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李永樂老師, 民科盛宴冰雹猜想:小学生都能看懂,专业数学家80年都证不出来
民科 盛宴 冰雹 猜想 : 小学生 都 能看懂 , 专业 数学家 80 年 都 证 不 出来
各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師
最近 有 小朋友 跟 我 說
他 從小 就 有 一個 夢想
希望 解決 一個 數學 猜想 從此 名揚天下
但是 讀書 又 不 多
所以 如果 用 高等數學 表述 的 問題 他 就 看不懂
能 不能 給他 介紹 一個 類似 於 哥德巴赫猜想 這樣
看起來 非常簡單
但是 又 沒有 人 能夠 證出來 的 問題 呢
那 今天 就給 大家 介紹 一個 有趣 的 數學 猜想
冰雹 猜想
冰雹 猜想 是 在 1937 年 的 時候
由 德國 的 數學家 考拉 茲 提出 的
所以 也 叫做 考拉 茲 猜想
考拉 茲 說 如果 你給 我 一個 任意 的 正整數
這個 正整數 是 多少 都 可以
正整數 N
然後 你 對 這個 正整數 重 復 一個 操作
重 復 進行 一個 操作
什 麽 操作 呢
那 就是 假如 這個 正整數 N 它 是 一個 奇數
那 麽 你 就 把 這個 N 換成 3N+1
就是 乘以 3 再加 1
如果 它 不是 一個 奇數 而是 一個 偶數
如果 這個 數它 是 一個 偶數
你 就 把 這個 數 除以 2 變成 (1/2)N
然後 再重 復 就是 反反 復 復 地 做 這個 操作
是 奇數 就 乘以 3 加 1 是 偶數 就 除以 2
經過 很多很多 次 之後
你 會 發現 這個 數列 會 落入 一個 循環
我們 舉 個例 子
比如說 我們 從 N 等於 6 出發 6 是 一個 偶數
它 要 除以 2 除以 2 就 變成 3 了
3 是 個 奇數 乘以 3 加 1 就是 10
10 是 個 偶數 除以 2 是 5
5 是 個 奇數 乘以 3 加 1 16
16 偶數 除以 2 8 是 偶數 除以 2
4 是 偶數 除以 2 2 是 偶數 除以 2 變成 1
1 是 奇數 要 乘以 3 加 1
而 1 乘以 3 加 1 是 幾 是 4
所以 它 就 又 回到 4 了 對 不 對
4 再 除以 2 又 是 2 2 除以 2 又 是 1
然後 1 再 乘以 3 加 1 又 回到 4
所以 最後 它會 落入 4 2 1 循環 對 吧
好 咱們 再 來看
假如 我們 不 是從 6 出發 的
而 是從 7 出發 又 如何 呢
7 是 奇數 乘以 3 加 1 22
偶數 除以 2 11
奇數 乘以 3 加 1 34
34 偶數 除以 2 17
奇數 乘以 3 加 1 52
偶數 除以 2 是 26
繼續 26 除以 2 13
13 乘以 3 加 1 40
40 除以 2 20 20 除以 2 是 10
10 在 哪 呢
好像 剛才 我們 算過 對 不 對
後面 一定 是 5 16 8 4 2 1 我 就 不 寫 了
所以 這個 10
它 實際上 就 已經 回到 這 一條 鏈 上去 了
最終 它 也 會 回到 4 2 1 循環 是不是
我們 甚至 還 可以 搞 一個 大 一點 的數
比如說 27 27 這個 數是 比較 特殊 的
它 先 變成 82 然後 又 變成 41 對 吧
然後 一次 又 一次 地變
最多 它 能變 到 9232 這 麽 大
但是 最後 它 依然 是 回到 了 4 2 1 循環
最後 回到 1 了
也就是說 經過 很多很多 次 操作 之後
你 一定 會 落入 4 2 1
然後 再 回到 4 這 麽 一個 循環
那 我們 經過 很 多次 驗證 發現
許許多多 的 數都 滿足 這個 規律
那 是不是 所有 的 自然數 做 這個 操作 之後
最後 都 會 落入 到 4 2 1 循環 呢
它 就 叫做 考拉 茲 猜想
而且 你 會 發現 這些 個數 字
一會兒 大 一會兒 小 一會兒 大 一會兒 小
非常 像 冰雹
冰雹 在 空中 受到 上升 氣流 的 影響
有 可能 會 上升
過 一會兒 它 大 了 托 不住 它 又 下降
過 一會兒 它 又 上升 一會兒 又 下降
最終 會落 回到 地面 上 是 吧
所以 上上下下 的 像 冰雹 一樣
所以 也 叫做 冰雹 猜想
那 這個 猜想 從 1937 年 提 出來 之後
到 現在 80 多年 了
數學家 們 還是 沒有 解決 它
當然 了 我們 還 可以 再 挑 一些 數字 去 驗證
並且 找到 某 一些 規律 找到 某 一些 規律
舉 個例 子 來講
人們 拿 很多 數字 去 驗證 它
看一看 就 這些 數回 到 1 需要 多少 個 步驟
人們 就 發現 說
在 N 小於 10 的 時候
N 等於 9 它 的 步驟 是 最 多 的
需要 多少 步 呢
需要 19 步 才能 回到 1
反正 也 能 回到 1
如果 是 N 小於 100 的數
從 N 等於 97 開始
它 回到 1 的 步驟 是 最 多 的
它 需要 118 步
如果 是 小於 1000 的話
從 N 等於 871 開始 回到 1 的數
那個 步驟 最 多 需要 178 步
如果 是 小於 10000 的話
就 是從 N 等於 6171 開始 回到 1 的 步驟 最 多
它 需要 261 步
反正 我 驗證 的 這些 數 不管 你 從 幾 開始
最終 都 會 回到 1
只不過 步驟 是 有 多 有 少 的
人們 對 N 小於 2⁶⁸ 以內
所有 的 正整數 都 進行 了 驗證
結果 發現 每 一個 正整數 這個 規律 都 是 成立 的
但是 你 驗證 了 這 麽 多 數字 都 成立
並不 就 意味著 所有 的 數字 都 成立 對 不 對
因為 整數 有 無窮 多個
你 驗證 了 這 麽 多 其實 還是 遠遠不夠 的
人們 對於 這個 問題
除了 可以 畫出 這個 數字 上下跳動 的
這個 冰雹 曲線 以外
還 能夠 畫出 很多 其它 有趣 的 圖
比如說 人們 可以 畫出 一個 珊瑚 圖 珊瑚 圖
珊瑚 圖是 什 麽 意思 呢
就是 你 最終 的 數字 不是 落 回到 1 了 嘛 對 不 對
1 是 怎 麽 出來 的 呢
1 應該 是 2/2 得到 的 對 不 對
2 是 怎 麽 出來 的
2 應該 是 4/2 得到 的
4 是 8/2 得到 的
這都 沒 啥 問題 吧
8 是 16/2 得到 的
16 是 32/2 得到 的
32 是 64/2 得到 的
64 是 128/2 得到 的 等等 吧
你 後面 還 可以 再 繼續 寫
但是 你 仔細觀察
16 不 一定 是 32/2 得到 的
因為 如果 你 上 一個 數字 是 5 的話
那 5×3+1 也 是 16 對 不 對
所以 16 也 有 可能 是從 5×3+1 得到 的
而 5 有 可能 是 10/2 得到 的
10 有 可能 是 20/2 得到 的
20 是 40/2 得到 的
咱們 再 看 這個 10 又 可能 是 怎 麽 來 的
10 除 的 是 20/2 以外
還有 可能 是 3×3+1 得到 的 對 不 對
所以 也 可能 上 一個 數字 是 3
3 上 一個 數字 是 6 等等 吧
你 會 發現 我們 可以 把 這些 數字
畫成 一個 非常 龐大 的 一個 圖
長 得 像 珊瑚 一樣
如果 所有 的 正整數
都 在 這個 珊瑚 圖中 能夠 找到 的話
那 是不是 就 說明 考拉 茲 猜想 是 成立 的 對 不 對
但 這件 事兒 還 沒有 證明 出來
咱們 可以 設想 一下
假如 我 能夠 找到 一個 反例
這個 反例 不在 我 這個 珊瑚 圖上
那 它 應該 是 什 麽 樣子 的
假如 能夠 找到 反例 的話
反例 其實 也 無外乎 是 兩種 可能
第一種 可能 就是 你 從 一個 數字 x₁ 出發
然後 第二個 數字 叫 x₂ 第三個 數字 叫 x₃
然後 一直 可以 到 多少 可以 到 無窮
這個 數列 它 就 沒有 1
因為 它 一直 都 長大 長 到 無窮大
這是 有 可能 的 第一個 情況
第二種 情況 就是說 你 從 一個 數字 x₁ 出發
到 x₂ 到 x₃ ...
然後 一直 到 某 一個 數字 叫 xₙ
然後 這個 xₙ 在 算 下 一 個數 的 時候
它 又 回到 了 x₁ 它 又 回到 了 x₁
但是 這個 數列 裏邊 這個 循環 裏邊
它 不 含有 數字 1
如果 你 有 這樣 一個 循環
這個 循環 又 沒有 1 的話
那 也 說明 了 考拉 茲 猜想 是 不 正確 的
但是 到 目前 為止
人們 這 兩種 反例 都 沒有 找到
好像 所有 的 正整數 的確 都 在 這個 珊瑚樹 中 一樣
這個 猜想 描述 起來 非常簡單
小學生 都 可以 理解
要不然 就 除以 2
要不然 就 乘以 3 加 1
最後 一定 會落 回到 1 你 說 對 不 對 吧
結果 專業 數學家 工作 了 八十年
還是 沒有 辦法 把 它 解決 掉
當然 了 解決不了 這個 問題
人們 也 提供 了 一點 進展
我們 來說 一說
對於 這個 問題 人們 已經 有 了 哪些 的 研究成果
首先 我們 要 說明 對於 這個 猜想 的 一個 等價 問題
什 麽 呢
就是 我們 從 一個 正整數 N 出發 對 吧
從 一個 正整數 N 出發
經過 這個 操作 之後 形成 一個 序列
那 麽 這個 序列 中 它 有 一個 最小值
序列 中 的 最小值
序列 中 的 最小值 我們 給它 起個 名字 叫 col(N)
它會 形成 一個 序列
這裏 邊 最小 的 那個 數字 叫 col(N)
col 就是 考拉 茲 的 意思
那 麽 我們 現在 是 要 證明 什 麽 呢
我們 其實 是 要 證明 不管 這個 N 是 幾
對於 任意 的 N 來講
col(N) 都 等於 1
我們 就要 證明 這個 對 吧
對於 所有 的 正整數
col(N) 這個 序列 中 最小 的 值 都 是 1
其實 證明 這個 問題
和 證明 col(N) 小於 N 是 一樣 的 是 等價 的
什 麽 意思 呢
就是 你 只要 證明 從 任意 正整數 出發
然後 你 做出 一個 序列 來
這個 序列 中 的 最小值 比 初始 那個 值 小
你 就 一定 能夠 證明 它 最後 會 落入 到 421 循環
為什 麽 呢
你 琢磨 琢磨 假如 你 從 100 出發
然後 形成 一個 序列 之後
這個 序列 中 最小 的 那個 值 是 99 的話
那 麽 99 還有 個 後續 序列 對 不 對
99 出發 形成 的 後續 序列 中 的 最小值
是不是 小於 99 對 吧
那 它 有 可能 是 97
那 97 往後 也 有 一個 序列
這個 序列 中 最小值 又 小於 97
你 就 這樣 一直 推下去
最終 的 那個 最小值 一定 會 變成 1 對 不 對
而 1 的 下 一個 數字 就是 4
所以 它 一定 會 落入 421 循環
因此 你 要 想 證明 它 最終 落入 421 循環
你 只要 證明 不管 從 哪個 正整數 出發
它 最後 形成 的 序列 中 最小值 都 比 初始 的 N 要 小
這個 問題 就 成立 了 對 不 對
那 麽 這個 東西 到底 證明 出來 了 沒有 呢
沒有 但是 有 一些 進展
在 1976 年 的 時候
數學家 泰拉斯 得到 了 一個 定理
得到 了 一個 證明
他 說 什 麽 呢
他 說 在 自然 密度 的 情況 下
自然 密度 的 情況 下
幾乎 所有 的 正整數 N
大家 註 意 這 句 話
自然 密度 下 幾乎 所有 的 正整數 N
都 會 有 col(N) 小於 N
這個 和 我 剛才 說 的 有 什 麽 區別
我剛 才 說 的 是 所有 的 正整數 都 有
col(N) 小於 N 的話
你 就 證明 了 考拉 茲 猜想 對 吧
但 問題 是 他 證明 的 是 在 自然數 密度 下
幾乎 所有 的 正整數 都 滿足 這個 規律
什 麽 叫 幾乎 所有 呢
一會兒 我們 會 去 說明 這個 問題
幾乎 所有 並不指 的 是 所有
而 指 的 是從 比例 上 來講
這樣 的 自然數 占 絕大多數
而且 後來 人們 還對 這個 問題 進行 了 兩點 衍生
其實 它並 不是 小於 N
我 可以 證明 col(N) 它 是 小於 Nᵅ 的
而且 這個 α 人們 還 經過 了 兩次 改進
最 開始 的 時候 人們 證明 這個 α 是 0.869
就是說 這個 序列 中 最小值
你 不光 小於 初始值
你還 小於 初始值 的 0.869 次 冪 是 吧
後來 人們 又 把 這個 數字 改進 了
改進 成 0.792
就是 不光 小於 原來 的 這個 正整數
還 小於 這個 正整數 的 0.792 次 冪
越來越 小 了
但是 這個 其實 並不 重要
重要 的 是 你 能 不能 證明
所有 的 正整數 都 滿足 前面 這個 規律
你 只要 證明
對於 所有 正整數 都 滿足 這個 規律 的話
考拉 茲 猜想 就 證出來 了 對 吧
你 還是 在 自然數 密度 下
證明 了 幾乎 所有 的 正整數 都 滿足 這個 規律
那 沒有 什 麽 意義 是 吧
後來 到 了 2019 年 的 時候
2019 年 的 時候
著名 華裔 數學家 陶哲軒
他 又 做出 了 一個 證明
他 說 在 對數 密度 下
對數 密度 它 跟 自然數 密度 有點像
不太 一樣 有點像
對數 密度 下 還是 幾乎 所有 的 正整數
它 都 滿足 一個 規律
什 麽 規律 呢
就是 col(N) 它會 小於 任意 的 一個 序列 f(N)
只要 在 N 趨向於 無窮的 時候
這個 序列 f(N) 也 趨向於 無窮 就 可以 了
這個 意思 是 什 麽 呢
就是說 你 隨便 給我 一個 序列
只要 這個 序列 在 N 趨向於 無窮的 時候
它 也 趨向於 無窮
那 麽 這個 考拉 茲 序列 中
最小值 就 一定 小於 這個 序列
還 有點 繞 對 不 對
比如說 你 這個 函數 可以 是 n^0.5
可以 是 n^0.1
可以 是 log(n)
你 也 可以 是 log(log(n)) 是 吧
只要 N 趨向於 無窮的 時候
這個 序列 趨向於 無窮
那 麽 考拉 茲 序列 中 最小值 就 小於 這個 數
這個 問題 看起來 結論 比剛 才 那個 更強 一些
但 問題 是 它 依然 沒有 解決 前提
它 依然 是 對 幾乎 所有 的 正整數
滿足 這個 規律 的 是 吧
好 現在 咱們 就 來 解釋一下
所有 正整數 和 幾乎 所有 正整數 到底 有什 麽 區別
要 理解 這個 問題
我們 必須 得 講解 一下
這個 整數 集 的 密度 的 問題
什 麽 是 密度
它 和 我們 物理 上講 的 密度 不太 一樣
它 是 表示 一個 自然數 集 的 大小 程度
你 密度 越大
就 說明 你 這個 集合 越接 近於 完整 的 自然數 集
你 密度 越 小 就 說明
你 在 這個 自然數 集中 占 的 比例 就 越 小
這個 密度 值 應該 是 在 0 到 1 之間 的 一個 數字
0 到 1 之間 的 數字
完整 的 定義 是 比較 復 雜的
我 把 它 寫 在 這個 屏幕 上
大家 可以 截個 圖 自己 去 研究 一下
但是 我們 可以 通過 一個 例子 來說 明 這個 道理
比如說 我們 就 定義 一個 集合
這個 集合 叫 平方 數集
平方 數集 就是 1² 2² 3² 4² ... 對 吧
有 無窮 多個 平方 數
這個 集合 有 無窮 多個 元素
那 麽 它 和 自然數 集比 起來
它 的 密度 是 多 大 呢
它 也 是 無窮 多個 自然數 集 也 是 無窮 多個
沒法 比 對 不 對
怎 麽 辦
數學家 們 想 了 一個 辦法 截斷
你 這個 無窮 多 個數 沒法 比
我先 看前 100 個
我 再 看前 1000 個
我 再 看前 10000 個 對 吧
我 讓 截斷 的 這個 位置 趨向於 無窮
再 去 比較 你們 之間 的 比例
不 就 能夠 比 了 嗎 對 不 對
這 就是 第一種 方法
我們 來畫 一個 表格
首先 我們 來說 一個 截斷 的 位置
就是 這個 元素 的 最大值
最大值 N
這個 N 比如說 100
第二行 這個 N 有 10⁴
第三行 這 N 是 10⁶
直到 最後 我們 要 把 它 變到 無窮 是不是
好 我們 來看
那 你 在 100 以內
你 這個 元素 我們 叫 aᵢ
aᵢ 小於 等於 N
這樣 的 元素 有 幾個 呢
它 的 個數 叫 n
咱們 想一想 完全 平方 數 小於 100 的 有 幾個
是不是 有 10 個
1² 2² ... 一直 到 10²
小於 等於 100
所以 這個 n 就是 10 個
那 這個 平方 數 小於 10⁴ 的 數有 幾個
是不是 有 100 個
平方 數 小於 10⁶ 的 數有 幾個
有 1000 個 對 不 對
小於 無窮的 數 當然 是 有 無窮 多個 了
好 再往 下 看
那 麽 我們 就 有 一個 密度 了
這個 密度 我們 就 用 n/N
就是 小於 N 的 元素 個數 占 n 的 比例
我們 把 這個 比例 算 出來
在 100 以內 的話
用 10/100 是 10%
用 100/10⁴ 是 1%
用 1000/10⁶ 是 0.1%
大家 發現 了 嗎
隨著 你 這個 N 越來越 大
這個 比例 越來越 下降
就 說明 在 自然數 範圍 內
這個 完全 平方 數 其實 是 越來越少 的
你 取 的 這個 範圍 越大 完全 平方 數就 越 小
那 麽 如果 你 把 這個 範圍 取 到 無窮大 呢
在 無窮大 的 範圍 內有 多少 個 完全 平方 數呢
有 無窮 多個
但是 比例 是 多少
比例 是 0
這就 說明 在 自然 密度 下
完全 平方 數的 密度 是 0
我們 就 說 幾乎 所有 的 數都 不是 完全 平方 數
這 就是 在 自然數 密度 下 幾乎 所有 的 含義
但是 你 能 說 沒有 完全 平方 數
完全 平方 數有 無窮 多個 對 不 對
所以 幾乎 所有 和 所有 完全 不是 一 回事
咱們 再來 說一說
陶哲軒 這個 對數 密度 是 什 麽 意思
對數 密度 是 另外 一種 密度
就是 你 先 把 小於 等於 N 的 所有 的 元素
aᵢ 都 找 出來
然後 把 這些 aᵢ 做 一下 倒數 和
數學 語言 叫 調和級數 對 吧
把 這個 調和級數 求 出來
然後 用 這個 和 再 去除 以 log(N)
除 完 了 之後 得出 一個 比例 來
你 會 發現 在 100 以內 這個 數是 33.6%
在 10⁴ 以內 是 17.7%
下 一 個數 是 11.9%
到 無窮的 時候 這個 數會 趨於 0
那 麽 為 什 麽 用 這個 表達式 來 表達 呢
這個 分母 log(N) 的 含義
其實 就是 歐拉 公式
調和級數 求和 公式 是 log(N)
我們 這裏 不 仔細 講了
反正 你 用 這種 方法 也 能夠 表示 出來
這個 集合 的 元素 個數
占 總共 自然數 的 元素 個數 的 比例
而且 可以 證明 如果 在 自然 密度 下
你 能求 出 一個 集合 的 密度 的話
那 麽 這個 密度
是 和 對數 密度 下 集合 的 密度 是 一樣 的 是 吧
這個 又 比較 復 雜 我們 也 不 仔細 解釋 了
反正 總而言之 陶哲軒 的 工作
依然 是 證明 了 絕大多數 的 自然數 出發
你 都 會 滿足 考拉 茲 猜想
但是 是不是 所有 的 數字 都 滿足 呢
還是 不 知道
雖然 這個 問題 表述 起來 非常容易
但是 八十多年 來 數學家 們 前赴後繼
依然 沒有 解決 它
甚至於 我們 想 了解 一下 研究進展
都 需要 學習 很多 高等數學 的 知識
足見 這個 問題 的 復 雜性
那 麽 有 數學家 就 說 人類 的 數學 工具
還 沒有 發達 到 足以 解決 如此 復 雜的 數學 問題
甚至 有 美國 數學家 開玩笑 說
這個 問題 就是 蘇聯 人提 出來 的
目的 就是 為 了 攪亂 美國 數學家 的 研究 進程
雖然 職業 數學家 解決不了 這個 問題
但是 我 上網 一 搜
發現 我們 很多 民間 科學家
卻 已經 把 這個 問題 解決 了
他們 一般 使用 的 都 是 初等數學 的 觀點
論文 也 不長
有的還 發表 在 正規 的 學術期刊 上
真是 讓 人 非常 唏噓
無論是 愛因斯坦 提出 狹義 相對論
還是 羅巴切 夫斯基 創立 了 非歐 幾何
都 是 在 充分 理解 前人 工作 基礎 之上
得出 的 新 的 科學研究 進展
在 現在 這樣 一個 信息 交流 充分 發達 的 社會 裏面
希望 通過 撿漏 來 獲得 研究 突破
幾乎 是 不 可能 的
與其 把 大 把 的 時間 花 在 解決 哥德巴赫猜想
或者 冰雹 猜想 這樣 的 世界級 難題 上
不如 多去 讀 幾本書
也許 對 我們 的 幫助 更大
中國 有句 古話 與其 臨淵羨魚 不如 退而結網
在 數學 上 是 如此 在生活中 也 是 如此
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民科 盛宴 冰雹 猜想 : 小学生 都 能看懂 , 专业 数学家 80 年 都 证 不 出来
||||elementary school student||||mathematician|||prove||
各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師
最近 有 小朋友 跟 我 說
他 從小 就 有 一個 夢想
希望 解決 一個 數學 猜想 從此 名揚天下
但是 讀書 又 不 多
所以 如果 用 高等數學 表述 的 問題 他 就 看不懂
能 不能 給他 介紹 一個 類似 於 哥德巴赫猜想 這樣
看起來 非常簡單
但是 又 沒有 人 能夠 證出來 的 問題 呢
那 今天 就給 大家 介紹 一個 有趣 的 數學 猜想
冰雹 猜想
冰雹 猜想 是 在 1937 年 的 時候
由 德國 的 數學家 考拉 茲 提出 的
所以 也 叫做 考拉 茲 猜想
考拉 茲 說 如果 你給 我 一個 任意 的 正整數
這個 正整數 是 多少 都 可以
正整數 N
然後 你 對 這個 正整數 重 復 一個 操作
重 復 進行 一個 操作
什 麽 操作 呢
那 就是 假如 這個 正整數 N 它 是 一個 奇數
那 麽 你 就 把 這個 N 換成 3N+1
就是 乘以 3 再加 1
如果 它 不是 一個 奇數 而是 一個 偶數
如果 這個 數它 是 一個 偶數
你 就 把 這個 數 除以 2 變成 (1/2)N
然後 再重 復 就是 反反 復 復 地 做 這個 操作
是 奇數 就 乘以 3 加 1 是 偶數 就 除以 2
經過 很多很多 次 之後
你 會 發現 這個 數列 會 落入 一個 循環
我們 舉 個例 子
比如說 我們 從 N 等於 6 出發 6 是 一個 偶數
它 要 除以 2 除以 2 就 變成 3 了
3 是 個 奇數 乘以 3 加 1 就是 10
10 是 個 偶數 除以 2 是 5
5 是 個 奇數 乘以 3 加 1 16
16 偶數 除以 2 8 是 偶數 除以 2
4 是 偶數 除以 2 2 是 偶數 除以 2 變成 1
1 是 奇數 要 乘以 3 加 1
而 1 乘以 3 加 1 是 幾 是 4
所以 它 就 又 回到 4 了 對 不 對
4 再 除以 2 又 是 2 2 除以 2 又 是 1
然後 1 再 乘以 3 加 1 又 回到 4
所以 最後 它會 落入 4 2 1 循環 對 吧
好 咱們 再 來看
假如 我們 不 是從 6 出發 的
而 是從 7 出發 又 如何 呢
7 是 奇數 乘以 3 加 1 22
偶數 除以 2 11
奇數 乘以 3 加 1 34
34 偶數 除以 2 17
奇數 乘以 3 加 1 52
偶數 除以 2 是 26
繼續 26 除以 2 13
13 乘以 3 加 1 40
40 除以 2 20 20 除以 2 是 10
10 在 哪 呢
好像 剛才 我們 算過 對 不 對
後面 一定 是 5 16 8 4 2 1 我 就 不 寫 了
所以 這個 10
它 實際上 就 已經 回到 這 一條 鏈 上去 了
最終 它 也 會 回到 4 2 1 循環 是不是
我們 甚至 還 可以 搞 一個 大 一點 的數
比如說 27 27 這個 數是 比較 特殊 的
它 先 變成 82 然後 又 變成 41 對 吧
然後 一次 又 一次 地變
最多 它 能變 到 9232 這 麽 大
但是 最後 它 依然 是 回到 了 4 2 1 循環
最後 回到 1 了
也就是說 經過 很多很多 次 操作 之後
你 一定 會 落入 4 2 1
然後 再 回到 4 這 麽 一個 循環
那 我們 經過 很 多次 驗證 發現
許許多多 的 數都 滿足 這個 規律
那 是不是 所有 的 自然數 做 這個 操作 之後
最後 都 會 落入 到 4 2 1 循環 呢
它 就 叫做 考拉 茲 猜想
而且 你 會 發現 這些 個數 字
一會兒 大 一會兒 小 一會兒 大 一會兒 小
非常 像 冰雹
冰雹 在 空中 受到 上升 氣流 的 影響
有 可能 會 上升
過 一會兒 它 大 了 托 不住 它 又 下降
過 一會兒 它 又 上升 一會兒 又 下降
最終 會落 回到 地面 上 是 吧
所以 上上下下 的 像 冰雹 一樣
所以 也 叫做 冰雹 猜想
那 這個 猜想 從 1937 年 提 出來 之後
到 現在 80 多年 了
數學家 們 還是 沒有 解決 它
當然 了 我們 還 可以 再 挑 一些 數字 去 驗證
並且 找到 某 一些 規律 找到 某 一些 規律
舉 個例 子 來講
人們 拿 很多 數字 去 驗證 它
看一看 就 這些 數回 到 1 需要 多少 個 步驟
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人們 就 發現 說
在 N 小於 10 的 時候
N 等於 9 它 的 步驟 是 最 多 的
需要 多少 步 呢
需要 19 步 才能 回到 1
反正 也 能 回到 1
如果 是 N 小於 100 的數
從 N 等於 97 開始
它 回到 1 的 步驟 是 最 多 的
它 需要 118 步
如果 是 小於 1000 的話
從 N 等於 871 開始 回到 1 的數
那個 步驟 最 多 需要 178 步
如果 是 小於 10000 的話
就 是從 N 等於 6171 開始 回到 1 的 步驟 最 多
它 需要 261 步
反正 我 驗證 的 這些 數 不管 你 從 幾 開始
最終 都 會 回到 1
只不過 步驟 是 有 多 有 少 的
人們 對 N 小於 2⁶⁸ 以內
所有 的 正整數 都 進行 了 驗證
結果 發現 每 一個 正整數 這個 規律 都 是 成立 的
但是 你 驗證 了 這 麽 多 數字 都 成立
並不 就 意味著 所有 的 數字 都 成立 對 不 對
因為 整數 有 無窮 多個
你 驗證 了 這 麽 多 其實 還是 遠遠不夠 的
人們 對於 這個 問題
除了 可以 畫出 這個 數字 上下跳動 的
這個 冰雹 曲線 以外
還 能夠 畫出 很多 其它 有趣 的 圖
比如說 人們 可以 畫出 一個 珊瑚 圖 珊瑚 圖
珊瑚 圖是 什 麽 意思 呢
|"depiction of"||||
就是 你 最終 的 數字 不是 落 回到 1 了 嘛 對 不 對
1 是 怎 麽 出來 的 呢
1 應該 是 2/2 得到 的 對 不 對
2 是 怎 麽 出來 的
2 應該 是 4/2 得到 的
4 是 8/2 得到 的
這都 沒 啥 問題 吧
8 是 16/2 得到 的
16 是 32/2 得到 的
32 是 64/2 得到 的
64 是 128/2 得到 的 等等 吧
你 後面 還 可以 再 繼續 寫
但是 你 仔細觀察
16 不 一定 是 32/2 得到 的
因為 如果 你 上 一個 數字 是 5 的話
那 5×3+1 也 是 16 對 不 對
所以 16 也 有 可能 是從 5×3+1 得到 的
而 5 有 可能 是 10/2 得到 的
10 有 可能 是 20/2 得到 的
20 是 40/2 得到 的
咱們 再 看 這個 10 又 可能 是 怎 麽 來 的
10 除 的 是 20/2 以外
還有 可能 是 3×3+1 得到 的 對 不 對
所以 也 可能 上 一個 數字 是 3
3 上 一個 數字 是 6 等等 吧
你 會 發現 我們 可以 把 這些 數字
畫成 一個 非常 龐大 的 一個 圖
長 得 像 珊瑚 一樣
如果 所有 的 正整數
都 在 這個 珊瑚 圖中 能夠 找到 的話
那 是不是 就 說明 考拉 茲 猜想 是 成立 的 對 不 對
但 這件 事兒 還 沒有 證明 出來
咱們 可以 設想 一下
假如 我 能夠 找到 一個 反例
這個 反例 不在 我 這個 珊瑚 圖上
那 它 應該 是 什 麽 樣子 的
假如 能夠 找到 反例 的話
反例 其實 也 無外乎 是 兩種 可能
第一種 可能 就是 你 從 一個 數字 x₁ 出發
然後 第二個 數字 叫 x₂ 第三個 數字 叫 x₃
然後 一直 可以 到 多少 可以 到 無窮
這個 數列 它 就 沒有 1
因為 它 一直 都 長大 長 到 無窮大
這是 有 可能 的 第一個 情況
第二種 情況 就是說 你 從 一個 數字 x₁ 出發
到 x₂ 到 x₃ ...
然後 一直 到 某 一個 數字 叫 xₙ
然後 這個 xₙ 在 算 下 一 個數 的 時候
它 又 回到 了 x₁ 它 又 回到 了 x₁
但是 這個 數列 裏邊 這個 循環 裏邊
它 不 含有 數字 1
如果 你 有 這樣 一個 循環
這個 循環 又 沒有 1 的話
那 也 說明 了 考拉 茲 猜想 是 不 正確 的
但是 到 目前 為止
人們 這 兩種 反例 都 沒有 找到
好像 所有 的 正整數 的確 都 在 這個 珊瑚樹 中 一樣
這個 猜想 描述 起來 非常簡單
小學生 都 可以 理解
要不然 就 除以 2
要不然 就 乘以 3 加 1
最後 一定 會落 回到 1 你 說 對 不 對 吧
結果 專業 數學家 工作 了 八十年
還是 沒有 辦法 把 它 解決 掉
當然 了 解決不了 這個 問題
人們 也 提供 了 一點 進展
我們 來說 一說
對於 這個 問題 人們 已經 有 了 哪些 的 研究成果
首先 我們 要 說明 對於 這個 猜想 的 一個 等價 問題
什 麽 呢
就是 我們 從 一個 正整數 N 出發 對 吧
從 一個 正整數 N 出發
經過 這個 操作 之後 形成 一個 序列
那 麽 這個 序列 中 它 有 一個 最小值
序列 中 的 最小值
序列 中 的 最小值 我們 給它 起個 名字 叫 col(N)
它會 形成 一個 序列
這裏 邊 最小 的 那個 數字 叫 col(N)
col 就是 考拉 茲 的 意思
那 麽 我們 現在 是 要 證明 什 麽 呢
我們 其實 是 要 證明 不管 這個 N 是 幾
對於 任意 的 N 來講
col(N) 都 等於 1
我們 就要 證明 這個 對 吧
對於 所有 的 正整數
col(N) 這個 序列 中 最小 的 值 都 是 1
其實 證明 這個 問題
和 證明 col(N) 小於 N 是 一樣 的 是 等價 的
什 麽 意思 呢
就是 你 只要 證明 從 任意 正整數 出發
然後 你 做出 一個 序列 來
這個 序列 中 的 最小值 比 初始 那個 值 小
你 就 一定 能夠 證明 它 最後 會 落入 到 421 循環
為什 麽 呢
你 琢磨 琢磨 假如 你 從 100 出發
然後 形成 一個 序列 之後
這個 序列 中 最小 的 那個 值 是 99 的話
那 麽 99 還有 個 後續 序列 對 不 對
99 出發 形成 的 後續 序列 中 的 最小值
是不是 小於 99 對 吧
那 它 有 可能 是 97
那 97 往後 也 有 一個 序列
這個 序列 中 最小值 又 小於 97
你 就 這樣 一直 推下去
最終 的 那個 最小值 一定 會 變成 1 對 不 對
而 1 的 下 一個 數字 就是 4
所以 它 一定 會 落入 421 循環
因此 你 要 想 證明 它 最終 落入 421 循環
你 只要 證明 不管 從 哪個 正整數 出發
它 最後 形成 的 序列 中 最小值 都 比 初始 的 N 要 小
這個 問題 就 成立 了 對 不 對
那 麽 這個 東西 到底 證明 出來 了 沒有 呢
沒有 但是 有 一些 進展
在 1976 年 的 時候
數學家 泰拉斯 得到 了 一個 定理
得到 了 一個 證明
他 說 什 麽 呢
他 說 在 自然 密度 的 情況 下
自然 密度 的 情況 下
幾乎 所有 的 正整數 N
大家 註 意 這 句 話
自然 密度 下 幾乎 所有 的 正整數 N
都 會 有 col(N) 小於 N
這個 和 我 剛才 說 的 有 什 麽 區別
我剛 才 說 的 是 所有 的 正整數 都 有
col(N) 小於 N 的話
你 就 證明 了 考拉 茲 猜想 對 吧
但 問題 是 他 證明 的 是 在 自然數 密度 下
幾乎 所有 的 正整數 都 滿足 這個 規律
什 麽 叫 幾乎 所有 呢
一會兒 我們 會 去 說明 這個 問題
幾乎 所有 並不指 的 是 所有
而 指 的 是從 比例 上 來講
這樣 的 自然數 占 絕大多數
而且 後來 人們 還對 這個 問題 進行 了 兩點 衍生
其實 它並 不是 小於 N
我 可以 證明 col(N) 它 是 小於 Nᵅ 的
而且 這個 α 人們 還 經過 了 兩次 改進
最 開始 的 時候 人們 證明 這個 α 是 0.869
就是說 這個 序列 中 最小值
你 不光 小於 初始值
你還 小於 初始值 的 0.869 次 冪 是 吧
後來 人們 又 把 這個 數字 改進 了
改進 成 0.792
就是 不光 小於 原來 的 這個 正整數
還 小於 這個 正整數 的 0.792 次 冪
越來越 小 了
但是 這個 其實 並不 重要
重要 的 是 你 能 不能 證明
所有 的 正整數 都 滿足 前面 這個 規律
你 只要 證明
對於 所有 正整數 都 滿足 這個 規律 的話
考拉 茲 猜想 就 證出來 了 對 吧
你 還是 在 自然數 密度 下
證明 了 幾乎 所有 的 正整數 都 滿足 這個 規律
那 沒有 什 麽 意義 是 吧
後來 到 了 2019 年 的 時候
2019 年 的 時候
著名 華裔 數學家 陶哲軒
他 又 做出 了 一個 證明
他 說 在 對數 密度 下
對數 密度 它 跟 自然數 密度 有點像
不太 一樣 有點像
對數 密度 下 還是 幾乎 所有 的 正整數
它 都 滿足 一個 規律
什 麽 規律 呢
就是 col(N) 它會 小於 任意 的 一個 序列 f(N)
只要 在 N 趨向於 無窮的 時候
這個 序列 f(N) 也 趨向於 無窮 就 可以 了
這個 意思 是 什 麽 呢
就是說 你 隨便 給我 一個 序列
只要 這個 序列 在 N 趨向於 無窮的 時候
它 也 趨向於 無窮
那 麽 這個 考拉 茲 序列 中
最小值 就 一定 小於 這個 序列
還 有點 繞 對 不 對
比如說 你 這個 函數 可以 是 n^0.5
可以 是 n^0.1
可以 是 log(n)
你 也 可以 是 log(log(n)) 是 吧
只要 N 趨向於 無窮的 時候
這個 序列 趨向於 無窮
那 麽 考拉 茲 序列 中 最小值 就 小於 這個 數
這個 問題 看起來 結論 比剛 才 那個 更強 一些
但 問題 是 它 依然 沒有 解決 前提
它 依然 是 對 幾乎 所有 的 正整數
滿足 這個 規律 的 是 吧
好 現在 咱們 就 來 解釋一下
所有 正整數 和 幾乎 所有 正整數 到底 有什 麽 區別
要 理解 這個 問題
我們 必須 得 講解 一下
這個 整數 集 的 密度 的 問題
什 麽 是 密度
它 和 我們 物理 上講 的 密度 不太 一樣
它 是 表示 一個 自然數 集 的 大小 程度
你 密度 越大
就 說明 你 這個 集合 越接 近於 完整 的 自然數 集
你 密度 越 小 就 說明
你 在 這個 自然數 集中 占 的 比例 就 越 小
這個 密度 值 應該 是 在 0 到 1 之間 的 一個 數字
0 到 1 之間 的 數字
完整 的 定義 是 比較 復 雜的
我 把 它 寫 在 這個 屏幕 上
大家 可以 截個 圖 自己 去 研究 一下
但是 我們 可以 通過 一個 例子 來說 明 這個 道理
比如說 我們 就 定義 一個 集合
這個 集合 叫 平方 數集
平方 數集 就是 1² 2² 3² 4² ... 對 吧
有 無窮 多個 平方 數
這個 集合 有 無窮 多個 元素
那 麽 它 和 自然數 集比 起來
它 的 密度 是 多 大 呢
它 也 是 無窮 多個 自然數 集 也 是 無窮 多個
沒法 比 對 不 對
怎 麽 辦
數學家 們 想 了 一個 辦法 截斷
你 這個 無窮 多 個數 沒法 比
我先 看前 100 個
我 再 看前 1000 個
我 再 看前 10000 個 對 吧
我 讓 截斷 的 這個 位置 趨向於 無窮
再 去 比較 你們 之間 的 比例
不 就 能夠 比 了 嗎 對 不 對
這 就是 第一種 方法
我們 來畫 一個 表格
首先 我們 來說 一個 截斷 的 位置
就是 這個 元素 的 最大值
最大值 N
這個 N 比如說 100
第二行 這個 N 有 10⁴
第三行 這 N 是 10⁶
直到 最後 我們 要 把 它 變到 無窮 是不是
好 我們 來看
那 你 在 100 以內
你 這個 元素 我們 叫 aᵢ
aᵢ 小於 等於 N
這樣 的 元素 有 幾個 呢
它 的 個數 叫 n
咱們 想一想 完全 平方 數 小於 100 的 有 幾個
是不是 有 10 個
1² 2² ... 一直 到 10²
小於 等於 100
所以 這個 n 就是 10 個
那 這個 平方 數 小於 10⁴ 的 數有 幾個
是不是 有 100 個
平方 數 小於 10⁶ 的 數有 幾個
有 1000 個 對 不 對
小於 無窮的 數 當然 是 有 無窮 多個 了
好 再往 下 看
那 麽 我們 就 有 一個 密度 了
這個 密度 我們 就 用 n/N
就是 小於 N 的 元素 個數 占 n 的 比例
我們 把 這個 比例 算 出來
在 100 以內 的話
用 10/100 是 10%
用 100/10⁴ 是 1%
用 1000/10⁶ 是 0.1%
大家 發現 了 嗎
隨著 你 這個 N 越來越 大
這個 比例 越來越 下降
就 說明 在 自然數 範圍 內
這個 完全 平方 數 其實 是 越來越少 的
你 取 的 這個 範圍 越大 完全 平方 數就 越 小
那 麽 如果 你 把 這個 範圍 取 到 無窮大 呢
在 無窮大 的 範圍 內有 多少 個 完全 平方 數呢
有 無窮 多個
但是 比例 是 多少
比例 是 0
這就 說明 在 自然 密度 下
完全 平方 數的 密度 是 0
我們 就 說 幾乎 所有 的 數都 不是 完全 平方 數
這 就是 在 自然數 密度 下 幾乎 所有 的 含義
但是 你 能 說 沒有 完全 平方 數
完全 平方 數有 無窮 多個 對 不 對
所以 幾乎 所有 和 所有 完全 不是 一 回事
咱們 再來 說一說
陶哲軒 這個 對數 密度 是 什 麽 意思
對數 密度 是 另外 一種 密度
就是 你 先 把 小於 等於 N 的 所有 的 元素
aᵢ 都 找 出來
然後 把 這些 aᵢ 做 一下 倒數 和
數學 語言 叫 調和級數 對 吧
把 這個 調和級數 求 出來
然後 用 這個 和 再 去除 以 log(N)
除 完 了 之後 得出 一個 比例 來
你 會 發現 在 100 以內 這個 數是 33.6%
在 10⁴ 以內 是 17.7%
下 一 個數 是 11.9%
到 無窮的 時候 這個 數會 趨於 0
那 麽 為 什 麽 用 這個 表達式 來 表達 呢
這個 分母 log(N) 的 含義
其實 就是 歐拉 公式
調和級數 求和 公式 是 log(N)
我們 這裏 不 仔細 講了
反正 你 用 這種 方法 也 能夠 表示 出來
這個 集合 的 元素 個數
占 總共 自然數 的 元素 個數 的 比例
而且 可以 證明 如果 在 自然 密度 下
你 能求 出 一個 集合 的 密度 的話
那 麽 這個 密度
是 和 對數 密度 下 集合 的 密度 是 一樣 的 是 吧
這個 又 比較 復 雜 我們 也 不 仔細 解釋 了
反正 總而言之 陶哲軒 的 工作
依然 是 證明 了 絕大多數 的 自然數 出發
你 都 會 滿足 考拉 茲 猜想
但是 是不是 所有 的 數字 都 滿足 呢
還是 不 知道
雖然 這個 問題 表述 起來 非常容易
但是 八十多年 來 數學家 們 前赴後繼
依然 沒有 解決 它
甚至於 我們 想 了解 一下 研究進展
都 需要 學習 很多 高等數學 的 知識
足見 這個 問題 的 復 雜性
那 麽 有 數學家 就 說 人類 的 數學 工具
還 沒有 發達 到 足以 解決 如此 復 雜的 數學 問題
甚至 有 美國 數學家 開玩笑 說
這個 問題 就是 蘇聯 人提 出來 的
||||raised by people||
目的 就是 為 了 攪亂 美國 數學家 的 研究 進程
雖然 職業 數學家 解決不了 這個 問題
但是 我 上網 一 搜
發現 我們 很多 民間 科學家
卻 已經 把 這個 問題 解決 了
他們 一般 使用 的 都 是 初等數學 的 觀點
論文 也 不長
有的還 發表 在 正規 的 學術期刊 上
真是 讓 人 非常 唏噓
無論是 愛因斯坦 提出 狹義 相對論
還是 羅巴切 夫斯基 創立 了 非歐 幾何
都 是 在 充分 理解 前人 工作 基礎 之上
得出 的 新 的 科學研究 進展
在 現在 這樣 一個 信息 交流 充分 發達 的 社會 裏面
希望 通過 撿漏 來 獲得 研究 突破
幾乎 是 不 可能 的
與其 把 大 把 的 時間 花 在 解決 哥德巴赫猜想
或者 冰雹 猜想 這樣 的 世界級 難題 上
不如 多去 讀 幾本書
也許 對 我們 的 幫助 更大
中國 有句 古話 與其 臨淵羨魚 不如 退而結網
在 數學 上 是 如此 在生活中 也 是 如此
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