Teorema Fundamental de la Aritmética Fundamental Theorem of Arithmetic Théorème fondamental de l'arithmétique Fundamentele stelling van rekenen Podstawowe twierdzenie arytmetyki

Hola a todos hoy vamos a hablar del Teorema Fundamental de la Aritmética Hello everyone, today we are going to talk about the Fundamental Theorem of Arithmetic

pero si es tan fundamental merecería un letrero un poco más vistoso but if it is so fundamental, it would deserve a slightly more colorful sign

eso está mejor. Este teorema también es conocido como el teorema de that's better. This theorem is also known as the theorem of

factoricación única, pero antes que nada me gusta presentar siempre a los unique factoring, but first of all I always like to present to the

protagonistas de la película a la izquierda tenemos a Euclides de alejandría el

padre de la geometría y a mi derecha tenemos a Johan Carl Friedrich Gauss el

príncipe de las matemáticas. Pero os preguntaréis porque he puesto a

construir a estos dos titanes un muro de ladrillos a pleno sol, sencillamente para build these two titans a brick wall in full sun, simply to

ilustrar que nuestro teorema de hoy que viene a decir que los números primos son

los ladrillos con los que construimos todos los demás números.

También os preguntaréis por qué entre nuestros dos protagonistas hay un

intervalo de aproximadamente 2000 años. Resulta que el teorema fundamental de la

aritmética aparece ya en el mayor best-seller de

las de las matemáticas: Los Elementos de Euclides, aquí tenéis un fragmento de la

obra original aunque posteriormente se ha reeditado muchas veces y a día de hoy original work although later it has been reissued many times and today

se sigue leyendo. Sin embargo la prueba de nuestro teorema que aparecía en dicha is still reading. However, the proof of our theorem that appeared in said

obra estaba incompleta y no es hasta 1801 cuando aparece una prueba completa y

rigurosa en un pequeño librito llamado Disquisitiones arithmeticae de nuestro

genial Gauss. Pero llevo un rato aquí hablando con un ladrillo y todavía no he cool Gauss. But I've been here talking to a brick for a while and I still haven't

dicho en qué consiste el Teorema Fundamental de la Aritmética. Dejadme que said what the Fundamental Theorem of Arithmetic consists of. let me what

os lo explique con un ejemplo: consideremos un número por ejemplo 210

este número se puede escribir como un producto por ejemplo como 6 por 35 pero

también lo podríamos escribir como 5 por 42 o como 7 por 30 o incluso como un

producto de tres números como 2 por 7 por 15 o 3 por 5 por 14 o incluso como

un producto de 4 como 2 por 3 por 5 por 7. Pues esta

última factorización tiene una característica muy especial que es que

todos sus factores son números primos. 2, 3, 5 y 7. Pues bien esto es justamente all its factors are prime numbers. 2, 3, 5 and 7. Well this is precisely lo que nos va a decir el Teorema fundamental de la aritmética o el

Teorema de Factorización única, que todo número se puede escribir como un

producto de números primos y además de forma única. product of prime numbers and also uniquely.

Vamos a obtener la descomposición en factores primos de 1.078. Para eso vamos

a utilizar que conocemos los los primeros números primos, de hecho podemos to use that we know the first prime numbers, in fact we can

conocer los números primos entre 1 y cualquier número que queramos utilizando

lo que vimos en un vídeo anterior que se llamaba la criba de eratóstenes. what we saw in a previous video called the sieve of eratosthenes.

Sabemos que los números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 etcétera y también

sabemos decidir si un número se puede dividir entre un número primo de forma

rápida utilizando los criterios de divisibilidad que también hemos visto en

vídeos anteriores. Entonces, vamos a empezar a intentar dividir nuestro

número entre los primeros números primos. Empezaremos por el 2 ¿se puede dividir

1.078 entre 2? Sí porque la última cifra es par, es 8, entonces hacemos aquí la

división y nos sale 539. Probamos otra vez a dividirlo entre

2 pero en este caso la última cifra es 9 que es impar y por tanto no se puede

dividir entre 2. Bueno pues probemos con el siguiente

número primo que es 3, para ello sumamos sus cifras

53 más 9 que nos da 17 y como no es múltiplo de 3 no se puede dividir entre 3

Bien, lo descartamos pues el siguiente primo sería 5. ¿Podemos dividir este

número entre 5? Tampoco porque su última cifra no es ni 0 ni 5. El siguiente primo

es 7. Bueno para ver si no podemos dividir entre 7 también tenemos un criterio de divisibilidad, pero en este caso casi es más fácil más fácil hacer directamente divisibility, but in this case it is almost easier easier to do directly

la división y nos sale exacta y el cociente es justamente 77, pues seguimos. the division and it comes out exact and the quotient is precisely 77, as we continue.

Fijaros que ahora no tenemos que volver a intentar dividir entre los

primeros números primos porque si ha fallado en dos una vez ya va a fallar first prime numbers because if you have missed two once you are going to miss

siempre. Si ha fallado el 3 ya va a fallar siempre. Estábamos entonces con el 7

pues probamos de nuevo en el 7 y claramente 77 se puede dividir entre 7 y Well, we try again at 7 and clearly 77 can be divided by 7 and

nos da 11 bien ya no podemos probar con el 7 porque lo que nos ha salido aquí un

número primo 11 por tanto sólo se puede dividir entre él.

Así que dividimos entre 11 y nos sale 1. Una vez que hemos llegado aquí y tenemos un 1

Pues ya tendremos nuestra factorización

del número en factores primos porque 1.078 se puede escribir como el producto

de los números primos que nos han salido en esa columna. Es decir tenemos que en

1.078 es 2 por 7 por 7 por 11 o escribiendo los de de forma más

compacta 2 por 7 al cuadrado por 11. Espero que os haya quedado claro el

Teorema Fundamental de la Aritmética. Nos vemos en el próximo vídeo. ¡Hasta luego!

no no