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Archimedes Tube, La magia del 🔺 Triángulo de Pascal

La magia del 🔺 Triángulo de Pascal

¡Hola amigos! Hoy les quiero presentar un

juego mátemágico-veraniego que he

encontrado en este libro de Martin Gardner

que tiene ya las páginas un

poquito amarillentas. (Miriam) Por la portada

parece que está llena de matemagia.

(Urtzi) La verdad es que me gustaban las portadas

de estos libros de Alianza Editorial.

Las nuevas ediciones tienen otros dibujos...

¡Más feos!

(Miriam) Sorprendernos con el truco matemágico

(Urtzi) Para realizarlo necesitaremos una baraja

francesa a la que le quitaremos las

figuras y los dieces

[Música]

Te voy a pedir Miriam que tomes cinco

cartas cualesquiera del mazo,

que pondremos boca arriba sobre la mesa

[Música]

(Miriam) Por aquí ha salido un 9

¿Un As cuenta como 1? (Urtzi) Si, cuenta como 1. (Miriam) Un 5

y mi número favorito el 8.

(Urtzi) Ahora voy a concentrarme un poco ohmmmmmm ¡Ya!

y pondré una carta boca abajo por aquí

(Miriam) ¿Y qué tiene que ver esa carta con las

que elegido? (Urtzi) Vamos a verlo.

Tenemos que hacer algunas operaciones.

Vamos a ir sumando por parejas contiguas

nuestras cartas. Por ejemplo, 9+7 es 16

pero como sólo tenemos números en las

cartas del 1 al 9

iremos eliminando nueves, es decir,

16 se pasa 7 de 9 así que situamos aquí un 7.

7 + 1 es 8 así que situamos un 8. 1 más 5 es 6

5 + 8 es 13 que también se pasa de 9.

Se pasa de hecho 4, así que situamos aquí un 4

(Miriam) ¿Y ya está? (Urtzi) Todavía no. ahora tenemos

cuatro cartas y repetimos el mismo

proceso

sumando parejas contiguas y eliminando

nueves hasta llegar a la cúspide

[Música]

esto qué es

finalmente 2 + 6 es 8 ¿Crées que habré sido

capaz de adivinarlo?

(Miriam) Supongo que sí porque si no, no

estaríamos aquí grabando

(Urtzi) ¡Tachan! pura matemagia

(Miriam) Mi número favorito (Urtzi) ¡En efecto!

(Miriam) ¿Y siempre sale 8? (Urtzi) No no, podéis repetirlo con cartas

diferentes y veréis que las sumas salen

números diferentes. (Miriam) ¿Tiene que ver con el

triángulo de Pascal?

(Urtzi) Tienes toda la razón. Antes de explicar

cómo se puede adivinar el número de la

cúspide vamos a analizar un poco la suma

que hemos hecho. Para empezar vamos a

escribir las sumas sin eliminar los

nueves. La suma total de la cúspide sería 71.

Para obtener el 8 que nos salía en el

juego basta con dividir 71 entre 9 y

quedarnos con el resto que, en efecto, es 8.

Pero observamos que en esta suma no

todos los números de la base del

triángulo contribuyen igual al resultado 71.

Por ejemplo, el 8 de la esquina,

¿cuántas veces contribuye a la suma 71?

solamente se suma una vez con el 5

contiguo dando 13 de resultado ahora el

13 se suma también solo una vez, y el 19,

y el 33. En definitiva, el 8 de la esquina

sólo contribuye una vez al 71 porque tan

solo tenemos un camino entre el 8 y el 71.

Pero veamos qué sucede con este 5.

El 5 se suma con 8 para dar 13 y ya sabemos

que del 13 el 71 hay un solo camino,

pero también sumamos 5 con el 1 de la derecha

dando el resultado 6, pero el 6 a su vez

se sumaba con 13 dando 19, pero también

con 8 dando 14, y a su vez 14 se suma con

19 para dar 33, pero también se suma con

24 para dar 38.

Finalmente 33 y 38 se suman una vez

dando 71, lo que vemos es que el 5 de la

base del triángulo se suma muchas más

veces, tantas como caminos que conectan

el 5 con el 71. En este caso hay 4 caminos.

Si analizamos cuántas veces contribuye

el 1 del medio a la suma total 71,

nos damos cuenta de que se suma 6 veces,

tantas como caminos que conectan el 1

con el 71

[Música]

[Música]

¿Qué tiene esto que ver con el triángulo

de Pascal?

Recordad que el triángulo de Pascal empezaba

con un triángulo formado por tres 1's,

y construíamos triángulos cada vez más

grandes sumando los números contiguos.

Una forma de interpretar los números que

nos van saliendo es como caminos

diferentes entre la cúspide y cualquier

punto de una retícula triangular

(sin retroceder, claro).

Los dos primeros 1's significan que

para llegar a cada punto sólo hay un camino.

Para llegar al punto del extremo del

tercer nivel sólo podemos hacerlo a

partir del 1 extremo del segundo nivel

al que solo podía llegarse de una forma,

y por tanto, este punto sólo tiene un

camino que lo conecta con la cúspide.

Al punto medio del tercer nivel podemos

llegar desde cualquiera de los dos

puntos situados inmediatamente encima de él.

Estos puntos tienen sendos 1's

porque sólo se llegaba a ellos de una

forma pero entonces para llegar al punto

de enmedio hay 1 + 1 = 2 formas de

llegar.

Vemos que para añadir el número de

formas para llegar a cada punto basta

sumar el número de los puntos

inmediatamente encima de él lo que da

lugar al triángulo de Pascal.

Volvamos entonces a nuestro problema

original: ¿Cómo podemos hacer mentalmente

todas las operaciones para averiguar que

en la cúspide habrá un 8?

Basta con recordar la fila correspondiente del

triángulo de Pascal que en nuestro caso es

1, 4, 6, 4, 1 que nos dice el número de

caminos diferentes para llegar desde

cada carta hasta la cúspide, y haremos

las operaciones 8 por uno más cinco por

cuatro más uno por seis más siete por

cuatro más nueve por uno esto es 8 más

20 mas 6 mas 28 más 9 que da como resultado 71 y

ya sólo nos queda hacer la división 71

entre 9 y el resto es justamente la

solución 8.

¡Pues esto es todo amigos! Espero que os

haya gustado este entretenimiento

matemático veraniego os dejo la

referencia del libro de Martin Gardner

en la descripción del vídeo ¡Hasta luego!

[Música]

La magia del 🔺 Triángulo de Pascal De magie van 🔺 De driehoek van Pascal

¡Hola amigos! Hoy les quiero presentar un

juego mátemágico-veraniego que he

encontrado en este libro de Martin Gardner

que tiene ya las páginas un

poquito amarillentas. (Miriam) Por la portada

parece que está llena de matemagia.

(Urtzi) La verdad es que me gustaban las portadas

de estos libros de Alianza Editorial.

Las nuevas ediciones tienen otros dibujos...

¡Más feos!

(Miriam) Sorprendernos con el truco matemágico

(Urtzi) Para realizarlo necesitaremos una baraja

francesa a la que le quitaremos las

figuras y los dieces

[Música]

Te voy a pedir Miriam que tomes cinco

cartas cualesquiera del mazo,

que pondremos boca arriba sobre la mesa

[Música]

(Miriam) Por aquí ha salido un 9

¿Un As cuenta como 1? (Urtzi) Si, cuenta como 1. (Miriam) Un 5

y mi número favorito el 8.

(Urtzi) Ahora voy a concentrarme un poco ohmmmmmm ¡Ya!

y pondré una carta boca abajo por aquí

(Miriam) ¿Y qué tiene que ver esa carta con las

que elegido? (Urtzi) Vamos a verlo.

Tenemos que hacer algunas operaciones.

Vamos a ir sumando por parejas contiguas

nuestras cartas. Por ejemplo, 9+7 es 16

pero como sólo tenemos números en las

cartas del 1 al 9

iremos eliminando nueves, es decir,

16 se pasa 7 de 9 así que situamos aquí un 7.

7 + 1 es 8 así que situamos un 8. 1 más 5 es 6

5 + 8 es 13 que también se pasa de 9.

Se pasa de hecho 4, así que situamos aquí un 4

(Miriam) ¿Y ya está? (Urtzi) Todavía no. ahora tenemos

cuatro cartas y repetimos el mismo

proceso

sumando parejas contiguas y eliminando

nueves hasta llegar a la cúspide

[Música]

esto qué es

finalmente 2 + 6 es 8 ¿Crées que habré sido

capaz de adivinarlo?

(Miriam) Supongo que sí porque si no, no

estaríamos aquí grabando

(Urtzi) ¡Tachan! pura matemagia

(Miriam) Mi número favorito (Urtzi) ¡En efecto!

(Miriam) ¿Y siempre sale 8? (Urtzi) No no, podéis repetirlo con cartas

diferentes y veréis que las sumas salen

números diferentes. (Miriam) ¿Tiene que ver con el

triángulo de Pascal?

(Urtzi) Tienes toda la razón. Antes de explicar

cómo se puede adivinar el número de la

cúspide vamos a analizar un poco la suma

que hemos hecho. Para empezar vamos a

escribir las sumas sin eliminar los

nueves. La suma total de la cúspide sería 71.

Para obtener el 8 que nos salía en el

juego basta con dividir 71 entre 9 y

quedarnos con el resto que, en efecto, es 8.

Pero observamos que en esta suma no

todos los números de la base del

triángulo contribuyen igual al resultado 71.

Por ejemplo, el 8 de la esquina,

¿cuántas veces contribuye a la suma 71?

solamente se suma una vez con el 5

contiguo dando 13 de resultado ahora el

13 se suma también solo una vez, y el 19,

y el 33. En definitiva, el 8 de la esquina

sólo contribuye una vez al 71 porque tan

solo tenemos un camino entre el 8 y el 71.

Pero veamos qué sucede con este 5.

El 5 se suma con 8 para dar 13 y ya sabemos

que del 13 el 71 hay un solo camino,

pero también sumamos 5 con el 1 de la derecha

dando el resultado 6, pero el 6 a su vez

se sumaba con 13 dando 19, pero también

con 8 dando 14, y a su vez 14 se suma con

19 para dar 33, pero también se suma con

24 para dar 38.

Finalmente 33 y 38 se suman una vez

dando 71, lo que vemos es que el 5 de la

base del triángulo se suma muchas más

veces, tantas como caminos que conectan

el 5 con el 71. En este caso hay 4 caminos.

Si analizamos cuántas veces contribuye

el 1 del medio a la suma total 71,

nos damos cuenta de que se suma 6 veces,

tantas como caminos que conectan el 1

con el 71

[Música]

[Música]

¿Qué tiene esto que ver con el triángulo

de Pascal?

Recordad que el triángulo de Pascal empezaba

con un triángulo formado por tres 1's,

y construíamos triángulos cada vez más

grandes sumando los números contiguos.

Una forma de interpretar los números que

nos van saliendo es como caminos

diferentes entre la cúspide y cualquier

punto de una retícula triangular

(sin retroceder, claro).

Los dos primeros 1's significan que

para llegar a cada punto sólo hay un camino.

Para llegar al punto del extremo del

tercer nivel sólo podemos hacerlo a

partir del 1 extremo del segundo nivel

al que solo podía llegarse de una forma,

y por tanto, este punto sólo tiene un

camino que lo conecta con la cúspide.

Al punto medio del tercer nivel podemos

llegar desde cualquiera de los dos

puntos situados inmediatamente encima de él.

Estos puntos tienen sendos 1's

porque sólo se llegaba a ellos de una

forma pero entonces para llegar al punto

de enmedio hay 1 + 1 = 2 formas de

llegar.

Vemos que para añadir el número de

formas para llegar a cada punto basta

sumar el número de los puntos

inmediatamente encima de él lo que da

lugar al triángulo de Pascal.

Volvamos entonces a nuestro problema

original: ¿Cómo podemos hacer mentalmente

todas las operaciones para averiguar que

en la cúspide habrá un 8?

Basta con recordar la fila correspondiente del

triángulo de Pascal que en nuestro caso es

1, 4, 6, 4, 1 que nos dice el número de

caminos diferentes para llegar desde

cada carta hasta la cúspide, y haremos

las operaciones 8 por uno más cinco por

cuatro más uno por seis más siete por

cuatro más nueve por uno esto es 8 más

20 mas 6 mas 28 más 9 que da como resultado 71 y

ya sólo nos queda hacer la división 71

entre 9 y el resto es justamente la

solución 8.

¡Pues esto es todo amigos! Espero que os

haya gustado este entretenimiento

matemático veraniego os dejo la

referencia del libro de Martin Gardner

en la descripción del vídeo ¡Hasta luego!

[Música]