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Archimedes Tube, 🔺 El TRIÁNGULO de PASCAL

🔺 El TRIÁNGULO de PASCAL

El triángulo de Pascal es una de las construcciones, más intrigantes, profundas y útiles de las

Matemáticas. Su definición es realmente sencilla, comenzamos

con un simple 1, que situamos en una fila infinita de ceros.

Y este simple 1 va a generar todo el triángulo de Pascal ¿Cómo?

Si nos desplazamos en nuestra fila por parejas contiguas, podemos ir generando una nueva

fila SUMANDO cada pareja de números y situando el resultado inmediatamente debajo.

En esta nueva fila en vez de un único 1, tenemos dos. Y podemos volver a repetir el

mismo proceso para genera una tercera fila. En esta nueva fila ya empezamos a ver algo

distinto, pues al sumar la pareja de 1's contigua obtenemos un 2.

Este proceso lo repetiremos indefinidamente generando infinitas nuevas filas, pero podemos

ir obteniendo ya algunas conclusiones: Cada nueva fila tiene un número distinto

de cero más que la fila anterior. La secuencia de números no nulos siempre

empieza y termina con un 1 y además cada una de estas secuencias es simétrica, es

decir, no solo empiezan y acaban en 1, también el segundo término es igual que el penúltimo,

el tercero igual al antepenúltimo, etc. Si nos olvidamos de todos los valores nulos

de estas filas, al triángulo formado por los números positivos se le llama EL TRIÁNGULO

DE PASCAL en honor al filósofo y matemático francés Blaise Pascal quien lo introdujo

en 1654 en su Tratado del triángulo Aritmético. Aunque el triángulo ya era conocido con anterioridad

al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos, persas, alemanes e italianos, fue

Pascal quien descubrió muchas de sus propiedad y aplicaciones.

Pero ¿Qué tiene que ver este triángulo con los NÚMEROS COMBINATORIOS?

Recordemos que el número combinatorio (n k) es precisamente el número de subconjuntos

diferentes de k elementos que podemos extraer de un conjunto de n elementos.

Por ejemplo, si tenemos un conjunto de n=3 elementos (3 0) representa el número de subconjuntos

distintos con cero elementos ¿Tenemos alguno? Si. Siempre existe un único conjunto con

cero elementos al que llamamos el conjunto vacío.

De este modo (3 0)=1; Subconjuntos con k=1 elemento hay tres posibles

por lo que (3 1)=3; Con dos elementos hay otros tres ¿verdad? En efecto solo hay que

decidir a quién excluir del subconjunto y hay tres candidatos posibles por lo que (3

2) = 3. Finalmente, subconjuntos con 3 elementos solo

tenemos el propio conjunto, esto es, (3 3) = 1

De hecho, tenemos una FÓRMULA para el número (n k), pero en este vídeo queremos que toda

nuestra matemática sea puramente intuitiva y visual… ¡y no por ello menos rigurosa!

Pero sustituiremos manipulaciones algebraicas tediosas por argumentos simples y transparentes.

Para que todos entendamos con claridad qué es un número combinatorio vamos a imaginarnos

que el conjunto de n elementos es una clase de una escuela (8 alumnos) y por ejemplo el

número combinatorio (8 3) representa cuántos grupos de trabajo diferentes de 3 estudiantes

se pueden hacer. ¿Cómo podemos demostrar teoremas de forma

intuitiva? vamos a ver que el número de subconjuntos

de k elementos de un conjunto de n, esto es, (n k) es igual al número de subconjuntos

de n-k elementos del conjunto de n, esto es, (n n-k), para cualquier valor de n y k

En nuestra clase, estaríamos afirmando que hay tantos grupos de trabajo vacíos (8 0)

como grupos de trabajo con todos los estudiantes (8 8) ; grupos de trabajo con 1 estudiante

(8 1) que grupos con 7, (8 7) ; grupos con 2 (8 2) y grupos con 6 (8 6); etcetera

Para comprobar que, por ejemplo, (8 3) = (8 5), vamos a ver que el número de grupos de

trabajo de 3 estudiantes puede contarse de dos maneras equivalentes: Una nos dará el

número (8 3) y la forma de contar alternativa nos dará (8 5) con lo que ambos números

han de ser el mismo número. En efecto, en vez de contar los grupos de

trabajo indicando cuales son los 3 estudiantes que están en el grupo, lo que nos daría

el número (8 3). Podemos contar los grupos de trabajo indicando quién NO está en el

grupo. Habrá pues que decir qué 5 estudiantes están excluidos y hay tantos subconjuntos

posibles de 5 estudiantes excluidos como el número (8 5).

Por tanto (8 3)=(8 5)

Esto que hemos visto para un caso particular se cumple para cualquier grupo de trabajo

de k estudiantes de una clase de n. Los grupos de trabajo de k estudiantes podemos contarlos

indicando quienes son los k estudiantes que están en el grupo lo que nos daría (n k)

o indicando los n-k estudiantes que NO están en el grupo lo que nos daría (n n-k).

¡Qué fácil! Vamos a intentar algo más exigente.

El número de grupos de trabajo de k estudiantes de una clase de n es igual a la suma del número

de sgrupos de trabajo de k estudiantes de una clasde de n-1 con el número de grupos

de k -1 estudiantes de una clase de n-1. Esto parece más complicado de probar. Veamos

que en efecto (8 5)= (7 5)+ (7 4) Para ello hagamos lo siguiente, si queremos

contar cuántos grupos de trabajo de 5 estudiantes se pueden hacer en la clase lo que daría

(8 5). Podemos contarlo de una forma alternativa, Calvin puede contar primero todos los grupos

de 5 estudiantes que NO lo incluyen a él y después añadirle los que si le incluyen.

Para contar los grupos de 5 estudiantes que No lo incluyen, Calvin se da cuenta que basta

con salirse de clase y decir a sus compañeros que hagan grupos de trabajo sin contar con

él. Entonces habrá tantos como (7 5) ya que la clase tiene un estudiante menos, Calvin.

Para contar los grupos de 5 estudiantes que SI le incluyen a él les pide a sus compañeros

que hagan grupos de 4 estudiantes a los que él se unirá al entrar en clase. En total

habrá en este caso (7 4) grupos. ¿Qué hemos probado? Que (8 5)= (7 5)+ (7

4) Pero el método alternativo que hemos dado

para contar los grupos de trabajo vale para cualquier n y k. Un estudiante se sale de

clase y cuenta los grupos que no lo incluyen que son (n-1 k) y después cuenta los que

si le incluyen pidiendo a sus compañeros que cuenten grupos de k-1 estudiantes a los

que se unirá, es decir (n-1 k-1). Por lo que (n k)= (n-1, k) + (n-1 k-1).

¡Genial! Pero… y que tiene que ver todo esto con

el triángulo de Pascal. Fijaros que, si tomamos una clase con 0 estudiantes,

el número de grupos de trabajo de cero estudiantes es 1 !! ¡¡el conjunto vacío, esto es, (0

0)=1 Si en la clase hay un único estudiante, grupos

con cero estudiantes hay de nuevo 1, el conjunto vacío. Y grupos con 1 estudiante hay también

solamente 1, el formado por el único estudiante. Tenemos pues (1 0)=1 y (1 1)=1, un par de

1's. Si tenemos una clase con dos estudiantes,

grupos de cero estudiantes hay otra vez uno solo, el conjunto vacío y por tanto (2 0)=1;

grupos con un estudiante tenemos dos posibles cada grupo formado por cada uno de los dos

estudiantes, esto es (2 1)=2 y grupos de 2 estudiantes hay uno solo el formado por la

clase completa obteniendo (2 2)=1. Esto se parece mucho al triángulo de Pascal…

¡Y tanto! Siempre se tiene que (n 0) = 1 cualquier clase admite un único grupo con

cero estudiantes, el vacío. Y (n n)=1 cualquier clase de n estudiantes admite un único grupo

con n estudiantes, la clase completa. Es decir, la lista de números combinatorios

(n 0), (n 1), ….,(n k),…, (n n-1), (n n) empieza y acaba como las filas del triángulo

de Pascal con sendos 1's Pero acabamos de ver la identidad para números

combinatorios (n k)=(n-1 k) + (n-1 k-1). ¡Aja! Esto es precisamente decir que, si

ponemos los números combinatorios por filas formando un triángulo, cada número combinatorio

se obtiene de la fila anterior sumando los términos que están inmediatamente encima

de él. ¡Justo lo que ocurría con el triángulo de Pascal!

Lo que acabamos de ver es que el triángulo de Pascal es precisamente el triángulo formado

por los números combinatorios. Ya solo nos queda entender qué demonios tiene

que ver el triángulo de Pascal con el Teorema binomial. Vamos a considerar un binomio no

nulo a + b que vamos a elevar a las potencias 0, 1, 2,…

(a+b)^0 = 1 ya que todo valor no nulo elevado a 0 es igual a 1.

(a+b)^1= a + b nada que añadir (a+b)^2 podemos realizarlo algebraicamente

o verlo geométricamente como un cuadrado de lado a+b y obtenemos que equivale a a^2

+ 2ab + b^2 Lo mismo sucede con (a+b)^3, tanto algebraicamente como geométricamente, viéndolo como un cubo de arista a+b obtenemos que equivale a a^3

+ 3 a^2b + 3 ab^2 + b^3. Si nos fijamos en los coeficientes que nos aparecen cuando desarrollamos la potencia del binomio, vemos que estamos obteniendo

las filas del triángulo de Pascal. ¿Será esto una mera casualidad? ¿O más bien un

Teorema? En efecto, el teorema binomial afirma que

la potencia del binomio (a+b)^n es igual a la suma desde k = 0 hasta n de a ^k por b^n-k

multiplicado por el número combinatorio (n k) al que también se le llama coeficiente

binomial (justo por este Toerema) ¿Cómo podemos demostrarlo? La potencia (a+b)^n

es precisamente el producto (a+b) x (a+b)x…x(a+b)x(a+b) n veces.

por la propiedad distributiva, tendremos pues que multiplicar cada uno de los sumandos de

cada factor por cada uno de los sumandos de los demás factores.

¿De cuántas formas podemos obtener a^n? Solamente de una. Mutiplicando todas las a's

de los n factores. Por eso el coeficiente binomial de a^n es (n 0)=1

¿De cuántas formas podemos obtener b^n? Solamente de una. Multiplicando todas las

b's de los n factores, o lo que es lo mismo multiplicando 0 a's. Por eso también el

coeficiente binomial de b^n es (n n)=1. Pero ¿de cuántas formas podemos obtener

a^k b^n-k? Necesitamos multiplicar exactamente k a's, pero podemos hacerlo de muchas formas

diferentes. Si vemos los n factores como los n elementos

de un conjunto. Hay tantas formas de obtener el término a^k b^n-k multiplicando estos

n factores, como subconjuntos de k elementos del conjunto de n.

Este subconjunto de k elementos es precisamente las k a's que necesitamos ¿Y cuántos subconjuntos

diferentes de k elementos de un conjunto de n podemos tomar? En efecto (n k) el coeficiente

binomial! En próximos vídeos seguiremos explorando

los misterios del troángulo de Pascal y la combinatoria. Ya sabes, si te gustó el vídeo

dejanos un Like y no olvides suscribirte ¡Hasta luego!

🔺 El TRIÁNGULO de PASCAL 🔺 PASCAL'S TRIANGLE 🔺 El TRIÁNGULO de PASCAL 🔺TRIANGOLO DI PASCAL 🔺 ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ 🔺 PASCALS TRIANGEL

El triángulo de Pascal es una de las construcciones, más intrigantes, profundas y útiles de las

Matemáticas. Su definición es realmente sencilla, comenzamos Matematiques. Sa définition est vraiment simple, on commence

con un simple 1, que situamos en una fila infinita de ceros. avec un simple 1, que nous plaçons dans une rangée infinie de zéros.

Y este simple 1 va a generar todo el triángulo de Pascal ¿Cómo?

Si nos desplazamos en nuestra fila por parejas contiguas, podemos ir generando una nueva

fila SUMANDO cada pareja de números y situando el resultado inmediatamente debajo.

En esta nueva fila en vez de un único 1, tenemos dos. Y podemos volver a repetir el

mismo proceso para genera una tercera fila. En esta nueva fila ya empezamos a ver algo

distinto, pues al sumar la pareja de 1's contigua obtenemos un 2.

Este proceso lo repetiremos indefinidamente generando infinitas nuevas filas, pero podemos

ir obteniendo ya algunas conclusiones: Cada nueva fila tiene un número distinto

de cero más que la fila anterior. La secuencia de números no nulos siempre

empieza y termina con un 1 y además cada una de estas secuencias es simétrica, es

decir, no solo empiezan y acaban en 1, también el segundo término es igual que el penúltimo,

el tercero igual al antepenúltimo, etc. Si nos olvidamos de todos los valores nulos

de estas filas, al triángulo formado por los números positivos se le llama EL TRIÁNGULO

DE PASCAL en honor al filósofo y matemático francés Blaise Pascal quien lo introdujo

en 1654 en su Tratado del triángulo Aritmético. Aunque el triángulo ya era conocido con anterioridad

al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos, persas, alemanes e italianos, fue

Pascal quien descubrió muchas de sus propiedad y aplicaciones.

Pero ¿Qué tiene que ver este triángulo con los NÚMEROS COMBINATORIOS?

Recordemos que el número combinatorio (n k) es precisamente el número de subconjuntos

diferentes de k elementos que podemos extraer de un conjunto de n elementos.

Por ejemplo, si tenemos un conjunto de n=3 elementos (3 0) representa el número de subconjuntos

distintos con cero elementos ¿Tenemos alguno? Si. Siempre existe un único conjunto con

cero elementos al que llamamos el conjunto vacío.

De este modo (3 0)=1; Subconjuntos con k=1 elemento hay tres posibles

por lo que (3 1)=3; Con dos elementos hay otros tres ¿verdad? En efecto solo hay que

decidir a quién excluir del subconjunto y hay tres candidatos posibles por lo que (3

2) = 3. Finalmente, subconjuntos con 3 elementos solo

tenemos el propio conjunto, esto es, (3 3) = 1

De hecho, tenemos una FÓRMULA para el número (n k), pero en este vídeo queremos que toda

nuestra matemática sea puramente intuitiva y visual… ¡y no por ello menos rigurosa!

Pero sustituiremos manipulaciones algebraicas tediosas por argumentos simples y transparentes.

Para que todos entendamos con claridad qué es un número combinatorio vamos a imaginarnos

que el conjunto de n elementos es una clase de una escuela (8 alumnos) y por ejemplo el

número combinatorio (8 3) representa cuántos grupos de trabajo diferentes de 3 estudiantes

se pueden hacer. ¿Cómo podemos demostrar teoremas de forma

intuitiva? vamos a ver que el número de subconjuntos

de k elementos de un conjunto de n, esto es, (n k) es igual al número de subconjuntos

de n-k elementos del conjunto de n, esto es, (n n-k), para cualquier valor de n y k

En nuestra clase, estaríamos afirmando que hay tantos grupos de trabajo vacíos (8 0)

como grupos de trabajo con todos los estudiantes (8 8) ; grupos de trabajo con 1 estudiante

(8 1) que grupos con 7, (8 7) ; grupos con 2 (8 2) y grupos con 6 (8 6); etcetera

Para comprobar que, por ejemplo, (8 3) = (8 5), vamos a ver que el número de grupos de

trabajo de 3 estudiantes puede contarse de dos maneras equivalentes: Una nos dará el

número (8 3) y la forma de contar alternativa nos dará (8 5) con lo que ambos números

han de ser el mismo número. En efecto, en vez de contar los grupos de

trabajo indicando cuales son los 3 estudiantes que están en el grupo, lo que nos daría

el número (8 3). Podemos contar los grupos de trabajo indicando quién NO está en el

grupo. Habrá pues que decir qué 5 estudiantes están excluidos y hay tantos subconjuntos

posibles de 5 estudiantes excluidos como el número (8 5).

Por tanto (8 3)=(8 5)

Esto que hemos visto para un caso particular se cumple para cualquier grupo de trabajo

de k estudiantes de una clase de n. Los grupos de trabajo de k estudiantes podemos contarlos

indicando quienes son los k estudiantes que están en el grupo lo que nos daría (n k)

o indicando los n-k estudiantes que NO están en el grupo lo que nos daría (n n-k).

¡Qué fácil! Vamos a intentar algo más exigente.

El número de grupos de trabajo de k estudiantes de una clase de n es igual a la suma del número

de sgrupos de trabajo de k estudiantes de una clasde de n-1 con el número de grupos

de k -1 estudiantes de una clase de n-1. Esto parece más complicado de probar. Veamos

que en efecto (8 5)= (7 5)+ (7 4) Para ello hagamos lo siguiente, si queremos

contar cuántos grupos de trabajo de 5 estudiantes se pueden hacer en la clase lo que daría

(8 5). Podemos contarlo de una forma alternativa, Calvin puede contar primero todos los grupos

de 5 estudiantes que NO lo incluyen a él y después añadirle los que si le incluyen.

Para contar los grupos de 5 estudiantes que No lo incluyen, Calvin se da cuenta que basta

con salirse de clase y decir a sus compañeros que hagan grupos de trabajo sin contar con

él. Entonces habrá tantos como (7 5) ya que la clase tiene un estudiante menos, Calvin.

Para contar los grupos de 5 estudiantes que SI le incluyen a él les pide a sus compañeros

que hagan grupos de 4 estudiantes a los que él se unirá al entrar en clase. En total

habrá en este caso (7 4) grupos. ¿Qué hemos probado? Que (8 5)= (7 5)+ (7

4) Pero el método alternativo que hemos dado

para contar los grupos de trabajo vale para cualquier n y k. Un estudiante se sale de

clase y cuenta los grupos que no lo incluyen que son (n-1 k) y después cuenta los que

si le incluyen pidiendo a sus compañeros que cuenten grupos de k-1 estudiantes a los

que se unirá, es decir (n-1 k-1). Por lo que (n k)= (n-1, k) + (n-1 k-1).

¡Genial! Pero… y que tiene que ver todo esto con

el triángulo de Pascal. Fijaros que, si tomamos una clase con 0 estudiantes,

el número de grupos de trabajo de cero estudiantes es 1 !! ¡¡el conjunto vacío, esto es, (0

0)=1 Si en la clase hay un único estudiante, grupos

con cero estudiantes hay de nuevo 1, el conjunto vacío. Y grupos con 1 estudiante hay también

solamente 1, el formado por el único estudiante. Tenemos pues (1 0)=1 y (1 1)=1, un par de

1's. Si tenemos una clase con dos estudiantes,

grupos de cero estudiantes hay otra vez uno solo, el conjunto vacío y por tanto (2 0)=1;

grupos con un estudiante tenemos dos posibles cada grupo formado por cada uno de los dos

estudiantes, esto es (2 1)=2 y grupos de 2 estudiantes hay uno solo el formado por la

clase completa obteniendo (2 2)=1. Esto se parece mucho al triángulo de Pascal…

¡Y tanto! Siempre se tiene que (n 0) = 1 cualquier clase admite un único grupo con

cero estudiantes, el vacío. Y (n n)=1 cualquier clase de n estudiantes admite un único grupo

con n estudiantes, la clase completa. Es decir, la lista de números combinatorios

(n 0), (n 1), ….,(n k),…, (n n-1), (n n) empieza y acaba como las filas del triángulo

de Pascal con sendos 1's Pero acabamos de ver la identidad para números

combinatorios (n k)=(n-1 k) + (n-1 k-1). ¡Aja! Esto es precisamente decir que, si

ponemos los números combinatorios por filas formando un triángulo, cada número combinatorio

se obtiene de la fila anterior sumando los términos que están inmediatamente encima

de él. ¡Justo lo que ocurría con el triángulo de Pascal!

Lo que acabamos de ver es que el triángulo de Pascal es precisamente el triángulo formado

por los números combinatorios. Ya solo nos queda entender qué demonios tiene

que ver el triángulo de Pascal con el Teorema binomial. Vamos a considerar un binomio no

nulo a + b que vamos a elevar a las potencias 0, 1, 2,…

(a+b)^0 = 1 ya que todo valor no nulo elevado a 0 es igual a 1.

(a+b)^1= a + b nada que añadir (a+b)^2 podemos realizarlo algebraicamente

o verlo geométricamente como un cuadrado de lado a+b y obtenemos que equivale a a^2

\+ 2ab + b^2 Lo mismo sucede con (a+b)^3, tanto algebraicamente como geométricamente, viéndolo como un cubo de arista a+b obtenemos que equivale a a^3

\+ 3 a^2b + 3 ab^2 + b^3. Si nos fijamos en los coeficientes que nos aparecen cuando desarrollamos la potencia del binomio, vemos que estamos obteniendo

las filas del triángulo de Pascal. ¿Será esto una mera casualidad? ¿O más bien un

Teorema? En efecto, el teorema binomial afirma que

la potencia del binomio (a+b)^n es igual a la suma desde k = 0 hasta n de a ^k por b^n-k

multiplicado por el número combinatorio (n k) al que también se le llama coeficiente

binomial (justo por este Toerema) ¿Cómo podemos demostrarlo? La potencia (a+b)^n

es precisamente el producto (a+b) x (a+b)x…x(a+b)x(a+b) n veces.

por la propiedad distributiva, tendremos pues que multiplicar cada uno de los sumandos de

cada factor por cada uno de los sumandos de los demás factores.

¿De cuántas formas podemos obtener a^n? Solamente de una. Mutiplicando todas las a's

de los n factores. Por eso el coeficiente binomial de a^n es (n 0)=1

¿De cuántas formas podemos obtener b^n? Solamente de una. Multiplicando todas las

b's de los n factores, o lo que es lo mismo multiplicando 0 a's. Por eso también el

coeficiente binomial de b^n es (n n)=1. Pero ¿de cuántas formas podemos obtener

a^k b^n-k? Necesitamos multiplicar exactamente k a's, pero podemos hacerlo de muchas formas

diferentes. Si vemos los n factores como los n elementos

de un conjunto. Hay tantas formas de obtener el término a^k b^n-k multiplicando estos

n factores, como subconjuntos de k elementos del conjunto de n.

Este subconjunto de k elementos es precisamente las k a's que necesitamos ¿Y cuántos subconjuntos

diferentes de k elementos de un conjunto de n podemos tomar? En efecto (n k) el coeficiente

binomial! En próximos vídeos seguiremos explorando

los misterios del troángulo de Pascal y la combinatoria. Ya sabes, si te gustó el vídeo

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