一个 公式 理解 相对论 ： 从 伽利略 变换 到 洛伦兹 变换 (2)

x' 應該 等於 k(x-vt) 大家 註 意 這個 左右兩個 式子 的 區別 第一個 區別 就是 加號 變 減號 了 原因 是 什 麽 呢 因為 車廂 相對 於 地面 以 速度 v 向 右 跑 所以 地面 相對 於 車廂 以 速度 v 向 左 跑 所以 它 方向 不 一樣 因此 會 有 個 負號 其次 就是 第一個 式子 的 右側 全都 是 帶 ' 的 表示 這些 數都 是 在 車廂 參考 下 看算 出來 的 第二個 式子 它 右邊 都 是 不帶 ' 的 就 表示 這些 數都 是 在 地面 參考系 下 看 對 吧 得 出來 的 結果 好 我們 再 想 根據 相對性 原理 它 是 沒有 一個 參考系 它 是 特殊 的 那 既然如此 的話 我們 應該 得出 這樣 的 結論 k 等於 k' 這倆 系數 不 應該 有什 麽 區別 你 就是 換了 個 參考系 它 不 應該 有什 麽 區別 這是 第一個 第二個 就是 根據 光速 不變 原理 咱們 想一想 假如 在 最 開始 的 時候 在 這個 車廂 和 原點 重合 的 時候 我 就 發射 了 一 道光 發射 了 一 道光 等 這 道光 打 到 猴子 的 時候 猴子 剛好 出現 我 再 重說 一遍 就是 在 車廂 位於 原點 時 在 這個 位置 發出 一 道光 然後 這 道光 經過 一段時間 剛好 打中 了 猴子 咱們 思考 這個 事 這個 事 如果 在 車廂 看來 是 什 麽 樣子 的 在 車廂 看來 這個 光 的 速度 是 c 經過 的 時間 是 t' 然後 打到 了 猴子 對 不 對 所以 在 車廂 看來 這個 猴子 的 坐標 x' 就 應該 等於 ct' 在 車廂 看來 就是 這樣 對 吧 你 在 車廂 這兒 發了 一 道光 經過 了 時間 t' 這個 打中 了 一個 猴子 所以 猴子 的 位置 就 應該 是 c 乘以 t' 你 在 地面 上 看來 也 是 一樣 的 你 在 地面 上 看來 的 時候 你 也 是 發 了 一 道光 你 這 道光 經過 一段時間 t 打中 了 猴子 所以 x 也 等於 ct 這 就是 利用 光速 不變 原理 得 出來 的 結論 現在 我們 把 這 幾個 式子 結合 一下 你 看一看 會 得出 什 麽 神奇 的 事 馬上 就 發生 了 我們 讓 這 兩個 式子 相乘 左邊 乘 左邊 右邊 乘 右邊 xx'=kk'(x'+vt')(x'-vt') 然後 我們 做 一件 事 把 這個 x 和 x' 換成 ct' 和 ct c²tt'=kk'(c+v)(c-v)tt' 你 看 是不是 這個 道理 對 吧 然後 你 再 把 這 左右 兩邊 的 這個 t 和 t' 你 把 它 約 了 t 和 t' 約 了 那 麽 你 就 會 發現 原來 kk' 是 可以 得出 一個 結論 的 對 不 對 所以 從 這個 我們 就 寫到 右側 你 就 可以 得 出來 kk' 它 其實 是 等於 c²/(c²-v²) 好 你 不要 忘 了 這個 k 是 等於 k' 對 不 對 所以 我們 就 說 k=k'=1/(1-(v/c)²) 好 這樣一來 我們 就 得出 了 這個 系數 系數 有 了 我們 再代 回去 ||||substitute back in| 就 得到 了 洛倫茲 變換 的 表達式 x=(x'+vt')/√(1-(v/c)²) 反過來 x'=(x-vt)/√(1-(v/c)²) 這個 就 叫做 洛倫茲 變換 也 就是 你 告訴 了 我 x' 和 t' 我 怎 麽 求出 x ||||||||||||"find out"| 你 告訴 我 x 和 t 我 怎 麽 求出 x' 而且 你 會 發現 這裏 面 有 四個 變量 x x' t 和 t' 你 既然 可以 用 t 和 t' 表示 出 x x' 你 也 可以 反過來 解 對 不 對 反解 你 就 可以 反解出 兩個 式子 來 就是 t=(t'+vx'/c²)/√(1-(v/c)²) 以及 t'=(t-vx/c²)/√(1-(v/c)²) 就 會 得出 這 麽 四個 式子 來 有 同學 可能 會 覺得 這 四個 式子 非常 復 雜 實際上 它 就 只有 一個 你 只要 得出 第一個 剩下 的 不是 通過 對稱性 得到 的 就是 通過 反解 得到 的 而 這個 式子 表示 什 麽 含義 呢 這個 式子 的 含義 就是說 你 在 車廂 參考系 下 看 看到 一件 事 這事 比如 猴子 掉下來 了 這個 事 它 的 坐標 是 x' 時間 是 t' 你 換到 地面 參考系 下 看 它 的 坐標 變成 這個 樣子 同樣 道理 它 的 時間 呢 它 的 時間 變成 這個 樣子 是不是 所以 我們 就 可以 從 一個 參考系 下 發生 的 事件 換到 另外 一個 參考系 下 看 本質 上 來講 它 和 這種 伽利略 變換 的 意思 是 差不多 的 只不過 它 比 伽利略 變換 多 了 一個 系數 看到 了 嗎 多 了 底下 這個 系數 多 了 一個 叫做 洛倫茲 因子 的 東西 好 那 麽 現在 這個 變換 我們 已經 知道 了 有 了 這個 變換 狹義 相對論 你 基本上 就 了解 了 為什 麽 這 麽 說 呢 我們 可以 說 狹義 相對論 有 很多 很 神奇 的 這個 結論 但是 這些 結論 其實 你 都 是 可以 看作 是 通過 洛倫茲 變換 得 出來 的 比如說 第一個 叫做 同時 的 相對性 同時 的 相對性 也就是說 你 在 一個 參考系 下 看 同時 發生 的 事 你換 一個 參考系 下 看 它 不 同時 這個 怎 麽 理解 呢 很 簡單 比如說 我 在 地面 上 看 同時 發生 的 事 地面 上 看 同時 發生 那 就是 t 不變 對 不 對 t 是 相同 的 比如說 我令 t=0 這就 表示 的 是 地面 是 同時 發生 的 那 麽 你 在 車廂 看來 t' 等於 什 麽 呢 你 看 這 公式 在 這嗎 t' 等於 如果 地面 上 t=0 的話 t'=-vx/c²×1/√(1-(v/c)²) 是 這 麽 一個 表達式 這 告訴 我們 什 麽 這 告訴 我們 在 不同 的 位置 它 的 時間 是 不 一樣 的 是不是 你 越 往前 你 這個 時間 就 越早 就是 你 在 地面 上 看來 這 一趟 都 是 鐘表 這些 鐘表 都 是 同樣 時刻 的 但是 你 在 車廂 看來 這些 鐘表 不是 同樣 時刻 的 越 往前 那個 鐘它 的 時刻 應該 越小 它 走 得 應該 越慢 才 對 這就 叫 同時 的 相對性 一個 參考系 下 看來 同時 發生 的 事 另外 一個 參考系 下 看來 不是 同時 發生 的 好 咱們 再 比如說 還有 一個 我們 常說 的 叫做 什 麽 呢 叫做 尺縮 效應 尺縮 效應 什 麽 叫 尺縮 效應 呢 就是 一個 尺子 如果 它 不動 的話 它 是 L₀ 這 麽 長 如果 它 一動 起來 長度 就 變短 了 這是 為 什 麽 呢 其實 也 很 簡單 你 看 假如 這裏 有 一把 尺子 這把 尺子 正在 以 速度 v 運動 那 麽 我 在 地面 上 我 需要 進行 測量 我 需要 進行 測量 測量 的 時候 我 在 同一個 時刻 比如說 地面 上 的 時刻 t₁ 和 t₂ 是 相等 的 我 必須 在 同一個 時刻 測 所以 我 在 地面 上 看 這個 時間 t₁ 和 t₂ 是 完全 一樣 的 然後 我要 測量 此時 的 地面 上 看 它 坐標 x₁ 和 x₂ 我們 用 x₂ 和 x₁ 做差 就是 我 地面 上測 出來 的 這個 尺子 的 長度 叫 L 所以 我們 就 說 地面 上測 出來 的 這個 長度 叫 L=x₂-x₁ 是不是 當然 我們 在 尺子 本身 來看 這個 尺子 本身 來看 它 是 往前 運動 的 所以 它 自身 有 一個 長度 這個 自己 感覺 的 長度 叫做 本征 長度 L₀ ||||||Intrinsic|| 它 為 什 麽 叫 本征 長度 呢 |||||Intrinsic|| 因為 它 就是 自己 本身 在 相對 於 自己 靜止 的 參考系 下 看 你 的 長度 地面 上 看 這個 尺子 在 運動 所以 地面 上測 的 叫 非本征 長度 |||||non-intrinsic| 尺子 自己 看 尺子 不 動 所以 尺子 測量 的 叫 本征 長度 那 尺子 測量 的 本征 長度 怎 麽 測呢 很 簡單 本征 長度 就 等於 你 在 尺子 參考系 下 看 頭有 一個 坐標 尾有 一個 坐標 你 用 x₂'-x₁' 這不 就行了 嗎 對 不 對 那 麽 x₂'-x₁' 是 什 麽 呢 咱們 看 x'=(x-vt)/√(1-(v/c)²) 所以 你 把 這個 代入 到 這裏 邊去 你 就 會 發現 L₀ 它 其實 等於 (x₂-x₁)/√(1-(v/c)²) x₂-x₁ 就是 L 吧 所以 它 就 等於 L/√(1-(v/c)²) 把 這個 公式 倒 過來 寫 L 就 等於 L₀×√(1-(v/c)²) 這 說明 你 原本 的 本征 長度 或者說 L₀ 這個 叫 本征 長度 你 的 本征 長度 是 L₀ 的話 那 麽 你 在 運動 起來 之後 地面 上 看起來 你 的 長度 會 縮短 這不 就是 尺縮 效應 嗎 它 就是 因為 這個 洛倫茲 變換 得 出來 的 那 麽 洛倫茲 變換 又 是 因為 有 兩條 基本 假設 它 之所以 要講 這 兩條 基本 假設 它 是 為 了 解釋 為什 麽 麥克斯韋 方程組 它 不是 協變 的 為 了 解釋 這個 問題 是不是 所以 它 整個 是 非常 連貫 非常 自洽 的 咱們 繼續 看 還有 一個 很 有意思 的 現象 叫做 慢鐘 效應 慢鐘 效應 慢鐘 效應 是 什 麽 意思 呢 就是 在 地面 上 比如說 有 一個 人 他 拿 著 一個 鐘 拿 著個鐘 此刻 這個 鐘有 一個 示數 然後 這個 人 往前 奔跑 速度 是 v 過了 一會 這個 人 看 這個 鐘它 又 有 一個 示數 好 那 麽 現在 我們 在 這個 人 本身 來看 這個 人 本身 拿 著 這個 鐘 所以 這個 人 看來 的 示數 變化 就 叫 本征 時間 這個 人 是 跟 這個 鐘 一起 跑 的 相當於 鐘 靜止 的 對 不 對 那 麽 此時 你 會 發現 這個 鐘的 示數 原來 叫 t₁' 後來 叫 t₂' 因此 我們 說 相對 於 這個 鐘 而言 就 相當於 人 而言 這個 本征 時間 t₀ 應該 等於 t₂'-t₁' 這個 時間 是 本征 時間 為什 麽 叫 本征 時間 就是 我 這個 參考系 相對 於 鐘是 靜止 的 但是 地面 上 看來 可不是 這個 樣子 的 地面 上 看來 它 這個 時鐘 t 應該 等於 t₂-t₁ t₁ 和 t₁ 分別 是 什 麽 呢 分別 是 在 地面 上 看來 這鐘 的 兩個 示數 對 吧 那 麽 請問 t₂-t₁ 和 t₂'-t₁' 之間 有什 麽 樣 的 關系 呢 你 就要 註 意 了 因為 這個 鐘 一直 拿 在 人 的 手裏 所以 有 兩 個數 是 相等 的 那 就是 x₁' 和 x₂' 這個 鐘在 人 的 手裏 位置 沒有 發生變化 所以 實際上 x₁' 是 等於 x₂' 的 好 那 現在 我們 來看 一下 應該 代入 哪個 公式 在 x₁' 相等 的 情況 下 我們 找 一個 公式 想算 t₂-t₁ ||||"to calculate"|| t₂-t₁ 用 這個 公式 x' 是 相等 的 所以 t₂-t₁ 在 做 差 的 時候 這 一項 就 沒 了 對 不 對 所以 它 就 直接 等於 什 麽 呢 它 就 直接 等於 (t₂'-t₁')/√(1-(v/c)²) 是 這個 結果 吧 咱們 來看 這個 時間 叫做 t 這個 叫做 本征 時間 t₀ 所以 我們 改寫 一下 沒 地方 寫 了 換個 地方 我 改寫 一下 那 就 變成 了 t=t₀/√(1-(v/c)²) 這就 說明 這個 t₀ 的 時間 是 本征 時間 這個 本征 時間 比較 短 一旦 你 運動 起來 的話 你 就 會 變成 非本征 時間 在 地面 上 看 是非 本征 時間 這個 非本征 時間 它 就 比較 長 那 不 就是 什 麽 所謂 的 慢鐘 效應 對 不 對 所以 你 會 發現 其實 相對論 的 邏輯 是 非常 非常 自洽 的 如果 你 了解 一點 相對論 的話 你 就 會 發現 它 只 需要 從 兩條 基本 假設 出發 就 可以 重塑 我們 整個 的 時空觀 這就 好像 是 歐幾 裏 得 從 幾個 基本 假設 出發 構建 了 整個 的 歐幾 裏 得 幾何學 一樣 完美 當然 你 如果 認為 狹義 相對論 只是 一種 數學 遊戲 的話 那 麽 愛因斯坦 還在 1915 年 的 時候 提出 了 廣義 相對論 並且 愛因斯坦 還 自己 提出 了 三種 可以 驗證 廣義 相對論 的 實驗 最終 都 證明 愛因斯坦 是 正確 的 到 目前 為 止還 沒有 任何 一個 理論 能夠 代替 相對論 去 解釋 如此 復 雜的 宇宙 現象 那 麽 關於 廣義 相對論 的 實驗 證實 我們 會 在 下 一節課 再給 大家 介紹 ||||next class|||