Qué es una Función | Dominio e Imagen
¡Hola amigos! Este es el primer vídeo de un curso completo
sobre funciones. El curso está diseñado tanto para estudiantes de nivel universitario
como de bachillerato. Quizá ciertas sean más útiles para unos que para otros, pero
no tengo ninguna duda que el vídeo en su conjunto les resultará muy interesante a
ambos grupos de estudiantes. El concepto de función es extremadamente atrayente y enormemente
útil. Cada vídeo comienza con las definiciones
oportunas que son las mismas para todos los niveles. Sin embargo, además de definir los
conceptos de formas intuitiva también aportamos una definición más rigurosa utilizando el
lenguaje formal con símbolos como “Para todo”, “Existe”, “pertenece”, “Existe
un único”, etc. La parte más enfocada a los alumnos de secundaria
es sin duda la de los ejemplos, que son numerosos y muy gráficos, está parte está en la segunda
mitad del vídeo. Con ellos aprenderemos a identificar visualmente conceptos como el
dominio o la imagen de una función, también llamada Recorrido en algunos textos.
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¡Empezamos! Dados dos conjuntos X e Y, una función no
es otra cosa que una forma de hacer corresponder a cada elemento de X un ÚNICO elemento de
Y. Al primer conjunto se le llama DOMINIO, y
al segundo CODOMINIO. Por ejemplo, X puede ser el conjunto formado
por un círculo, un cuadrado, el número 1 y una estrella. A su vez, Y puede ser el conjunto
formado por la letra a, un triángulo, el número pi, un cilindro y una cruz. Y la función
f puede definirse asignando al círculo el número Pi, al cuadrado la cruz, al número
1 la letra a, y a la estrella también la cruz.
En este caso decimos que la imagen del círculo es el número Pi o bien que f aplicado en
el círculo es igual a Pi. Del mismo modo f del cuadrado igual a la cruz, f de 1 igual
a la letra a y f Fijaos que no importa que a un elemento del
codominio llegue más de una flecha, o que a alguno no llegue ninguna. Lo que define
una función es que para CADA elemento del dominio hay una ÚNICA flecha que sale de
él. Los elementos del codominio a los que SÍ
llega alguna flecha, que en este caso son la letra a, el número pi y la cruz, forman
un subconjunto del codominio que se llama la IMAGEN de la función.
Si lo escribimos formalmente, la Imagen de f es el conjunto de los elementos y del codominio
Y mayúscula tales que existe un elemento x del dominio que verifica que f de x es igual
a y. O escribiéndolo de forma más breve como el conjunto de los elementos f de x tal
que x pertenece al conjunto X mayúscula. Una forma muy común de representar funciones
con dominio y codominio la recta real, consiste en dibujar unos ejes que representen el dominio
y codominio. El eje de las x, también llamado eje de abcisas, lo situamos en horizontal
y el eje de las y, también llamado eje de ordenadas, lo situamos en vertical.
La función la representamos por una gráfica. De este modo un punto de la gráfica, por
ejemplo, el punto de coordenadas (-2, 1) se interpreta del siguiente modo, el valor -2
del dominio, se aplica por la función f en el valor 1 del codominio. Esto lo escribíamos
también como f de -2 igual a 1. Por ejemplo, el punto (1, 4) de la gráfica
indica que el elemento 1 del dominio se aplica por f en el elemento 4 del codominio, esto
es, f de 1 igual a 4. Y, por ejemplo, el punto (3, -1) de la gráfica índica que el elemento
3 del dominio se aplica en el elemento -1 del codominio. f de 3 igual a -1.
Vamos a ver algunos ejemplos de funciones de dominio y codominio los números reales
para entender los conceptos introducidos. Nuestro primer ejemplo es una función muy
sencilla. La función constante 2. Esta función asigna como imagen de cualquier número real
x el número 2. De este modo, el -2 tiene como imagen 2, el 1 tiene como imagen 2, el
3 también tiene como imagen 2. Dado que cualquier valor x tiene por imagen
2, la gráfica de esta función peculiar es una recta horizontal. Además, el conjunto
Imagen de esta función constante solo tiene un elemento el 2.
Para visualizar el conjunto imagen lo que haremos será proyectar la gráfica de la
función sobre el eje vertical, esto es, el eje de ordenadas. En este caso solo obtenemos
un punto, el 2. En definitiva, Imagen de la función constante 2 igual al conjunto formado
por el 2. Vamos ahora con otra función importante.
La función identidad. Esta función asigna a cada elemento x de los números reales,
el mismo x. De este modo, la imagen de -1 es -1, la imagen
de 1 es 1, la imagen de 3 es 3, y nos damos cuenta de que la gráfica de esta función
es precisamente la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.
Pero en este caso, dado que cada número real del dominio se aplica en el mismo número
real del codominio, vemos que, proyectando los puntos de la gráfica sobre el eje de
las y, la imagen de la función identidad es toda la recta real.
Nuestros dos primeros ejemplos son de hecho, casos particulares de lo que se conoce como
función afín que tiene la forma a por x más b. Donde a y b son dos números reales
fijos. En efecto, en el caso en que a=0 se tiene la función constante b y en el caso
de que a es igual a 1 y b igual a cero tenemos la función identidad.
Veamos algún caso más de función afín. Por ejemplo, la función definida por f(x)
igual a 2 x +1. Si damos a x valor 0, obtenemos como imagen 1. La imagen de 1 es 3, y vemos
que todos los puntos de la gráfica de esta función están sobre la recta que pasa por
los puntos de coordenadas (0, 1) y (1, 3). Los valores a y b de una función afín, que
en este caso son 2 y 1, tienen su significado. El término independiente. La b, que en este
caso es 1, se denomina ordenada en el origen y es precisamente la altura a la que la recta
corta al eje de ordenadas.
El valor a, que en este caso es 2, representa la pendiente de la recta que se puede calcular
considerando dos puntos de la recta y el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el segmento
que une dichos puntos. El cociente entre el cateto vertical y el
cateto horizontal de dicho triángulo rectángulo nos da la pendiente. ¿Y si hubiésemos tomado
otros dos puntos? El cociente entre los catetos seguiría siendo el mismo 2. Esto es consecuencia
como sabemos del teorema de Tales. Si proyectamos la gráfica sobre el eje de
ordenadas vemos que el conjunto imagen de cualquier función afín va a ser toda la
recta real, excepto para el caso en que la pendiente es cero que obtenemos una función
constante cuya imagen tiene un único punto como ya hemos visto.
Además de las funciones afines de R en R tenemos muchos más tipos de funciones, por
ejemplo, las funciones cuadráticas dadas por un polinomio de segundo grado. Si damos
valores a la variable x para obtener sus imágenes y los puntos de la gráfica vemos que lo que
obtenemos es una parábola. ¿Cuál es el conjunto imagen de esta función
a la vista de su gráfica? Si proyectamos la gráfica sobre el eje de
las y tenemos que la imagen será el intervalo desde
-infinito hasta la imagen del vértice de la parábola cerrado en este extremo.
Esto ocurre porque el coeficiente del término de grado 2 es negativo y la parábola tiene
sus ramas hacia abajo. Si el coeficiente del término de grado 2 fuese positivo las ramas
de la parábola irían hacia arriba y la imagen de la función sería un intervalo cerrado
desde la imagen del vértice hasta + infinito. Esto requiere un cálculo preciso, pero nuestra
intención en este vídeo introductorio es ser capaces de identificar el conjunto imagen
de una función como la proyección de la gráfica sobre el eje de ordenadas.
Todas las funciones que hemos visto tienen como dominio todo el conjunto de los números
reales, pero ¿esto es siempre así? En la práctica nos encontraremos a menudo la siguiente
cuestión.
Calcular el dominio de la siguiente función dada por su fórmula.
Pero… para que una función esté determinada hay que conocer dominio, codominio y regla
para asignar a cada elemento del dominio un único elemento del codominio ¿Qué sentido
tiene entonces esta pregunta? En realidad, lo que se nos pide es determinar
cuál es el mayor dominio posible como subconjunto de los reales que admite a la fórmula dada
como forma para asignar valores. En el caso de la fórmula dada, 1 / x – 3,
podemos dar ciertos valores a la x para investigar qué aspecto tiene la gráfica de la función,
pero lo que nos damos cuenta pronto, es que para el valor x igual a 3 la función no está
bien definida, pues no sabemos dividir entre cero.
En estos casos en los que se nos pide hallar el dominio de una función racional, se trata
de averiguar para que valores de x el denominador se anula y eliminar estos valores del dominio.
En nuestro caso, la función tendrá por dominio todos los números reales quitándole el 3.
Vamos a ver un último ejemplo, una función irracional. F de x igual a raíz de x más
1. Si damos a la x el valor 8, obtenemos que su imagen es el número real 3. Si damos a la x valor 3, obtenemos que su imagen es el
número real 2. Para el 0 obtendríamos como imagen el 1 y para el -1 tendríamos que la
raíz de cero es 0 y por tanto la imagen de -1 es 0.
Pero si tratamos de dar a la x valor -2, obtendríamos la raíz cuadrada de -1, que no sabemos realizarla
en R. Por tanto, para hallar el domino de funciones irracionales como la de este ejemplo,
se trata de ver para que valores de x se tiene que el radicando es mayor o igual que cero.
En este caso obtenemos que x ha de ser mayor o igual que -1 y por tanto el dominio de esta
función es el intervalo cerrado -1, infinito. Esta forma de representar funciones a la que
estamos acostumbrados cuando el dominio y el codominio son los números reales también
puede utilizarse para dominios y codominios cualesquiera.
Dada una función f de X en Y, se define su grafo o su gráfica como el conjunto de pares
ordenados del producto cartesiano de X con Y, tales que la segunda coordenada es igual
a f de la primera coordenada. Fijaos que el grafo es un subconjunto del
producto cartesiano del dominio con el codominio, al igual que ocurría para funciones reales
de variable real donde el grafo era un subconjunto del plano, esto es de R producto cartesiano
con R. La pregunta que nos podemos hacer es la siguiente
¿Todo subconjunto G del producto cartesiano representa el grafo de alguna función de
X en Y? La respuesta es negativa, pues para que f
fuese una función tenía que ocurrir que para cada x hubiese un único y tal que f
de x es igual a y.
De este modo, si el subconjunto G del producto cartesiano verifica que para cada x existe
un único y tal que el par (x, y) pertenece a G entonces si representa el grafo de una
función. La función definida por f de x igual a y.
Esta discusión sobre el grafo nos permite dar una definición alternativa de función
que, de hecho, es la que utilizan algunos textos matemáticos para definir el concepto
de función. Una función de dominio X y codominio Y es
un subconjunto G del producto cartesiano X por Y que verifica que para cada x perteneciente
a X mayúscula existe un único y perteneciente a Y mayúscula tal que el par ordenado (x,
y) pertenece a G. En efecto, esta única y que existe para cada
x es precisamente la imagen de x, esto es, f de x.
Volviendo a nuestro ejemplo del plano, esto es, del producto cartesiano de R con R, podemos
preguntarnos si el subconjunto del plano determinado por una circunferencia representa el grafo
de alguna función. La respuesta es NO, pues para ciertos elementos
del dominio, como, por ejemplo, el 3, tenemos dos puntos de la gráfica tales que su primera
coordenada es 3, el punto (3,1) y el punto (3,4).
Esto, en términos de una función f significaría que f asigna al valor 3 tanto el elemento
1 como el 4, pero una función asigna a cada elemento del dominio un ÚNICO elemento del
codominio. Esperamos que el vídeo os haya gustado y
si no lo habéis hecho todavía like y sub, que a vosotros no os cuesta mucho y nos ayuda
bastante. En el próximo capítulo hablaremos sobre
composición de funciones, siguiendo la misma metodología, definición, definición formal
y ejemplos. ¡No os lo podéis perder! Os dejamos por aquí un enlace a los apuntes
en pdf.
