker
The inner side is even funnier.
你 在 这个 方向 它 有点 弯
you|in|this|direction|it|a bit|bent
In this direction, it is a bit bent.
而且 往 这边 弯
moreover|towards|this side|bend
And it bends this way.
你 要是 在 这个 方向 它 很 弯
you|if|in|this|direction|it|very|curved
If you go in this direction, it is very curved.
而且 往 这边 弯
moreover|towards|this side|bend
And it bends this way.
它 不仅仅 是 弯折 的 程度 不 一样
it|not only|is|bending|attributive marker|degree|not|the same
It's not just that the degree of bending is different.
它 连 弯折 的 方向 都 是 相反 的 对 不 对
it|even|bending|attributive marker|direction|all|is|opposite|attributive marker|correct|not|correct
Even the direction of bending is opposite, right?
好 我们 知道 了 一个 物体 沿 不同 方向
good|we|know|emphasis marker|one|object|along|different|direction
Okay, we know that an object has different curvatures in different directions.
会 有 不同 的 曲率
will|have|different|attributive marker|curvature
We will have different curvatures.
我们 再 来 画 一个 图
we|again|come|draw|one|picture
Let's draw a diagram again.
比如说 这 有 一个 烟囱
for example|this|has|one|chimney
For example, there is a chimney.
这个 烟囱 腰里 系 两边 粗 是 吧
this|chimney|around the waist|tied|on both sides|thick|is|emphasis marker
This chimney is tied around the waist, thick on both sides.
这 是 一个 这样 的 一个 烟囱
this|is|one|such|attributive marker|one|chimney
This is a chimney like this.
好 那 现在 如果 我们 要是 横着 切 一刀 的话
good|then|now|if|we|if|horizontally|cut|one cut|then
Well, now if we were to cut it horizontally.
我们 会 切出 一个 圆
we|will|cut out|one|circle
We would cut out a circle.
它 是 往 这边 弯 的
it|is|towards|this side|bent|attributive marker
It bends this way.
你 如果 竖 着 切 一刀
you|if|vertically|ongoing action marker|cut|one cut
If you cut it straight down.
它 会 切出 这样 一个 边 来 对 不 对
it|can|cut out|this kind of|one|edge|to|right|not|right
It will cut out this kind of edge, right?
它 是 往 左边 弯 的 跟 香蕉 的 内侧 是 有点 像 的
it|is|towards|left side|bent|attributive marker|with|banana|attributive marker|inner side|is|somewhat|like|attributive marker
It bends to the left, which is somewhat similar to the inner side of a banana.
所以 在 1760 年 的 时候
so|at|year 1760|attributive marker|time
So in the year 1760
微分 几何 有 一个 奠基者 名字 叫 欧拉
differential|geometry|has|one|founder|name|called|Euler
there was a founder of differential geometry named Euler
欧拉 我们 已经 不 知道 提了 多少次 了 是 吧
Euler|we|already|not|know|raised|how many times|emphasis marker|is|tag question marker
We don't know how many times we've mentioned Euler, right?
著名 的 数学家 欧拉
famous|attributive marker|mathematician|Euler
The famous mathematician Euler
欧拉 就 提出 了 这样 一个 理论
Euler|just|proposed|past tense marker|such|one|theory
Euler proposed such a theory.
他 就 说 我们 可以 用 不同 的 平面 去 切割 这个 曲面
he|then|said|we|can|use|different|attributive marker|plane|to|cut|this|surface
He said that we can use different planes to cut this surface.
切割 它 切割 它 的 时候
cut|it|cut|it|attributive marker|time
When cutting it,
沿 不同 方向 的 曲率 是 有 大 有 小 的
along|different|direction|attributive marker|curvature|is|have|large|have|small|attributive marker
the curvature in different directions varies in size.
那么 在 曲率 最大 那个 方向
then|at|curvature|maximum|that|direction
Then in the direction of maximum curvature
还有 曲率 最小 的 这个 方向
still|curvature|minimum|attributive marker|this|direction
and in the direction of minimum curvature
我们 称之为 主 曲率
we|call it|main|curvature
we call this principal curvature
这 两个 方向 我们 就 管 它 叫 主 方向
this|two|directions|we|just|call|it|named|main|direction
These two directions we call principal directions
这 两个 平面 我们 就 管 它 叫 主平面
this|two|planes|we|just|call|it|named|main plane
We will call these two planes the main planes.
主平面 就是 在 切割 这个 点 的 时候
principal plane|is|at|cutting|this|point|attributive marker|time
The main planes are when cutting at this point.
那些 平面 里面 能 造 出
those|planes|inside|can|create|out
Those planes can produce.
最大 曲率 和 最小 曲率 的 那 两个 平面 是 吧
maximum|curvature|and|minimum|curvature|attributive marker|those|two|planes|are|tag question marker
The two planes with the maximum curvature and minimum curvature, right?
这 就 叫 主平面
this|just|called|main plane
This is called the principal plane.
然后 欧拉 通过 数学 方法 证明 了 这样 一个 结论
then|Euler|through|mathematical|methods|prove|past tense marker|such|one|conclusion
Then Euler proved such a conclusion through mathematical methods.
就是 两个 主平面
just|two|main plane
That is, two principal planes.
为什么 两个 主平面
why|two|main planes
Why two principal planes?
一个 k 最大 一个 k 最小
one|k|maximum|one|k|minimum
One k maximum and one k minimum.
两个 主平面 之间 一定 是 怎么样 呢
two|principal planes|between|definitely|is|how|emphasis marker
What must it be like between the two main planes?
一定 是 互相 垂直 的
definitely|is|mutually|perpendicular|attributive marker
It must be mutually perpendicular.
这个 是 在 1760 年 的 时候 由 欧拉 证明 的
this|is|at|year|attributive marker|time|by|Euler|proved|attributive marker
This was proven by Euler in 1760.
我们 举个 例子
we|give a|example
Let's take an example.
比如 你 看 这 烟囱
for example|you|look|this|chimney
For instance, look at this chimney.
这 烟囱 它 横 着 是 一个 主平面
this|chimney|it|horizontal|ongoing action marker|is|one|main plane
This chimney has a main plane that is horizontal.
它 的 曲率 是 往 这边 最大 的
Its curvature is greatest in this direction.
然后 竖 着 切 又 是 一个 主平面
then|vertical|in the state of|cut|again|is|one|main plane
Then cutting vertically is another main plane.
它 是 这个 曲率 往 那边 最大
it|is|this|curvature|towards|that side|maximum
It has the maximum curvature in that direction.
它 俩 之间 是 互相 垂直 的
it|two|between|is|mutually|perpendicular|attributive marker
The two are mutually perpendicular to each other.
一个 横着 切 的 面 一个 竖 着 切 的 面
one|horizontally|cut|attributive marker|surface|one|vertically|ongoing action marker|cut|attributive marker|surface
One is a horizontally cut surface and the other is a vertically cut surface.
你 再 来 看 这个 香蕉
you|again|come|see|this|banana
You come to see this banana again.
这个 香蕉 它 在 这个 点 这是 一个 主平面
this|banana|it|at|this|point|this is|one|main plane
This banana is at this point; this is a main plane.
这 又 是 一个 主 平面
this|again|is|one|main|plane
This is also a main plane.
它们 俩 也 是 互相 垂直 的 对 吧
they|two|also|are|mutually|perpendicular|attributive marker|correct|tag question marker
The two of them are also perpendicular to each other, right?
好 那 主平面 之间 一定 是 互相 垂直 的
good|that|principal plane|between|definitely|is|mutually|perpendicular|attributive marker
Okay, the main planes must be perpendicular to each other.
我们 再 来 看 如果 是 一个 平面
we|again|come|look|if|is|one|plane
Let's look at it again if it is a plane.
平面 就是 它 不是 曲面 了
plane|is|it|is not|curved surface|emphasis marker
A plane means it is not a curved surface.
平面 上 的 每 一个 点
plane|on|attributive marker|||point
Every point on the plane.
它 的 主 方向 和 主平面 情况 又 如何 呢
it|attributive marker|main|direction|and|main plane|situation|again|how|question marker
What about its main direction and main plane situation?
我 在 这里 画 一个 平面
I|at|here|draw|one|plane
I will draw a plane here.
你 会 发现 不管 你 用 什么样 的 面 去 切割 这个 平面
you|will|find|no matter|you|use|what kind of|attributive marker|face|to|cut|this|plane
You will find that no matter what kind of surface you use to cut this plane,
这个 平面 它 都 是 切出来 直线
this|plane|it|all|is|cut out|straight line
this plane will always be cut into straight lines.
你 怎么 切 它 都 是 直线
you|how|cut|it|all|is|straight line
No matter how you cut it, it's a straight line.
所以 对于 平面 来讲
so|regarding|plane|speaking
So for a plane,
它 的 主 曲率 是 多少 呢
it|attributive marker|principal|curvature|is|how much|emphasis marker
what is its principal curvature?
不管 是 最大 的 曲率 还是 最小 的 曲率
no matter|is|maximum|attributive marker|curvature|or|minimum|attributive marker|curvature
Whether it's the maximum curvature or the minimum curvature.
都 是 0 对 不 对
all|is|correct|not|correct
All are 0, right?
对于 平面 来讲
for|plane|speaking
For a plane,
它 的 主 方向 是 任意 方向
it|attributive marker|main|direction|is|arbitrary|direction
its principal direction is in any direction.
然后 它 的 主 曲率 都 是 0
then|it|attributive marker|principal|curvature|all|are
Then its principal curvatures are all 0.
好 那么 主 曲率 这个 概念 我们 也 说完 了
good|then|main|curvature|this|concept|we|also|finish talking|emphasis marker
Alright, then we have finished discussing the concept of principal curvature.
那 下面 我们 就 可以 来 介绍 高斯 绝妙 定理 了
that|below|we|then|can|to|introduce|Gauss|marvelous|theorem|emphasis marker
Next, we can introduce the Gauss-Bonnet theorem.
高斯 绝妙 定理
Gauss|exquisite|theorem
The Gauss-Bonnet theorem.
它 为什么 起 的 名字 这么 奇怪 呢
it|why|give|attributive marker|name|so|strange|emphasis marker
Why does it have such a strange name?
什么 叫 高斯 绝妙 定理 呢
what|is called|Gauss|exquisite|theorem|emphasis marker
What is the Gaussian exquisite theorem?
我们 知道 一条 直线 它 是 可以 画 在 一个 平面 里 的
we|know|one|straight line|it|is|can|draw|on|one|plane|in|attributive marker
We know that a straight line can be drawn on a plane.
当然 你 在 这个 平面 里
of course|you|in|this|plane|inside
Of course, you are on this plane.
你 这个 直线 也 是 可以 弯 的
you|this|straight line|also|is|can|bend|attributive marker
This straight line can also be curved.
你 可以 让 这个 直线 弯 成 这个 样子 对 不 对
you|can|make|this|line|bend|into|this|shape|right|not|right
You can bend this straight line into this shape, right?
但是 你 在 弯折 的 过程 之中
but|you|in|bending|attributive marker|process|in
But during the process of bending,
这个 直线 的 长度 是 可以 不变 的
this|line|attributive marker|length|is|can|unchanged|attributive marker
the length of this straight line can remain unchanged.
你 好像 把 一条线 在 平面 上 弯 一下
you|seem|put|one line|on|plane|on|bend|a bit
It seems like you are bending a line on a plane.
这个 线 的 长度 它 是 不变 的
this|line|attributive marker|length|it|is|constant|attributive marker
The length of this line is constant.
我们 可以 进而 让 这个 面 也 弯 起来
we|can|further|make|this|side|also|bend|up
We can further make this surface bend as well.
就是 这个 面 上面 有 一条 直线
it is|this|surface|on top|there is|one|straight line
There is a straight line on this surface.
但是 这个 面 它 本身 弯 了 对 不 对
but|this|side|it|itself|bent|emphasis marker|correct|not|correct
But this surface itself is bent, right?
面 本身 弯 了 之后 呢
surface|itself|bent|past tense marker|after|emphasis marker
After the surface itself is bent,
你 会 发现 这 条 直线 上
you|will|find|this|measure word for long objects|straight line|on
you will find that on this straight line,
每个 点 的 曲率 就 不 一样 了
each|point|attributive marker|curvature|then|not|the same|emphasis marker
the curvature of each point is different.
原来 是 直线 每个 点 曲率 都 是 0
originally|is|straight line|every|point|curvature|all|is
Originally, the curvature of each point on a straight line is 0.
你 弯 了 之后 这个 曲率 就 不是 0 了 对 不 对
you|bend|past tense marker|after|this|curvature|then|is not|emphasis marker|correct|not|correct
After you bend it, the curvature is no longer 0, right?
但是 这个 线段 它 的 长度 依然 是 不变 的 对 不 对
but|this|line segment|it|attributive marker|length|still|is|unchanged|attributive marker|right|not|right
But the length of this line segment remains unchanged, right?
那 我们 就 说 呀 这个 长度 怎么着
that|we|just|say|emphasis marker|this|length|how about
So we say, how about this length?
它 的 长度 实际上 是 与
it|attributive marker|length|actually|is|with
Its length is actually related to
是 与 这个 曲面 它 弯曲 的 程度
is|and|this|surface|it|curvature|attributive marker|degree
It is related to the degree to which this surface is curved.
是 与 这个 曲面 弯曲 的 程度 无关 的
is|with|this|surface|curvature|attributive marker|degree|unrelated|attributive marker
It is unrelated to the degree of curvature of this surface.
不管 你 这个 曲面 怎么 弯
no matter|you|this|surface|how|bend
No matter how you bend this surface,
反正 这个 直线 的 长度 都 是 不变 的
anyway|this|line|attributive marker|length|all|is|constant|attributive marker
the length of this straight line remains unchanged.
这个 长度 与 弯曲 的 程度 无关
this|length|and|curvature|attributive marker|degree|unrelated
This length is unrelated to the degree of curvature.
那 这样 的 量 我们 给 它 起个 名字 叫 内蕴 量
that|this kind of|attributive marker|quantity|we|give|it|give a|name|called|intrinsic|quantity
So we give this quantity a name called intrinsic quantity.
很 显然 长度 是 个 内蕴 量
very|obviously|length|is|a|intrinsic|quantity
It is obvious that length is an intrinsic quantity.
长度 它 与 这个 曲面 在 空间 中 的 弯曲 程度
length|it|with|this|surface|in|space|in|attributive marker|curvature|degree
Length is related to the degree of curvature of this surface in space.
没有 关系
no|relationship
It doesn't matter.
如果 其它 的 量 也 能够 与 弯曲 的 程度 没有 关系 的
If other quantities can also be unrelated to the degree of curvature,
那 我们 也 给 它 起个 名字 叫 内蕴 量
that|we|also|give|it|give a|name|called|intrinsic|quantity
then we can also name it intrinsic quantity.
在 1827 年 的 时候
at|year 1827|attributive marker|time
In the year 1827.
另外 一个 微分 几何 的 奠基者
additionally|one|differential|geometry|attributive marker|founder
Additionally, a founder of differential geometry.
那 就是 高斯 数学 王子 高斯
that|is|Gauss|mathematics|prince|Gauss
That is, the prince of mathematics, Gauss.
史上 最 伟大 的 这个 数学家
in history|most|great|attributive marker|this|mathematician
This greatest mathematician in history.
高斯 他 就 发现 了 另外 一个 内蕴 量
Gauss|he|then|discovered|past tense marker|another|one|intrinsic|quantity
Gauss discovered another intrinsic quantity.
他 说 我们 可以 定义 高斯曲率
he|said|we|can|define|Gaussian curvature
He said we can define Gaussian curvature.
什么 叫 高斯曲率 呢
what|is called|Gaussian curvature|emphasis marker
What is Gaussian curvature?
欧拉 不是 已经 说 了 吗
Euler|not|already|said|emphasis marker|question marker
Didn't Euler already say it?
在 一个 曲面 上 的 点 上 有 主 曲率
at|one|surface|on|attributive marker|point|on|has|principal|curvature
At a point on a surface, there are principal curvatures.
一个 曲率 最大 一个 曲率 最小 叫 主 曲率
one|curvature|maximum|one|curvature|minimum|is called|principal|curvature
One is called the maximum curvature and the other is called the minimum curvature.
我们 把 两个 主 曲率 乘 起来
we|emphasis marker|two|principal|curvature|multiply|together
We multiply the two principal curvatures.
这个 就 叫做 高斯曲率
this|just|is called|Gaussian curvature
This is called Gaussian curvature.
他 发现 在 等 长 变换 下
he|discovered|in|etc|long|change|under
He discovered that under isometric transformations.
什么 叫 等 长 变换 呢
what|is called|equal|length|transformation|emphasis marker
What is meant by isometric transformation?
就是 在 这个 变换 的 过程 之中
it is|in|this|change|attributive marker|process|within
It is during the process of this transformation.
它 的 这个 线段 的 长度 是 不会 变化 的
it|attributive marker|this|line segment|attributive marker|length|is|will not|change|attributive marker
The length of this line segment will not change.
其实 就 类似 于 这 曲面 发生 了 弯曲
actually|just|similar|to|this|surface|happen|past tense marker|bending
In fact, it is similar to the surface bending.
在 等 长 变换 下 这个 高斯 曲率 是 保持 不变 的
under|such as|length|transformation|under|this|Gaussian|curvature|is|remain|unchanged|attributive marker
Under isometric transformations, this Gaussian curvature remains unchanged.
高斯曲率 保持 不变 的 意思 就是 说
Gaussian curvature|remain|unchanged|attributive marker|meaning|is saying|to say
The fact that Gaussian curvature remains unchanged means that
当 你 这个 面 弯 了 之后
when|you|this|side|bend|past tense marker|after
when this surface is bent,
你 主 曲率 会 发生 变化
you|main|curvature|will|happen|change
its principal curvatures will change.
比如说 一个 平面 本来 主 曲率 都 是 0
for example|one|plane|originally|principal|curvature|all|is
For example, a plane originally has a principal curvature of 0.
你 这么 一弯 它 主 曲率 就 不是 0 了
you|so|one bend|it|main|curvature|then|not|emphasis marker
When you bend it, its principal curvature is no longer 0.
但是 高斯曲率 也 就是 把 两个 主 曲率 乘起来
but|Gaussian curvature|also|is|to|two|principal|curvatures|multiplied together
However, Gaussian curvature is simply the product of the two principal curvatures.
它 应该 是 保持 不变 的
it|should|be|maintain|unchanged|attributive marker
It should remain unchanged.
高斯 就 发现 了 这 高斯曲率 是 个 内蕴 量
Gauss|then|discovered|past tense marker|this|Gaussian curvature|is|a|intrinsic|quantity
Gauss discovered that this Gaussian curvature is an intrinsic quantity.
这句 话 我们 好好 解释 一下
this sentence|words|we|properly|explain|a bit
Let's explain this sentence carefully.
比如 大家 看 我 这里 有 一个 比萨
for example|everyone|look|I|here|have|one|pizza
For example, everyone look, I have a pizza here.
比萨 它 实际上 一块 是 个 平面 吗 对 不 对
pizza|it|actually|one piece|is|a|flat surface|question marker|correct|not|correct
Is the pizza actually a flat surface? Right or wrong?
因此 它 每个 地方 的 高斯曲率 都 是 多少
therefore|it|each|place|attributive marker|Gaussian curvature|all|is|how much
So, what is the Gaussian curvature at each point?
刚才 说 过 了
just now|say|past tense marker|emphasis marker
As mentioned just now,
是 0 对 不 对
is|correct|not|correct
it is 0, right?
那 我们 吃 比萨 的 时候
that|we|eat|pizza|attributive marker|time
Now, when we eat pizza,
如果 说 这个 比萨 比较 长
if|say|this|pizza|relatively|long
If this pizza is relatively long
它 就 会 弯 过来 对 不 对
it|just|will|bend|over|right|not|correct
it will bend over, right?
它 一弯 咱们 看 这个 点
it|one bend|we|look|this|point
Once it bends, let's look at this point
沿 这个 方向 上 它 的 主 曲率 已经 不是 0 了
along|this|direction|on|its|attributive marker|principal|curvature|already|not|emphasis marker
Along this direction, its principal curvature is no longer 0.
但是 沿 这个 方向 还是 一条 直线
but|along|this|direction|still|one|straight line
But along this direction, it is still a straight line.
所以 说 它 的 高斯曲率
so|say|it|attributive marker|Gaussian curvature
So it is said that its Gaussian curvature
是 等于 一个 不是 0 的 数 乘以 0 还是 0
is|equal to|one|not|attributive marker|number|multiplied by|or
is equal to a non-zero number multiplied by 0, which is still 0.
保持 不变
to maintain|unchanged
Remains unchanged.
我们 吃 比萨 的 时候 也 可以 这样 吃
we|eat|pizza|attributive marker|time|also|can|this way|eat
We can eat pizza like this too.
让 它 这样 折 一下
let|it|this way|fold|once
Let it fold like this.
如果 你 要是 这样 折 的话 你 会 发现
if|you|if|this way|fold|then|you|will|find
If you fold it like this, you will find that.
沿着 这个 方向 它 已经 凹 进去 了
along|this|direction|it|already|concave|into|emphasis marker
Along this direction, it has already caved in.
这个 主 曲率 不是 0
this|main|curvature|is not
The principal curvature is not 0.
但是 沿 这个 方向 它 还是 一条 直线
but|along|this|direction|it|still|one|straight line
However, in this direction, it is still a straight line.
所以 主 曲率 还是 0
so|main|curvature|still
So the principal curvature is still 0.
这样 一来 的话
this way|once|if
In this case,
高斯曲率 依然 是 保持 不变 的 对 不 对
Gaussian curvature|still|is|remain|unchanged|attributive marker|correct|not|correct
Gaussian curvature is still invariant, right?
说完 了 比萨 咱们 再 来 说 一说 薯片
finish speaking|emphasis marker|pizza|we|again|come|talk|briefly|chips
Having talked about pizza, let's talk about chips.
一般 的 薯片 都 是 这种 马鞍形 的
generally|attributive marker|potato chips|all|are|this kind of|saddle-shaped|attributive marker
Regular chips are usually in this saddle shape.
所以 我们 来看 薯片 的 正中 央 这个 部位
so|we|to look at|potato chips|attributive marker|right in the|center|this|part
So let's look at the center part of the chips.
如果 沿 这个 方向 去 看 它 是 向 这边 弯 的
if|along|this|direction|to|see|it|is|towards|this side|bent|attributive marker
If you look at it in this direction, it bends this way.
如果 要 沿 这个 方向 去 看 它 是 向 这边 弯 的
if|want|along|this|direction|to|see|it|is|towards|this side|bent|attributive marker
If you want to look at it in this direction, it bends this way.
所以 这个 点 它 的 高斯曲率 不是 0
so|this|point|it|attributive marker|Gaussian curvature|is not
So the Gaussian curvature at this point is not 0.
是 一 正 一 负
is|one|positive|one|negative
It is one positive and one negative.
乘起来 之后 应该 是 个 负 的
multiply|after|should|be|a|negative|attributive marker
After multiplying, it should be a negative.
虽然 说 这个 薯片 看起来 好像 没有 办法 弯
although|say|this|chips|look like|seem|no|way|bend
Although this chip looks like it can't bend.
因为 你 一弯 它 就 碎 了
because|you|one bend|it|then|break|emphasis marker
Because if you bend it, it will break.
但是 很多 数学 上 的 这个 曲面
but|many|mathematics|on|attributive marker|this|surface
But many mathematical surfaces are like this.
它 是 具有 无限 韧性 的
it|is|has|infinite|resilience|attributive marker
It is infinitely resilient.
两个 看起来 完全 不 一样 的 曲面
two|look|completely|not|the same|attributive marker|surfaces
Two surfaces that look completely different.
它 有 可能 是 经过 弯折 得 出来 的
it|has|possibility|is|through|bending|to|come out|attributive marker
It could possibly be derived from bending.
比如说 像 这个 悬链 面 和 螺旋面
for example|like|this|hanging chain|surface|and|spiral surface
For example, like this catenary surface and spiral surface.
它们 之间 其实 就是 等 长 变换 的
they|between|actually|just|such as|long|transformation|attributive marker
What they actually have between them is a long transformation.
那 如果 说
that|if|say
So if we say,
我们 可以 把 这个 薯片 进行 这个 弯折 的话
we|can|put|this|chips|carry out|this|bending|if
we can bend this chip,
那么 弯折 了 之后 你 会 发现
then|bend|past tense marker|after|you|will|discover
then after bending, you will find.
它 两个 主 曲率 都 变 了
it|two|principal|curvature|both|changed|emphasis marker
Both of its principal curvatures have changed.
但 它 的 乘积
but|it|attributive marker|product
But its product...
这个 高斯曲率 它 是 不会 发生变化 的
This Gaussian curvature will not change.
也许 高斯 当年 发现 了 这件 事 之后
perhaps|Gauss|back then|discovered|past tense marker|this|matter|after
Perhaps Gaussian discovered this after all.
觉得 这个 定理 特别 的 神奇
feel|this|theorem|especially|attributive marker|magical
I find this theorem particularly amazing.
于是 就 给 它 起 了 个 名字 叫做 高斯 绝妙 定理
so|then|give|it|start|past tense marker|one|name|called|Gauss|marvelous|theorem
So I named it the Gauss's Wonderful Theorem.
多 说 一句
more|say|one sentence
Let me add a few more words.
在 这个 高斯 和 欧拉 那个 时代
at|this|Gauss|and|Euler|that|era
In the era of Gauss and Euler.
人们 研究 微分 几何 还是 古典 的 微分 几何
people|study|differential|geometry|or|classical|attributive marker|differential|geometry
People study differential geometry or classical differential geometry.
古典 的 微分 几何
classical|attributive marker|differential|geometry
Classical differential geometry.
后来 这个 高斯 有 一个 非常 优秀 的 学生
later|this|Gauss|has|one|very|outstanding|attributive marker|student
Later, this Gauss had a very excellent student.
那 就是 黎曼
that|is exactly|Riemann
That is Riemann.
黎曼 又 把 这个 古典 微分 几何 进行 了 推广
Riemann|also|emphasis marker|this|classical|differential|geometry|carry out|past tense marker|generalization
Riemann also generalized this classical differential geometry.
就 创造 了 一种 几何 叫做 黎曼 几何
just|created|past tense marker|one kind of|geometry|called|Riemann|geometry
He created a type of geometry called Riemannian geometry.
以前 我们 也 谈到 过 黎曼 这个 人
before|we|also|talked about|past tense marker|Riemann|this|person
We have also talked about Riemann before.
那么 爱因斯坦 在 创立 广义 相对论 的 过程 之中
so|Einstein|in|establish|general|relativity|attributive marker|process|during
So, during the process of Einstein establishing the general theory of relativity.
就 受困 于 数学
just|trapped|in|mathematics
Just trapped in mathematics.
觉得 好像 这个 空间 一旦 弯曲 了
feel|seem|this|space|once|curved|emphasis marker
It seems that once this space is curved.
用 欧几里得 几何 解释 不了 了
use|Euclidean|geometry|explain|cannot|emphasis marker
It can no longer be explained by Euclidean geometry.
于是 就 求助 于 他 的 同学 数学家 格罗斯曼
so|then|sought help|from|his|attributive marker|classmate|mathematician|Grossmann
So he sought help from his classmate, mathematician Grossmann.
而 格罗斯曼 就 把 这个 黎曼 几何
but|Grossmann|then|focus on|this|Riemann|geometry
And Grossmann introduced this Riemann geometry.
介绍 给 爱因斯坦 了
introduce|to|Einstein|emphasis marker
Then Einstein took a look.
然后 爱因斯坦 一看
then|Einstein|one look
This Riemann geometry is really good.
这个 黎曼 几何 真 好
this|Riemann|geometry|really|good
于是 爱因斯坦 就 用 黎曼 几何 创立 了 广义 相对论
so|Einstein|then|used|Riemann|geometry|established|past tense marker|general|relativity theory
So Einstein established the general theory of relativity using Riemannian geometry.
而且 爱因斯坦 还 慨叹
moreover|Einstein|also|lament
Moreover, Einstein lamented.
没想到 宇宙 的 真理 居然 是 隐藏 在 数学 当中 的
did not expect|universe|attributive marker|truth|unexpectedly|is|hidden|in|mathematics|among|attributive marker
He never expected that the truth of the universe was actually hidden in mathematics.
这个 数学 就 指 的 是 这个 黎曼 几何
this|mathematics|just|refer|attributive marker|is|this|Riemann|geometry
This mathematics refers to Riemannian geometry.
那么 这个 高斯 绝妙 定理 到底 有 什么 用 呢
So what is the use of this marvelous Gaussian theorem?
我们 来 介绍 一个 应用
we|come|introduce|one|application
Let's introduce an application.
比如说 我们 可以 研究 一下
for example|we|can|study|a bit
For example, we can study.
说 哪 一个 曲面 是 可展 曲面
say|which|one|surface|is|developable|surface
Which surface is a developable surface?
这个 其实 在 我们 的 生活 当中 还是 挺 有 意义 的
this|actually|in|our|attributive marker|life|among|still|quite|have|meaning|attributive marker
This is actually quite meaningful in our lives.
什么 叫 可展 曲面 呢
what|is called|developable|surface|emphasis marker
What is a developable surface?
就是 这个 曲面 它 可以 展开 成 平面
it is|this|surface|it|can|unfold|into|plane
It is a surface that can be unfolded into a plane.
我们 举个 例子 比如说 我们 都 吃 橘子 是 吧
we|give a|example|for example|we|all|eat|oranges|is|right
Let's take an example, for instance, we all eat oranges, right?
橘子 那个 皮 你 把 它 扒开 之后 想 变成 一个 平面
orange|that|skin|you|把|it|peel open|after|want|become|one|flat surface
The orange, after you peel it, you want it to become a flat surface.
那 是 做 不到 的 对 吧
that|is|do|impossible|attributive marker|right|tag question marker
That's not possible, right?
为什么 橘子 皮 就 不能 扒开 成 一个 平面 呢
why|orange|peel|just|cannot|peel open|into|one|flat surface|emphasis marker
Why can't the orange peel be peeled into a flat surface?
同样 道理 地球 也 是 一个 球体
the same|reason|Earth|also|is|one|sphere
For the same reason, the Earth is also a sphere.
你 如果 想 把 地球仪 上 的 图案 画 在 一个 平面 上
you|if|want|to|globe|on|attributive marker|pattern|draw|on|one|plane|on
If you want to draw the patterns on the globe onto a flat surface
画 成 一个 平面 地图
draw|into|one|flat|map
to create a flat map
那 是 做 不到 的
that is not possible.
这个 原因 到底 是 什么 呢
this|reason|exactly|is|what|emphasis marker
What is the reason for this?
咱们 琢磨 琢磨
we|think about|ponder
Let's think about it.
所谓 可展 曲面 就是 可以 展开 成 平面 的 曲面
so-called|developable|surface|is|can|unfold|into|plane|attributive marker|surface
The so-called developable surface is a surface that can be unfolded into a plane.
我们 先 来 看 一下 平面
we|first|come|look|at once|plane
First, let's take a look at the plane.
平面 我们 刚才 刚刚 说 过
plane|we|just now|just|say|past tense marker
We just mentioned the plane.
它 任何 一个 方向 的 主 曲率 都 是 0
it|any|one|direction|attributive marker|principal|curvature|all|is
Its principal curvature in any direction is 0.
所以 主 曲率 的 乘积 高斯曲率 也 必须 是 0
so|principal|curvature|attributive marker|product|Gaussian curvature|also|must|be
Therefore, the product of the principal curvatures, the Gaussian curvature, must also be 0.
那么 在 你 展开 的 过程 之中
then|in|you|unfold|attributive marker|process|during
So during your unfolding process,
这个 平面 的 高斯曲率 是 不会 发生 变化 的
this|plane|attributive marker|Gaussian curvature|is|will not|happen|change|attributive marker
the Gaussian curvature of this plane will not change.
所以 如果 一个 面 它 是 可展 曲面 的话
so|if|one|surface|it|is|developable|curved surface|then
So if a surface is a developable surface,
可展 曲面 就是 可以 展开 成 平面 的 曲面
developable|surface|that is|can|unfold|into|plane|attributive marker|surface
a developable surface is one that can be unfolded into a plane.
在 展开 的 过程 之中 高斯曲率 是 不会 变 的
in|unfolding|attributive marker|process|during|Gaussian curvature|is|will not|change|attributive marker
During the unfolding process, the Gaussian curvature does not change.
所以 可展 曲面 也 必须 高斯曲率 是 0
so|developable|surface|also|must|Gaussian curvature|is
Therefore, a developable surface must also have a Gaussian curvature of 0.
高斯曲率 是 等于 两个 主 曲率 的 乘积
Gaussian curvature|is|equal to|two|principal|curvatures|attributive marker|product
Gaussian curvature is equal to the product of the two principal curvatures.
也就是说
that is to say
In other words,
两个 主 曲率 中 至少 有 一个 曲率 是 0 才行
two|principal|curvature|in|at least|have|one|curvature|is|is necessary
at least one of the two principal curvatures must be 0.
换句话说
in other words
In other words,
如果 你 想 把 一个 曲面 展开 成 平面 的话
if|you|want|to|one|surface|unfold|into|plane|if
If you want to unfold a surface into a plane,
那么 过 这个 曲面 的 任何 一个 点
then|through|this|surface|attributive marker|any|one|point
then through any point on this surface,
都 至少 有 一条 直线
all|at least|have|one|straight line
there is at least one straight line.
我们 来举 一个 例子
Let's take an example.
比如说 这个 圆柱体 它 就是 一个 可展 曲面 是 吧
for example|this|cylinder|it|is|one|developable|surface|is|right
For example, this cylinder is a developable surface, right?
我们 在 任何 一个 点 都 可以 画出 直线 来
we|at|any|one|point|all|can|draw out|straight line|to
We can draw a straight line at any point.
比如 这条线 就是 直线 对 不 对
for example|this line|is|straight line|correct|not|correct
For instance, this line is a straight line, isn't it?
那么 这种 曲面 我们 把 它 沿着 任意 一个 方向 剪开
then|this kind of|surface|we|put|it|along|any|one|direction|cut open
Then we can cut this surface along any direction.
任意 一个 方向 我们 把 它 剪开
arbitrary|one|direction|we|put|it|cut open
No matter which direction we cut it open.
最后 你 会 发现 它 都 会 变成 一个 平面 对 不 对
finally|you|will|find|it|all|will|become|one|plane|right|not|right
In the end, you will find that it all becomes a plane, right?
就是 因为 它 过 任何 一点 都 存在 一条 直线
it is|because|it|past|any|point|all|exist|one|straight line
It's because there exists a straight line through any point.
所以 它 的 高斯曲率 是 0 所以 就 可以 展开
so|it|attributive marker|Gaussian curvature|is|so|then|can|unfold
Therefore, its Gaussian curvature is 0, so it can be unfolded.
你 再 比如 圆锥
you|again|for example|cone
For example, a cone.
你 说 这个 圆锥 它 能 不能 展开 成 一个 平面 呢
you|say|this|cone|it|can|cannot|unfold|into|one|plane|question marker
Can you say that this cone can be unfolded into a flat surface?
它 是 可以 的
it|is|can|emphasis marker
It can.
为什么 呢
why|emphasis marker
Why is that?
因为 你 在 任何 一个 点 你 都 会 找到 一条 母线
because|you|at|any|one|point|you|all|will|find|one|bus line
Because at any point you will find a directrix.
这个 母线 它 是 直线
this|busbar|it|is|straight line
This directrix is a straight line.
既然 母线 就是 直线
since|busbar|is|straight line
Since the directrix is a straight line,
就 说明 这个 圆锥 上 每 一个 点 高斯曲率 都 是 0
just|explain|this|cone|on|every|one|point|Gaussian curvature|all|is
it indicates that the Gaussian curvature at every point on this cone is 0.
所以 我们 在 这个 圆锥 上 我 随便 剪 一刀 对 吧
so|we|on|this|cone|on|I|randomly|cut|one cut|right|tag question marker
So, on this cone, I can just cut it anywhere, right?
我 随便 地 这个 剪 一刀
I|casually|adverb marker|this|cut|one cut
I can just cut it anywhere.
剪 完 了 之后
cut|finish|past tense marker|after
After cutting it,
它 就 能够 展开 成 一个 平面 了 对 不 对
it|then|can|unfold|into|one|plane|emphasis marker|right|not|right
it can unfold into a flat surface, right?
就 可以 展开 成 平面 了
just|can|unfold|into|plane|emphasis marker
It can be unfolded into a plane.
但是 如果 是 一个 橘子 的话
but|if|is|one|orange|if it is
But if it's an orange,
你 就 会 发现 它 的 表面 没有 一条 直线
you|just|will|discover|it|attributive marker|surface|no|one|straight line
you will find that its surface has no straight lines.
所以 你 把 它 剪开 之后
so|you|put|it|cut open|after
So after you cut it open,
它 也 不 可能 变成 一个 平面
it|also|not|possible|become|one|plane
It also cannot become a plane.
人们 在 高斯 之后 才 认识 到 这个 问题
people|at|Gauss|after|only|realize|that|this|problem
People only recognized this problem after Gauss.
在 高斯 之前 人们 画 世界 地图 总是 画 不准
at|Gauss|before|people|draw|world|map|always|draw|inaccurately
Before Gauss, people always drew world maps inaccurately.
而且 还 不 明白 为什么
moreover|still|not|understand|why
And they did not understand why.
高斯 之后 人们 才 明白 了
Gauss|after|people|only|understand|emphasis marker
After Gauss, people finally understood.
因为 地球 上 的 图案 是 不 可能 画 在 一张 平面 上 的
because|Earth|on|attributive marker|pattern|is|not|possible|draw|on|one|plane|on|attributive marker
Because the patterns on Earth cannot be drawn on a flat surface.
那 怎么 画 地图 呢
that|how|draw|map|question marker
So how do we draw maps?
人们 采用 了 各种 方法
people|adopt|past tense marker|various|methods
People have adopted various methods.
比如说 有 一种 叫做 墨卡托 投影 的方法
for example|there is|one kind|called|Mercator|projection|method
For example, there is a method called the Mercator projection.
墨卡托 投影
Mercator|projection
Mercator projection.
墨卡托 投影 的 意思 是 说
Mercator|projection|attributive marker|meaning|is|say
The meaning of the Mercator projection is that.
虽然 我们 没有 办法 把 地球 上 的 图案
although|we|do not have|way|to|earth|on|attributive marker|patterns
Although we cannot represent the patterns on the Earth.
直接 放 在 一个 平面 上
directly|place|on|one|plane|on
Directly place it on a flat surface.
但是 我们 可以 做 投影
but|we|can|do|projection
But we can do projections.
比如 这 是 一个 地球 是 吧
for example|this|is|one|Earth|is|right
For example, this is a globe, right?
我们 在 地球 外边 我 套 一个 圆柱 套个 圆柱
we|at|earth|outside|I|put on|one|cylinder|put on a|cylinder
We are outside the globe, and I put a cylinder around it.
套 完 了 圆柱 之后
cover|finish|emphasis marker|cylinder|after
After wrapping the cylinder,
我 就 让 这个 地球 上 每一个 点
I|just|let|this|earth|on|every|point
I let every point on this Earth
都 映射 到 这个 圆柱 上 是不是
all|map|to|this|cylinder|on|is it or not
be mapped onto this cylinder, right?
然后 我们 再 把 这个 圆柱 给 展开
then|we|again|give|this|cylinder|to|unfold
Then we unfold this cylinder.
这 不 就 行 了 吗 对 吧
this|not|just|fine|emphasis marker|question marker|right|suggestion marker
Isn't this good enough, right?
但是 这样 展开 之后
but|this way|unfold|after
But after expanding like this,
虽然 地图 能画 出来 但是 你 会 发现 很 奇怪
although the map can be drawn, you will find it very strange.
你 比如说 南北 两极 的 部位
you|for example|north and south|poles|attributive marker|location
For example, the areas of the North and South Poles.
它 的 那个 面积 会 扩大 的 很多 是 吧
it|attributive marker|that|area|will|expand|attributive marker|a lot|is|tag question marker
Its area will expand a lot, right?
格陵兰岛 看起来 比 非洲 还 大
Greenland|looks|than|Africa|even|big
Greenland looks bigger than Africa.
这个 南极 大陆 看起来 比 欧亚大陆 还要 大 是 吧
this|Antarctic|continent|looks|than|Eurasian continent|even|big|is|right
This Antarctic continent looks bigger than the Eurasian continent, right?
这种 投影 它 是 有 一定 的 失真 的
this kind of|projection|it|is|has|certain|attributive marker|distortion|attributive marker
This type of projection has a certain degree of distortion.
那么 除了 地图 之外
then|apart from|map|outside of
So, besides the map,
现代 社会 人们 对于 美的 追求 越来越 高 了
modern|society|people|towards|beauty|pursuit|more and more|high|emphasis marker
the pursuit of beauty by people in modern society is getting higher and higher.
所以 在 这个 设计 产品 上 设计 产品 上
Therefore, in this design product,
很多 时候
many|times
many times.
也 需要 考虑 到 这个 曲面 是不是 可展 曲面
also|need|consider|to|this|surface|whether or not|developable|surface
Also need to consider whether this surface is a developable surface.
比如说 设计 跑车 设计 手机 的 外形 等等
for example|design|sports car|design|mobile phone|attributive marker|shape|etc
For example, designing the shape of a sports car or a mobile phone, etc.
你 设计 的 时候 总是 有 两个 思路
you|design|attributive marker|time|always|have|two|ideas
When you design, there are always two approaches.
一个 思路 就是 你 可以 用 可展 的 这样 的 曲面
one|idea|is|you|can|use|expandable|attributive marker|such|attributive marker|surface
One approach is that you can use a developable surface like this.
还有 一个 思路 就是 可以 用 不可 展 的
still|one|idea|that is|can|use|not|expand|attributive marker
Another idea is that we can use non-developable surfaces.
不可 展 的 这样 的 曲面
not possible|expand|attributive marker|such|attributive marker|curved surface
Non-developable surfaces like this.
那么 可展 曲面 它 制造 起来 就 比较 容易
then|deployable|curved surface|it|manufacture|up|just|relatively|easy
Then developable surfaces are relatively easier to manufacture.
就是 我们 可以 先 造 一个 平 的 壳
just|we|can|first|build|one|flat|attributive marker|shell
That is, we can first create a flat shell.
然后 通过 某些 方法 把 它 压弯
then|through|certain|methods|to|it|bend
Then, bend it using certain methods.
这样 就 可以 造出来 了 是 吧
this way|then|can|create|emphasis marker|is|tag question marker
This way, it can be created, right?
上色 也 比较 容易
coloring|also|relatively|easy
Coloring is also relatively easy.
比如说 我们 可以 采用 这个 彩色 膜片 贴合 技术
for example|we|can|adopt|this|color|film|bonding|technology
For example, we can use this colored film lamination technology.
彩色 膜片 贴合 技术
color|film|bonding|technology
Color film lamination technology
什么 意思 呢
what|meaning|emphasis marker
What does it mean?
就是 我们 在 这个 玻璃 壳 底下
just|we|at|this|glass|shell|under
It means that we place a flat colored film underneath this glass shell.
我们 垫 一张 这个 平 的 彩色片
we|place|one|this|flat|attributive marker|colored paper
We put a flat colored sheet under it.
然后 通过 一些 方法 一压 把 它 压弯
then|through|some|methods|one press|to|it|bend
Then, by using some methods, bend it.
这个 紧紧 贴合 到 一起 就行了
this|tightly|fit|to|together|that's enough
It just needs to fit tightly together.
但是 如果 想 做到 这 一点
but|if|want|achieve|this|point
But if you want to achieve this,
你 必须 保证 这个 外壳 它 是 可展 曲面
you|must|guarantee|this|shell|it|is|deployable|surface
you must ensure that this shell is a developable surface.
就是说 它 虽然 是 弯曲 的 但 它 是 可以 展开 的
That is to say, although it is curved, it can be unfolded.
但 也 有 一些 手机 设计 它 就 不 走 寻常 路
but|also|have|some|mobile phone|design|it|just|not|follow|ordinary|path
But there are also some phone designs that do not follow the usual path.
非要 造出 一些 不可 展 的 曲面 来
must|create|some|cannot|display|attributive marker|curved surface|to
They insist on creating some non-unfoldable curves.
比如说 OPPO 新出 了 一个 手机 叫 OPPO Find X3
for example|OPPO|newly released|past tense marker|one|phone|called|||
For example, OPPO has recently released a phone called OPPO Find X3.
这个 OPPO Find X3 它 的 这个 后壳
this||||it|attributive marker|this|back cover
This OPPO Find X3 has this back cover.
就是 采用 了 一个 不可 展 曲面 的 设计
just|adopt|past tense marker|one|not allowed|expand|curved surface|attributive marker|design
It adopts a non-expandable curved design.
我们 来 看
we|come|see
Let's take a look.
这个 手机 的 后 壳 设计 了 一种 比较 特殊 的 曲面
this|phone|attributive marker|back|shell|design|past tense marker|one kind of|relatively|special|attributive marker|curve
This phone's back cover features a relatively unique curve design.
称之为 "环形山 "
called|ring-shaped mountain
Referred to as "crater".
这 两面 ( 口误 ) 它 的 高斯曲率 都 是 正 的 是 凸起来 的
Both sides (a slip of the tongue) have positive Gaussian curvature, which means they are convex.
到 了 这个 面 形成 了 一种 马鞍 的 形状
to|emphasis marker|this|surface|form|past tense marker|one kind of|saddle|attributive marker|shape
On this side, it forms a saddle shape.
就是 凹 进去 的 所以 高斯曲率 是 负 的
it is|concave|inward|attributive marker|therefore|Gaussian curvature|is|negative|attributive marker
It is concave, so the Gaussian curvature is negative.
那么 你 环绕 一圈 的 高斯曲率 就 一会 正 一会 负
then|you|surround|one circle|attributive marker|Gaussian curvature|just|sometimes|positive|sometimes|negative
Then the Gaussian curvature around you alternates between positive and negative.
设计师 在 做 这个 设计 的 时候
designer|at|doing|this|design|attributive marker|time
The designer, when creating this design,
把 整个 弧面 分成 了 2000 多个 点
to|entire|curved surface|divide into|past tense marker|more than|points
divided the entire curved surface into more than 2000 points.
实现 了 这个 镜头 和 后 壳 的 完美 融合
achieve|past tense marker|this|lens|and|back|shell|attributive marker|perfect|fusion
This achieved a perfect integration of the lens and the rear shell.
实现 了 不 可能 曲面 的 设计
achieve|past tense marker|not|possible|surface|attributive marker|design
Achieved the design of impossible surfaces.
除了 设计 难 之外 另外 一个 难点 在于 制造
apart from|design|difficult|besides|another|one|difficulty|lies in|manufacturing
In addition to the difficulty of design, another challenge lies in manufacturing.
不管 你 这个 高斯曲率 是 正 的 还是 负 的
no matter|you|this|Gaussian curvature|is|positive|attributive marker|or|negative|attributive marker
Regardless of whether your Gaussian curvature is positive or negative.
只要 你 不 为 0 你 就是 不能 展成 平面 的
as long as|you|not|be|you|just|cannot|unfold into|plane|attributive marker
As long as it is not zero, you cannot unfold it into a plane.
只要 你 不能 展成 平面 的 必须 是 一次 成型
as long as|you|cannot|be formed into|plane|attributive marker|must|be|one-time|molding
As long as you cannot form a flat surface, it must be molded in one piece.
除了 摄像头 开孔 之外
apart from|camera|opening|outside of
Except for the camera opening.
整个 后壳 没有 任何 开孔 和 拼接
whole|back cover|no|any|openings|and|seams
The entire back cover has no openings or seams.
这 也 是 很多 旗舰机 所 追求 的 工艺
this|also|is|many|flagship phones|that|pursue|attributive marker|craftsmanship
This is also the craftsmanship that many flagship devices pursue.
那么 在 上色 的 时候
then|at|coloring|attributive marker|time
So when coloring,
也 不能 采用 这种 彩色 膜片 贴合 技术 的
also|cannot|adopt|this kind of|color|film|bonding|technology|attributive marker
we also cannot use this colored film lamination technology.
因为 它 没有 办法 展开
because|it|does not have|way|unfold
Because it cannot be unfolded,
所以 那样 做 的话 会 出现 气泡 那 我们 怎么办 呢
so|that way|do|if|will|appear|bubbles|then|we|what to do|question marker
if we do it that way, bubbles will appear. So what should we do?
OPPO 的 工程师 采用 的 是 喷涂 树脂 液
The engineers at OPPO use a spray resin liquid.
镀膜 以及 喷 油墨 的 这种 方法
coating|and|spray|ink|attributive marker|this kind of|method
This method involves coating and spraying ink.
这种 技术 不光 能够 让 后 壳 看起来 鲜艳 明亮
this|technology|not only|can|make|back|shell|look|bright|shiny
This technology not only makes the back cover look bright and vibrant,
而且 能够 在 手机 跌落 的时候
moreover|be able to|at|phone|drop|when
but also helps when the phone falls.
减少 手机 后壳 破碎 的 概率
reduce|phone|back cover|breakage|attributive marker|probability
Reduce the probability of phone back cover breakage.
不仅仅 是 手机 在 现在 的 生活 中
not only|is|mobile phone|in|now|attributive marker|life|in
It's not just about phones in today's life.
很多 设计师 都 善于 用 曲线 给 人 带来 美感
many|designers|all|good at|using|curves|to|people|bring|aesthetic feeling
Many designers are good at using curves to bring beauty.
比如说 北京 有 许多 现代 的 建筑
for example|Beijing|has|many|modern|attributive marker|buildings
For example, Beijing has many modern buildings.
像 北京 的 凤凰 国际 传媒 中心
like|Beijing|attributive marker|Phoenix|international|media|center
Like the Phoenix International Media Center in Beijing
大兴 国际 机场 望京 Soho
Daxing|international|airport|Wangjing|Soho
Daxing International Airport Wangjing Soho
他们 的 设计师
they|attributive marker|designer
Their designers
都 用 了 大量 的 曲线 来 给 人 带来 美的 感受
all|use|past tense marker|large amount|attributive marker|curves|to|give|people|bring|aesthetic|feelings
All used a large number of curves to bring a sense of beauty to people
这些 优美 的 建筑
these|beautiful|attributive marker|buildings
These beautiful buildings
都 凝聚 了 设计师 和 建造 者 们 的 心血
all|gather|past tense marker|designer|and|builder|person|plural marker|attributive marker|effort
all embody the hard work of the designers and builders
人们 越来越 发现 曲线 相比 于 直线
people|increasingly|discover|curve|compared to|to|straight line
People are increasingly discovering that curves, compared to straight lines,
能够 给 人 带来 一种 特殊 的 美感
can|give|people|bring|a kind of|special|attributive marker|aesthetic feeling
can bring a special sense of beauty.
当 我们 在 欣赏 这些 美丽 的 产品 的 时候
when|we|at|appreciate|these|beautiful|attributive marker|products|attributive marker|time
When we are admiring these beautiful products,
也 不妨 想 一想
also|might as well|think|think about it
we might as well think about
它 每 一个点 的 高斯曲率 是 正 的 还是 负 的 呢
whether the Gaussian curvature at each point is positive or negative.
因为 即便 有 一天 这些 建筑 和 产品 发生 了 扭曲
because|even if|there are|one day|these|buildings|and|products|happen|past tense marker|distortion
Because even if one day these buildings and products become distorted,
它 在 这 一点 的 高斯曲率 依然 是 不会 发生 变化 的
it|at|this|point|attributive marker|Gaussian curvature|still|is|will not|happen|change|attributive marker
Its Gaussian curvature at this point will still not change.
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