La Paradoja de Russell
Mucha gente piensa que las matemáticas son una ciencia acabada y pública que poco o
nada se ha hecho desde la época de los griegos no me explico que hago yo impartiendo una
asignatura en el Máster de Matemáticas de la universidad de Málaga que se llama evolución
del pensamiento matemático debería llamarse matemática griega la verdad es que las matemáticas
están y estarán siempre en construcción de hecho la teoría de conjuntos de la que
hablaremos en este vídeo se creó en el siglo 19 y muchas ramas de las matemáticas como
la topología algebraico la teoría de juegos pertenecen al siglo XX
en las matemáticas no sólo ha habido evolución también grandes revoluciones
y una de las más importantes comenzó con la paradoja de Russell que desestabilizó la teoría de conjuntos
y con ello a todo el edificio de las matemáticas empezamos
El germen de esta revolución lo encontramos en el siglo XIX y su corriente axiomática. En este momento se
empezaron a cuestionar ciertas ideas que se daban por hecho como la certeza en el
quinto postulado de Euclides del que ya hablamos en un vídeo.
El poderoso e influyente matemático Leopold Kronecker (1823-1891) había dicho una de
las frases más célebres de la Historia de las Matemáticas
“Dios creó los números, el resto es obra del hombre”
Donde por números se refiera a los naturales, los de contar de toda la vida y que todos
los demás conjuntos numéricos (enteros, racionales, reales, complejos, etc) se
podían construir a partir de estos. Cantor trató de dar una axiomática para
los números naturales basándola en la teoría de conjuntos. Cantor publicó sus ideas en
1883 con el título “Fundamentos para una teoría general de conjuntos”, obra que
tenía como subtítulo “Una investigación matemático-filosófica sobre el infinito”.
En su obra, Cantor pedía perdón por utilizar la idea de infinito como objeto matemático,
pero a pesar de ello enfureció a parte de la comunidad matemática capitaneada por Kronecker
que llegó a presionar a las revistas especializadas para evitar que publicaran sus resultados.
Afortunadamente, algunas figuras relevantes como David Hilbert y Gottlob Frege apoyaron
las teorías de Cantor y este pudo ver reconocida su labor en vida.
Como diría Hilbert “Nadie podrá expulsarnos nunca del paraíso que Cantor creó para nosotros”
Desde el principo, Gottlob Frege (1848-1925) tuvo claro que la teoría de conjuntos de
Cantor era la respuesta a la fundamentación de la matemática. Por ello se convirtió
en uno de lógicos más importantes desde Aristóteles y dedicó su vida a formalizar
con absoluto rigor, con una notación exenta de ambigüedades, la teoría de conjuntos
iniciada por Cantor. Para Frege la capacidad humana para familiarizarse
con los números naturales no podía estar relacionada con la experiencia directa o el
espacio geométrico, sino con el lenguaje y la lógica. Este tipo de interpretación
filosófica de las matemáticas se conoce como LOGICISMO
Frege dedicó toda su vida a esta tarea y en 1879 publicó su primera gran obra, Begriffsschrift,
que podemos traducir como “conceptografía”, definiendo el lenguaje preciso y riguroso
que necesitaba. En 1893 publicó el primer tomo de su ambicioso
proyecto Grundlagen der Arithmetik (Fundamentos de la Aritmética).
Pero en esta obra, para definir los conjuntos, Frege adoptó el “axioma de comprensión”
que afirma que existe cualquier conjunto definido por una propiedad.
Esto que parece tan inocente se convertiría en la mayor pesadilla de la Historia de las
Matemáticas Vamos a ver esto con un poco más de detalle.
También os dejamos el enlace en la descripción del vídeo de la entrada sobre la Paradoja
de Russell de la página de Gaussianos. En ella Miguel Ángel Medina lo explica con mucha
claridad. TOMA 10 (Explicación matemática grabada
con micro) De un modo intuitivo definimos un conjunto
como una colección de cosas a las que llamamos elementos de dicho conjunto. Normalmente escribimos
x perteneca a A para decir que x es un elemento del conjunto A y x no pertenece a A para decir
que x NO es un elemento del conjunto A. Cualquier objeto al que pueda referirse la
matemática es un elemento de un conjunto. Existen conjuntos de números de libros, de
gatitos, etc. Hay dos modos de definir los elementos de
un conjunto: por extensión y por comprensión. Definimos los elementos de un conjunto por
extensión designando a cada uno de ellos en particular. Por ejemplo, el conjunto A
que consta de los elementos 2, 4, 6 y 8. Este conjunto lo escribiremos como: A={2, 4, 6,
8} Es claro que por extensión sólo podemos
definir conjuntos con un número finito de elementos.
Definimos los elementos de un conjunto por comprensión expresando una propiedad que
cumplan todos sus elementos. Por ejemplo, el conjunto A también se puede definir como:
A = { x tales que x es un número natural par menor que 10 }.
La definición de un conjunto por extensión no ofrece problemas, ya que siempre tenemos
una designación clara y efectiva de cuales son sus elementos. La definición por comprensión
puede volverse problemática en el caso de conjuntos con un número infinito de elementos.
Un ejemplo de conjunto con infinitos elementos sería: P = { x tales que x es un número
natural par }. Bueno ¿Y cuál es el problema?
Pues bien, ya hemos dicho que cualquier objeto es elemento de algún conjunto. En particular,
un conjunto también puede ser un elemento de otro conjunto.
Por ejemplo, podemos definir un conjunto cuyos tres elementos sean precisamente los tres
conjuntos de números, libros y gatitos que acabamos de ver.
Consideremos ahora el conjunto cuyos elementos son todos los gatitos del mundo. Está claro
que el conjunto no es un gatito y por tanto no es un elemento de sí mismo.
Los conjuntos que cumplen la condición de no ser elementos del propio conjunto se llaman
conjuntos NORMALES. ¿No son todos los conjuntos de este tipo?
¿De verdad existen conjuntos que se contengan a sí mismo como elemento?
Por ejemplo, pensemos en el conjunto de todos los objetos matemáticos. El propio conjunto
es un objeto matemático, y por tanto es elemento de sí mismo.
O el conjunto de todas las cosas que no son un gatito. Se ve claramente que el conjunto
no es un gatito ¿verdad?, y por tanto debe ser un elemento de sí mismo.
Los conjuntos que se contienen a sí mismos como elementos se denominan conjuntos SINGULARES.
Además tenemos que estas definiciones son exhaustivas y excluyentes: todo conjunto que
podamos forma es normal o singular, y además sólo puede ser de uno de los dos tipos.
Pues ya estamos en disposición de entender la paradoja de Russell!!
Mientras Frege trabajaba en el segundo tomo de sus “Fundamentos de la Aritmética”
un joven matemático británico llamado Bertrand Russell (1872-1970) comenzó a estudiar su
obra “conceptografía” y encontró que gran parte de las ideas en las que estaba
trabajando ya habían sido publicadas por Frege 20 años antes.
A pesar de que Russell al igual que Frege buscaba cimentar el edificio de las matemáticas
lo que descubrió fue más bien una carga explosiva en sus cimientos.
El 16 de Junio de 1902 Frege recibía una carta de Russell que contenía la paradoja
que describiremos y que hizo a Frege parar la impresión de su segundo tomo e incluir
un apéndice al final del libro reconociendo que posiblemente todo el contenido de este
y el primer tomo era erróneo. Russell consideró el conjunto de todos los
conjuntos normales que se pueden formar. Es decir M={x | x no pertenece a x}
Entonces M como conjunto será o bien NORMAL o bien SINGULAR. Si M es normal entonces M
pertenece a M. Pero si M pertenece a M entonces es SINGULAR y por tanto
M no pertenece a M, pero si no pertenece a sí mismo entonces es NORMAL… y podemos
seguir así indefinidamente. Lo que hemos visto es que M pertenece a M
si y solo si M no pertenece a M lo que constituye una contradicción.
Para entender la paradoja vamos a cambiar los conjuntos por Libros e imaginarnos una
biblioteca inmensa en la que estén todos los libros del mundo y reciba un ejemplar
de cualquier libro que se escriba. El bibliotecario un buen día decide ordenar
todos los libros en tan solo dos estanterías altiiiiisimas. En una colocará los libros
que no se incluyen a sí mismo como referencia, llamémosles libros normales. En la otra colocará
los libros que se referencien a sí mismo. Por ejemplo prácticamente todo libro de matemáticas
estará en esta estantería ya que constantemente dicen “por el Teorema A que vimos en la
página X” lo que es una referencia a si mismo. También Alicia en el País de las
Maravillas y El Quijote son de este tipo. A este tipo le llamaremos libros singulares.
Todos los libros que se puedan escribir deben estar en una de estas dos estanterías
¿De verdad estamos tan seguros? Después de ordenarlos el bibliotecario decide
rellenar dos catálogos, uno para la estantería de libros normales con todos los libros de
dicha estantería y otro catálogo para la estantería de libros singulares con todos
los libros de esta estantería. Pero una vez finalizados estos dos catálogos
tiene que decidir en qué estantería colocarlos. El catálogo de libros singulares lo coloca
en la estantería de libros singulares añadiendo una última línea en dicho catálogo “Catálogo
de libros singulares”. Perfecto. Dado que dicho catálogo aparece en la última línea
se referencia a sí mismo y es en esta estantería donde debe estar.
¿Pero el catálogo de libros normales? Si lo coloca en la estantería de libros normales
deberá añadir una última línea que diga “Catálogo de libros normales” pero entonces
automáticamente dejará de ser un libro normal pues se referencia a sí mismo. Así que debe
estar en la estantería de los libros singulares. Pero un momento! Entonces no debe aparecer
en la última línea del catálogo de libros normales pues no lo es. La tachamos.
Pero si tachamos esta línea ya no se referencia a sí mismo y sería un libro normal y debemos
moverlo de estantería. Pero… El catálogo de libros normales parece no
encajar en ninguna de las dos estanterías!!
¡¿ Acaso todo el edificio de las matemáticas es una mera falacia y debemos dejar de confiar
en ella ¿! Alfred North Whitehead, colaborador y amigo
de Russell diría que “nunca habrá otra vez una alegre y confiada mañana”
Si queréis saber si algún superhéroe matemático acudirá al rescate del edificio completo
de las matemáticas dadle like y suscribíos y prepararemos la secuela de esta película.
¡Hasta luego!
