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Archimedes Tube, La Paradoja de Russell

La Paradoja de Russell

Mucha gente piensa que las matemáticas son una ciencia acabada y pública que poco o

nada se ha hecho desde la época de los griegos no me explico que hago yo impartiendo una

asignatura en el Máster de Matemáticas de la universidad de Málaga que se llama evolución

del pensamiento matemático debería llamarse matemática griega la verdad es que las matemáticas

están y estarán siempre en construcción de hecho la teoría de conjuntos de la que

hablaremos en este vídeo se creó en el siglo 19 y muchas ramas de las matemáticas como

la topología algebraico la teoría de juegos pertenecen al siglo XX

en las matemáticas no sólo ha habido evolución también grandes revoluciones

y una de las más importantes comenzó con la paradoja de Russell que desestabilizó la teoría de conjuntos

y con ello a todo el edificio de las matemáticas empezamos

El germen de esta revolución lo encontramos en el siglo XIX y su corriente axiomática. En este momento se

empezaron a cuestionar ciertas ideas que se daban por hecho como la certeza en el

quinto postulado de Euclides del que ya hablamos en un vídeo.

El poderoso e influyente matemático Leopold Kronecker (1823-1891) había dicho una de

las frases más célebres de la Historia de las Matemáticas

“Dios creó los números, el resto es obra del hombre”

Donde por números se refiera a los naturales, los de contar de toda la vida y que todos

los demás conjuntos numéricos (enteros, racionales, reales, complejos, etc) se

podían construir a partir de estos. Cantor trató de dar una axiomática para

los números naturales basándola en la teoría de conjuntos. Cantor publicó sus ideas en

1883 con el título “Fundamentos para una teoría general de conjuntos”, obra que

tenía como subtítulo “Una investigación matemático-filosófica sobre el infinito”.

En su obra, Cantor pedía perdón por utilizar la idea de infinito como objeto matemático,

pero a pesar de ello enfureció a parte de la comunidad matemática capitaneada por Kronecker

que llegó a presionar a las revistas especializadas para evitar que publicaran sus resultados.

Afortunadamente, algunas figuras relevantes como David Hilbert y Gottlob Frege apoyaron

las teorías de Cantor y este pudo ver reconocida su labor en vida.

Como diría Hilbert “Nadie podrá expulsarnos nunca del paraíso que Cantor creó para nosotros”

Desde el principo, Gottlob Frege (1848-1925) tuvo claro que la teoría de conjuntos de

Cantor era la respuesta a la fundamentación de la matemática. Por ello se convirtió

en uno de lógicos más importantes desde Aristóteles y dedicó su vida a formalizar

con absoluto rigor, con una notación exenta de ambigüedades, la teoría de conjuntos

iniciada por Cantor. Para Frege la capacidad humana para familiarizarse

con los números naturales no podía estar relacionada con la experiencia directa o el

espacio geométrico, sino con el lenguaje y la lógica. Este tipo de interpretación

filosófica de las matemáticas se conoce como LOGICISMO

Frege dedicó toda su vida a esta tarea y en 1879 publicó su primera gran obra, Begriffsschrift,

que podemos traducir como “conceptografía”, definiendo el lenguaje preciso y riguroso

que necesitaba. En 1893 publicó el primer tomo de su ambicioso

proyecto Grundlagen der Arithmetik (Fundamentos de la Aritmética).

Pero en esta obra, para definir los conjuntos, Frege adoptó el “axioma de comprensión”

que afirma que existe cualquier conjunto definido por una propiedad.

Esto que parece tan inocente se convertiría en la mayor pesadilla de la Historia de las

Matemáticas Vamos a ver esto con un poco más de detalle.

También os dejamos el enlace en la descripción del vídeo de la entrada sobre la Paradoja

de Russell de la página de Gaussianos. En ella Miguel Ángel Medina lo explica con mucha

claridad. TOMA 10 (Explicación matemática grabada

con micro) De un modo intuitivo definimos un conjunto

como una colección de cosas a las que llamamos elementos de dicho conjunto. Normalmente escribimos

x perteneca a A para decir que x es un elemento del conjunto A y x no pertenece a A para decir

que x NO es un elemento del conjunto A. Cualquier objeto al que pueda referirse la

matemática es un elemento de un conjunto. Existen conjuntos de números de libros, de

gatitos, etc. Hay dos modos de definir los elementos de

un conjunto: por extensión y por comprensión. Definimos los elementos de un conjunto por

extensión designando a cada uno de ellos en particular. Por ejemplo, el conjunto A

que consta de los elementos 2, 4, 6 y 8. Este conjunto lo escribiremos como: A={2, 4, 6,

8} Es claro que por extensión sólo podemos

definir conjuntos con un número finito de elementos.

Definimos los elementos de un conjunto por comprensión expresando una propiedad que

cumplan todos sus elementos. Por ejemplo, el conjunto A también se puede definir como:

A = { x tales que x es un número natural par menor que 10 }.

La definición de un conjunto por extensión no ofrece problemas, ya que siempre tenemos

una designación clara y efectiva de cuales son sus elementos. La definición por comprensión

puede volverse problemática en el caso de conjuntos con un número infinito de elementos.

Un ejemplo de conjunto con infinitos elementos sería: P = { x tales que x es un número

natural par }. Bueno ¿Y cuál es el problema?

Pues bien, ya hemos dicho que cualquier objeto es elemento de algún conjunto. En particular,

un conjunto también puede ser un elemento de otro conjunto.

Por ejemplo, podemos definir un conjunto cuyos tres elementos sean precisamente los tres

conjuntos de números, libros y gatitos que acabamos de ver.

Consideremos ahora el conjunto cuyos elementos son todos los gatitos del mundo. Está claro

que el conjunto no es un gatito y por tanto no es un elemento de sí mismo.

Los conjuntos que cumplen la condición de no ser elementos del propio conjunto se llaman

conjuntos NORMALES. ¿No son todos los conjuntos de este tipo?

¿De verdad existen conjuntos que se contengan a sí mismo como elemento?

Por ejemplo, pensemos en el conjunto de todos los objetos matemáticos. El propio conjunto

es un objeto matemático, y por tanto es elemento de sí mismo.

O el conjunto de todas las cosas que no son un gatito. Se ve claramente que el conjunto

no es un gatito ¿verdad?, y por tanto debe ser un elemento de sí mismo.

Los conjuntos que se contienen a sí mismos como elementos se denominan conjuntos SINGULARES.

Además tenemos que estas definiciones son exhaustivas y excluyentes: todo conjunto que

podamos forma es normal o singular, y además sólo puede ser de uno de los dos tipos.

Pues ya estamos en disposición de entender la paradoja de Russell!!

Mientras Frege trabajaba en el segundo tomo de sus “Fundamentos de la Aritmética”

un joven matemático británico llamado Bertrand Russell (1872-1970) comenzó a estudiar su

obra “conceptografía” y encontró que gran parte de las ideas en las que estaba

trabajando ya habían sido publicadas por Frege 20 años antes.

A pesar de que Russell al igual que Frege buscaba cimentar el edificio de las matemáticas

lo que descubrió fue más bien una carga explosiva en sus cimientos.

El 16 de Junio de 1902 Frege recibía una carta de Russell que contenía la paradoja

que describiremos y que hizo a Frege parar la impresión de su segundo tomo e incluir

un apéndice al final del libro reconociendo que posiblemente todo el contenido de este

y el primer tomo era erróneo. Russell consideró el conjunto de todos los

conjuntos normales que se pueden formar. Es decir M={x | x no pertenece a x}

Entonces M como conjunto será o bien NORMAL o bien SINGULAR. Si M es normal entonces M

pertenece a M. Pero si M pertenece a M entonces es SINGULAR y por tanto

M no pertenece a M, pero si no pertenece a sí mismo entonces es NORMAL… y podemos

seguir así indefinidamente. Lo que hemos visto es que M pertenece a M

si y solo si M no pertenece a M lo que constituye una contradicción.

Para entender la paradoja vamos a cambiar los conjuntos por Libros e imaginarnos una

biblioteca inmensa en la que estén todos los libros del mundo y reciba un ejemplar

de cualquier libro que se escriba. El bibliotecario un buen día decide ordenar

todos los libros en tan solo dos estanterías altiiiiisimas. En una colocará los libros

que no se incluyen a sí mismo como referencia, llamémosles libros normales. En la otra colocará

los libros que se referencien a sí mismo. Por ejemplo prácticamente todo libro de matemáticas

estará en esta estantería ya que constantemente dicen “por el Teorema A que vimos en la

página X” lo que es una referencia a si mismo. También Alicia en el País de las

Maravillas y El Quijote son de este tipo. A este tipo le llamaremos libros singulares.

Todos los libros que se puedan escribir deben estar en una de estas dos estanterías

¿De verdad estamos tan seguros? Después de ordenarlos el bibliotecario decide

rellenar dos catálogos, uno para la estantería de libros normales con todos los libros de

dicha estantería y otro catálogo para la estantería de libros singulares con todos

los libros de esta estantería. Pero una vez finalizados estos dos catálogos

tiene que decidir en qué estantería colocarlos. El catálogo de libros singulares lo coloca

en la estantería de libros singulares añadiendo una última línea en dicho catálogo “Catálogo

de libros singulares”. Perfecto. Dado que dicho catálogo aparece en la última línea

se referencia a sí mismo y es en esta estantería donde debe estar.

¿Pero el catálogo de libros normales? Si lo coloca en la estantería de libros normales

deberá añadir una última línea que diga “Catálogo de libros normales” pero entonces

automáticamente dejará de ser un libro normal pues se referencia a sí mismo. Así que debe

estar en la estantería de los libros singulares. Pero un momento! Entonces no debe aparecer

en la última línea del catálogo de libros normales pues no lo es. La tachamos.

Pero si tachamos esta línea ya no se referencia a sí mismo y sería un libro normal y debemos

moverlo de estantería. Pero… El catálogo de libros normales parece no

encajar en ninguna de las dos estanterías!!

¡¿ Acaso todo el edificio de las matemáticas es una mera falacia y debemos dejar de confiar

en ella ¿! Alfred North Whitehead, colaborador y amigo

de Russell diría que “nunca habrá otra vez una alegre y confiada mañana”

Si queréis saber si algún superhéroe matemático acudirá al rescate del edificio completo

de las matemáticas dadle like y suscribíos y prepararemos la secuela de esta película.

¡Hasta luego!

La Paradoja de Russell Russell's Paradox De paradox van Russell

Mucha gente piensa que las matemáticas son una ciencia acabada y pública que poco o

nada se ha hecho desde la época de los griegos no me explico que hago yo impartiendo una

asignatura en el Máster de Matemáticas de la universidad de Málaga que se llama evolución

del pensamiento matemático debería llamarse matemática griega la verdad es que las matemáticas of mathematical thought should be called Greek mathematics the truth is that mathematics

están y estarán siempre en construcción de hecho la teoría de conjuntos de la que

hablaremos en este vídeo se creó en el siglo 19 y muchas ramas de las matemáticas como We will talk in this video was created in the 19th century and many branches of mathematics such as

la topología algebraico la teoría de juegos pertenecen al siglo XX

en las matemáticas no sólo ha habido evolución también grandes revoluciones in mathematics there have not only been evolutions, there have also been great revolutions

y una de las más importantes comenzó con la paradoja de Russell que desestabilizó la teoría de conjuntos

y con ello a todo el edificio de las matemáticas empezamos and with it to the whole building of mathematics we begin

El germen de esta revolución lo encontramos en el siglo XIX y su corriente axiomática. En este momento se The germ of this revolution is found in the 19th century and its axiomatic current. At this time it is

empezaron a cuestionar ciertas ideas que se daban por hecho como la certeza en el

quinto postulado de Euclides del que ya hablamos en un vídeo. Euclid's fifth postulate that we already talked about in a video.

El poderoso e influyente matemático Leopold Kronecker (1823-1891) había dicho una de

las frases más célebres de la Historia de las Matemáticas

“Dios creó los números, el resto es obra del hombre”

Donde por números se refiera a los naturales, los de contar de toda la vida y que todos Where by numbers it refers to the natural ones, those of counting of a lifetime and that all

los demás conjuntos numéricos (enteros, racionales, reales, complejos, etc) se the other numerical sets (integers, rational, real, complex, etc.) are

podían construir a partir de estos. Cantor trató de dar una axiomática para they could build from these. Cantor tried to give an axiomatic for

los números naturales basándola en la teoría de conjuntos. Cantor publicó sus ideas en

1883 con el título “Fundamentos para una teoría general de conjuntos”, obra que

tenía como subtítulo “Una investigación matemático-filosófica sobre el infinito”.

En su obra, Cantor pedía perdón por utilizar la idea de infinito como objeto matemático, In his work, Cantor apologized for using the idea of infinity as a mathematical object,

pero a pesar de ello enfureció a parte de la comunidad matemática capitaneada por Kronecker

que llegó a presionar a las revistas especializadas para evitar que publicaran sus resultados. that came to pressure specialized magazines to prevent them from publishing their results.

Afortunadamente, algunas figuras relevantes como David Hilbert y Gottlob Frege apoyaron

las teorías de Cantor y este pudo ver reconocida su labor en vida. Cantor's theories and he was able to see his work recognized in life.

Como diría Hilbert “Nadie podrá expulsarnos nunca del paraíso que Cantor creó para nosotros” As Hilbert would say "No one can ever expel us from the paradise that Cantor created for us"

Desde el principo, Gottlob Frege (1848-1925) tuvo claro que la teoría de conjuntos de From the beginning, Gottlob Frege (1848-1925) was clear that the theory of sets of

Cantor era la respuesta a la fundamentación de la matemática. Por ello se convirtió Cantor was the answer to the foundation of mathematics. For this he became

en uno de lógicos más importantes desde Aristóteles y dedicó su vida a formalizar

con absoluto rigor, con una notación exenta de ambigüedades, la teoría de conjuntos

iniciada por Cantor. Para Frege la capacidad humana para familiarizarse

con los números naturales no podía estar relacionada con la experiencia directa o el

espacio geométrico, sino con el lenguaje y la lógica. Este tipo de interpretación

filosófica de las matemáticas se conoce como LOGICISMO

Frege dedicó toda su vida a esta tarea y en 1879 publicó su primera gran obra, Begriffsschrift,

que podemos traducir como “conceptografía”, definiendo el lenguaje preciso y riguroso that we can translate as "concept", defining the precise and rigorous language

que necesitaba. En 1893 publicó el primer tomo de su ambicioso that I needed. In 1893 he published the first volume of his ambitious

proyecto Grundlagen der Arithmetik (Fundamentos de la Aritmética).

Pero en esta obra, para definir los conjuntos, Frege adoptó el “axioma de comprensión”

que afirma que existe cualquier conjunto definido por una propiedad. which asserts that any set defined by a property exists.

Esto que parece tan inocente se convertiría en la mayor pesadilla de la Historia de las

Matemáticas Vamos a ver esto con un poco más de detalle. Math Let's look at this in a little more detail.

También os dejamos el enlace en la descripción del vídeo de la entrada sobre la Paradoja We also leave you the link in the description of the video of the entry about the Paradox

de Russell de la página de Gaussianos. En ella Miguel Ángel Medina lo explica con mucha

claridad. TOMA 10 (Explicación matemática grabada

con micro) De un modo intuitivo definimos un conjunto

como una colección de cosas a las que llamamos elementos de dicho conjunto. Normalmente escribimos

x perteneca a A para decir que x es un elemento del conjunto A y x no pertenece a A para decir

que x NO es un elemento del conjunto A. Cualquier objeto al que pueda referirse la that x is NOT an element of the set A. Any object that the

matemática es un elemento de un conjunto. Existen conjuntos de números de libros, de

gatitos, etc. Hay dos modos de definir los elementos de

un conjunto: por extensión y por comprensión. Definimos los elementos de un conjunto por

extensión designando a cada uno de ellos en particular. Por ejemplo, el conjunto A

que consta de los elementos 2, 4, 6 y 8. Este conjunto lo escribiremos como: A={2, 4, 6,

8} Es claro que por extensión sólo podemos

definir conjuntos con un número finito de elementos.

Definimos los elementos de un conjunto por comprensión expresando una propiedad que

cumplan todos sus elementos. Por ejemplo, el conjunto A también se puede definir como:

A = { x tales que x es un número natural par menor que 10 }.

La definición de un conjunto por extensión no ofrece problemas, ya que siempre tenemos

una designación clara y efectiva de cuales son sus elementos. La definición por comprensión

puede volverse problemática en el caso de conjuntos con un número infinito de elementos.

Un ejemplo de conjunto con infinitos elementos sería: P = { x tales que x es un número

natural par }. Bueno ¿Y cuál es el problema?

Pues bien, ya hemos dicho que cualquier objeto es elemento de algún conjunto. En particular,

un conjunto también puede ser un elemento de otro conjunto.

Por ejemplo, podemos definir un conjunto cuyos tres elementos sean precisamente los tres

conjuntos de números, libros y gatitos que acabamos de ver. sets of numbers, books and kittens we just saw.

Consideremos ahora el conjunto cuyos elementos son todos los gatitos del mundo. Está claro

que el conjunto no es un gatito y por tanto no es un elemento de sí mismo. that the whole is not a kitten and therefore is not an element of itself.

Los conjuntos que cumplen la condición de no ser elementos del propio conjunto se llaman

conjuntos NORMALES. ¿No son todos los conjuntos de este tipo?

¿De verdad existen conjuntos que se contengan a sí mismo como elemento? Are there really sets that contain themselves as an element?

Por ejemplo, pensemos en el conjunto de todos los objetos matemáticos. El propio conjunto

es un objeto matemático, y por tanto es elemento de sí mismo. it is a mathematical object, and therefore it is an element of itself.

O el conjunto de todas las cosas que no son un gatito. Se ve claramente que el conjunto

no es un gatito ¿verdad?, y por tanto debe ser un elemento de sí mismo.

Los conjuntos que se contienen a sí mismos como elementos se denominan conjuntos SINGULARES.

Además tenemos que estas definiciones son exhaustivas y excluyentes: todo conjunto que

podamos forma es normal o singular, y además sólo puede ser de uno de los dos tipos.

Pues ya estamos en disposición de entender la paradoja de Russell!! Well, we are now in a position to understand Russell's paradox!

Mientras Frege trabajaba en el segundo tomo de sus “Fundamentos de la Aritmética”

un joven matemático británico llamado Bertrand Russell (1872-1970) comenzó a estudiar su

obra “conceptografía” y encontró que gran parte de las ideas en las que estaba

trabajando ya habían sido publicadas por Frege 20 años antes.

A pesar de que Russell al igual que Frege buscaba cimentar el edificio de las matemáticas Although Russell, like Frege, sought to cement the edifice of mathematics

lo que descubrió fue más bien una carga explosiva en sus cimientos.

El 16 de Junio de 1902 Frege recibía una carta de Russell que contenía la paradoja

que describiremos y que hizo a Frege parar la impresión de su segundo tomo e incluir

un apéndice al final del libro reconociendo que posiblemente todo el contenido de este

y el primer tomo era erróneo. Russell consideró el conjunto de todos los

conjuntos normales que se pueden formar. Es decir M={x | x no pertenece a x}

Entonces M como conjunto será o bien NORMAL o bien SINGULAR. Si M es normal entonces M

pertenece a M. Pero si M pertenece a M entonces es SINGULAR y por tanto

M no pertenece a M, pero si no pertenece a sí mismo entonces es NORMAL… y podemos

seguir así indefinidamente. Lo que hemos visto es que M pertenece a M

si y solo si M no pertenece a M lo que constituye una contradicción.

Para entender la paradoja vamos a cambiar los conjuntos por Libros e imaginarnos una

biblioteca inmensa en la que estén todos los libros del mundo y reciba un ejemplar

de cualquier libro que se escriba. El bibliotecario un buen día decide ordenar of any book that is written. The librarian one fine day decides to order

todos los libros en tan solo dos estanterías altiiiiisimas. En una colocará los libros all the books on just two very tall shelves. In one he will place the books

que no se incluyen a sí mismo como referencia, llamémosles libros normales. En la otra colocará They don't include themselves for reference, let's call them normal books. In the other he will place

los libros que se referencien a sí mismo. Por ejemplo prácticamente todo libro de matemáticas self-referenced books. For example practically every math book

estará en esta estantería ya que constantemente dicen “por el Teorema A que vimos en la will be on this shelf since they constantly say “by Theorem A that we saw in

página X” lo que es una referencia a si mismo. También Alicia en el País de las

Maravillas y El Quijote son de este tipo. A este tipo le llamaremos libros singulares.

Todos los libros que se puedan escribir deben estar en una de estas dos estanterías

¿De verdad estamos tan seguros? Después de ordenarlos el bibliotecario decide Are we really that sure? After ordering them the librarian decides

rellenar dos catálogos, uno para la estantería de libros normales con todos los libros de

dicha estantería y otro catálogo para la estantería de libros singulares con todos

los libros de esta estantería. Pero una vez finalizados estos dos catálogos

tiene que decidir en qué estantería colocarlos. El catálogo de libros singulares lo coloca

en la estantería de libros singulares añadiendo una última línea en dicho catálogo “Catálogo

de libros singulares”. Perfecto. Dado que dicho catálogo aparece en la última línea

se referencia a sí mismo y es en esta estantería donde debe estar.

¿Pero el catálogo de libros normales? Si lo coloca en la estantería de libros normales

deberá añadir una última línea que diga “Catálogo de libros normales” pero entonces

automáticamente dejará de ser un libro normal pues se referencia a sí mismo. Así que debe

estar en la estantería de los libros singulares. Pero un momento! Entonces no debe aparecer

en la última línea del catálogo de libros normales pues no lo es. La tachamos. in the last line of the normal book catalog it is not. We crossed it out.

Pero si tachamos esta línea ya no se referencia a sí mismo y sería un libro normal y debemos

moverlo de estantería. Pero… El catálogo de libros normales parece no

encajar en ninguna de las dos estanterías!!

¡¿ Acaso todo el edificio de las matemáticas es una mera falacia y debemos dejar de confiar

en ella ¿! Alfred North Whitehead, colaborador y amigo

de Russell diría que “nunca habrá otra vez una alegre y confiada mañana” of Russell would say that "there will never again be a joyful and confident tomorrow"

Si queréis saber si algún superhéroe matemático acudirá al rescate del edificio completo

de las matemáticas dadle like y suscribíos y prepararemos la secuela de esta película.

¡Hasta luego!