Espacios Vectoriales ↗️ Propiedades

Hola amigos, estudiantes y matemáticos de todo pelaje.

En nuestro anterior vídeo vimos la definición de espacio vectorial, que era un conjunto

de vectores con una suma que lo hacía un grupo Abeliano, un conjunto de números, que

llamamos escalares, con una suma y producto que lo convierten en un cuerpo y una operación

extra entre escalares y vectores que daba como resultado un vector y satisfacía 4 axiomas.

En el anterior vídeo vimos ejemplos de espacios vectoriales y hoy nos centraremos en ver propiedades

que se deducen de estos 4 axiomas.

Da igual si hablamos de vectores del espacio euclideo, de matrices o de polinomios con

coeficientes en un cuerpo si se trata de un espacio vectorial, siempre va a cumplir las

propiedades que veremos ya que son consecuencia de los mismos axiomas de espacio vectorial.

¡Empezamos!

Todo lo que vamos a ver en este vídeo se deduce directamente de estos 4 axiomas que

estudiamos con mucho detenimiento en el vídeo que os dejo en el siguiente enlace.

Como os decía, ahora nos centraremos en probar algunas propiedades.

Empezaremos viendo que si operamos el número 0 con el vector v el resultado será siempre

el vector 0, y esto se tiene para cualquier vector v.

Fijaos que en esta ecuación tenemos dos ceros diferentes involucrados.

Por una parte tenemos el cero del cuerpo, esto es, el elemento neutro de la suma.

Y por otra parte tenemos el vector 0, esto es, el elemento neutro de la suma del conjunto

de vectores.

Vamos a demostrarlo.

El producto 0 por v es un vector.

Y dado que el conjunto de vectores es un grupo abeliano, tiene un elemento neutro, el vector

0.

Podemos por tanto sumarle al vector 0 por v, el elemento neutro que no tiene ningún

efecto.

Por otra parte, también tenemos un elemento neutro para la suma del cuerpo.

De este modo en el vector 0 por v podemos sustituir el escalar 0 por 0 + 0 y ambos productos

han de ser iguales.

Ahora bien, podemos operar el vector v con cada uno de los escalares de la suma del paréntesis,

aplicando la propiedad distributiva respecto a la suma de escalares, ¡nuestro segundo

axioma de espacios vectoriales!

Y tenemos que el vector 0 por v se puede escribir de dos formas diferentes.

Estas dos formas han de ser, por tanto, el mismo vector.

Ahora bien, en esta ecuación podemos cancelar los sumandos iguales de ambos miembros.

Esto es así porque el conjunto de vectores con la suma era un grupo abeliano.

Y en general, en todo grupo se satisface esta ley de cancelación.

Lo que obtenemos es precisamente la expresión a la que queríamos llegar.

Vamos con nuestra segunda propiedad.

En este caso afirmamos que si multiplicamos un escalar lambda por el vector nulo el resultado

es el vector nulo, y esto se tiene para cualquier escalar del cuerpo.

Los primeros pasos para demostrar esta propiedad son similares a los dados en la propiedad

anterior.

El elemento lambda operado con 0 es un vector y dado que tenemos un elemento neutro en el

conjunto de vectores, podemos sumarle el elemento neutro sin modificarlo.

A continuación, sustituimos el vector 0 por el vector cero sumado consigo mismo, que como

es el elemento neutro de la suma, sumarlo no hace nada.

Ahora podemos operar el escalar lambda con cada vector de la suma entre paréntesis por

el primer axioma, la propiedad distributiva respecto de la suma de vectores.

Tenemos entonces que el vector lambda operado con 0 se escribe de dos maneras diferentes,

y esto nos da una igualdad entre dos vectores.

Finalmente podemos cancelar de nuevo los términos iguales en ambos miembros de la ecuación

por tratarse V de un grupo y llegamos a la expresión buscada.

Ya sabemos que operar el escalar 0 con cualquier vector nos da el vector cero y operar cualquier

escalar por el vector cero también da como resultado el vector 0.

La pregunta que nos hacemos es, ¿Podrán existir un escalar no nulo y un vector no

nulo que al operarse den como resultado el vector cero?

La propiedad iii) afirma que esto nunca sucede, es decir, si lambda operado con v es el vector

nulo ha de ser forzosamente lambda = 0 o bien v = 0.

Vamos a demostrarlo.

Partimos de la ecuación lambda operado con v igual a cero.

Y nos encontramos dos posibilidades, o bien lambda es igual a cero o bien es distinto

de cero.

Obvio.

Pero si lambda es cero estamos en uno de los supuestos que queremos probar y ya habríamos

acabado.

Supongamos por tanto que lambda es distinto de cero.

Una de las particularidades de un cuerpo es que todo elemento no nulo tiene un inverso

para la multiplicación.

Esto es, existe un número que denotamos lambda elevado a -1 tal que al multiplicarlo por

lambda resulta el escalar 1, esto es, el elemento neutro de la multiplicación del cuerpo.

Vamos entonces a hacer lo siguiente: en nuestra ecuación original operamos ambos miembros

por el escalar lambda elevado a -1.

Ahora bien, por la Propiedad ii) operar cualquier escalar por el vector cero siempre da como

resultado el vector cero.

En el primer miembro podemos desplazar el paréntesis, ¿verdad?

Esto se tiene precisamente por el tercer axioma de espacios vectoriales, la propiedad pseudoasociativa.

Tenemos por tanto una nueva ecuación.

Aplicamos que el inverso de lambda por lambda es 1 y llegamos a la ecuación 1 operado con

v igual al vector cero.

Pero 1 operado con v es simplemente v ya que esto era justamente el cuarto axioma de espacios

vectoriales, la propiedad modular.

Y hemos llegado a que o bien lambda es cero o en caso de que sea distinto de cero se tiene

que v es igual a cero.

Justo lo que queríamos probar.

En nuestra última propiedad veremos dos igualdades.

Si tenemos un escalar y un vector cualquiera, la siguientes tres operaciones son iguales:

Operar el opuesto del escalar con el vector.

O bien operar el escalar con el vector y tomar el opuesto de este vector.

En este caso el paréntesis abarca a ambos elementos.

Y este vector también coincide con el resultado de operar el escalar con el opuesto del vector

en V.

Esta propiedad lo que nos dice es que podemos mover el signo menos (de opuesto) por una

operación entre un escalar y un vector como nos plazca.

Tanto fuera como en el escalar o en el vector.

Para demostrarlo vamos a empezar con la misma definición de opuesto, el opuesto de lambda

es un escalar tal que al sumarlo con lambda da 0, el elemento neutro de la suma del cuerpo.

TOMA 27 Si estos dos escalares son el mismo, al operarlos

con el vector v nos dará como resultado el mismo vector.

Ahora bien, 0 operado con v es el vector nulo.

Esto no es más que la propiedad i) que hemos probado.

TOMA 28 Y, por otra parte, si operamos v con cada

escalar de la suma entre paréntesis, cosa que podemos hacer gracias a la propiedad distributiva,

llegamos a que el vector nulo es igual a lambda operado con v más el opuesto de lambda operado

con v.

Esto nos está diciendo que el opuesto de lambda operado con v es precisamente el opuesto

de lambda operado con v que es la primera igualdad del enunciado.

Para demostrar la segunda igualdad, vamos a partir de la definición de opuesto en el

grupo formado por los vectores.

El vector nulo es la suma del vector v con su opuesto.

Si esto dos vectores son el mismo, al operar el escalar lambda con estos dos vectores nos

dará como resultado el mismo vector.

El miembro izquierdo de esta ecuación es el vector cero, por la segunda propiedad que

hemos probado.

Y si operamos el escalar lambda con cada uno de los vectores de la suma entre paréntesis,

cosa que podemos hacer por la propiedad distributiva, llegamos a que el vector nulo es igual a lambda

operado con v más lambda operado con el opuesto de v.

Esto nos está diciendo que el opuesto de lambda operado con v es precisamente lambda

operado con el opuesto de v que es la segunda igualdad del enunciado.

Espero que este vídeo con demostraciones detalladas os haya parecido claro y transparente.

Si te gustó déjanos un like y sub.

Nos vemos con más videos sobre Álgebra Lineal ¡Hasta luego!