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李永樂老師, 小学三年级数学题你会做吗?快速判断7、11、13、17、19…的倍数
小学 三年级 数学题 你 会 做 吗 ?快速 判断 7、11、13、17、19…的 倍数
各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師
最近 一段時間 國家 推行 雙減 政策
有 小朋友 跟 我 說 他 的 孩子 正在 上 小學
現在 課外 培訓班 都 沒有 了 這可 怎 麽 辦 呢
我 回 想起 三十年 前 我 上 小學 的 時候
那 時候 本來 就 沒有 什 麽 課外 培訓班
但是 我們 的 小學 在 放學 之後
會 組織 各種 興趣小組
比如 我 就 參加 了 數學 航模 和 計算機 小組
學到 了 很多 稀奇古怪 的 知識 開拓 了 我 的 視野
我 記得 三年級 的 時候
我 第一次 參加 數學 小組 的 時候
老師 叫做 王成邦 也 是 我們 班 的 數學老師
他 上課 的 時候 問 我們
你們 知道 3 的 倍數 滿足 什 麽 樣 的 特點 嗎
我 說 這太 簡單 了
就是 把 各 個位數 加 起來 是 3 的 倍數
原來 這個 數 就是 3 的 倍數
他 又問 我們
那 你 知道 7 11 13 17 19 ...
這些 數字 的 倍數 有什 麽 特點 嗎
我們 就 楞住 了
老師 講完 了 之後 我 覺得 這就 太 有趣 了
一直 到 今天 依然 是 記憶猶新
現在 王老師 已經 在 東莞 當 了 一名 小學校長 了
那 今天 我 就 模仿 一下 王老師
來給 大家 講一講
各種 不同 數字 的 倍數 有什 麽 樣 的 特點
如果 你 的 小朋友 正在 上 小學 的話
不妨 也 教給 他們 這個 規律
我們 首先 來 討論一下 7 的 倍數
有什 麽 樣 的 特點
可能 很多 同學 都 知道 7 的 倍數 的 特點
想 快速 判斷 一 個數 是不是 7 的 倍數 可以 去除
但是 有點 慢 對 吧
有 一個 快速 的 方法 是 這樣 的
我們 把 這個 數字 去掉 末位 去掉 末位
比如說 3 位數 去掉 末位 就是 2 位數
4 位數 去掉 末位 就是 3 位數
去掉 末位 之後 的 數再 減去 末位 的 兩倍
我們 判斷 這個 數字 是不是 7 的 倍數
如果 這個 數字 是 7 的 倍數
原來 那 個數 就是 7 的 倍數
我們 來舉 一個 例子
比如說 我們 想 判斷 147 它 是不是 7 的 倍數
怎 麽 判斷 呢
這樣 我們 首先 把 末位 給 劃掉
末位 是 7 去掉 末位 之後 是 14
去掉 末位 之後 的數 減去 末位 的 2 倍 得 幾
得 0 0 是不是 7 的 倍數
0 是 7 的 倍數
所以 這個 數是 7 的 倍數
那 原來 這個 數 就是 7 的 倍數
我們 再舉 個例 子
比如說 1234
我問 你 這個 數 是不是 7 的 倍數 怎 麽 辦
我們 把 末位 去掉 還剩 123
123 減去 末位 的 2 倍
減完 了 之後 得 幾
2 4 得 8 123-8 115 吧
你 說 115 我 也 不 知道
沒 有關 系 你 把 115 的 末位 再 去掉
11 減去 5 的 2 倍 還 剩下 1
1 是不是 7 的 倍數
1 不是 1 不是 7 的 倍數 115 就 不是
115 不是 那 麽 1234 也 就 不是 7 的 倍數
這樣 就 可以 快速 地 判斷 出來 了 對 吧
好 那 麽 這個 東西 到底 是 為 什 麽 呢
我們 其實 是 可以 證明 的
而且 這個 證明 它 是 具有 普遍意義 的
怎 麽 證呢
首先 我們 看 21 它 是 7 的 倍數 對 吧
它 等於 7 乘以 3
我 為 什 麽 要 把 21 寫 出來 呢
咱們 仔細 思考
如果 一 個數 是 7 的 倍數
那 麽 這個 數減 21 是不是 也 是 7 的 倍數 對 吧
因為 21 本身 是 7 的 倍數 嗎
所以 你 可以 不停 地減 21
把 這個 數字 不停 地減 21 之後
如果 剩 的 那 個數 還是 7 的 倍數
那 原來 它 這個 就是 7 的 倍數
如果 剩 的 那 個數 它 不是 7 的 倍數
那 原來 也 不是 對 不 對
所以 我 可以 把 任 一個 數字 不停 地 減去 21
判斷 剩下 那 個數 是不是 7 的 倍數
這 就是 上面 那種 方法 的 一個 來源
我們 來看 說 如果 有 一個 數字 叫 abc
上面 加 一個 橫線
以 三位數 為例
abc 是 三個 數字
就是 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中 的 一 個數
然後 我加 一個 橫線
就 表示 三個 數字 合 起來 構成 了 一個 3 位數
百位 是 a 十位 是 b 個位 是 c
你 也 可以 把 它 寫成 是 100 個 a
加上 10 個 b 再加 1 個 c
或者 你 也 可以 寫成 是 10 個 ab 再加 1 個 c
這 能看懂 吧
ab 合 起來 是 個 2 位數
10 個 這個 數加 1 個 c 就是 abc
好 我 想 判斷 這個 數 是不是 7 的 倍數
怎 麽 判斷 呢
我 可以 把 這個 數 不停 地減 21
我 要減 多少 個 21 呢
你 自己 看
我減 c 個 21 c 是 個 整數 我減 c 個 21
abc 這個 數我 減去 21 乘以 c
如果 原來 是 7 的 倍數 那 這個 數 肯定 也 是
如果 原來 不是 7 的 倍數 這數 肯定 也 不是
原因 是 因為 21 是 7 的 倍數 對 吧
好 那 麽 這個 時候 等於 什 麽 呢
我們 利用 第三個 式子 往 裏 代
10ab 再 加上 一個 c 減 21c
是 10ab 再 怎 麽 著
再減 20 個 c 對 不 對
我們 10 提 出來
就是 10 倍 的 ab-2c 對 嗎
好 現在 我要 判斷 原來 這個 數 是不是 7 的 倍數
我們 就 可以 判斷 這個 數 是不是 7 的 倍數
因為 21 肯定 是 7 的 倍數 對 吧
判斷 這個 數 是不是 7 的 倍數
它 又 等於 10 倍 的 這個 玩意兒
10 肯定 不是 7 的 倍數 了 10 和 7 是 互質 的
所以 你 只有 可能 右邊 這個 數是 7 的 倍數 的 時候
左邊 這個 才 有 可能 是 對 不 對
所以 判斷 它 是不是 7 的 倍數
就 變成 判斷 它 判斷 它 就是 判斷 它
而 ab-2c 是 什 麽
不 就是 去掉 末位 減 末位 的 兩倍 嗎
於是 規則 就 證明 了 對 吧
所以 之所以 會 有 這個 規則 完全 是 因為
我們 找到 了 21 這個 數它 是 7 的 倍數
而且 你 仔細 看 21 有什 麽 特點
21 的 十位 是 2 個位 是 1
所以 你 在 不停 減 21 的 時候
其實 就是 減了 多少 個個 位
10 位上 就 得減 個位 的 2 倍
於是 就 變成 了 去掉 末位 減 末位 的 兩倍
這種 規則 它 是 具有 普遍意義 的
判斷 很 多數 的 倍數
只要 這個 數是 跟 10 互質 的
你 就 可以 使用 這種 方法 是 吧
我們 再來 舉 幾個 例子
比如說 我們 要 判斷 一 個數 是不是 11 的 倍數
那 我們 就 找 說 11 的 倍數 有沒有 這種 特征 呢
有 11 本身 就是 這樣 的 特征 對 吧
它 的 個位 是 1 十位 也 是 1
11 本身 就是 11 的 倍數
所以 我們 的 第一種 判斷 方法 就是 什 麽 呢
我們 就是 這樣 的
叫做 去掉 末位 剩下 的 那 個數 再減 末位
如果 去掉 末位 再減 末位
剩 的 這個 數是 11 的 倍數
那 原來 這個 數 就是
那 跟 這個 上面 的 規則 是 一樣 的
這個 規則 是 去掉 末位 減 末位 的 兩倍
這個 規則 是 去掉 末位 減 末位 的 一倍
是不是 一樣 的
舉 個例 子 比如說 我 想 判斷 一下 1331
這個 數它 是不是 11 的 倍數 怎 麽 辦
我們 可以 把 最後 一個 末位 去掉 就 剩 133
133 減去 末位 1 就是 132
這個 數 是不是 11 的 倍數 還是 看不出來
我 再 把 這個 2 去掉
我用 13 減去 末位 2 結果 是 11
這個 數是 11 的 倍數 對 吧
所以 它 也 是 它 是 的話 那 麽 它 也 是
好 判斷 完 了
這個 原因 跟剛 才 是 一樣 的
就是 因為 11 它 是 11 的 倍數
那有 同 學說 老師
我們 老師 教 我 的 方法 不是 這樣 的
我們 老師 說 是 奇數 位 的 和 減去 偶數 位 的 和
判斷 是不是 11 的 倍數
其實 是 一樣 的
我們 來說 一下 還有 一種 方法
就是 我們 可以 把 所有 的 奇數 位 求和
奇數 位 求和 之後 減去 偶數 位 求和
如果 這個 差 它 是 11 的 倍數
那 麽 原來 這個 數也 就是 11 的 倍數
我們 還是 以 1331 為例
1331 從 左邊 開始 數
第 1 位 第 2 位 第 3 位 第 4 位
奇數 位是 1 和 3 偶數 位是 3 和 1
所以 我們 把 奇數 位加 起來 是 4
偶數 為 我 也 加 起來 也 是 4
所以 我 就 用 奇數 位 的 和 4
減 偶數 位 的 和 4 等於 0
這 0 它 是 11 的 倍數
所以 原來 這個 數也 是 11 的 倍數
說 這種 方法 其實 和 剛才 這個 方法 是 一樣 的
為什 麽 呢
你 看 我給 你 證明 一下
比如說 我們 就 以 四位數 為例
這個 四位數 叫 abcd
abcd 都 是 一個 0 到 9 之間 的 一個 整數
然後 合 起來 構成 一個 四位數
說 這個 四位數 它 是不是 11 的 倍數 呢
按照 第一種 方法
我要 去掉 末位 d 減 末位
如果 我們 不 考慮 退位 的話
其實 我們 判斷 的 就是 ab 然後 c-d
c-d 是 一 個數
我們 就 可以 判斷 這個 三位數 了 對 不 對
退位 我們 不 考慮
其實 你 考慮 退位 也 是 一樣 的
我們 不 考慮 它 了
好 繼續 想
這個 三位數 是不是 11 的 倍數 怎 麽 判斷
我們 可以 把 這個 三位數 的 末位 去掉
還 剩個 ab 用 ab 減去 末位 c-d
那 就 變成 了 a 然後 b-c+d
變成 了 一個 兩位數 對 不 對
好 那 麽 這個 兩位數 是不是 11 的 倍數 呢
我們 可以 繼續 想
我們 去掉 末位
再用 剩下 的 數減 末位
就是 a-b-c+d
那 不 就是 a-b+c-d 嗎
大家 看 a-b+c-d 中有 一個 a+c
這 是不是 就是 奇數 位 的 和
還有 一個 -b-d
這 是不是 偶數 位 的 和
這不 就是 奇數 位 的 和減 偶數 位 的 和 嗎
如果 這個 數是 11 的 倍數
那 麽 原來 這個 數也 是
這個 方法 是不是 就是 第二種 方法
所以 第二種 方法
不過 就是 把 第一種 方法 做 了 一點 引申 而已
它們 倆 本質 上 是 一個 方法
好 我們 繼續 想
類似 的 方法 咱們 繼續 找
說 11 的 倍數 有 了
咱們 能 不能 給我 找 一個 13 的 倍數
13 的 倍數 還是 那句話
你給 我 找 一 個數 它 是 13 的 倍數
而且 這個 數個 位 必須 是 1
那 你 說 是 幾 呢
那 我 覺得 可以 找 91 吧
91 等於 13 乘 於 7 嘛 是不是
所以 我們 可以 想 這是 91
所以 我 應該 怎 麽 判斷 這個 13 的 倍數
我們 應該 去掉 末位
再 減去 末位 的 幾倍
減去 末位 的 9 倍 對 不 對
末位 的 9 倍
如果 這個 數是 13 的 倍數
原來 這個 數 就是
我舉 個例 子 比如說 7293
我們 可以 去掉 末位 3
然後 還剩 729
729 減去 末位 3 的 9 倍 3 乘以 9
三九 二十七 還 剩下 702 對 不 對
然後 702 我 判斷 是不是 13 的 倍數
還 不好 判斷
我 再 把 702 的 末尾 去掉 還 剩個 70
70 減去 末位 的 9 倍
70-18 結果 52
52 是不是 13 的 倍數
52 是 13 的 4 倍
所以 這個 數它 是 13 的 倍數 這個 數也 是
因此 這個 數也 是
這種 方法 不光 可以 判斷 13 的 倍數
其實 還 可以 判斷 幾
還 可以 判斷 7 的 倍數 對 吧
因為 它 等於 13 乘以 7
只不過 7 的 倍數 我們 有 簡單 的 辦法
所以 我 就 不 需要 用 這種 辦法 了
好 13 的 倍數 我們 也 說完 了
下面 咱們 再 想
你 能給 我 判斷 17 的 倍數 嗎
還是 要 找 一個 17 的 倍數 並且 個位 是 1 的
那 就是 51 51 是 17x3
所以 我們 怎 麽 判斷
我們 去掉 末位
然後 減去 末位 的 幾倍
減去 末位 的 5 倍 是不是
這個 數 如果 是 17 的 倍數
那 麽 這個 原來 的數 就是 17 的 倍數
我 就 不 舉例 了
好 咱們 繼續 判斷
說 你 能給 我 判斷 出 19 的 倍數 嗎
19 也 是 一個 質數
怎 麽 判斷
我們 找 一下 19 乘以 幾 等於 個位 是 1 的數 呢
那 我 覺得 最小 應該 是 得 乘以 9 吧 等於 171
171 是 19 乘以 9 九九八十一
所以 這回 就 比較 復 雜了
這回 它 前面 是 17 對 不 對
後面 的 是 1
所以 怎 麽 辦 呢
所以 我們 可以 有 兩種 方法
第一種 方法 就是說 我們 可以 去掉 末位
去掉 末位 之後
然後 再 減去 末位 的 17 倍
但是 你減 17 倍 這個 事 也 太 復 雜了 吧
有沒有 簡單 一點
能 你 這 麽 想
因為 你 是 判斷 它 是不是 19 的 倍數
你減 17 倍 去 判斷 和 你 加 2 倍 去 判斷
是不是 一回 事兒
減了 17 是不是 19 的 倍數
和 加 了 2 是不是 19 的 倍數
是 一樣 的
因為 17+2=19
所以 這個 方法 其實 我們 可以 改一改
改成 我們 去掉 末位 去掉 末位
然後 再 加上 末位 的 2 倍
判斷 這個 數它 是不是 19 的 倍數
如果 這個 數是 19 的 倍數
原來 那 個數 就是 19 的 倍數
我們 舉 個例 子
比如說 4047
4047 我 想 判斷 是不是 19 的 倍數 怎 麽 辦
我先 去掉 末位 還剩 404
404 再 怎 麽 著
加上 末位 的 2 倍
二七 一 十四 等於 418
418 是不是 19 的 倍數
不 知道
那 我們 再 去掉 一下 末位 還剩 41 對 吧
41 再 加上 末位 的 2 倍
結果 是 57 57 是不是 19 的 倍數
是 它 是 19 的 3 倍
所以 它 是 19 的 倍數
它 也 就是 19 的 倍數
那 它 也 就是 19 的 倍數 對 不 對
就 判斷 完 了
所以 你 可以 用 這種 辦法 你 再 去 想一想
那 麽 23 的 倍數 什 麽 29 的 倍數
都 具有 什 麽 樣 類似 的 特點
怎 麽 樣去 快速 判斷
當然 判斷 倍數 的 方法 不僅僅 有 這樣 一種
還有 很 多種 其他 的 方法
我舉 一個 例子
比如說 1001 這個 數
它 其實 等於 7×11×13
那 麽 大家 根據 這個 數字
能 不能 也 總結 出 一種
判斷 7 11 13 的 倍數 的 快速 的 方法 呢
如果 你 知道 這個 問題 的 答案 的話
歡迎 在 我們 的 評論 區 下方 留言
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小学 三年级 数学题 你 会 做 吗 ?快速 判断 7、11、13、17、19…的 倍数
|Third grade|Math problems||||||determine||Multiples of
Can you do the third-grade math problems in elementary school? Quickly determine the multiples of 7, 11, 13, 17, 19...
各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師
最近 一段時間 國家 推行 雙減 政策
有 小朋友 跟 我 說 他 的 孩子 正在 上 小學
現在 課外 培訓班 都 沒有 了 這可 怎 麽 辦 呢
我 回 想起 三十年 前 我 上 小學 的 時候
||think of|||||||
那 時候 本來 就 沒有 什 麽 課外 培訓班
但是 我們 的 小學 在 放學 之後
會 組織 各種 興趣小組
比如 我 就 參加 了 數學 航模 和 計算機 小組
學到 了 很多 稀奇古怪 的 知識 開拓 了 我 的 視野
我 記得 三年級 的 時候
我 第一次 參加 數學 小組 的 時候
老師 叫做 王成邦 也 是 我們 班 的 數學老師
他 上課 的 時候 問 我們
你們 知道 3 的 倍數 滿足 什 麽 樣 的 特點 嗎
我 說 這太 簡單 了
就是 把 各 個位數 加 起來 是 3 的 倍數
原來 這個 數 就是 3 的 倍數
他 又問 我們
那 你 知道 7 11 13 17 19 ...
這些 數字 的 倍數 有什 麽 特點 嗎
我們 就 楞住 了
老師 講完 了 之後 我 覺得 這就 太 有趣 了
一直 到 今天 依然 是 記憶猶新
現在 王老師 已經 在 東莞 當 了 一名 小學校長 了
那 今天 我 就 模仿 一下 王老師
來給 大家 講一講
各種 不同 數字 的 倍數 有什 麽 樣 的 特點
如果 你 的 小朋友 正在 上 小學 的話
不妨 也 教給 他們 這個 規律
我們 首先 來 討論一下 7 的 倍數
有什 麽 樣 的 特點
可能 很多 同學 都 知道 7 的 倍數 的 特點
想 快速 判斷 一 個數 是不是 7 的 倍數 可以 去除
但是 有點 慢 對 吧
有 一個 快速 的 方法 是 這樣 的
我們 把 這個 數字 去掉 末位 去掉 末位
比如說 3 位數 去掉 末位 就是 2 位數
4 位數 去掉 末位 就是 3 位數
去掉 末位 之後 的 數再 減去 末位 的 兩倍
我們 判斷 這個 數字 是不是 7 的 倍數
如果 這個 數字 是 7 的 倍數
原來 那 個數 就是 7 的 倍數
我們 來舉 一個 例子
比如說 我們 想 判斷 147 它 是不是 7 的 倍數
怎 麽 判斷 呢
這樣 我們 首先 把 末位 給 劃掉
末位 是 7 去掉 末位 之後 是 14
去掉 末位 之後 的數 減去 末位 的 2 倍 得 幾
得 0 0 是不是 7 的 倍數
0 是 7 的 倍數
所以 這個 數是 7 的 倍數
那 原來 這個 數 就是 7 的 倍數
我們 再舉 個例 子
比如說 1234
我問 你 這個 數 是不是 7 的 倍數 怎 麽 辦
我們 把 末位 去掉 還剩 123
123 減去 末位 的 2 倍
減完 了 之後 得 幾
2 4 得 8 123-8 115 吧
你 說 115 我 也 不 知道
沒 有關 系 你 把 115 的 末位 再 去掉
11 減去 5 的 2 倍 還 剩下 1
1 是不是 7 的 倍數
1 不是 1 不是 7 的 倍數 115 就 不是
115 不是 那 麽 1234 也 就 不是 7 的 倍數
這樣 就 可以 快速 地 判斷 出來 了 對 吧
好 那 麽 這個 東西 到底 是 為 什 麽 呢
我們 其實 是 可以 證明 的
而且 這個 證明 它 是 具有 普遍意義 的
怎 麽 證呢
首先 我們 看 21 它 是 7 的 倍數 對 吧
它 等於 7 乘以 3
我 為 什 麽 要 把 21 寫 出來 呢
咱們 仔細 思考
如果 一 個數 是 7 的 倍數
那 麽 這個 數減 21 是不是 也 是 7 的 倍數 對 吧
因為 21 本身 是 7 的 倍數 嗎
所以 你 可以 不停 地減 21
把 這個 數字 不停 地減 21 之後
如果 剩 的 那 個數 還是 7 的 倍數
那 原來 它 這個 就是 7 的 倍數
如果 剩 的 那 個數 它 不是 7 的 倍數
那 原來 也 不是 對 不 對
所以 我 可以 把 任 一個 數字 不停 地 減去 21
判斷 剩下 那 個數 是不是 7 的 倍數
這 就是 上面 那種 方法 的 一個 來源
我們 來看 說 如果 有 一個 數字 叫 abc
上面 加 一個 橫線
以 三位數 為例
abc 是 三個 數字
就是 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中 的 一 個數
然後 我加 一個 橫線
就 表示 三個 數字 合 起來 構成 了 一個 3 位數
百位 是 a 十位 是 b 個位 是 c
你 也 可以 把 它 寫成 是 100 個 a
加上 10 個 b 再加 1 個 c
或者 你 也 可以 寫成 是 10 個 ab 再加 1 個 c
這 能看懂 吧
ab 合 起來 是 個 2 位數
10 個 這個 數加 1 個 c 就是 abc
好 我 想 判斷 這個 數 是不是 7 的 倍數
怎 麽 判斷 呢
我 可以 把 這個 數 不停 地減 21
我 要減 多少 個 21 呢
你 自己 看
我減 c 個 21 c 是 個 整數 我減 c 個 21
abc 這個 數我 減去 21 乘以 c
如果 原來 是 7 的 倍數 那 這個 數 肯定 也 是
如果 原來 不是 7 的 倍數 這數 肯定 也 不是
原因 是 因為 21 是 7 的 倍數 對 吧
好 那 麽 這個 時候 等於 什 麽 呢
我們 利用 第三個 式子 往 裏 代
10ab 再 加上 一個 c 減 21c
是 10ab 再 怎 麽 著
再減 20 個 c 對 不 對
我們 10 提 出來
就是 10 倍 的 ab-2c 對 嗎
好 現在 我要 判斷 原來 這個 數 是不是 7 的 倍數
我們 就 可以 判斷 這個 數 是不是 7 的 倍數
因為 21 肯定 是 7 的 倍數 對 吧
判斷 這個 數 是不是 7 的 倍數
它 又 等於 10 倍 的 這個 玩意兒
10 肯定 不是 7 的 倍數 了 10 和 7 是 互質 的
所以 你 只有 可能 右邊 這個 數是 7 的 倍數 的 時候
左邊 這個 才 有 可能 是 對 不 對
所以 判斷 它 是不是 7 的 倍數
就 變成 判斷 它 判斷 它 就是 判斷 它
而 ab-2c 是 什 麽
不 就是 去掉 末位 減 末位 的 兩倍 嗎
於是 規則 就 證明 了 對 吧
所以 之所以 會 有 這個 規則 完全 是 因為
我們 找到 了 21 這個 數它 是 7 的 倍數
而且 你 仔細 看 21 有什 麽 特點
21 的 十位 是 2 個位 是 1
所以 你 在 不停 減 21 的 時候
其實 就是 減了 多少 個個 位
10 位上 就 得減 個位 的 2 倍
於是 就 變成 了 去掉 末位 減 末位 的 兩倍
這種 規則 它 是 具有 普遍意義 的
判斷 很 多數 的 倍數
只要 這個 數是 跟 10 互質 的
你 就 可以 使用 這種 方法 是 吧
我們 再來 舉 幾個 例子
比如說 我們 要 判斷 一 個數 是不是 11 的 倍數
那 我們 就 找 說 11 的 倍數 有沒有 這種 特征 呢
有 11 本身 就是 這樣 的 特征 對 吧
它 的 個位 是 1 十位 也 是 1
11 本身 就是 11 的 倍數
所以 我們 的 第一種 判斷 方法 就是 什 麽 呢
我們 就是 這樣 的
叫做 去掉 末位 剩下 的 那 個數 再減 末位
如果 去掉 末位 再減 末位
剩 的 這個 數是 11 的 倍數
那 原來 這個 數 就是
那 跟 這個 上面 的 規則 是 一樣 的
這個 規則 是 去掉 末位 減 末位 的 兩倍
這個 規則 是 去掉 末位 減 末位 的 一倍
是不是 一樣 的
舉 個例 子 比如說 我 想 判斷 一下 1331
這個 數它 是不是 11 的 倍數 怎 麽 辦
我們 可以 把 最後 一個 末位 去掉 就 剩 133
133 減去 末位 1 就是 132
這個 數 是不是 11 的 倍數 還是 看不出來
我 再 把 這個 2 去掉
我用 13 減去 末位 2 結果 是 11
這個 數是 11 的 倍數 對 吧
所以 它 也 是 它 是 的話 那 麽 它 也 是
好 判斷 完 了
這個 原因 跟剛 才 是 一樣 的
就是 因為 11 它 是 11 的 倍數
那有 同 學說 老師
我們 老師 教 我 的 方法 不是 這樣 的
我們 老師 說 是 奇數 位 的 和 減去 偶數 位 的 和
判斷 是不是 11 的 倍數
其實 是 一樣 的
我們 來說 一下 還有 一種 方法
就是 我們 可以 把 所有 的 奇數 位 求和
奇數 位 求和 之後 減去 偶數 位 求和
如果 這個 差 它 是 11 的 倍數
那 麽 原來 這個 數也 就是 11 的 倍數
我們 還是 以 1331 為例
1331 從 左邊 開始 數
第 1 位 第 2 位 第 3 位 第 4 位
奇數 位是 1 和 3 偶數 位是 3 和 1
所以 我們 把 奇數 位加 起來 是 4
偶數 為 我 也 加 起來 也 是 4
所以 我 就 用 奇數 位 的 和 4
減 偶數 位 的 和 4 等於 0
這 0 它 是 11 的 倍數
所以 原來 這個 數也 是 11 的 倍數
說 這種 方法 其實 和 剛才 這個 方法 是 一樣 的
為什 麽 呢
你 看 我給 你 證明 一下
比如說 我們 就 以 四位數 為例
這個 四位數 叫 abcd
abcd 都 是 一個 0 到 9 之間 的 一個 整數
然後 合 起來 構成 一個 四位數
說 這個 四位數 它 是不是 11 的 倍數 呢
按照 第一種 方法
我要 去掉 末位 d 減 末位
如果 我們 不 考慮 退位 的話
其實 我們 判斷 的 就是 ab 然後 c-d
c-d 是 一 個數
我們 就 可以 判斷 這個 三位數 了 對 不 對
退位 我們 不 考慮
其實 你 考慮 退位 也 是 一樣 的
我們 不 考慮 它 了
好 繼續 想
這個 三位數 是不是 11 的 倍數 怎 麽 判斷
我們 可以 把 這個 三位數 的 末位 去掉
還 剩個 ab 用 ab 減去 末位 c-d
那 就 變成 了 a 然後 b-c+d
變成 了 一個 兩位數 對 不 對
好 那 麽 這個 兩位數 是不是 11 的 倍數 呢
我們 可以 繼續 想
我們 去掉 末位
再用 剩下 的 數減 末位
就是 a-b-c+d
那 不 就是 a-b+c-d 嗎
大家 看 a-b+c-d 中有 一個 a+c
這 是不是 就是 奇數 位 的 和
還有 一個 -b-d
這 是不是 偶數 位 的 和
這不 就是 奇數 位 的 和減 偶數 位 的 和 嗎
如果 這個 數是 11 的 倍數
那 麽 原來 這個 數也 是
這個 方法 是不是 就是 第二種 方法
所以 第二種 方法
不過 就是 把 第一種 方法 做 了 一點 引申 而已
它們 倆 本質 上 是 一個 方法
好 我們 繼續 想
類似 的 方法 咱們 繼續 找
說 11 的 倍數 有 了
咱們 能 不能 給我 找 一個 13 的 倍數
13 的 倍數 還是 那句話
你給 我 找 一 個數 它 是 13 的 倍數
而且 這個 數個 位 必須 是 1
那 你 說 是 幾 呢
那 我 覺得 可以 找 91 吧
91 等於 13 乘 於 7 嘛 是不是
所以 我們 可以 想 這是 91
所以 我 應該 怎 麽 判斷 這個 13 的 倍數
我們 應該 去掉 末位
再 減去 末位 的 幾倍
減去 末位 的 9 倍 對 不 對
末位 的 9 倍
如果 這個 數是 13 的 倍數
原來 這個 數 就是
我舉 個例 子 比如說 7293
我們 可以 去掉 末位 3
然後 還剩 729
729 減去 末位 3 的 9 倍 3 乘以 9
三九 二十七 還 剩下 702 對 不 對
然後 702 我 判斷 是不是 13 的 倍數
還 不好 判斷
我 再 把 702 的 末尾 去掉 還 剩個 70
70 減去 末位 的 9 倍
70-18 結果 52
52 是不是 13 的 倍數
52 是 13 的 4 倍
所以 這個 數它 是 13 的 倍數 這個 數也 是
因此 這個 數也 是
這種 方法 不光 可以 判斷 13 的 倍數
其實 還 可以 判斷 幾
還 可以 判斷 7 的 倍數 對 吧
因為 它 等於 13 乘以 7
只不過 7 的 倍數 我們 有 簡單 的 辦法
所以 我 就 不 需要 用 這種 辦法 了
好 13 的 倍數 我們 也 說完 了
下面 咱們 再 想
你 能給 我 判斷 17 的 倍數 嗎
還是 要 找 一個 17 的 倍數 並且 個位 是 1 的
那 就是 51 51 是 17x3
所以 我們 怎 麽 判斷
我們 去掉 末位
然後 減去 末位 的 幾倍
減去 末位 的 5 倍 是不是
這個 數 如果 是 17 的 倍數
那 麽 這個 原來 的數 就是 17 的 倍數
我 就 不 舉例 了
好 咱們 繼續 判斷
說 你 能給 我 判斷 出 19 的 倍數 嗎
19 也 是 一個 質數
怎 麽 判斷
我們 找 一下 19 乘以 幾 等於 個位 是 1 的數 呢
那 我 覺得 最小 應該 是 得 乘以 9 吧 等於 171
171 是 19 乘以 9 九九八十一
所以 這回 就 比較 復 雜了
這回 它 前面 是 17 對 不 對
後面 的 是 1
所以 怎 麽 辦 呢
所以 我們 可以 有 兩種 方法
第一種 方法 就是說 我們 可以 去掉 末位
去掉 末位 之後
然後 再 減去 末位 的 17 倍
但是 你減 17 倍 這個 事 也 太 復 雜了 吧
有沒有 簡單 一點
能 你 這 麽 想
因為 你 是 判斷 它 是不是 19 的 倍數
你減 17 倍 去 判斷 和 你 加 2 倍 去 判斷
是不是 一回 事兒
減了 17 是不是 19 的 倍數
和 加 了 2 是不是 19 的 倍數
是 一樣 的
因為 17+2=19
所以 這個 方法 其實 我們 可以 改一改
改成 我們 去掉 末位 去掉 末位
然後 再 加上 末位 的 2 倍
判斷 這個 數它 是不是 19 的 倍數
如果 這個 數是 19 的 倍數
原來 那 個數 就是 19 的 倍數
我們 舉 個例 子
比如說 4047
4047 我 想 判斷 是不是 19 的 倍數 怎 麽 辦
我先 去掉 末位 還剩 404
404 再 怎 麽 著
加上 末位 的 2 倍
二七 一 十四 等於 418
418 是不是 19 的 倍數
不 知道
那 我們 再 去掉 一下 末位 還剩 41 對 吧
41 再 加上 末位 的 2 倍
結果 是 57 57 是不是 19 的 倍數
是 它 是 19 的 3 倍
所以 它 是 19 的 倍數
它 也 就是 19 的 倍數
那 它 也 就是 19 的 倍數 對 不 對
就 判斷 完 了
所以 你 可以 用 這種 辦法 你 再 去 想一想
那 麽 23 的 倍數 什 麽 29 的 倍數
都 具有 什 麽 樣 類似 的 特點
怎 麽 樣去 快速 判斷
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當然 判斷 倍數 的 方法 不僅僅 有 這樣 一種
還有 很 多種 其他 的 方法
我舉 一個 例子
比如說 1001 這個 數
它 其實 等於 7×11×13
那 麽 大家 根據 這個 數字
能 不能 也 總結 出 一種
判斷 7 11 13 的 倍數 的 快速 的 方法 呢
如果 你 知道 這個 問題 的 答案 的話
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