Μαθηματικά | Ισοδύναμα κλάσματα | Γ' Δημοτικού Επ. 93
Καλημέρα, παιδιά!
Είμαι η Αλέκα και σήμερα είμαι μαζί σας για να μιλήσουμε για τα ισοδύναμα κλάσματα.
Θυμάστε τι λέγαμε την προηγούμενη φορά ότι είναι το κλάσμα;
Κλάσμα είναι το κομμάτι, το κομμάτι που παίρνουμε από μια ολόκληρη ποσότητα,
την οποία τη χωρίζουμε, τη μοιράζουμε,
τη διαιρούμε σε ίσα κομμάτια,
και παίρνουμε ένα μέρος από αυτά.
Ένα τμήμα από αυτά.
Για να δούμε σήμερα τι είναι τα ισοδύναμα κλάσματα!
Παίρνω πάλι το χαρτόνι αυτό.
Για να φτιάξω μία κατασκευή,
το χωρίζω στη μέση.
Κι όπως βλέπετε εδώ στον πίνακα, το 'χω χωρίσει ακριβώς στα δύο.
Και επιλέγω να πάρω το ένα κομμάτι από τα δύο.
Να το σχεδιάσουμε κιόλας.
Σχεδιάζω το χαρτόνι μου.
Το χωρίζω.
Και επιλέγω να πάρω, να κολλήσω μία ζωγραφιά, στο κομμάτι αυτό.
Θέλω τώρα να μου πείτε τι μέρος του χαρτονιού πήρα.
Τι μέρος από το ολόκληρο αυτό χαρτόνι...
αποτελεί το κομμάτι που χρησιμοποίησα;
Αυτό το μέρος το γράφουμε με κλάσμα.
Θυμάστε τι γράφουμε στον παρονομαστή;
Στον παρονομαστή γράφουμε πάντα τα κομμάτια που έχουμε χωρίσει...
το ολόκληρο κομμάτι μας, την ολόκληρη ποσότητα.
Σε πόσα κομμάτια το έχουμε χωρίσει εδώ;
Σε δύο. Ένα, δύο.
Άρα δεύτερα, 2 στον παρονομαστή.
Πόσα κομμάτια επέλεξα εγώ να χρησιμοποιήσω;
Ένα.
Ένα από τα δύο.
Ή 1/2.
Άρα από το κομμάτι αυτό του χαρτονιού χρησιμοποίησα το 1/2.
Τώρα θέλω να κάνω κι άλλη μία κατασκευή και θέλω κι άλλα κομμάτια.
Παίρνω ακριβώς ξανά ένα ίδιο χαρτόνι,
αλλά αυτή την φορά το χωρίζω σε 4 κομμάτια.
1, 2, 3, 4.
Και επιλέγω να χρησιμοποιήσω ένα...
κι άλλο ένα, δύο κομμάτια.
Να το σχεδιάσουμε κιόλας.
Το σχεδιάζουμε, το χωρίζουμε στα τέσσερα,
και επιλέγουμε ένα, δύο.
Θέλω τώρα να μου πείτε,
τι μέρος του χαρτονιού χρησιμοποίησα;
Δύο κομμάτια. Πώς τα γράφω αυτό τα 2;
Δύο απ' τα τέσσερα.
Άρα 4 παρονομαστή. Και γιατί 4;
Γιατί 1, 2, 3, 4 τα κομμάτια που είχαμε χωρίσει το χαρτόνι μας.
Και τι θα βάλω στον αριθμητή;
2 γιατί δύο έχω επιλέξει.
Δύο απ' τα τέσσερα.
Ή 2/4.
Και συνεχίζω, δεν τελείωσε η κατασκευή μου.
Ξαναπαίρνω ένα ακριβώς ίδιο χαρτόνι.
Βλέπετε. Αλλά αυτή την φορά το χωρίζω σε...
...ένα, δύο, τρία, τέσσερα και άλλα τέσσερα, οκτώ και άλλα τέσσερα, δώδεκα,
και άλλα τέσσερα, δεκαέξι κομμάτια.
Να το σχεδιάσουμε κιόλας.
Το σχεδιάζουμε.
Και χωρίζουμε το χαρτόνι μας...
...σε δεκαέξι κομμάτια.
Για να τα μετρήσουμε!
Ένα, δύο, τρία, τέσσερα,
πέντε, έξι, επτά, οκτώ,
εννέα, δέκα, έντεκα, δώδεκα,
δεκατρία, δεκατέσσερα, δεκαπέντε, δεκαέξι.
Τώρα από τα δεκαέξι αυτά κομμάτια,
θα επιλέξω ένα, δύο, τρία, τέσσερα,
πέντε, έξι, επτά, οκτώ.
Για να το ζωγραφίσω κι εδώ.
Ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι, επτά, οκτώ.
Τι μέρος αποτελούν τώρα αυτά τα κομμάτια σε σχέση με ολόκληρο το χαρτόνι που έχω;
Τι θα βάλουμε στον παρονομαστή είπαμε;
Το μέρος το γράφουμε πάντα με κλάσμα.
Στον παρονομαστή, σε πόσα κομμάτια ίσα είχαμε χωρίσει το χαρτόνι μας;
Σε 16, άρα δέκατα έκτα.
Πόσα επέλεξα εγώ τώρα να χρησιμοποιήσω;
Ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι, επτά, οκτώ.
Οκτώ κομμάτια.
Άρα οκτώ από τα δεκαέξι.
Ή 8/16.
Βλέπετε λοιπόν, χρησιμοποίησα στην αρχή...
ένα από τα δύο που είχα χωρίσει το χαρτόνι μου,
μετά δύο από τα τέσσερα,
μετά οκτώ από τα δεκαέξι.
Θέλω να κοιτάξετε καλά τα κομμάτια...
που έχω ζωγραφίσει...
κι από κάτω που τα 'χω ξανασχεδιάσει και τα κλάσματα.
Και θέλω να μου πείτε σε ποια περίπτωση,
πήρα μεγαλύτερη ποσότητα;
Ή πήρα μικρότερη ποσότητα;
Για κοιτάξτε λίγο, περιμένω.
Τι; Δεν πήρα πουθενά περισσότερο;
Ούτε λιγότερο;
Δίκιο έχετε. Γιατί...
το μισό χαρτόνι μου είναι αυτό.
Το βλέπουμε.
Άμα το βάλουμε εδώ, είναι αυτό το κομμάτι.
Άμα το βάλουμε εδώ, είναι ακριβώς ίδιο.
Κι άμα το βάλουμε κι εδώ, είναι ακριβώς το ίδιο.
Άρα έχω πάρει την ίδια ποσότητα.
Το ίδιο κομμάτι από το χαρτί.
Άρα τα κλάσματα 1/2, 2/4 και 8/16,
μας δείχνουν το ίδιο κομμάτι.
Έχουν την ίδια αξία.
Είναι ίση δύναμη.
Άρα πώς λέγονται τα κλάσματα;
Ισοδύναμα.
Αυτά λοιπόν είναι τα ισοδύναμα κλάσματα.
Δηλαδή τα κλάσματα που μας δείχνουν το ίδιο κομμάτι.
Και κοιτάξτε και κάτι άλλο τώρα.
Το 1 εδώ στον αριθμητή πώς μπορεί να γίνει 2;
Για θυμηθείτε λίγο την προπαίδεια.
Πολύ σωστά, το πολλαπλασιάζουμε επί 2.
Και το 2 για να γίνει 4; Πάλι επί 2.
Άρα 1 Χ 2 = 2,
2 Χ 2 = 4.
Βλέπετε; Έχω πολλαπλασιάσει και τους δύο όρους του κλάσματος,
δηλαδή και τον αριθμητή και τον παρονομαστή, με τον ίδιο αριθμό.
Κι εδώ συγκεκριμένα με το 2.
Για να δούμε το 2/4 τώρα.
Με τι μπορώ να πολλαπλασιάσω το 2 για να γίνει 8;
Με το 4.
2 Χ 4 = 8.
Κι άμα πολλαπλασιάσω και τον παρονομαστή με το 4,
4 Χ 4 = 16.
Άρα βλέπουμε ότι για να κατασκευάσουμε ένα ισοδύναμο κλάσμα,
αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τον πάνω και τον κάτω αριθμό...
και τον αριθμητή και τον παρονομαστή, με τον ίδιο αριθμό.
Βέβαια μπορεί να γίνει και το αντίστροφο.
Να κάνουμε διαίρεση, 8 : 4.
8 διαιρούμε δια 4. Πόσο μας κάνει; 8 : 4 = 2.
16 διαιρούμε δια 4. Πόσο μας κάνει;
16 : 4 = 4, γιατί 4 Χ 4 = 16.
Άρα βλέπουμε πώς ξανασχηματίζουμε το προηγούμενο κλάσμα.
Οπότε ισοδύναμα είναι τα κλάσματα που μας δείχνουν την ίδια αξία.
Άρα 1/2 = 2/4 και 2/4 = 8/16.
Μας δείχνουν πάντα το ίδιο κομμάτι από το χαρτόνι που είχαμε χρησιμοποιήσει.
Για να πάμε σε ένα άλλο παράδειγμα.
Θα σβήσω αυτά.
Θα ξεκολλήσουμε και τα χαρτόνια μας αυτά.
Πάμε στην κλασική μας πίτσα.
Το κλασικό μας παράδειγμα στα κλάσματα.
Χθες λοιπόν το μεσημέρι παρήγγειλα πίτσα.
Την βλέπετε εδώ. Ωραιότατη.
Και τη χωρίζω σε τέσσερα κομμάτια.
Να την κολλήσουμε πάνω.
Κι επειδή πεινάω πολύ, πεινούσα πολύ,
τρώω ένα, δύο κομμάτια.
Και τη σχεδιάζω.
Τη χωρίζω στα τέσσερα. Τρώω το ένα και τρώω κι άλλο ένα.
Θέλω να μου πείτε τώρα, τι μέρος της πίτσας έφαγα;
Τι θα βάλω παρονομαστή;
4, πολύ σωστά. 1, 2, 3, 4.
1, 2, 3, 4.
Τέσσερα τα κομμάτια, άρα τέταρτα.
Πόσα θέλησα εγώ να φάω;
Δύο, πολύ ωραία. 2, λοιπόν στον αριθμητή.
Δύο από τα τέσσερα. Ή 2/4.
Το βράδυ ξαναπαρήγγειλα πίτσα.
Κι επειδή πεινούσαμε πολλοί,
την κόψαμε στα οκτώ κομμάτια τώρα.
Τη βλέπετε.
Η πίτσα μας στα οκτώ κομμάτια.
Και πάλι επιλέγω να φάω ένα, δύο, τρία, τέσσερα.
Ας σχεδιάσουμε την πίτσα μας.
Όσο πιο ίσια μπορώ χωρίς γεωμετρικά όργανα.
Τη χωρίζω στα οκτώ κομμάτια.
Και ζωγραφίζω ένα, δύο, τρία, τέσσερα. 170 00:11:22,984 --> 00:11:25,560 Ζωγράφισα αυτά που επέλεγα να φάω.
Τέσσερα από τα οκτώ.
Άρα πείτε μου τώρα, τι θα βάλω στον παρονομαστή;
Σας ακούω. 8, πολύ ωραία, όγδοα...
γιατί την έχουμε χωρίσει σε ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι, επτά, οκτώ κομμάτια.
Πόσα εγώ επέλεξα να φάω;
Τέσσερα.
Τέσσερα από τα οκτώ.
4/8.
Θέλω τώρα να κοιτάξετε, όλοι σας -
σας βλέπω, όλοι να κοιτάξετε εδώ!
Και τις πίτσες, και τα σχήματα...
και τα κλάσματα. Και να μου πείτε...
πότε έφαγα περισσότερη πίτσα.
Το μεσημέρι ή το βράδυ;
Ή πότε έφαγα λιγότερη πίτσα.
Περιμένω. Τι; Δεν έφαγα; Πώς δεν έφαγα; Τόσα κομμάτια έφαγα!
Α, δεν έφαγα περισσότερο ούτε λιγότερο!
Πολύ σωστά! Έχουμε φάει ακριβώς το ίδιο.
Μισή πίτσα εδώ, μισή πίτσα εδώ.
Άρα τα 2/4 και τα 4/8 πώς είπαμε ότι τα λένε,
που δείχνουν ακριβώς το ίδιο μέρος της πίτσας;
Ισοδύναμα. Έχουν ακριβώς την ίδια αξία.
Για να το δούμε και με πράξεις αυτό.
Το 2 για να γίνει 4 με τι το πολλαπλασιάζουμε;
Επί 2. 2 Χ 2 = 4.
Το 4 για να γίνει 8; Ξανά επί 2.
Βλέπετε, πολλαπλασιάζουμε και αριθμητή και παρονομαστή...
με τον ίδιο αριθμό.
Άρα το 2/4 είναι ίσο με το 4/8.
Για να πάμε σε ένα άλλο παράδειγμα.
Θα σβήσω τις πίτσες.
Και θα πάμε σ' ένα γλυκό παράδειγμα τώρα.
Θα πάρουμε μία σοκολάτα.
Βλέπετε, έχω εδώ μία ωραιότατη σοκολάτα.
Την κόβω ακριβώς στα τρία κομμάτια.
Βλέπετε, την έχω κόψει ακριβώς στα τρία.
Και επιλέγω να φάω το ένα από τα τρία.
Και για κοιτάξτε και κάτι, είναι ακριβώς ίσα τα κομμάτια.
Δεν είναι ούτε μεγαλύτερα ούτε μικρότερα.
Γιατί τα κλάσματα, έχουμε πει, για να τα μοιράσουμε...
πρέπει να είναι ακριβώς τα ίδια κομμάτια,
για να δημιουργήσουμε κλάσμα.
Παίρνω λοιπόν το ένα από αυτά.
Για να το σχεδιάσω και στον πίνακα!
Ή μάλλον θα σας το κολλήσω κι ας είναι άλλο χρώμα.
Νάτη η σοκολάτα μας,
με τρία κομμάτια.
Κι εγώ επέλεξα να φάω αυτό.
Να τη ζωγραφίσουμε κιόλας.
Η σοκολάτα μας.
Τη χωρίζουμε στα τρία.
Και επιλέγω αυτό το κομμάτι.
Τι μέρος της σοκολάτας έφαγα;
Ποιος θα μου πει;
Τι θα βάλω παρονομαστή;
3.
Γιατί τρία είναι τα κομμάτια που έχω χωρίσει τη σοκολάτα.
Τι κομμάτι έφαγα; Ένα από τα τρία.
1/3.
Ένα από τα τρία.
Μετά επειδή δεν μου έφτασε αυτό το 1/3,
και τα υπόλοιπα που τα 'φάγαν άλλοι,
ξαναπαίρνω πάλι άλλη μία ακριβώς ίδια σοκολάτα...
και τη χωρίζω τώρα στα έξι.
Βλέπετε...
Να τα πάρω ψηλά, να μην μου σπάσουν κιόλας.
Τρία και άλλα τρία κομμάτια της σοκολάτας.
Και από αυτά τώρα επιλέγω να φάω ένα κι άλλο ένα,
δύο κομμάτια σοκολάτας.
Για να την κάνω και στον πίνακα!
Και λέω να σας την κολλήσω κιόλας σαν σχήμα.
Εδώ είναι κίτρινη η σοκολάτα μας - δεν μοιάζει με σοκολάτα βέβαια,
αλλά είναι σοκολάτα.
Κι επιλέγω να φάω ένα κι άλλο ένα κομμάτι.
Να τη ζωγραφίσουμε κιόλας.
Και τη χωρίζω. Ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι κομμάτια.
Ποιος θα μου πει τώρα τι παρονομαστή θα βάλω;
6, έκτα λοιπόν.
Γιατί είναι ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι τα κομμάτια που έχουμε χωρίσει τη σοκολάτα.
Πόσα κομμάτια επέλεξα εγώ να φάω;
Δύο: ένα, δύο.
Το γράφω, δύο από τα έξι.
Θέλω τώρα να μου πείτε, πότε έφαγα πιο πολύ σοκολάτα.
Την πρώτη φορά; Ή την δεύτερη;
Καμία; Δίκιο έχετε.
Κοιτάξτε αυτό το κομμάτι...
με αυτά εδώ ακριβώς τα κομμάτια.
Είναι ακριβώς ίδια.
Έφαγα την ίδια ποσότητα σοκολάτας.
Για να το πάρουμε και με το χαρτονάκι μας. Βλέπουμε...
Το ένα κομμάτι εδώ σοκολάτας είναι ακριβώς ίδιο με αυτά τα δύο κομμάτια.
Άρα πώς τα είπαμε αυτά τα κλάσματα;
Ποιος θα μου πει από σας;
Ισοδύναμα, πολύ σωστά!
Το μάθατε.
Το 1/3 είναι ισοδύναμο με το 2/6.
Μας δείχνουν ακριβώς την ίδια ποσότητα σοκολάτας.
Έχουν ακριβώς την ίδια αξία.
Για να το δούμε και με πολλαπλασιασμό.
Το 1 για να γίνει 2 με τι το πολλαπλασιάζουμε;
Επί 2, πολύ σωστά.
Το 3; Κι αυτό επί 2.
3 Χ 2 = 6.
1 Χ 2 = 2.
Άρα το 1/3 είναι ίσο με τα 2/6.
Πάμε σε ένα άλλο παράδειγμα.
Σβήνω τη σοκολάτα.
Αφού την έχω φάει κιόλας!
Και πάμε να κάνουμε ένα παράδειγμα...
που έχει και το βιβλίο μας.
Έχω 50 λεπτά κι άλλα 50 λεπτά.
Εδώ τώρα έχουμε δύο κέρματα των 50 λεπτών του ευρώ.
Και θέλω να χρησιμοποιήσω το ένα από τα δύο,
για να αγοράσω ένα κουλούρι που κάνει 50 λεπτά.
Τι μέρος χρησιμοποίησα;
Ποιος θα μου πει;
Ακριβώς, έχω δύο κέρματα και χρησιμοποίησα το ένα.
Ένα από τα δύο.
Άρα τα 50 λεπτά είναι το 1/2 του ευρώ.
Και αγοράζω το κουλούρι.
Την άλλη μέρα που έψαχνα ψιλά για να ξαναγοράσω ένα κουλούρι,
βρίσκω όλο κέρματα και όλο δεκάλεπτα του ευρώ.
Τόσα πολλά είχα μέσα στην τσέπη μου;
Τώρα έχω δέκα κέρματα των 10 λεπτών του ευρώ.
Και παίρνω τα πέντε για να αγοράσω το κουλούρι.
10, 20, 30, 40, 50 λεπτά.
Θέλω να μου πείτε τώρα τι μέρος χρησιμοποίησα από τα κέρματα αυτά.
Πόσα είναι όλα; Δέκα, άρα παρονομαστής 10, δέκατα.
Πόσα χρησιμοποίησα; Πέντε.
Πέντε από τα δέκα.
Άρα χρησιμοποίησα 5/10.
Θέλω να μου πείτε τώρα πότε έδωσα πιο πολλά χρήματα για να αγοράσω κουλούρι.
Στην πρώτη περίπτωση που χρησιμοποίησα 1/2;
Ή στη δεύτερη; Μήπως στη δεύτερη με κοροϊδέψανε και μου πήραν περισσότερα;
Τι λέτε; Όχι, μπράβο σας!
Γιατί το 1/2 και τα 5/10 είναι στην ουσία 50 λεπτά.
Άρα αυτά τα κλάσματα είναι ισοδύναμα.
Το 1/2 είναι ίσο με 5/10.
Έχουν ακριβώς δηλαδή την ίδια αξία.
Και ποια είναι η αξία τους; 50 λεπτά.
Εδώ, παιδιά, το μάθημά μας τελείωσε σήμερα.
Ελπίζω να σας έδωσα να καταλάβατε λίγο για τα ισοδύναμα κλάσματα.
Καλή συνέχεια σε ό,τι κάνετε. Γεια σας, παιδιά.
