什么 是 公平 ？如何 分配 利益 才能 大家 都 满意 ？李永乐 老师 讲切 蛋糕 问题 (1)
各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師
最近 有個 朋友 跟 我 說 他 遇到 了 兩件 煩心事
第一件 是 家裏 的 兩個 小朋友
總是 因為 搶 玩具 和 食物 而 打架
第二件 事 就是 馬上 就要 到 年底 了
他 需要 製作 一個 方案
來給 部門 的 下屬 分配 各種 獎勵
有 的 獎勵 是 現金
也 有 晉升 的 機會 以及 各種 榮譽
每年 到 了 這個 時候 部門 裏面 就 會 雞飛狗跳
所有人 都 覺得 自己 拿少 了
甚至 發生 過 有人 去 上級 主管部門
舉報 自己 同事 的 事兒
所以 他 就 想問 我
有沒有 一種 方法 可以 讓 大家 都 滿意 呢
其實 這個 問題 在 數學 上 是 有解 的
稱 之 為切 蛋糕 問題
我們 今天 就 來講 一講
如何 能夠 讓 大家 都 滿意 地 分配 一塊 蛋糕
首先 我們 先 來講 一講
公平 的 切 蛋糕 方法 是 什 麽
那什 麽 叫 公平 呢
我們 在 數學 上 可以 這樣 定義 公平
如果 有 N 個人 去 分 一塊 蛋糕
那 麽 N 個人 的話
每 一個 人 都 可以 拿到 一塊 蛋糕
拿到 多少 呢
都 拿到 不 少於 1/N 的 蛋糕
如果 每 一個 人 都 拿到 了 不 少於 1/N 的 蛋糕
我們 就 稱 這種 分配 方法 是 公平 的
有人 說 那 一共 就 一塊 蛋糕
你 有 N 個人 的話
每個 人 都 不 少於 1/N
那 不 就是 每個 人 都 是 1/N 嗎
其實 不是 這樣 的
因為 每 一個 人 對於 蛋糕 的 不同 部分
喜好 是 不 一樣 的
就 比如說 吧
這 一塊 蛋糕 有 的 地方 是 奶油
有 的 地方 是 草莓
那 有人 喜歡 奶油 有人 喜歡 草莓
你 把 喜歡 奶油 的 這 一部分 給了 喜歡 奶油 的 人
他 就 會 覺得 自己 獲得 的 收益 超過 1/2
同樣 另外 一部分 喜歡 草莓 的 人
你 把 這個 草莓 給他
他 就 會 覺得 自己 的 收益 也 超過 1/2
這就 叫 每 一個 人 拿到 的 部分 都 不 少於 1/N
再 生活化 一點
比如 有 一個 老人 去世 了 他 留下 了 一些 遺產
有 房子 有 車子 還有 現金 要給 三個 兒子
那 麽 有 的 兒子 可能 特別 喜歡 房子
他 覺得 這個 房子 是 最 值錢 的
也 有人 可能 特別 喜歡 車
也 有人 可能 特別 喜歡 現金
所以 如果 你們 按照 正確 的 方式 去 分配 的話
可能 所有人 都 會 覺得 自己 拿到 的 超過 了 1/3
那 這 就是 一個 比較 好 的
或者說 比較 公平 的 一個 分配 的 方案
好 那 我們 現在 說 比較簡單 的 情況
我們 怎 麽 樣 公平 地 分配 一塊 蛋糕 呢
比如說 如果 只有 兩個 人分
那 這個 問題 就 會 變得 比較簡單
我們 只 需要 采用 一個 經典 的 方法
那 就是 我切 你 選 就 可以 了
什 麽 叫 我切 你 選 呢
就是說 一共 不是 兩個 人 嗎
我們 設置 為 A 和 B
首先 我們 讓 A 去切 蛋糕
你 把 這個 蛋糕 切成 兩份
切成 兩份 了 之後 B 先選
一共 兩個 人
你 B 沒有 切 蛋糕 那個 你 先選
你 選完 了 之後 剩下 那 一塊 就給 A 就行了
你 用 這種 分配 方法
你 就 會 發現 A 和 B 都 覺得 它 是 公平 的
為什 麽 呢
咱們 仔細 看 這是 一塊 蛋糕
A 在 切 它 的 時候 他 就要 考慮 了
一會兒 我 可是 後 選 的 對 不 對
所以 B 如果 把 好 的 那個 拿走 了
我 剩下 那個 不 就 不好 嗎
那 我 為 了 讓 自己 能夠 獲得 最大 的 收益
A 會 怎 麽 做
A 一定 會 想盡 一切辦法
把 它 切成 比較 均勻 的 兩份 對 不 對
當然 這種 均勻 或者說 公平 是從 A 的 角度 來看
A 認為 左邊 的 這 一半 值 1/2
右邊 的 這 一半 也 值 1/2
這 是從 A 的 視角 去 看
但是 B 也 這 麽 認為 嗎
那 可不 一定
因為 這是 在 A 的 視角
A 可能 喜歡 奶油
所以 他 認為 這 一半 值 1/2
那 一半 也 值 1/2
而 B 可能 他 不 喜歡 奶油
所以 他 可能 認為 左邊 這 一半 就是 垃圾
所以 左邊 這 一半 它 只值 1/4 的 效用
而 右邊 的 這 一半 它值 3/4
所以 B 先選 B 會 非常高興
B 說好 我 現在 選 我選 右邊 這 一半 對 不 對
我選 右邊 這 一半 之後
我 就 可以 拿到 3/4 的 效用
我 相當於 是 把 3/4 蛋糕 拿走 了 是不是
而 A 呢
A 就 拿 左邊 這 一半 A 也 不 覺得 虧
為什 麽 呢
你 想 A 我 是 均勻 分 的 兩邊 各 一半 對 不 對
你 拿走 右邊 這 一半 我 拿 左邊 這 一半
還是 你 拿走 左邊 這 一半 我 拿 右邊 這 一半
我 都 不虧
這樣一來 就 實現 了
每 一個 人 都 拿到 了 不 少於 1/N 的 蛋糕
這 就是 一種 比較 公平 的 分配 方案
其實 這種 分配 方法 在歷史上 早就 有 了
那舉 兩個 例子
比如 第一個 例子 是 《 聖經 》
在 《 聖經 》 裏面 有 一個 故事
說 亞伯拉罕 和 洛特 要分 迦南 之地
那 怎 麽 分 呢
亞伯拉罕 說 這樣 吧
我 把 這個 土地 分成 左右兩半 然後 你 先選
這樣一來 無論是 亞伯拉罕 還是 洛特
他們 都 覺得 自己 占 了 便宜
洛特 先選 他 自然 占便宜 對 吧
亞伯拉罕 雖然 是後選 但是 是 他 分 的
他 兩邊 土地 對 他 來講 意義 是 一樣 的 是不是
所以 他們 都 覺得 自己 沒有 虧
這 就是 一種 公平 的 分配 方案
除此之外 還有 一個 叫 《 聯合國 海洋 憲章 》
《 聯合國 海洋 憲章 》 裏
有 一個 非常 有意思 的 規定
就是說 發達國家 有 能力 對 公海 的 礦藏 進行 開發
但是 發展中國家 沒有 能力 開發
但是 公海 的 礦藏 應該 是 屬於 全人類 的
你 不能 只 允許 發達國家 去 開采
那 於是 怎 麽 辦 呢
這個 聯合國 就 想 了 一個 餿主意
他 說 如果 發達國家
你 想 在 某 一個 海域 開發 這個 礦產 的話
那 你 首先 要 向 我 提交 一份 報告
選 兩個 區域 一起 提交 給我
把 它們 的 數據 什 麽 都給 我
給我 了 之後 我 在 這 兩個 區域 裏邊
我選 一塊 留給 發展中國家
另外 一塊 給你 你 去 開發 對 吧
這樣一來
它 既 可以 允許 發達國家 開采 這個 礦產
同時 也 為 發展中國家
保留 了 跟 發達國家 一樣 的 礦產資源 對 不 對
你 發達國家 想 開發 得 越 多
你給 發展中國家 你 保留 的 就 必須 越 多
而且 你 也 不 知道 我選 哪個 是 吧
你 只能 把 它 就 盡量 公正 地去 切割 是 吧
所以 在 這樣 的 情況 下
這 發達國家 一定 會 誠實 地 提交 報告
就 好像 這個 A
他 一定 會 誠實 地 把 這個 蛋糕 分成 兩份 一樣
那 麽 如果 人數 多一些 的話 又 該 怎 麽 辦 呢
比如說 假如 有 三個 人要 分 一塊 蛋糕
那 麽 你 應該 采用 什 麽 樣 的 方案 呢
三個 人 公平 分 蛋糕 的 方法
在 一九四 幾年 的 時候
有 一個 波蘭 的 猶太裔 的 數學家
名字 叫做 斯坦豪斯
他 提出 了 一種 解決方案
但是 這個 方法 有點 復 雜 咱們 暫時 先不講
那 麽 在 1961 年 的 時候 又 有 兩位 數學家
一個 人 名字 叫 杜賓斯
還有 一個 人 名字 叫斯巴 尼爾
他們 兩個 人 這個 搞出 了 一種
叫做 移動 刀法
通過 這種 方法 它 就 可以 讓 三個 人
都 能夠 公平 地去 分 這個 蛋糕 了
具體來講 怎 麽 做 呢
我們 看 我們 首先 把 這個 蛋糕 畫得長 一點
畫得長 一點
然後 有 一個 人 就 拿 著 一把 刀
從 左側 開始 一點一點 地 往右邊 移動
然後 告訴 這 三個 人 誰 感覺 左邊 的 蛋糕
已經 達到 了 整個 蛋糕 的 1/3 誰 就 喊停
比如說 A 突然 感覺 到 你 移動 到 這兒 了
這個 時候 你 已經 達到 了 1/3 了
所以 A 就 喊 停 是 吧
然後 幹什 麽
然後 你 就 把 這 一塊 就給 A 就行了
就給 第一個 喊停 的 人 是 吧
A 感覺 到 它 已經 達到 了 1/3 了
所以 就 喊停
說 那 B 和 C 為什 麽 不 喊 呢
因為 我 剛才 還是 那句話
就是 不同 的 人 感受 是 不 一樣 的
A 可能 特別 喜歡 左端 因為 左端 可能 有 草莓
B 和 C 可能 不 喜歡 草莓
所以 B 和 C 他 就 不 喊停
對於 B 來講
他 可能 認為 這 一半 只 到達 了 整個 蛋糕 的 1/4
它 並不指 長度 它 指 的 是 整個 的 效用
就是 我 感覺 到 我 享受 的 這 一份 蛋糕
只能 提供 總共 蛋糕 的 1/4 的 享受 值
所以 我 不 喊停 對 吧
而 對於 C 來講
他 可能 感覺 A 這一 份兒 只值 1/5
所以 他們 倆 都 不 喊停
A 喊停 了 好 這 一塊兒 蛋糕 就給 A 了
然後 不是 還剩 了 這 一大 塊兒 嗎
這 一大 塊兒 現在 只有 兩個 人 了
於是 這個 刀口 繼續 往右 走
告訴 B 和 C
誰 感覺 已經 到達 了 剩余 部分 的 1/2
剩余 部分 的 1/2 應該 就是 總體 的 1/3
到達 了 剩余 部分 的 1/2 誰 就 喊停
結果 到 這的 時候 B 喊停 了
那 就 把 這 一塊兒 給 B 是 吧
為什 麽 B 喊停 了 呢
B 可能 覺得 這 一部分
已經 達到 了 剩余 蛋糕 的 1/2 了
那 咱們 思考 一下 剩余 部分 的 1/2 是 多少
B 認為 A 這 一塊兒 只值 1/4
認為 第 一塊兒 只值 1/4
所以 剩下 的 這兩塊 兒 應該 值 3/4 對 吧
達到 一半兒 的話
它 應該 能夠 分到 3/8
所以 B 感覺 到 這 一份 的 效用 是 3/8
他 就 會 喊停 了
那 C 為什 麽 不 喊 呢
因為 C 可能 覺得 B 這 一塊 其實 也 不好
他 也 只有 1/4 的 效用
那 麽 剩下 的 這 一塊 因為 只有 一個 C 了
所以 就給 C 吧 C 就 賺 了
為什 麽 呢
第一塊 對 C 來講 效用 是 1/5
第二塊 對於 C 來講 是 1/4
所以 加 到 一塊 只有 9/20
因此 C 拿到 了 第三塊
他 感覺 到 拿到 了 蛋糕 的 11/20
好像 比 一半 還多
在 這種 情況 下
咱們 來 思考 一下 是不是 公平 的
A 拿到 了 整個 部分 的 1/3
A 感覺 自己 不虧 對 吧
一共 三個 人 拿 一塊 蛋糕 我 拿 1/3 不虧
B 呢 B 感覺 到 自己 拿 了 3/8 我 也 不虧
因為 我 正常 應該 是 拿 1/3 的
我 現在 拿到 3/8 我 超過 1/3 了
所以 我 不虧
那 C 就 更 不 虧了 對 不 對
C 拿到 了 11/20 一半 還多
我 更 賺 了 是不是
所以 他們 三個 人 應該 都 是 非常高興 的
因此 我們 稱 這種 方法 是 一種 公平 的 方法
那 麽 我們 還要 解釋 一個 問題
為什 麽 這個 刀口 到 1/3 的 時候
A 就 一定 要 喊停 呢
他 在 等 一會兒 喊停 他 不是 會 拿到 的 更 多 嗎
這 就要 註 意 了
如果 到 了 這個 部分 的 時候
左邊 是 1/3 右邊 是 2/3
A 不 喊停 的話 A 就 會 面臨 風險
什 麽 風險 呢
就是 刀口 繼續 往前 走時 被 別人 先喊 了 停
於是 超過 1/3 的 部分 被 別人 拿走 了
那 A 和 另外 一個 人 只能 分 不到 2/3 的 部分
於是 A 就 有 可能 會虧 對 不 對
A 為 了 防止 自己 拿到 少於 1/3 的
他 一定 要 在 到達 1/3 的 時候 就要 喊停
因此 一個 好 的 規則 可以 讓 A B C 都 怎 麽 樣
都 變得 比較 誠實 是 吧
這 就是 一個 好 的 規則
因為 這個 規則 就 造成 了
A B C 一定 要用 最 誠實 的 方法
說出 自己 的 內心 感受 是 吧
到 1/3 你 必須 喊停
如果 你 不 喊 的話
那過 一會兒 你 很 有 可能 虧
你 可能 會 拿 不到 1/3 是 吧
就 出現 這樣 一個 情況
不過 大家 一定 要 註 意
這種 方案 我們 稱之為 是 公平 的
而且 在 公平 的 方案 中
